Rys. 8.1. Azymuty: boku wyjściowego 

A

AB

 i boku odwrotnego A

BA

A

AB

180 A

BA

A

AB

A

B

Rozdział 8:

Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych

8.1. Orientacja pomiarów geodezyjnych

W rozdziale  1 przedstawiliśmy krótką charakterystykę układów współrzędnych

stosowanych w geodezji, w tym wykorzystywane najczęściej płaskie układy prawoskrętne:
prostokątny  i   biegunowy.  Orientację   boku   osnowy  lub   kierunku   względem  osi   układu
określa się za pomocą azymutu lub kąta kierunkowego, które tym różnią się od siebie, że
stałym  ramieniem  azymutu jest   kierunek  północy, zaś  w przypadku kąta kierunkowego
ramieniem tym jest dodatni kierunek osi x układu, która nie musi być zorientowana według
północy. W rachunku współrzędnych wielkościami wyjściowymi lub szukanymi mogą być
zarówno elementy liniowe, do których zalicza się: współrzędne punktów  X, Y, przyrosty
współrzędnych   odcinków  

x,  y,   długości   zredukowane   (poziome)  d,   jak   i elementy

kątowe:   azymuty,  kąty  kierunkowe,  kąty  wierzchołkowe   w  sieciach   osnów  poziomych
i figurach geometrycznych .

Azymutem   A

AB

  boku  AB  nazywamy   kąt

poziomy,   zawarty   w   przedziale   od   0   do   360

,

pomiędzy   kierunkiem   północy   wychodzącym
z punktu  A  a   danym   bokiem  AB,   liczony   od
kierunku   północy   w   prawo,   czyli   zgodnie
z ruchem wskazówek zegara (rys. 8.1).

Jeśli   punktem   początkowym   boku,   dla

którego określamy azymut jest punkt B, wtedy po
wyprowadzeniu   z   niego   kierunku   północy
i zakreśleniu   kąta   w prawo   pomiędzy   północą
a bokiem

 BA 

otrzymamy

 azymut   boku

odwrotnego, oznaczony symbolem:  A

BA

. Zgodnie

z rys. 8.1 azymut ten różni się od azymutu boku
AB o wartość kąta półpełnego:

A

BA

 = A

AB

 

 180

(8.1)

W   powyższym   wzorze   znak   plus   odnosi   się   do   azymutów   wyjściowych

mniejszych   od   180

  (lub   200

g

),   zaś   znak   minus   dotyczy   azymutów   wyjściowych

przekraczających 180

.

Kierunek północy występujący w definicji azymutu może być określany w różny

sposób, w związku z czym wyróżnia się kierunki północy: geograficznej, topograficznej
i magnetycznej (rys. 8.2).

Kierunek  północy geograficznej (astronomicznej)  wychodzący z  danego  punktu

ziemskiego   jest   kierunkiem   północnej   części   południka   geograficznego,   łączącego   ten
punkt   z   geograficznym   biegunem   północnym   Ziemi.   Wyznaczenie   kierunku   północy
geograficznej   i   azymutu  przedmiotu   ziemskiego   stanowią   jedno   z   ważniejszych   zadań
astronomii   geodezyjnej.   Dość   dokładnie   kierunek   ten   wskazuje   Gwiazda   Polarna
(



 

-Ursae   Minoris)   w gwiazdozbiorze   Małej   Niedźwiedzicy.   Kierunek  północy

183

magnetycznej  jest wskazywany przez igłę magnetyczną busoli, umieszczonej w punkcie
początkowym A.

Bieguny   magnetyczne   Ziemi   odznaczają   się

zmiennością   położenia   i   z   reguły   nie   pokrywają   się
z biegunami   geograficznymi,   toteż   kierunki
południków:   geograficznego   i   magnetycznego   są   od
siebie   odchylone   o   zmieniający   się   w   czasie
i przestrzeni   kąt  

  zwany  deklinacją   magnetyczną.

Azymut   geograficzny  A

g

  obliczymy   na   podstawie

azymutu   magnetycznego  A

m

  i   deklinacji   po   dodaniu

tych kątów do siebie.

Kierunek

 północy

 

topograficznej

(kartograficznej)   jest   ściśle   związany   z   przyjętym
odwzorowaniem kartograficznym oraz z zależnym od
niego układem współrzędnych prostokątnych. Dodatni
kierunek   osi  x  układu   pokrywa   się   przeważnie
z kierunkiem   północy   geograficznej   (południka
geograficznego),   lecz   dla   punktów   znajdujących   się
poza   osią  x,  kierunek  północy  topograficznej   stanowi   prostą   równoległą   do   półosi   +x,
natomiast południki wyznaczające północ geograficzną w różnych punktach terenowych nie
są równoległe, lecz zbiegają się w punkcie N – biegunie północnym Ziemi, toteż odchylenie
kierunku północy topograficznej danego punktu  A  od północy geograficznej tego punktu
jest równe kątowi 

, zwanemu zbieżnością południków (rys. 8.2). Dodając kąt  do azymutu

topograficznego A

t 

, otrzymamy azymut geograficzny.

Dla ułatwienia obliczania azymutu, przyjmującego wartości w przedziale od 0 do

360

, wygodne jest posługiwanie się kątem ostrym    noszącym nazwę czwartaka, który

jako kąt nie przekraczający 90° występuje tylko w pierwszej ćwiartce kąta pełnego (stąd
nazwa – czwartak). Wszystkie funkcje trygonometryczne czwartaka są więc dodatnie, zaś
wyznaczenie wartości kąta na podstawie wartości tych funkcji ma charakter jednoznaczny.
Czwartak 



AB 

jest   definiowany  jako   kąt   ostry  zawarty   pomiędzy   linią   osi  x,   czyli   jej

dodatnim lub ujemnym kierunkiem, a danym bokiem AB. W ćwiartkach: I i IV ramieniem
wyjściowym czwartaków jest prosta skierowana na północ, natomiast w ćwiartkach: II i III
ramię to stanowi prosta skierowana na południe.

Na   podstawie   rysunku  8.3   można   określić   zestawione  w  tabeli   8.1   zależności

pomiędzy azymutem a czwartakiem w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych
prostokątnych. Zależności te pozwalają na ustalenie orientacji dowolnego kierunku, czyli
obliczenie   jego   azymutu  na  podstawie  wartości   czwartaka  φ  i   znajomości   numeru  lub
oznaczenia ćwiartki (NE, SE, SW, NW).

184

⋆

A

B





A

g

A

t

A

m

Rys. 8.2. Azymuty: geograficzny, 

topograficzny, magnetyczny

Rys. 8.3. Zależności pomiędzy azymutem A i czwartakiem 

 w 

poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych

I ćw.   

A=





A

+x

+y

N

S

W

E

O

A

II ćw.   A=180°-





A

+x

+y

N

S

W

E

O

B

III ćw.   A=180°

+





A

+x

+y

N

S

W

E

O

C

IV ćw.   A=360°-





A

+x

+y

N

S

W

E

O

D

Tabela 8.1. Azymut A i czwartak φ

Nr i oznaczenie

ćwiartki

Zakres azymutu

Związek między

azymutem

a czwartakiem

I (NE)

0

 − 90

A = 



II (SE)

90

 − 180

A = 180

 – 

III (SW)

180

 − 270

A = 180

 + 

IV (NW)

270

 − 360

A = 360

 – 

W geodezji niższej na ogół nie uwzględnia się krzywizny Ziemi, a więc wyniki

pomiarów  wykonywanych  na   małych   obszarach,   odnoszone   są   do   płaszczyzny.  Z   tego
względu linie południków traktowane są jako proste równoległe do osi x, zaś równoleżniki
jako   proste   prostopadłe   do   południków.   Linie   te   naniesione   w   stałych   odstępach
wynoszących 10 cm, tworzą na arkuszach mapy siatkę kwadratów, zorientowaną względem
stron świata. Opis współrzędnych X, Y linii siatki umożliwia graficzne określenie położenia
dowolnego punktu na mapie względem układu współrzędnych prostokątnych.

8.2. Podstawowe związki w układzie współrzędnych prostokątnych

Dla uproszczenia dalszych rozważań

załóżmy, że rozpatrywany bok  AB  znajduje
się   w   I   ćwiartce   układu   współrzędnych
prostokątnych, płaskich, zaś jego azymut A

AB

jest kątem ostrym (rys. 8.4). Po zrzutowaniu
punktów  A,B  na   osie   układu   możemy
odczytać   ich   współrzędne:  X

A

,   Y

A

,   X

B

,   Y

B

,

natomiast rzuty prostokątne boku AB na obie
osie   stanowią   graficzną   ilustrację   tzw.
przyrostów   współrzędnych:  

x

AB

,  

y

AB

,

będących

 

różnicami

 

pomiędzy

współrzędnymi punktów: A, B, a więc:

A

B

AB

A

B

AB

Y

Y

y

X

X

x

  

 

Δ

Δ









                            

(8.2)

185

+x

B

A

      

y

AB

Y

A

                   Y

B       

+y



x

AB

A

AB

d

AB

  K      

y

AB

X

B

X

A

O

Rys. 8.4. Związki pomiędzy azymutem, 

długością i przyrostami boku AB

O

Na podstawie wzorów (8.2) można ustalić ogólną zasadę obliczania przyrostów

x, y danego boku. Jest nią odejmowanie

  

 od odpowiednich współrzędnych punktu

  

końcowego boku, współrzędnych jego punktu początkowego. W zapisie symbolu przyrostu


...

AB

 zawarty jest zwrot boku, lecz podczas odejmowania współrzędnych w celu obliczenia

przyrostu kolejność wprowadzania współrzędnych jako odjemnej i odjemnika jest
odwrotna: tzn. przyrost równa się: współrzędna punktu B minus współrzędna punktu A.

