17

Wzajemne położenie prostych i okręgów,
płaszczyzn i sfer

Definicja 17.1. W dowolnej płaszczyźnie π dla ustalonego punktu P ∈ π oraz
liczby r > 0 zbiory

C(P, r) ={X ∈ π | |XP | = r}

B(P, r) ={X ∈ π | |XP | < r}

B(P, r) ={X ∈ π | |XP | ¬ r}

nazywamy odpowiednio okręgiem, kołem (otwartym), kołem domkniętym o środku
P i promieniu r.

Stwierdzenie 17.2. Niech 0 < r ¬ R. Rozważmy okręgi C(P, r) oraz C(Q, R)
w płaszczyźnie π. Niech d = |SQ|. Wówczas:

1. jeżeli d = 0 = R − r, to okręgi pokrywają się;

2. jeżeli 0 < d < R − r, to okręgi są rozłączne, zaś B(P, r) ⊂ B(Q, R);

3. jeżeli d = R − r > 0, to okręgi są styczne wewnętrznie, w szczególności

mają dokładnie jeden punkt wspólny, zaś B(P, r) ⊂ B(Q, R);

4. jeżeli 0 < R − r < d < R + r, to okręgi przecinają się, w szczególności

mają dokładnie dwa punkty wspólne, zaś zbiory B(P, r) \ B(Q, R) oraz
B(Q, R) \ B(P, r) są niepuste;

5. jeżeli d = R + r, to okręgi są styczne zewnętrznie, w szczególności mają

dokładnie jeden punkt wspólny będący jedynym punktem wspólnym ich
kół domkniętych;

6. jeżeli d > R + r, to okręgi są rozłączne, podobnie jak ich koła domknięte.

Definicja 17.3. Dla ustalonego punktu P ∈ R

n

oraz liczby r > 0 zbiory

S(P, r) ={X ∈ R

n

| |XP | = r}

B(P, r) ={X ∈ R

n

| |XP | < r}

B(P, r) ={X ∈ R

n

| |XP | ¬ r}

nazywamy odpowiednio sferą, kulą (otwartą), kulą domkniętą o środku P i
promieniu r.

Stwierdzenie 17.4. Niech 0 < r ¬ R. Rozważmy sfery S(P, r) oraz S(Q, R).
Niech d = |SQ|. Wówczas:

1. jeżeli d = 0 = R − r, to sfery pokrywają się;

2. jeżeli 0 < d < R − r, to sfery są rozłączne, zaś B(P, r) ⊂ B(Q, R);

3. jeżeli d = R − r > 0, to sfery są styczne wewnętrznie, w szczególności mają

dokładnie jeden punkt wspólny, zaś B(P, r) ⊂ B(Q, R);

4. jeżeli 0 < R − r < d < R + r, to sfery przecinają się wzdłuż okręgu, zaś

zbiory B(P, r) \ B(Q, R) oraz B(Q, R) \ B(P, r) są niepuste;

1

5. jeżeli d = R + r, to sfery są styczne zewnętrznie, w szczególności mają

dokładnie jeden punkt wspólny będący jedynym punktem wspólnym ich
kul domkniętych;

6. jeżeli d > R + r, to sfery są rozłączne, podobnie jak ich kule domknięte.

Definicja 17.5. Prosta w płaszczyźnie π jest styczna do okręgu w płaszczyźnie
π jeżeli ma z nim dokładnie jeden punkt wspólny.

Płaszczyzna jest styczna do sfery jeżeli ma z nią dokładnie jeden punkt

wspólny.

Stwierdzenie 17.6.

1. Jeżeli prosta l jest styczna do okręgu C(P, r) w

punkcie T , to wektor

−→

P T jest prostopadły do prostej l.

2. Jeżeli płaszczyzna τ jest styczna do sfery S(P, R) w punkcie T , to wektor

−→

P T jest prostopadły do płaszczyzny τ .

Stwierdzenie 17.7.

1. Prosta styczna do okręgu x

2

+ y

2

= r

2

w punkcie

(x

0

, y

0

) ma na płaszczyźnie xOy równanie xx

0

+ yy

0

= r

2

.

2. Płaszczyzna styczna do sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= r

2

w punkcie (x

0

, y

0

, z

0

) ma

równanie xx

0

+ yy

0

+ zz

0

= r

2

.

Stwierdzenie 17.8. Rozważmy okrąg C(P, r) oraz prostą l położone w płaszczyźnie
π. Niech d = d(P, l). Wówczas:

1. jeżeli d < r, to prosta ma z okręgiem dowolne dwa punkty wspólne;

2. jeżeli d = r, to prosta jest styczna do okręgu;

3. jeżeli d > r, to prosta jest rozłączna z okręgiem.

Stwierdzenie 17.9. Rozważmy sferę S(P, r) oraz płaszczyznę τ . Niech d =
d(P, τ ). Wówczas:

1. jeżeli d < r, to płaszczyzna przecina sferę wzdłuż okręgu;

2. jeżeli d = r, to płaszczyzna jest styczna do sfery;

3. jeżeli d > r, to płaszczyzna jest rozłączna ze sferą.

2