STALOWA WOLA 2004-06-08
„SPOSOBY OBLICZANIA
RZĘDU MACIERZY”
PRZEDSIĘBIORCZOŚĆ I ZARZĄDZANIE
STALOWA WOLA 2004-06-08
„SPOSOBY OBLICZANIA
RZĘDU MACIERZY”
PRZEDSIĘBIORCZOŚĆ I ZARZĄDZANIE
Niech
będzie macierzą postaci (3). Każda kolumna macierzy
jest
wektorem przestrzeni m-wymiarowej
R
m
. Maksymalną liczbę linowo
niezależnych kolumn macierzy
nazywamy jej rzędem i oznaczmy symbolem
R (
). Rząd macierzy jest wiec równy wymiarowi podprzestrzeni liniowej
rozpiętej na kolumnach tej macierzy. Z definicji rzędu macierzy wynika, że
jeżeli wszystkie elementy macierzy
są równe zeru, to R (
)=0. Można
udowodnić, że maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy jest
równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy tej macierzy. Jeśli
macierz
nie jest zerową, to jej rząd R (
) jest liczbą naturalną, nie większą
od min (m, n), czyli R (
) <=min (m, n).
Podstawą metody szukania rzędu macierzy może być fakt, że rząd
macierzy nie ulega zmianie, gdy dokonamy na tej macierzy dowolnej operacji
elementarnej. Znaczy to, że macierze równoważne mają ten sam rząd.
Przykład 1
Znaleźć rząd macierzy wyszukując liczbę kolumn (wierszy ) liniowo
niezależnych.
4
3
2
1
1
2
1
2
2
1
0
1
R
4
3
2
1
1
2
1
2
2
1
0
1
)
(
R
Do elementów trzeciego wiersza dodajemy odpowiednie elementy wiersza
drugiego pomnożone przez -2
2
1
0
3
1
2
1
2
2
1
0
1
r
Do pierwszej i trzeciej i czwartej kolumny dodajemy drugą, pomnożoną
odpowiednio przez -2 -2-1
2
1
0
3
0
0
1
0
2
1
0
1
R
Kolumna druga jest liniowo niezależna od pozostałych, podobnie jest z drugim
wierszem
2
1
3
2
1
1
1 R
Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy wiersz
4
0
2
2
1
1
1 R
Do pierwszej i drugiej kolumny dodajemy pierwszą pomnożoną odpowiednio
przez -1 -2
4
0
2
0
1
0
1 R
Druga kolumna jest liniowo niezależna od pozostałych. Podobnie jest z
pierwszym wierszem
3
4
2
2
R
Przykład 2
Za pomocą przekształceń elementarnych obliczyć rząd macierzy
1
1
2
2
2
2
2
1
3
4
1
2
2
1
3
Odejmujemy od elementów pierwszej kolumny odpowiednie elementy piątej
kolumny pomnożone przez dwa.
1
1
2
2
0
2
2
1
3
0
1
2
2
1
1
Odejmujemy od elementów drugiej kolumny odpowiednie elementy piątej
kolumny
1
1
2
1
0
2
2
1
1
0
1
2
2
0
1
Odejmujemy od elementów trzeciego wiersza odpowiednie elementy drugiego
wiersza
1
1
1
0
0
2
2
1
1
0
1
2
2
0
1
Odejmujemy od elementów pierwszego wiersza odpowiednie elementy
trzeciego wiersza pomnożone przez dwa
1
1
1
0
0
2
2
1
1
0
3
4
0
0
1
Od elementów drugiego wiersza odpowiednie elementy trzeciego wiersza
otrzymujemy
1
1
1
0
0
2
2
0
1
0
3
4
0
0
1
Postać kanoniczną macierzy
. Macierz
w postaci kanonicznej zawiera
podmacierz jednostkową stopnia trzeciego. Zatem rząd macierzy
równy jest
3.
Wyznaczanie rzędu macierzy za pomocą wyznaczników.
Niech
M
R
oznacza różny od zera minor stopnia r macierzy A wymiaru
n
m
gdzie r<=min (m,n)
Jeżeli każdy minor macierzy A stopnia wyższego ok. r jest równy zeru to rząd
macierzy A jest równy r.
Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni tych jej minorów, które
są różne od zera
Rząd macierzy jednowierszowej (jednokolumnowej), o co najmniej
jednym elemencie różnym od zera, jest równy 1
Rząd macierzy jest równy zero jedynie wtedy, gdy macierz ta jest zerowa
Rząd macierzy A jest więc liczbą całkowitą taką że
)
,
min(
)
(
0
n
m
A
R
Jeśli min (m,n)=m to rząd macierzy A jest równy m gdy co najmniej
jedena podmacierz stopnia m macierzy A jest nieosobliwa. Jeżeli natomiast
wszystkie podmacierze stopnia m macierzy A są osobliwe, to R(A)<m
Wszystkich podmacierzy stopnia m macierzy A ma
m
n
Przykład 3
Wyznacz rząd macierzy
6
2
4
2
3
1
2
1
A
Ponieważ macierz A jest wymiaru 2x4 czyli min (2,4)=2 wiec liczba R(A)
może być co najwyżej równa 2. Jednak wszystkie podmacierze stopnia drugiego
macierzy A
4
2
2
1
2
2
1
1
6
2
3
1
2
4
1
2
6
4
3
2
6
2
3
1
są osobliwe (wiersze są liniowo zależne) wiec R(A)<2
rząd R(A)=1 gdyż istnieje nieosobliwa podmacierz stopnia pierwszego np.
macierz [3]
ponieważ każda macierz A wymiaru jest
n
m
jest układem n wektorów
przestrzeni
R
m
(lub układem m wektorów przestrzeni
R
n
) wiec rząd macierzy A
informuje o ich liniowej zależności (niezależności). Jeśli min (m,n)=n to
kolumny macierzy A są układem wektorów liniowo niezależnych (zależnych)
gdy R(A)=n(R(A)<n). analogicznie jet z wierszami tzn. jeśli min (m,n)=m oraz
R(A)=m(R(A)<m) to wiersze są liniowo niezależne (zależne).