Z wzorów (8.2) i zależności geometrycznych w trójkącie  ABK  (rys. 8.4) można

określić następujące podstawowe wzory rachunku współrzędnych:

AB

A

B

AB

A

B

y

Y

Y

x

X

X

Δ

 

Δ









(8.3)

tg A

y
x

AB

AB

AB

 



(8.4)

d

x

y

AB

AB

AB









2

2

(8.5)

AB

AB

AB

AB

AB

AB

A

d

y

A

d

x

sin

Δ

cos

Δ









             (8.6)            oraz

AB

AB

AB

AB

AB

AB

d

y

A

d

x

A

Δ

sin

Δ

cos





(8.6a)

8.3. Obliczenie azymutu i długości boku ze współrzędnych

Zadanie   obliczenia   azymutu   i   długości   boku  AB  na   podstawie   danych

współrzędnych jego punktów końcowych występuje w obliczeniach geodezyjnych bardzo
często i opiera się na podanych wyżej wzorach: (8.4) i (8.5). Korzystając z wzoru (8.4)
otrzymujemy   jednak   tangens   azymutu,   a   więc   na   podstawie   wartości   tej   funkcji   nie
możemy  określić  jednoznacznie   wartości   kąta  A

AB

.   Z  tego   powodu  podczas   obliczania

wartości   liczbowej   azymutu  korzystamy  ze   związku  pomiędzy  azymutem  boku  a   jego
czwartakiem  

  wyrażonym  poprzez   jeden   z   wzorów   zawartych   w  tabeli   8.1.   Wybór

odpowiedniego przeliczenia wymaga znajomości przedziału kątowego (ćwiartki), w którym
występuje poszukiwany azymut. Ćwiartkę tę ustalamy na podstawie znaków przyrostów
x, y, które zgodnie z wzorami (8.6) są takie same jak znaki funkcji trygonometrycznych
azymutu:   sin

 

A,   cos

 

A.   Określonej   ćwiartce   azymutu   odpowiada   więc   tylko   jedna

kombinacja pary znaków (tabela 8.2).

Tabela 8.2. Znaki przyrostów w zależności od ćwiartki azymutu

Numer

ćwiartki

azymutu

Znaki przyrostów

x

(cos A)

y

(sin A)

Zależność między

azymutem A

i czwartakiem 



I

+

+

A = 



II

–

+

A = 200

 g 

– 



III

–

–

A = 200

 g 

+



IV

+

–

A = 400

 g ––



186

O

Przebieg   obliczenia   azymutu  A

AB  

i   długości  d

AB

  boku  AB  na   podstawie

współrzędnych punktów A, B: X

A

, Y

A

; X

B

, Y

B

 obejmuje następujące etapy:

1. Obliczenie przyrostów 

x

AB

, 

y

AB

 zgodnie z wzorami (8.2).

2. Obliczenie tangensa czwartaka 

 z zależności:

tg 



AB

AB

AB

y
x






(8.7)

3. Obliczenie wartości czwartaka 

 na podstawie jego funkcji tangens.

4. Ustalenie numeru ćwiartki według znaków przyrostów (tabela 8.2).
5. Obliczenie   azymutu  A  z   zależności   między   azymutem   a   czwartakiem  

,

wybranej zgodnie z ustalonym numerem ćwiartki azymutu (tabela 8.2).

6. Obliczenie długości boku d

AB

 w oparciu o wzór (8.5).

7. Wykonanie obliczeń kontrolnych azymutu i długości.

Obliczenia kontrolne azymutu i długości polegają na ich ponownym obliczeniu

w   oparciu   o   wzory   kontrolne.  Kontrola   obliczenia   azymutu  opiera   się   na   uzyskaniu
azymutu A powiększonego o kąt 45

 (50

g

).

Na podstawie wzoru na tangens sumy kątów i wzoru (8.4) możemy napisać:





tg 

tg 

tg 

tg  tg 

A

A

A



 











45

45

1

45

x

y

x

y

Δ

Δ

1

1

Δ

Δ







 ,

stąd:





tg  A

x

y

x

y

AB

AB

AB

AB

AB

  




45









(8.8)

Kontrola obliczenia azymutu w oparciu o wzór (8.8) polega na podzieleniu sumy

przyrostów   przez   różnicę   przyrostów,   a   następnie   po   odrzuceniu   znaku   otrzymanego
ilorazu,   uzyskamy  wartość   tg  

,  gdzie    jest   czwartakiem   kąta   (A+45°)   tj.   azymutu

powiększonego o 45

.

AB

AB

AB

AB

y

x

y

x

















 

tg

Jego obliczenie odbywa się na tej samej zasadzie co obliczenie azymutu A, tzn.

znaki   sumy:  

x+y  oraz różnicy:  x–y, traktujemy tak samo  jak podczas obliczenia

wynikowego   znaki   przyrostów   potrzebne   do   określania   ćwiartki   azymutu.   Należy
zauważyć, że ćwiartka kąta  (A+45

)  albo pozostaje bez zmian w stosunku do ćwiartki

azymutu A albo zmienia się na następną.

Po kontrolnym obliczeniu kąta (A+45

), sprawdzamy, czy otrzymaliśmy tą samą

wartość,   co   po   bezpośrednim   dodaniu   kąta   45

do   wartości   azymutu   z   obliczenia

wyjściowego. Dokładna zgodność obydwu wyników świadczy o poprawności rachunku.

W ramach  kontroli obliczenia długości  

  

d  

AB

  można określić długość boku  AB  na

podstawie przekształconych wzorów (8.6), czyli:

d

x

A

y

A

AB

AB

AB

AB

AB









cos

sin

(8.9)

187

Odpowiednikami wzorów (8.9) są podobne wzory z udziałem czwartaka 

 zamiast

azymutu A:





sin

Δ

cos

Δ

AB

AB

AB

y

x

d





(8.10)

Uwaga:  Wykorzystanie   wzorów   (8.4)   i   (8.7)   podczas   programowania

komputerowego   stwarza   niebezpieczeństwo   zatrzymania   programu,   gdy  

x=0   (błąd

dzielenia przez zero). Z tego względu należy wtedy korzystać z wzorów: (8.5) i (8.6a),
obliczając ze współrzędnych długość boku, a następnie azymut na podstawie funkcji sin A
lub cos A.

W tabeli 8.3 zostały zamieszczone dwa przykłady na obliczenie ze współrzędnych

azymutów (w stopniach i gradach) oraz długości boków.

Tabela 8.3. – Obliczenie azymutu i długości ze współrzędnych

L.p

.

Oznaczeni

a 

punktów: 

końcowy-

B

 początkowy

-

A

X

B

Y

B

tg 

 =




y
x

cos 



Kontrola

x+y



X

A

Y

A

Czwartak



sin 



x–y

A+45

  (50

g

)



Oznaczeni

e

boku:
A

B

x

AB

 =

X

B 

– X

A

y

AB

 =

Y

B 

– Y

A

Azymut

A

AB

Odległość

d

x

y









2

2

tg

 












x

y

x

y

d

x

y









cos

sin





1

2

3

4

5

6

7

8

1

B

2

708,63

4 541,15

0,364 483

9

0,939 537 4

-980,29

27

g

74

c

89,1

cc

A

4

251,14

3 978,93

22

g

25

c

10,

9

cc

0,342 446 2

-2 104,73

227

g

74

c

89

cc

A - B

-1

542,51

+562,22 177

g

74

c

89

cc

1 641,776

0,465 7557

1 641,776

2

D

3

978,93

12

561,78

0,804 230

1

0,779 258 4

+144,21

6

1133,8

C

+562,2

2

13

154,20

38

4826,

2



0,626 702 8

+1 329,05

6

1133,8

C - D

+736,6

3

-592,42 3211133

,8



945,296

0,108 506 1

945,296

Korzystanie   ze   wzoru   (8.8)   do   kontroli   obliczenia   azymutu,   opiera   się   na

wcześniej   wyliczonych   przyrostach,   a   więc   nie   daje   możliwości   wykrycia   błędu   ich
obliczenia.   Z tego  powodu  można zalecić  wykonywanie   obliczeń  kontrolnych  azymutu
według podanego niżej wzoru (8.11), stanowiącego łatwą do wyprowadzenia modyfikację
wzoru (8.8):



 

 





 



tg  A

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

AB

B

B

A

A

B

B

A

A

  













45

(8.11)

Ze wzoru (8.11)  wynika, że różnicę sum współrzędnych tych samych punktów

należy podzielić przez różnicę różnic tych współrzędnych.

Dość   często   w   prostych   zadaniach   zawierających   obliczanie   azymutów   ze

współrzędnych występują okrągłe wartości kątów np.: 0

, 90, 180, 270. jako azymutów

boków równoległych do osi układu współrzędnych. Wskazują na to wartości przyrostów, z

188

których jeden jest równy zero. Rysunek 8.5
przedstawia kwadrat, którego pary boków są
równoległe do osi  x  lub  y  układu. Boki  1-2
oraz  3-4  są  równoległe  do   osi  y, toteż  ich
przyrosty:  

x

1-2

  i  

x

3-4

  są   równe   zero.

Podczas obliczania funkcji tg A dzielnik jest
zerowy,   przez   co   iloraz   stanowi   symbol
nieokreślony. Mimo, że wartość funkcji tg A
nie daje się wyznaczyć, to kąt A ma ustaloną
wartość,   zależną   od   znaku   drugiego
przyrostu 

y.

Dla  

y>0,  A=90,   zaś   gdy  y<0,

A=270

. Dla kwadratu przedstawionego na

rys. 8.5 azymuty boków równoległych do osi
y  wynoszą:  A

1-2  

=  90

,   A

3-4  

=   270

.   Boki

równoległe do osi  x  (na rys. 8.5 są to boki:  2-3, 4-1) posiadają przyrosty 

y = 0, a więc

tangensy azymutów tych boków są też zerowe, natomiast same azymuty mogą przyjmować
wartości:   0

  (A

4-1

)   i   180

  (A

2-3

).   Azymut   boku   jest   równy  zero,   gdy  

y=0,   zaś  x>0,

natomiast wynosi 180

, kiedy y=0, zaś przyrost x jest ujemny.

Dla boku  1-3, przekątnej kwadratu bezwzględne wartości przyrostów są równe,

lecz 

x ma znak minus, zaś y znak plus, a więc azymut, zgodnie z tabelą 8.2 znajduje się

w II ćwiartce. Otrzymamy zatem:

tg 

 =1;          = 45;              A

1-3 

= 180

 – 45 = 135.

