18

Krzywe stopnia drugiego na płaszczyżnie
(stożkowe)

Definicja 18.1. Funkcją kwadratową w przestrzeni R

n

nazywamy funkcję P :

R

n

→ R postaci

P (x

1

, . . . , x

n

) =

n

X

i=1

a

ii

x

2
i

+ 2

X

1¬i<j¬n

a

ij

x

i

x

j

+

n

X

i=1

b

i

x

i

+ c,

gdzie co najmniej jedna z liczb a

ij

jest różna od zera.

Twierdzenie 18.2. Jeżeli P jest funkcją kwadratową na R

n

, to w pewnym

układzie współrzędnych zbiór

P

−1

(0) = {(x

1

, . . . , x

n

) | P (x

1

, . . . , x

n

) = 0}

opisuje jedno z równań:

C

pq

p

X

i=1

x

2
i

−

p+q

X

i=p+1

x

2
i

= 0,

1 ¬ p + q ¬ n

EH

pq

p

X

i=1

x

2
i

−

p+q

X

i=p+1

x

2
i

+ 1 = 0,

1 ¬ p + q ¬ n

P

pq

p

X

i=1

x

2
i

−

p+q

X

i=p+1

x

2
i

+ x

p+q+1

= 0,

1 ¬ p + q ¬ n − 1

Innymi słowy dla każdej funkcji kwadratowej P istnieje takie wzajemnie

jednoznaczne przekształcenie afiniczne, które tak zmienia współrzędne, że zbiór
P

−1

(0) wyraża się jednym z powyższych równań.

Definicja 18.3. W przestrzeni afinicznej R

2

każdy zbiór będący przeciwo-

brazem zera funkcji kwadratowej nazywamy stożkową.

Zbiór afinicznie równoważny zbiorowi typu E H

02

nazywamy elipsą, zbiór

afinicznie równoważny zbiorowi typu E H

11

— hiperbolą, zaś zbiór afinicznie

równoważny zbiorowi typu P

01

— parabolą.

Twierdzenie 18.4. (klasyfikacja stożkowych w przestrzeni R

2

) Jeżeli

P jest funkcją kwadratową na przestrzeni afinicznej R

2

, to zbiór P

−1

(0) jest

afinicznie równoważny dokładnie jednemu ze zbiorów z poniższej listy:

1. zbiór pusty

2. punkt

3. prosta

4. suma mnogościowa dwóch różnych prostych równoległych

5. suma mnogościowa dwóch prostych przecinających się (różnych)

6. elipsa

1

7. hiperbola

8. parabola

Stwierdzenie 18.5.

1. Dla dowolnej elipsy istnieją takie liczby a > b > 0

oraz izometrią przestrzeni R

2

, która przekształca daną elipsę na elipsę o

równaniu

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1.

2. Dla dowolnej hiperboli istnieją takie liczby a, b > 0 oraz izometrią przestrzeni

R

2

, która przekształca daną hiperbolę na hiperbolę o równaniu

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1.

3. Dla dowolnej paraboli istnieje taka liczba p > 0 oraz izometrią przestrzeni

R

2

, która przekształca daną parabolę na parabolę o równaniu

y

2

= 2px.

Definicja 18.6. Niech dana będzie elipsa

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1, a > b > 0. Punkty

F

1

= (−c, 0) i F

2

= (c, 0), gdzie c =

√

a

2

− b

2

, nazywamy ogniskami, liczby 2a

i 2b odpowiednio osią wielką i osią małą, proste x = ±

a

2

c

— kierownicami, a

liczbę e =

c

a

— mimośrodem elipsy.

Definicja 18.7. Niech dana będzie hiperbola

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1. Punkty F

1

= (−c, 0) i

F

2

= (c, 0), gdzie c =

√

a

2

+ b

2

, nazywamy ogniskami, liczby 2a i 2b odpowiednio

osią rzeczywistą i osią urojoną, proste x = ±

a

2

c

— kierownicami, proste x = ±

b

a

x

— asymptotami, a liczbę e =

c

a

— mimośrodem hiperboli.

Definicja 18.8. Niech dana będzie parabola y

2

= 2px. Punkt F = (

p
2

, 0) nazy-

wamy ogniskiem, prostą x = −

p
2

— kierownicą, a liczbę e = 1 — mimośrodem

paraboli.

Stwierdzenie 18.9. Elipsa

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1, gdzie a > b > 0, jest zbiorem wszyst-

kich punktów płaszczyzny, których suma odległości od ognisk F

1

= (−

√

a

2

− b

2

, 0)

i F

2

= (

√

a

2

− b

2

, 0) wynosi 2a.

Dowód:



Stwierdzenie 18.10. Hiperbola

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1, gdzie a, b > 0, jest zbiorem

wszystkich punktów płaszczyzny, których różnica odległości od ognisk F

1

=

(−

√

a

2

+ b

2

, 0) i F

2

= (

√

a

2

+ b

2

, 0) wynosi 2a.

Stwierdzenie 18.11. Parabola y

2

= 2px, gdzie p > 0, jest zbiorem wszyst-

kich punktów płaszczyzny, których odległość od ogniska F = (

p
2

, 0) jest równa

odległości od kierownicy x = −

p
2

.

Stwierdzenie 18.12. Mimośród elipsy (odpowiednio hiperboli, paraboli) jest
równy stosunkowi odległości dowolnego jej punktu od najbliższego ogniska do
odelgłości tego punktu od najbliższej kierownicy.

2

Przykład 18.13.

1. Elipsę

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1 można opisać równaniem parame-

trycznym



x = a cos t
y = b sin t

przy czym do jednokrotnego obiegu wystarczy wziąć t ∈ [0, 2π).

2. Hiperbola

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1 ma dwie gałęzie. Prawą gałąź (x > 0) można opisać

równaniem parametrycznym



x = a cosh t
y = b sinh t

a lewą (x < 0) — równaniem parametrycznym



x = −a cosh t
y = −b sinh t

3. Parabolę y

2

= 2px można opisać równaniem parametrycznym

(

x =

t

2

2p

y = t

3