Z kolei dla przekątnej 2-4, wartości obu przyrostów są równe, lecz ujemne, a więc

azymut, zgodnie z tabelą 8.2 znajduje się w III ćwiartce. Otrzymamy zatem:

tg 

 =1;          = 45;              A

2-4 

= 180

 + 45 = 225.

8.4. Obliczenie współrzędnych punktów posiłkowych

8.4.1. Obliczenie współrzędnych punktu na prostej

Zadanie   obliczenia   współrzędnych   punktu   pośredniego   (posiłkowego)  P,

położonego na prostej AB, polega na wyznaczeniu jego współrzędnych X

P

 ,Y

P

 na podstawie

znanych   współrzędnych   punktów   skrajnych   odcinka  AB:  X

A

  ,Y

A

  ;   X

B

  ,Y

B

  i

pomierzonej   odległości   punktu  P  od   jednego   z   tych   punktów   (l

AP

  lub  l

BP

).   Z

zadaniem tym mamy do czynienia bardzo często podczas
zagęszczania poziomej osnowy pomiarowej, szczególnie

zaś   wtedy,   gdy   do   zdjęcia   szczegółów   sytuacyjnych
wykorzystuje   się   metodę   ortogonalną.   Z punktów
posiłkowych na bokach osnowy mogą następnie wychodzić
boki   linii   pomiarowych   i   ciągów   sytuacyjnych   niższych
rzędów.   Zagadnienie   to   zostanie   przedstawione   szerzej
podczas   omawiania   osnowy  pomiarów   sytuacyjnych   (ust.

11.2).

189

+x

X

1

=X

2

O

1

2

+y

X

3

=X

4

Y

1

=Y

4

Y

2

=Y

3

4

3

Rys. 8.5. Azymuty boków i przekątnych

+x

+y

X

B

X

P

X

A

Y

P

Y

B

Y

A

K

y

AB



x

A

B

y

AP



x

A

P

A

AB

l

AP

B

A

P

K′

y

AP

Rys. 8.6. Współrzędne punktu na prostej

O

(8.12

)

Z rys. 8.6 i wzorów (8.3) wynikają zależności:

X

P

 = X

A

 + 

x

AP  

; Y

P

 = Y

A

 + 

y

AP

.

Przyrosty: 

x

AP

 , 

y

AP

, zgodnie z wzorami (8.6), wynoszą:

x

AP

=

 

l

AP 

cos A

AP

 ; 

y

AP

 = l

AP 

sin A

AP

Azymuty boków  AP  i  AB  są jednakowe, ponieważ oba odcinki znajdują się na tej samej
prostej i mają ten sam zwrot, toteż można zapisać:

cos 

cos 

cos 

A

A

A

x

d

AB

AP

AB

AB









oraz

sin 

sin 

sin 

A

A

A

y

d

AB

AP

AB

AB









Funkcje trygonometryczne azymutu boku AB: sin A, cos A obliczone wg wzorów

(8.6

 

a) noszą nazwę współczynników kierunkowych boku AB.

Ostateczne wzory na obliczenie współrzędnych punktu posiłkowego P na prostej

AB przyjmą postać:

X

P 

= X

A

 + l

AP 

 cos A

Y

P 

= Y

A

 + l

AP 

 sin A

Odległość  l

AP 

, stanowi tzw.  miarę bieżącą  punktu  P. Po jej  zmierzeniu należy

kontynuować   wyznaczanie   innych   miar   bieżących   do   dalszych   punktów   posiłkowych
i zakończyć   pomiar   odległości   na   punkcie  B,   w   wyniku   czego   otrzymujemy  miarę
końcową,  czyli długość boku  AB  -  d

AB

  „pomierzoną”. Miara ta powinna być zgodna z

długością d

AB

 „obliczoną”, uzyskaną ze współrzędnych wzorem (8.5). Zgodnie z instrukcją

techniczną G-4

*

 różnica pomiędzy długością pomierzoną i obliczoną, czyli odchyłka f

d 

, nie

może przekraczać odchyłki dopuszczalnej obliczonej ze wzoru:

2

2

max

c

d

u

f

d







(8.13)

gdzie:

u  –   współczynnik   błędów   przypadkowych   pomiarów   liniowych
(według instrukcji G-4:  u = 0,0059),

d – długość mierzonego boku wyrażona w metrach,
c  –   wpływ   błędów   położenia   punktów   nawiązania   (wg   instr.   G-4:

c

 

=

 

0,10 m).

Jeśli   otrzymana   odchyłka  f

d

  mieści   się   w   odchyłce   dopuszczalnej,   wtedy

poprawiamy   wszystkie   miary   bieżące   znajdujące   się   na   danym   boku   o   poprawkę  v
obliczoną   przy   założeniu,   że   błąd   określenia   miary   bieżącej   wzrasta   wprost
proporcjonalnie do jej długości. Poprawka v

i

  i-tej miary bieżącej l

i

 wyniesie więc:

v

f

d

l

i

d

AB

i

 



(8.14)

*

 

Instrukcja techniczna o symbolu G-4 nosi tytuł „Pomiary sytuacyjne i wysokościowe”.

190

Pomierzona długość końcowa, będąca  miarą  bieżącą punktu  B, otrzyma zatem

poprawkę równą całej odchyłce f

d

 ze znakiem minus, przez co zostanie doprowadzona do

długości d

AB

 obliczonej ze współrzędnych.

Kontrolę obliczenia współrzędnych punktu P może stanowić rachunek oparty na

założeniu, że punktem wyjściowym do obliczenia współrzędnych punktu pośredniego  P
jest teraz punkt B. Do obliczenia wykorzystamy zmodyfikowane wzory (8.12) w postaci:

X

P 

= X

B

 + l

BP 

 cos A

BA

 

Y

P

 = Y

B

 + l

BP 

 sin A

BA

We wzorach tych występuje azymut boku odwrotnego A

BA

, którego funkcje: cos,

sin   różnią   się   od   tych   samych   funkcji   azymutu   wyjściowego  A

AB

  tylko  przeciwnymi

znakami,   wynikającymi   ze   zmiany   znaków   przyrostów  

x

BA 

,  

y

BA

  w   stosunku   do

przyrostów boku wyjściowego  AB. Potrzebną do obliczeń długość  l

BP  

  otrzymamy jako

różnicę:

l

BP 

= d

AB 

– l

AP

Dla   większej   ilości   punktów   posiłkowych   położonych   na   danym   boku  AB

stosowanie powyższej metody kontroli rachunku może okazać się zbyt pracochłonne, toteż
wygodniej jest korzystać ze sposobu sprawdzania obliczeń przedstawionego w tabeli 8.6.

Obliczenia   związane   z   wyznaczeniem   współrzędnych   punktu   pośredniego   na

prostej zostały przedstawione na przykładzie zamieszczonym w tabeli 8.4.

Tabela 8.4. Obliczenie współrzędnych punktu na prostej

Oznaczenia

punktów

danych

A

B

szukanych

Odcięte

l

Miara

końcowa



d

AB pomierzone

Rzędne h

Bok osnowy

Przyrosty punktów na

prostej i domiarach 

prostokątnych

Współrzędne

punktów

w

prawo

+

w

lewo

–

x

AB

y

AB

d

AB

 

obliczone

Odchyłki:

f

d

, 

f

d max

Współczynniki

kierunkowe:

cos A=

x

d

AB

AB

sin A=

y

d

AB

AB

x = l cos A

  – h sin A

y = l sin A
   + h cos A

X

Y

Oznaczeni

a

punktów

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

p-45

0,00

-40,95

+133,02

-0,294

 

223

 

3

+0,955

 

749

 

8

-

-

1

542,15

1

891,90

p-45

Ps28

            

+1

   

54,2

139,18

- 15,97 + 51,87

1

526,18

1

943,77

Ps28

p-46

            +3

139,15

-0,03



0,12

-

-

1

501,20

2

024,92

p-46

8.4.2. Obliczenie współrzędnych punktu na domiarze prostokątnym

Podczas zagęszczania poziomej osnowy pomiarowej można wykorzystać sposób

utworzenia   dodatkowego   punktu   posiłkowego  P  (rys.   8.7),   znajdującego   się   na
prostopadłej (domiarze prostokątnym), wytyczonej węgielnicą z punktu pośredniego P

 na

linii   pomiarowej  AB  utworzonej   przez   punkty  A,  B  o   znanych   współrzędnych:
X

A 

, Y

A 

; X

B 

, Y

B

.   Do   określenia   współrzędnych   punktu  P  należy   wyznaczyć   domiary

prostokątne   tego   punktu  tj.:  odciętą  l  równą  długości   odcinka  AP

  i  rzędną  h,   której

191

wartość bezwzględna

*

 jest równa długości odcinka P

P. Punkt posiłkowy znajdujący się na

domiarze   prostokątnym  może   zastąpić   często   stosowaną   w  praktyce   konstrukcję   ciągu

wiszącego   z   pojedynczym   bokiem,
nazywanego   popularnie   „bagnetem”.
W przeciwieństwie do wyznaczenia punktu
na   domiarze   prostokątnym,   do   czego
wystarcza   węgielnica,   założenie   takiego
„bagnetu”   wymaga   użycia   teodolitu,
którym  musimy  zmierzyć   kąt   nawiązania
ciągu wiszącego.

Z   trójkąta   prostokątnego  KP

P

(rys. 8.8) wynikają następujące zależności:

KP

 = – x

P

P 

= h 

 sin A   ;    KP = + y

P

P

= h 

 cos A

Współrzędne punktu P wynoszą:

X

P

 = X

A

 + 

x

AP



 + 

x

P

P

Y

P

 = Y

A

 + 

y

AP



 + 

y

P

P

a ostatecznie:

X

P

 =

 

X

A

 

+

 

l

 



 

cos A

 

–

 

h

 



 

sin A

(8.15)

Y

P

 =

 

Y

A

 

+

 

l

 



 

sin A

 

+

 

h

 



 

cos A

Dwa   pierwsze   składniki   wzorów  (8.15)   zwierają   podane   wcześniej   obliczenie

współrzędnych punktu P

 na prostej. Kolejny człon wzorów stanowi wyznaczenie wzdłuż

odcinka P′P przyrostów współrzędnych: 

x

P’P

, 

y

P′P

.

Podstawiając do wzorów wartość rzędnej h, należy uwzględnić jej znak. Rzędna

w

      prawo otrzymuje znak plus, natomiast rzędna w lewo

  

 

  –  

 

  znak minus

  

.

Z   rys   8.7   widać,   że   w   stosunku   do   położenia   punktu  P′   domiar   prostokątny

skierowany w prawo od linii AB powoduje zmniejszenie współrzędnej X, zaś zwiększenie
współrzędnej  Y.   Wynika   to   również   stąd,   że   linia   pomiarowa  AB  jest   osią   odciętych
prawoskrętnego układu prostokątnego z początkiem w punkcie wyjściowym A, natomiast
dodatni kierunek osi rzędnych tego układu skierowany jest w prawo. Domiary prostokątne:
l  – odcięta punktu  P  oraz rzędna –  h  są współrzędnymi prostokątnymi punktu  P  w tym
układzie (rys. 8.8).

*

 

W zależności od położenia względem boku AB rzędna h jest także opatrzona znakiem + lub 

.

192

X

P´

A

AB

K



x

P

P

A

AB

l

Rys. 8.7. Punkt na domiarze prostokątnym

X

B

X

A

Y

A

Y

B

h(+)

Y

P



A

B

P

P



y

P

P

Y

P

X

P

O

y

AP



+x

+y

Rys. 8.8 Szkic do zadania z obliczania współrzędnych punktów na domiarze prostokątnym

+

54

55

54A 22,4

7

2

65

,3

2

12

1,

1

4

0,

00

16,
3

9

X=1205,

93

Y=2359,

X=1111,

95

Y=2607,

+l

Podobnie   jak   podczas   obliczania   współrzędnych   punktu   na   prostej   kontrolę

rachunku   może   stanowić   powtórne   obliczenie   współrzędnych   punktu  P  po   zmianie
kierunku obliczenia na odwrotny.

Tabela 8.5. Obliczenie współrzędnych punktu na domiarze prostokątnym

Oznaczenia

punktów

  danyc

h

A

B

  szukan
ych

Odcięt

e l

Miara

końcowa



d

AB

pomierzone

Rzędne h

Bok osnowy

Przyrosty 

odcinków 

Współrzędne 

punktów

w

prawo

+

w

lewo

–

x

AB

y

AB

d

AB

obliczone

Odchyłki:

f

d

, 

f

d max

Współczynniki

kierunkowe:

cos A=

x

d

AB

AB

sin A=

y

d

AB

AB

x = l cos
A -h sin A

y = l sin A

     + h cos A

X

Y

Ozn

acze

nia

punk

tow

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

54

0,00

   -93,9

8

+248,

16

-0,354 160

4

+0,935

182 4

-42,91

+15,33

+113,31

    +5,80

1205,93

2359,20

54

54A

          

+2

121,1

4

-16,39

265,

36

1178,35

2478,31

54A

55

          +

4

265,32

-0,04



0,14

1111,95

2607,36

55

55

0,00

KONTROLA

  +93,

98

-248,1

6

+0,354

160 4

-0,935 182

4

+51,07

+15,33

-134,85

    +5,80

1111,95

2607,36

55

54A

144,20

+16,3
9

265,

36

   1178,35

   2478,31

54A

54

265,36

1205,93

2359,20

54

Obliczenia wynikowe i kontrolne zostały wykonane w tabeli 8.5 na przykładzie,

którego dane wyjściowe zapisano na szkicu (rys. 8.9).

Przy dużej ilości punktów posiłkowych, związanych poprzez domiary z danym

bokiem osnowy, podany wyżej sposób obliczania ich współrzędnych i kontroli rachunku
jest   zanadto   pracochłonny.   Podobnie   jak   ma   to   miejsce   podczas   obliczania   ciągu
poligonowego,   występujące   we   wzorach:   (8.12)   i   (8.15)   przyrosty   liczone   względem
punktu wyjściowego  A,  można w obu rodzajach zadań zastąpić przyrostami obliczanymi
między sąsiednimi punktami. Ich obliczenie dotyczy zarówno domiarów prostokątnych l, h
, jak i współrzędnych X, Y i wykonywane jest na zasadzie: współrzędna punktu następnego
N minus współrzędna punktu poprzedniego P. Wzory (8.15) przyjmą wtedy postać:

x

P-N  

= 

l

P-N

 

 cos A – h

P-N

 

 sin A

(8.16)

y

P-N 

 = 

l

P-N

 

 sin A + h

P-N

 

 cos A

Na rys. 8.9 i w tabeli 8.6 przedstawiono dane i przykład obliczenia współrzędnych

punktów posiłkowych w oparciu o wzory (8.16).

193

Tabela 8.6. Obliczenie współrzędnych punktów posiłkowych

O
z
n
a
c
z
e
n

i

a

 

p
u
n
k

t

o
w

Domiary

prostokątne

Przyrosty domiarów

Bok osnowy

Przyrosty 

współrzędnych

Współrzędne

punktów

Odcięta

l

Rzędna

h



odciętej

l



rzędnej

h



x

AB

y

AB

d

AB obl

.

f

d 

, f

d max

Współczynnik

i kierunkowe

cos A

sin A

x=

lcos A

–

hsin A



y=

lsin A

+

hcos

A



X

Y

Oz

na

cz

en

ia

pu
nk

to

w

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

5
4
1

0,00

0,0

0

4950,1

2

7251,

84

541

1

            -

1

34,7

5

0,0

0

4952,7

7

7217,

20

1

2

             
-2

47,9

3

–

15,

68

4938,1

4

7202,

87

2

3

            -

2

47,9

3

–

22,

47

4931,3

7

7202,

35

3

4

            -

3

78,1

2

+

23,

94

4979,9

6

7175,

80

4

5

             

-4

124,

56

+

12,

40

4972,0

0

7128,

62

5

5
4
2

 

-6

187,

50

0,0

0

SUM

Y:

187,

44

0,0

0

+

14,3

2

–

186,

89

4964,4

4

7064,

95

542

194

5

1

541

542

4

3

2 15,6

22,47

18
7,5

0

124
,5

6

78,
1

2

12,4

0

4

7,9

3

0,

00

3

4,7

5

Rys. 8.9. Szkic do zadania z obliczania współrzędnych grupy punktów 

posiłkowych

23,9

4

Nietrudno udowodnić, że tak obliczane przyrosty domiarów prostokątnych  l,  h

i współrzędnych X, Y muszą spełniać niżej zestawione warunki, które można wykorzystać
do kontroli obliczeń

*

: [

l] = d

AB   

;   [

h] = 0  ;  [x] = x

AB   

;  [

y] = y

AB

.

Warto   zwrócić   uwagę,   że   zadanie   obliczania   współrzędnych   punktów   na

domiarach   prostokątnych   jest   tożsame   z najprostszym   przypadkiem  transformacji
współrzędnych  przy  dwóch punktach  dostosowania, czyli przeliczania współrzędnych  z
jednego   układu,   zwanego   układem   pierwotnym,   na   inny  układ,   zwany  wtórnym.  Rolę
układu pierwotnego pełni układ współrzędnych l, h   linii pomiarowej, natomiast układem
wtórnym  jest   układ  OXY.  Punkty  A,  B  spełniają   rolę   punktów   dostosowania,   których
współrzędne   są   znane   w obydwu  układach,   zaś   azymut  A

AB

  jest   odpowiednikiem  kąta

skręcenia układu pierwotnego w stosunku do układu wtórnego. Współrzędne punktu A: X

A

,

Y

A

 są współrzędnymi początku układu pierwotnego w układzie wtórnym.

8.5. Obliczenie współrzędnych punktu zdjętego metodą biegunową

Wyznaczenie metodą biegunową  położenia sytuacyjnego punktu  P  względem boku

AB osnowy pomiarowej polega na wyznaczeniu domiarów biegunowych: kąta poziomego
BAP

 

=

 

  i odległości poziomej AP = d

AP

 . Kąt 

 jest liczony w prawo od boku osnowy AB

do linii celowania AP (rys. 8.10).

Etapami rozwiązania tego zadania są: 

1) obliczenie azymutu boku AB ze współrzędnych,
2) określenie azymutu boku AP: A

AP 

= A

AB

+ 

   lub  A

AP

= A

BA

+

 – 200

g

3) obliczenie przyrostów boku AP: 

x

AP

 = d

AP

 cos A

AP

 ; 

y

AP

 = d

AP

 sin A

AP

4) obliczenie współrzędnych punktu P: X

P 

= X

A

 + 

x

AP

  ;  Y

P

 = Y

A

 + 

y

AP

Przykład:

Obliczyć współrzędne punktu P dla następujących danych:

X

A

=

 

Y

A

 

=

 

1000,00 m; X

B

=

 

501,11 m, Y

B

= 645,12 m

 

;

 

 = 302

g

54

c

69

cc

 ; d

AP

 =

 

135,78 m.

Rozwiązanie:
tg A

AB

=(

354,88)

 

:

 

(

498,89) = + 0,711

 

339

 

2 ; 



AB

=

 

A

BA

=

 

39

g

36

c

19

cc

 ; A

AB 

=

 

239

g

36

c

19

cc

.

Dalsze etapy obliczenia (od 2 do 4) zamieszczono w tabeli 8.7.

*

 

Nawias kwadratowy [ ] otaczający symbol oznacza w geodezji znak sumy i jest odpowiednikiem znaku 

.

195

A

AB

A

B

P



Rys. 8.10. Domiary biegunowe: 

,d

 określające położenie punktu P

N

Rys. 8.11. Kąt jako różnica 

azymutów ramion

A

CP

A

CL



C

L

P

Tabela 8.7. Obliczenie współrzędnych punktu zdjętego metodą biegunową

Pu

nkt

Kąt

 poziomy

     g         c      cc

Azymut

     g          c        cc

Długość

boku 

d

Przyrosty

Współrzędne

x

y

X

Y

Pun

kt

B

501,11

645,12

B

A

302 54 69

1 000,00 1 000,00 A

P

916,93

1107,41 P

8.6. Obliczenie kąta ze współrzędnych

Zadanie obliczenia wartości kąta 

  na podstawie  współrzędnych trzech punktów:

C  – wierzchołka kąta,  L  – punktu na lewym ramieniu,  P –  punktu na prawym ramieniu,
sprowadza   się   do   obliczenia   azymutów   obu   ramion   kąta,   czyli   odcinków  CL  i  CP
(rys. 8.11) oraz wyznaczeniu ich różnicy:

 = A

CP 

 – A

CL

(8.17)

Jeśli   obliczona   w   ten   sposób   różnica   jest   ujemna,

wówczas,   to   należy  do   niej   dodać   wartość   kąta   pełnego
(360

 lub 400

g

). Zaletą powyższego sposobu obliczenia jest

przejrzystość   rachunku   i   mniejsze   prawdopodobieństwo
pomyłek   niż   przy   korzystaniu   ze   sposobu   wyrażonego
wzorem (8.18),  natomiast wadą sposobu jest konieczność
dwukrotnego   wykonania   obliczeń   azymutów   ze
współrzędnych (wraz z kontrolą).

Drugi   sposób   obliczenia   kąta  

  ze   współrzędnych

punktów:  C,   L,   P  polega   na   wykorzystaniu   niżej
wyprowadzonego wzoru (8.18).

Zgodnie z zależnością (8.17) tangens kąta 

  wyniesie:





    

 

tg

 

tg

1

 

tg

 

tg

 

tg

 

tg

CL

CP

CL

CP

CL

CP

A

A

A

A

A

A















przy czym:

CP

CP

CP

CP

CL

CL

x

y

A

x

y

A













 

   tg

;

   

 

 tg

Po podstawieniu powyższych wzorów na tg A

CL

 i tg A

CP

 do wzoru na tg 

 otrzymamy:

tg 

 





























































y
x

y
x

y
x

y
x

x

y

y

x

x

x

x

x

y

y

x

x

CP

CP

CL

CL

CP

CP

CL

CL

CL

CP

CL

CP

CL

CP

CL

CP

CL

CP

CL

CP

1

Po dokonaniu przekształceń tg 

  zostanie wyrażony wzorem:

196

tg 

 





























x

y

x

y

x

x

y

y

CL

CP

CP

CL

CL

CP

CL

CP

(8.18)

Znaczne uproszczenie zapisu wzoru (8.18) na obliczenie kąta ze współrzędnych

uzyskamy, stosując omówione w ust. 8.10 symbole rachunkowe S. Hausbrandta.

Zaletą tego sposobu jest obliczenie funkcji tg 

, a następnie kąta  bezpośrednio

z przyrostów   współrzędnych,   bez   potrzeby   określania   wartości   azymutów  obu   ramion,
natomiast wadą jest konieczność ustalenia ćwiartki kąta w celu prawidłowego obliczenia
wartości kąta, która może mieścić się w przedziale od 0 do 360°.

Podobnie   jak   podczas   obliczania   azymutu  ze   współrzędnych  można   przy  tym

korzystać z pośrednictwa czwartaka  

, traktując znaki licznika i mianownika ułamka we

wzorze (8.18) tak samo jak poprzednio znaki przyrostów współrzędnych.
Przykład:

Obliczyć w mierze stopniowej kąt 

  ze współrzędnych punktów: 21, 22, Ps 13.

x

CL 

=  +250,00 m ;  

y

CL 

=  –500,00 m  ;  

x

CP 

=  –450,00 m;

y

CP

 = – 600 m.

I sposób:
A

CL

 = arc

 

tg (-2)= 296

3354,2 ; A

CP

 = arctg 

4

3

= 233

0748,4

Kontrola obliczenia azymutów:

tg (A

CL

+ 45

) = 





 

250

750

1
3

,  A

CL

+ 45

=3413354,2 ;

tg (A

CP

+ 45

) = 





 

1050

150

7     A

CP

+ 45

=2780748,4

 

.

 = 2330748,4 – 2963354,2

 

+

 

360

 = 296

  

  33

  

  54,2

  

  

II sposób:

tg 

 



 



 



 

 

 







 

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

250

600

450

500

250

450

500

600

375000

187500

2  (kąt w IV ćw.)

 = arctg 2 = 632605,8  ;       = 360

 

–

 

  = 296

  

  33

  

  54,2

  

  

8.7. Obliczenie współrzędnych punktów przecięcia się boku osnowy z ramką

sekcyjną arkusza mapy

Mapa   zasadnicza,   będąca   podstawowym   opracowaniem   kartograficznym,   oraz

większość   map   topograficznych  do   celów   gospodarczych  jest   sporządzana   w  podziale
sekcyjnym,  prostokątnym.   Pojedynczy   arkusz   mapy   zasadniczej   formatu  A1  (594

841

mm),   zwany  sekcją   mapy,  zawiera   w sobie   prostokąt  ramki   sekcyjnej  o   wymiarach
500

800 mm, ograniczającej rysunek treści danego arkusza mapy. Rysunek mapy zawarty

wewnątrz ramki sekcji bieżącej jest kontynuowany na sekcjach przyległych, bez powtórzeń
przedstawianych obiektów oraz luk między nimi. Pionowe ramki sekcyjne są równoległe
do   osi  x  układu   współrzędnych   prostokątnych,   natomiast   ramki   poziome   zachowują
równoległość do osi y układu.

Podczas   sporządzania   mapy   należy   w   pierwszej   kolejności   nanieść   osnowę

geodezyjną, a następnie sytuację i rzeźbę terenu. Nanoszenie tych elementów na arkusz
nazywa   się  kartowaniem  pierworysu   mapy.  Pierworys   mapy  (oryginał   mapy)   jest   to
pierwszy jej rysunek wykonany na podstawie wyników bezpośrednich pomiarów w terenie.

Oprócz   ramki   sekcyjnej   kolejnym  elementem  układu   współrzędnych  na  mapie

zasadniczej jest siatka kwadratów znajdująca się wewnątrz ramki. Jeden kwadrat siatki ma

197

21

22

Ps 

13



Szkic kąta 



Punkt X Y

21(L)

1000,0010 00,00

22(C)

750 ,001 500,00

Ps 

13(P) 300,009 00,00

wymiary 100

100 mm, a więc ramka zawiera w sobie 40 (58) kwadratów. Wartości

współrzędnych poszczególnych punktów przecięć linii siatki można określić na podstawie
skali   mapy,   oznaczenia   (godła)   każdej   sekcji   oraz   opisu   na   każdym   arkuszu   jednego
punktu, którym jest zwykle lewy, dolny narożnik ramki sekcyjnej. Poszczególne punkty
osnowy poziomej są nanoszone na arkusze ze współrzędnych, zaś po połączeniu na mapie
liniami   prostymi   sąsiednich   punktów   osnowy   uzyskujemy   położenie   boków   osnowy,
z których   w   następnym   etapie   wykonania   pierworysu   jest   prowadzone   kartowanie
szczegółów sytuacyjnych.

Często zdarza się, że bok osnowy przecina jedną lub nawet dwie ramki sekcyjne

(rys. 8.12), toteż aby możliwe było wykreślenie na arkuszu mapy linii tego boku, należy
obliczyć współrzędne punktu jego przecięcia z ramką, a następnie nanieść jego położenie
na   ramce.   Z   podobieństwa   trójkątów  ABB′,  ANN′,  AMM′,   widocznych   na   rys.   8.12,
wynikają związki:

tg A

y
x

y
x

y
x

AB

AB

AB

AM

AM

AN

AN
















(8.19)

Punkty przecięcia  M  lub  N  z racji położenia na ramce posiadają zawsze jedną

współrzędną   znaną,   równą   stałej   odległości   danej   ramki   od   jednej   z   osi   układu.   Dla
wszystkich punktów leżących na ramce poziomej, równoległej do osi y, jest to wartość X

R

 ,

natomiast dla punktów ramki pionowej, równoległej do osi x, stałą i znaną współrzędną jest
Y

R

. Można więc zapisać: X

M  

=X

R

 oraz Y

N  

=Y

R

. Po wprowadzeniu tych oznaczeń do wzoru

(8.19) i prostych przekształceniach otrzymamy:

y

AM 

 = tg A

AB 

(X

R

 – X

A

)              oraz            

x

AN

 = 





1

tg A

Y

Y

AB

R

A





Ostateczny wzór dla przecięcia z ramką poziomą przybierze postać:

Y

M

 = Y

A

 + (X

R

 – X

A

)

 tg A

AB

(8.20)

Szukana współrzędna X

N

 dla punktu przecięcia boku AB z ramką pionową wyniesie:

X

N

 = X

A

 + (Y

R

 – Y

A

)

 ctg A

AB

(8.21)

198

+y

+x

prostokąt ramki sekcyjnej

M

A

B

N

x

AM

y

AM

y

AB

X

R

=X

M

Y

R

=Y

N



x

A

B



x

A

N

Y

M

Y

A

X

N

X

A

Y

B

X

B

Rys. 8.12. Punkty przecięcia z ramką sekcyjną



y

AN

B′

M′

N′

A

D

C

B

P

Rys. 8.13. Przecięcie prostych

Występujące we wzorach (8.20) i (8.21) funkcje: tg A

AB  

oraz  ctg A

AB  

 obliczymy

z przyrostów boku AB:

AB

AB

AB

x

y

A







 

tg

     ;     

AB

AB

AB

y

x

A







 

ctg

Kontrola naniesienia punktu przecięcia boku osnowy z ramką sekcyjną polega na

graficznym   sprawdzeniu   odległości   odcinków  AM  lub  AN  wyliczonych   uprzednio   ze
współrzędnych.

Przykład: Obliczyć współrzędne punktów M, N przecięcia boku 14 – 15 z obiema

ramkami sekcyjnymi.

x

14-15

= +210,00  ;  

y

14-15

 =+110,00  ;  tg A = 0,523

 

809

 

5  ;ctg A = 1,909

 

090

 

9

Y

M

 = 4900 + (4000 – 3800)

 0,5238095 = 5 004,76 m

X

N

 = 3800 + (5000 – 4900)

 1,9090909 = 3 990,91 m

8.8. Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia się dwu prostych

Zagadnienie   wymienione   w   powyższym   nagłówku   występuje   często   przy

geodezyjnym   opracowaniu   inwestycji   lub   planów   zagospodarowania   przestrzennego.
Prostymi, dla których poszukiwane są punkty przecięcia, bywają: osie dróg, ulic, budowli,
linie obrysów budynków, granice działek itp. Proste te są najczęściej zadane przez dwa
punkty o znanych współrzędnych.

Na rys. 8.13 widoczne są dwie proste: AB i CD,

przecinające   się   w   punkcie  P,   wspólnym   dla   obydwu
prostych. Punkty: A, B, C, D  mają znane współrzędne: X,
Y.
I sposób:

Na   podstawie   wzoru   (8.4)   możemy   zapisać

równania prostych:

Dla prostej 1 (AB):

tg A

Y

Y

X

X

Y

Y

X

X

Y

Y

X

X

AB

B

A

B

A

P

A

P

A

B

P

B

P

 
















(8.22)

Dla prostej 2 (CD):

tg A

Y

Y

X

X

Y

Y

X

X

Y

Y

X

X

CD

D

C

D

C

P

C

P

C

D

P

D

P

 
















(8.22 a)

Funkcje tg  A

AB

  =  

  oraz tg A

CD

  =

 nazywamy współczynnikami kierunkowymi

prostych.  Z   przekształceń   równań   (8.22)   i   (8.22   a)   można   uzyskać   cztery  związki   na
określenie współrzędnej Y

P

, wyrażone w oparciu o wielkości znane i niewiadomą X

P

:

199

Punkt X Y

143800, 00

4900,00

154010, 005010, 00

N

M

X

R

=4000,00

Y

R

=

5000,00

14

15

Y

P

= Y

A 

+ 

(X

P  

– X

A

)  ;  Y

P

 = Y

C

 + 

(X

P

  – X

C

) 

(8.23)

oraz

Y

P

= Y

B

 + 

(X

P 

 – X

B

)  ;  Y

P

= Y

D 

+ 

(X

P

 – X

D

)

(8.23

 

a)

Po zrównaniu stronami pierwszej pary równań i wyliczeniu X

P

  otrzymamy:

X

Y

Y

X

X

P

C

A

A

C





 

 







 

(8.24)

Analogiczne czynności wykonane na drugiej parze równań (8.23

 

a) dostarczają

wzoru:

X

Y

Y

X

X

P

D

B

B

D





 

 







 

(8.24

 

a)

Obliczenie   współrzędnych   punktu   przecięcia   się   dwóch   prostych   w   oparciu

o powyższe   zależności   rozpoczynamy   od   obliczenia   współczynników   kierunkowych
prostych  AB,  CD:  

,  , po czym obliczamy współrzędną  X

P

  za pomocą wzoru (8.24) i

kontrolujemy poprawność obliczenia korzystając z drugiego wzoru (8.24 a).

Współrzędną Y

P 

 obliczamy i kontrolujemy za pomocą jednej z par wzorów (8.23)

lub (8.23

 

a), wstawiając do nich wyliczoną wcześniej wartość X

P

.

II sposób:

Wychodząc ze wzorów: (8.22) i (8.22 a) możemy także zapisać związki:

Y

P 

 λ·X

P

 = Y

A 

 λ·X

A

 

Y

P 

 μ·X

P

 = Y

C 

 μ·X

C

Wyrażenia występujące po prawych stronach powyższych równań zawierają znane

wielkości, toteż przyjmiemy dla nich oznaczenia:

Y

A 

 λ·X

A

 = c

1

(8.25)

Y

C 

 μ·X

C

 = c

2

Po wprowadzeniu tych oznaczeń zapisany uprzednio układ dwóch równań (8.25)

o niewiadomych X

P

, Y

P

 przyjmie więc postać:

Y

P 

 λ·X

P

 = c

1

Y

P 

 μ·X

P

 = c

2

Po odjęciu powyższych równań stronami dostaniemy zależność na współrzędną

X

P

, zaś po jej podstawieniu do pierwszego równania 

 współrzędną Y

P

.



 





1

2

c

c

X

P

(8.26)



















1

2

c

c

Y

P

III sposób:

Podczas   obliczania   większej   ilości   przecięć   wygodniej   jest   posługiwać   się

znanymi z geometrii analitycznej, ogólnymi równaniami prostych w postaci:

200

dla prostej 1 (AB):

a

1

X + b

1

Y + c

1

 = 0

(8.27)

dla prostej 2 (CD):

a

2

X + b

2

Y + c

2

 = 0

(8.27

 

a)

Równania   prostych  (8.22)   i   (8.22

 

a)   przechodzących  przez   dwa  znane   punkty

można zapisać w postaci wyznacznikowej:

0







AB

AB

A

P

A

P

x

y

X

X

Y

Y





(8.28)

0







CD

CD

C

P

C

P

x

y

X

X

Y

Y





(8.28

 

a)

Przejście   do   ogólnych   równań   prostych  1,  2    uzyskamy   po   częściowym

rozwinięciu powyższych wyznaczników:

Y

x

X

y

Y

X

y

x

Y

x

X

y

Y

X

y

x

P

AB

P

AB

A

A

AB

AB

P

CD

P

CD

C

C

CD

CD













































0

0

     oraz       

Wynikają stąd wzory na współczynniki ogólnych równań (8.27), (8.27

 

a) obu prostych:

a

1

= – 

y

AB

 ; b

1

= + 

x

AB 

 ; c

1







Y

X

y

x

A

A

AB

AB





(8.29)

a

2

= – 

y

CD

 ; b

2

= + 

x

CD

 ; c

2 

= 





Y

X

y

x

C

C

CD

CD





(8.29

 

a)

Współrzędne punktu P

 

 obliczymy po rozwiązaniu układu równań (8.27), (8.27

 

a)

np.   metodą   przeciwnych   współczynników.   Wzory   na   niewiadome:  X

P

  ,   Y

P

  w   postaci

algebraicznej i wyznacznikowej przyjmą postać:

2

2

1

1

2

2

1

1

1

2

2

1

2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

    

;

  

(8.30)

   

b

a

b

a

c

a

c

a

b

a

b

a

c

a

c

a

Y

b

a

b

a

c

b

c

b

b

a

b

a

c

b

c

b

X

P

P





































(8.30

 

a)

Kontrola obliczenia współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych polega

na  podstawieniu obliczonych  wartości:  X

P

  , Y

P

    do równań  (8.27),   (8.27

 

a) lub (8.28),

(8.28

 

a) i sprawdzeniu ich spełnienia, czyli zerowania się pary równań algebraicznych lub

obu   wyznaczników.   Rozbieżności   od   zera   dla   poprawnych   wyników   są   związane   z
dokładnością  obliczenia współrzędnych punktu  P.  Jeśli  wynik zaokrąglono do  0,01  m,
wtedy rozbieżności zerowania równań są rzędu 

1 m

2

, zaś przy zaokrągleniach do 0,001 m

odchyłki od zera nie przekraczają na ogół 

0,1 m

2

.

Zaletą   opisanego   wyżej   sposobu   obliczenia   jest   uzyskiwanie   obydwu

niewiadomych  X

P

  , Y

P   

niezależnie od siebie, a nie jak w sposobie I niewiadomej  Y

P

  za

pośrednictwem niewiadomej X

P

, obarczonej błędem zaokrąglenia wyniku.

201

IV sposób:

Zadanie   obliczenia   współrzędnych   punktu

przecięcia się dwu prostych można rozwiązać w wyniku
zastosowania   konstrukcji   kątowego   wcięcia   w   przód
(rys. 8.14). W tym celu ze współrzędnych punktów:  A,
B, C, D należy obliczyć przynajmniej jedną parę kątów:
1,

 

2;     3,

 

4; 5,

 

6    lub   7,

 

8.  Każda  z  nich  umożliwia

wykonanie obliczenia zadania pojedynczego wcięcia w
przód, którego rozwiązanie (patrz ust. 8.11.1) dostarcza
współrzędnych punktu  P. Dla kontroli rachunku wskazane jest obliczenie dwóch wcięć,
których wyniki końcowe powinny być jednakowe.

Przykład:

Obliczyć współrzędne punktu 32 powstałego na przecięciu się prostych 121-122 i 45-46.

I sposób:
1. Obliczenie przyrostów:

x

45-46

= +50,00 ; 

y

45-46

= +959,60 ; 

x

121-122

= -200,00 ; 

y

121-122

= +859,60

2. Obliczenie współczynników kierunkowych: 

, :

=







959 60

50 00

19 192

,

,

,

000   ;        

 





859 60
200 00

4 298

,
,

,

000

3. Obliczenie X

32

 i kontrola obliczenia:

X

32

59 60 19 192 3000 4 298 3100

23 49















,

,

,

,

3015,76

0

 ;  X

32

159 60 19 192 3050 4 298 2900

23 49















,

,

,

,

3015,76

0

 

4.

Obliczenie Y

32

 i kontrola obliczenia:

Y

32 

= 3000 + 19,192

(3015,76 – 3000) = 3302,46

6

  ;

   Y

32 

= 2940,40 – 4,298

(3015,76 – 3100) = 3302,46

4

 

II sposób:
1

2. Jak w poprzednim sposobie obliczenia.

3.   Obliczenie współczynników c

1

, c

2

 na podstawie wzorów (8.25):

c

1

=Y

A 

 λ·X

A

 = 3000,00 

 19,192·3000,00 = 54576,00

c

2

=Y

C 

 μ·X

C

 = 2940,40 + 4,298·3100,00 =  +16264,20

4.   Obliczenie współrzędnych punktu 32 w oparciu o wzory (8.26):



 





1

2

32

c

c

X

= 

49

,

23

2

,

70840

= 3015,76

0

  ;    



















1

2

32

c

c

Y

= 

49

,

23

8784

,

77574

= 3302,46

4

III sposób:
1. Obliczenie współczynników równań prostych:

202

Punkt X Y

45 

(A)

3000,003 000,00

46 

(B)3 050,00395 9,60
121 

(C)3100, 00

2940,40

122 

(D)

2900,003 800,00

12

1

12

2

45

46

32

Rys. 8.14. Kąty wcięć w przód

A

D

C

B

P

1

2

4

3

6

5

7

8

a

1

 = -959,60  ;  b

1

 = +50,00  ;  

50

60

,

959

3000

3000

1











c

= 2

 

728

 

800

a

2

 = -859,60  ;  b

2

 = -200,00  ;  c

2

 = 









2940 40

3100

859 60

200

,

,

= 3

 

252

 

840

2. Obliczenie niewiadomych:

X

32

= 

708 402 000

234 900

 = 3015,76

0

 m         ;         Y

32

 = 

775 748 784

234 900

 = 3302,46

4

 m

3. Kontrola:









302 464

15 760

959 60

50

,

,

,

= -0,096 m

2

 

 0       ;      









362 064

84 240

859 60

200

,

,

,

= -0,096 m

2

 

 0

8.9. Obliczanie ciągów sytuacyjnych

8.9.1. Poligonizacja jako metoda zakładania osnów poziomych

Ciąg poligonowy  jest wielobokiem otwartym lub zamkniętym, w którym zostały

pomierzone kąty wierzchołkowe i długości boków. Mogą one występować pojedynczo lub
tworzyć sieci poligonowe. Ciągi poligonowe pod względem kształtu wieloboków dzielą się
na ciągi zamknięte i otwarte.

Sieć   poligonowa  stanowi   zespół   powiązanych   z   sobą   ciągów   poligonowych

łączących się w tzw.  punktach węzłowych,  czyli punktach wspólnych dla kilku ciągów,
w których schodzą się co najmniej trzy równorzędne ciągi poligonowe.

Ciągi   sytuacyjne  są   ciągami   poligonowymi   spełniającymi   wymagania

dokładnościowe przewidziane dla poziomej osnowy pomiarowej.

Poligonizacja  stanowi metodę i technologię zakładania osnowy poziomej, której

punkty zwane punktami poligonowymi, są wierzchołkami wieloboków zamkniętych lub
otwartych, w których mierzy się kąty i długości boków. Wyniki tych pomiarów oraz znane
współrzędne punktów nawiązania ciągów lub sieci poligonowych umożliwiają określenie
współrzędnych X, Y punktów poligonowych.

Dawniej  w zależności  od   długości  boków i  ciągów oraz  dokładności pomiaru

rozróżniano:  poligonizację  techniczną  i  precyzyjną. Obecnie po wprowadzeniu jednolitej
klasyfikacji osnowy poziomej tego podziału już się nie używa. Poligonizacja precyzyjna,
zastępująca   niegdyś   triangulację   niższych   rzędów,   była   głównie   wykorzystywana   do
realizowania  dokładniejszych  sieci  osnów  szczegółowych.  Od  poligonizacji  technicznej
różniła   się   wysoką   dokładnością   pomiaru   kątów   i   długości,   wydłużonymi   bokami
poligonowymi   oraz   obliczeniem   współrzędnych   punktów   poligonowych   na   drodze
wyrównania ścisłego.

Poligonizacja techniczna jest stosowana dla niższej klasy osnowy szczegółowej

i osnowy pomiarowej. Do obliczania współrzędnych punktów ciągów sytuacyjnych można
wykorzystywać omówione dalej metody przybliżone.

203

8.9.2. Obliczenie ciągów otwartych, wiszących

W   ciągu   poligonowym,   otwartym

wyznaczane   punkty  poligonowe  są  jednostronnie
lub obustronnie połączone z punktami nawiązania
za   pośrednictwem   elementów   nawiązujących:
boków i kątów nawiązania.

Bok   nawiązania  (rys.   8.15)   jest

odcinkiem   zawartym   pomiędzy   punktem
nawiązania danego ciągu a najbliższym punktem
poligonowym, zaś kąt nawiązania  (rys. 8.15) jest
kątem   mierzonym   na   bliższym   punkcie
nawiązania.   Jego   jedno   ramię   stanowi   bok
nawiązania,   zaś   drugie   ramię   –   tzw.  bok
kierunkowy   (orientacyjny)  utworzony   przez   punkt   nawiązania   (wierzchołek   tego   kąta)
i sąsiedni   punkt   osnowy   wyższej   klasy   lub   rzędu   w stosunku   do   danego   ciągu
poligonowego.

Nawiązanie ciągu poligonowego zawierające obydwa elementy nawiązujące nosi

nazwę nawiązania pełnego. Jako obowiązującą regułę należy dla ciągów otwartych przyjąć
pełne   nawiązanie  obustronne,  tzn.  wymienione  pary  elementów  nawiązujących  powinny
znajdować się po obu stronach ciągu. W trudnych warunkach terenowych dopuszcza się
jednak   w   ramach   osnowy   pomiarowej   zakładanie   ciągów   otwartych,   nawiązanych
jednostronnie   (jednopunktowo),   zwanych   także  ciągami   wiszącymi  (rys.   8.15).   Ciąg
wiszący  nie   zapewnia   kontroli   pomiaru   ani   obliczeń,   ponieważ   nie   zawiera   obserwacji
nadliczbowych.   Z tego   powodu   ilość   punktów   i   boków   tego   ciągu   (łącznie   z   bokiem
nawiązania) nie może być większa od dwóch.

W zależności od położenia kątów wierzchołkowych po określonej stronie ciągu

i przyjętego   kierunku   obliczenia,   wyróżniamy   w   ciągach   poligonowych   kąty
wierzchołkowe: lewe 

 i prawe . Zakładając, że dla ciągu przedstawionego na rys. 8.15

będziemy prowadzić obliczenie w kierunku zgodnym z następstwem punktów:  B, 1, 2,
wtedy zaznaczone kąty występują po lewej stronie ciągu, a więc są kątami lewymi.

Obliczenie ciągu wiszącego ma przebieg podobny do obliczania współrzędnych

punktu zdjętego metodą biegunową. Kolejność czynności rachunkowych jest następująca:
1. Obliczenie azymutu boku AB ze współrzędnych (z kontrolą).
2. Obliczenie azymutów boków: B-1, 1-2.

Z rysunku 8.16 wynika, że: 
A

n

 = A

p  

– 

    oraz    = 180–   ,

stąd dla kątów lewych azymuty boków oblicza
się według formuły:

A

n

 = A

p

 + 

 – 180

(8.31)

Jest   to   wzór   na   obliczenie   azymutu   boku
następnego  A

n

  na   podstawie   azymutu   boku

poprzedniego  A

p

  i   kąta   lewego  

  zawartego

między   tymi   bokami.   Kąt   prawy  

  jest

dopełnieniem kąta lewego do 360

, czyli:  = 360

 

–

 

, toteż po podstawieniu tej

204

B

180

1

A

p

A

n

A

p

=

A

p

-A

n





Rys. 8.16. Określenie azymutu A

n

A

A

B

                      

d

B-1

 bok 

nawiązania

kąt 
nawiązania 
(lewy)

  



B

kierunek obliczenia

Rys. 8.15. Ciąg poligonowy, wiszący

bok 

kierunkowy 

AB

1

2



1

bok 
poligonowy

punkt nawiązania ciągu

    punkt 

kąt 
wierzchołkowy 

punkt 

kierunkowy

zależności   za  

,   otrzymamy  wzór   na   obliczenie   azymutów  na   podstawie   kątów

prawych:

A

n

 = A

p

 + 180

 – 

(8.32)

3. Obliczyć przyrosty boków B-1 i B-2 na podstawie wzorów (8.6):

x =  d  cos A  ;  y

 

=  d 

 sin A

4. Przeprowadzić kontrolę obliczenia przyrostów.
Obliczone przyrosty 

x ,y należy sprawdzić za pomocą jednego z wielu możliwych do

zastosowania sposobów. Jednym z nich jest ponowne obliczenie przyrostów w oparciu
o wzory kontrolne:

x = S + C

(8.33)

y= S – C

przy czym:

S = 





d

A

2

45







sin  

oraz

C = 





d

A

2

45



 

cos  

(8.34)

Uzasadnienie powyższych wzorów jest następujące:

sin (A + 45

) = 

2

2

 sin A + 

2

2

 cos A   oraz   cos (A + 45) = 

2

2

 cos A  – 

2

2

 sin A

Po dodaniu i odjęciu tych równań stronami otrzymamy:

sin (A

 

+

 

45

)

 

+

 

cos (A

 

+

 

45

) =  2  cos A  oraz  sin (A

 

+

 

45

)

 

–

 

cos (A

 

+

 

45

)

 

= 2  sin A ,

Po obustronnym pomnożeniu obydwu powyższych równań przez 

2

d

 uzyskamy wzory

na przyrosty:

d

2

sin (A + 45) + 

d

2

cos (A + 45) = dcos A = x

oraz

d

2

sin (A + 45) – 

d

2

cos (A + 45) = dsin A = y,

Po wprowadzeniu do powyższych związków wielkości S, C wyrażonych wzorami
(8.34), dostaniemy wzory (8.33).

5. Obliczyć współrzędne X

N

 , Y

N

 punktów następnych na podstawie współrzędnych 

X

P  

,  Y

P

    punktów poprzednich  i przyrostów między tymi punktami  wg wzorów

(8.3):

X

N

 = X

P 

+ 

x

P-N         

;       Y

N

 = Y

P 

+ 

y

P-N

Przykładowe   obliczenie   ciągu   wiszącego,   przedstawionego   rys.   8.15

zamieszczono w tabeli 8.8.

Przykład: Obliczyć współrzędne punktów 1, 2 ciągu wiszącego, nawiązanego do

punktu B, na podstawie następujących danych:

X

A

 = Y

A

= 1000,00 m ; X

B

= 850,30 m, Y

B

 = 1250,40 m;

205

d

B-1

d

1-2

d

2

-

3

d

3-C

kierunek 
obliczenia

1

3

2

A

D

B

C



B



1



2



3



C

Rys. 8.17. Ciąg poligonowy otwarty, obustronnie nawiązany



B 

= 149,2857

g

 , 



1 

= 230,1420

g

  ;  d

B-1 

= 121,50 m , d

1-2 

= 204,12 m.

Tabela 8.8. Obliczenie ciągu sytuacyjnego wiszącego

Ozna
czeni

a

punkt

ow

Kąty

 poziome

 - lewe,  - prawe

  g       c    cc

Azymuty

A

    g       c
cc

Długości

boków

d

Przyrosty

Kontrola przyrostów

Współrzędne

x

y

d

2

A+50

g

S

C

x=S+C

y=S–C

X

Y

Ozna
czeni

a

punkt

ow

Uwagi

szkice

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

A

1000,00

1000,0

0

A

B 149

2
8

5
7

850,30

1250,4

0

B

1 230

1
4

2
0

881,28

1367,8

9

1

2

837,60

1567,2

8

2

Obliczenie azymutu A

AB

ze współrzędnych:

 tg A =
(+250,40):
( -149,70)
 II ćw. 



=65,6969

g

A=134,3031

g

 
Kontrola:

tg(A+50

g

)=




100 70

400 10

,

,

 II ćw. 



=15,6969

g

 A+50

g 

=184,3031

g

8.9.3. Obliczenie ciągów otwartych, obustronnie nawiązanych

Obliczenie   ciągu   wiszącego   jest   zadaniem   jednoznacznie   rozwiązywalnym

ponieważ ilość spostrzeżeń  n, czyli łączna liczba pomierzonych boków i kątów w tym
ciągu, jest równa ilości niewiadomych  u, którymi są szukane współrzędne  X, Y  punktów
poligonowych.   W przeciwieństwie   do   ciągu   wiszącego,   zadanie   obliczenia   ciągu
obustronnie nawiązanego (z nawiązaniem pełnym) odznacza się trzema spostrzeżeniami
nadliczbowymi. Ciąg pokazany na rys. 8.17 zawiera łącznie 9 elementów pomierzonych (5
kątów i 4 długości), zaś 3 punkty poligonowe dostarczają sześciu niewiadomych (X, Y).
Ilość spostrzeżeń nadliczbowych    n

 

–

 

u  jest więc równa 3 i dotyczy to  każdego ciągu

z pełnym nawiązaniem kątowym i liniowym, niezależnie od liczby boków. Trzy obserwacje
nadliczbowe   dostarczają   trzech   warunków,   a   te   z kolei   trzech   odchyłek   pomiędzy
wartościami pomierzonymi i teoretycznymi. Podczas przybliżonego wyrównania tego ciągu
odchyłki te dotyczą sumy kątów oraz sum obydwu przyrostów.

Ciąg poligonowy otwarty, z  pełnym nawiązaniem obustronnym posiada z każdej

strony po dwa elementy nawiązania (kąt i bok), którymi jest  geometrycznie połączony
z punktami osnowy wyższej klasy lub rzędu. Ciąg pokazany na rys. 8.17 ma zaznaczone
pełne nawiązanie do punktów: B, C  za pomocą elementów 



B 

, d

B-1

 i 



C 

, d

3-C

 . Możliwe jest

również obliczenie ciągu poligonowego z obustronnym nawiązaniem niepełnym, w którym
brak jednego lub nawet dwóch kątów nawiązania. W tym ostatnim przypadku obserwacje
ciągu zawierają i tak jedno spostrzeżenie nadliczbowe, zapewniające kontrolę wyników
pomiaru i obliczeń.

206

Podany   dalej   sposób   obliczenia   ciągu   otwartego,   nawiązanego   obustronnie

stanowi   wyrównanie   przybliżone,   dopuszczalne   do   stosowania   tylko   dla   osnowy
pomiarowej. Dla sieci osnów szczegółowych wymagane jest wyrównanie ścisłe, którego
zasady zostaną podane na zajęciach z rachunku wyrównawczego.

Czynności związane z wyznaczeniem współrzędnych punktów ciągu otwartego,

obustronnie   nawiązanego   zawierają   omówione   wcześniej   elementy   postępowania
związanego z obliczaniem ciągu wiszącego, lecz ze względu na trzy warunki wynikające z
tej samej ilości obserwacji nadliczbowych, obejmują także obliczenie odchyłki kątowej f

kt

i dwóch   odchyłek   przyrostów  f

x 

,  f

y

  oraz   rozrzucenie   tych   odchyłek   na   wspomniane

elementy, zapewniając po drodze wielostopniową kontrolę rachunkową większości etapów
obliczeń.   Wartości   odchyłek   umożliwiają   również   weryfikację   wyników   pomiaru   na
podstawie   porównania   odchyłek   otrzymanych   z   dopuszczalnymi   (maksymalnymi),
podanymi w odpowiednich instrukcjach technicznych.

W   celu   obliczenia   współrzędnych   punktów   poligonowych   ciągu   otwartego,

obustronnie nawiązanego metodą przybliżoną trzeba wykonać następujące czynności:

1. Na podstawie dzienników pomiarowych, szkicu osnowy i wykazów współrzędnych

wpisać do formularza   obliczeniowego (tabela  8.9)   dane  wyjściowe: oznaczenia
punktów, średnie wartości kątów wierzchołkowych, zredukowane długości boków
i współrzędne   punktów   nawiązania   ciągu.   W   formularzu   należy   też   zaznaczyć
jednostki,   w   których   wyrażone   są   kąty   (stopnie   lub   grady)   i   rodzaj   kątów
przyjętych do obliczenia (kąty prawe albo lewe). W kol. 13 „Uwagi” można też
wykonać szkic ciągu.

2. Obliczyć (wraz z kontrolą) azymuty boków kierunkowych: azymut początkowy – A

P

  (A

AB

)   i   azymut   końcowy  –  A

K

  (A

CD

),   a   następnie   wpisać   je   w  odpowiednich

pozycjach   w   kol.   3   formularza.  Obliczenie   azymutów   kierunkowych   można
zamieścić w kol. 13 „Uwagi, szkice”.

3. Obliczyć   sumę   praktyczną   kątów   poziomych:   lewych   [



 

]

p

  lub   prawych   [



 

]

p

i wpisać ją w kol.2 pod wartościami kątów.

4. Obliczyć   sumę   teoretyczną   kątów   [



 

]

t

  lub   [



 

]

t

  na   podstawie   odpowiedniego

wzoru:



dla kątów lewych:

[

 ]

t

 = A

K

 – A

P

 + n

180

(8.35)



dla kątów prawych:

[

 ]

t

 = A

P

 – A

K

 + n

180

(8.36)

gdzie: n – liczba pomierzonych kątów.

Wyprowadzenie tych wzorów podamy w oparciu o oznaczenia z rys. 8.17.

Zgodnie ze wzorem (8.29) azymuty kolejnych boków ciągu wyniosą:

A

B-1 

= A

AB

+



B 

– 180



A

1-2 

= A

B-1

+



1 

– 180



A

2-3 

= A

1-2

+



2 

– 180



A

3-C 

= A

2-3

+



3 

– 180



A

CD 

= A

3-C

+



C 

– 180



  Suma: A

CD 

= A

AB

+[



 

]

 

–

 

n

180

207

Po podsumowaniu powyższych równań stronami i uporządkowaniu zapisu

uzyskamy redukcję większości azymutów z wyjątkiem azymutów nawiązujących.
Po wprowadzeniu oznaczeń: A

AB 



 

A

P

 oraz A

CD 



 

A

K

,. otrzymamy wzór:

A

K 

= A

P

 + [

 ]

t

 – n

180,

z którego po niewielkim przekształceniu wynika wzór (8.35).
Dla kątów prawych zapiszemy zależność:

[



 

] = [

 

360

–  ] = n360– [ ],

a stąd związek:

A

K

 = A

P

 + n

360– [ ] – n180,

który po przekształceniu daje wzór (8.36) na sumę teoretyczną kątów prawych.

5. Obliczenie odchyłki kątowej f

kt

 otrzymanej jako różnica sumy praktycznej i sumy

teoretycznej kątów ciągu.

f

kt

 = [

 ]

p

 – [

 ]

t

(8.37)

f

kt

 = [

 ]

p

 – [

 ]

t

(8.37

 

a)

6. Obliczenie   odchyłki   kątowej   dopuszczalnej   (maksymalnej)  f

kt   max.

  zgodnie   z

wymaganiami instrukcji G-4 i porównanie z nią odchyłki otrzymanej f

kt

. Odchyłka

otrzymana nie może przekraczać odchyłki dopuszczalnej, czyli:

f

kt 

 f

kt max

 

(8.38)

Przekroczenie   odchyłki   maksymalnej   świadczy   o   nadmiernych   błędach

pomiaru,   który   w   tym   wypadku   należy   powtórzyć.   Przy   zakładaniu   osnowy
pomiarowej   na   większym   obszarze   dla   ok.   30%   ciągów   sytuacyjnych   można
zwiększyć tolerancję i uwzględnić odchyłki dochodzące do wartości 2

f

kt max

 .

Według   instrukcji   G-4   dopuszczalna   odchyłka   kątowa   dla   ciągów

sytuacyjnych jest obliczana na podstawie wzoru:

f

kt max

 = 

 m

0

 n

(8.39)

gdzie: m

0

 

–

 

średni błąd pomiaru kąta, który przyjmuje się jako:



m

0

= 

60 (180

cc

) dla ciągów o długości do 1,2 km,



m

0

 = 

30 (90

cc

) dla ciągów o długości ponad 1,2 km.

Długość ciągu  L  jest sumą długości wszystkich pomierzonych boków tego ciągu
(łącznie z bokami nawiązania).
Wartość   dopuszczalnej   odchyłki   kątowej   można   również   określić   z   tabeli
znajdującej się w załącznikach na końcu instrukcji G-4.

7. Rozrzucić równomiernie otrzymaną odchyłkę kątową na poszczególne kąty. Każdy

pomierzony   kąt   poziomy   uzyska   poprawkę  v

kt

  wyrażoną   w   sekundach   lub

decymiligradach, wynoszącą:

v

f

n

kt

kt

 

(8.40)

Jeśli dzielenie (-f

kt

):n  powoduje powstanie reszty, czyli obliczone poprawki

zawierają część całkowitą i ułamek dziesiętny, to zaokrąglamy poprawki raz w górę
a drugi raz w dół do pełnych sekund (lub  

cc

), lecz przy tym należy doprowadzić

208

sumę poprawek dokładnie do wartości  –

 

f

kt

  (patrz przykład w tab. 8.9). Poprawki

wpisujemy kolorem czerwonym nad wartościami kątów w kol. 2.

8. Obliczenie   według   wzoru   (8.29)   lub   (8.30)   azymutów   boków   na   podstawie

wartości azymutu początkowego  A

P

  i  poprawionych kątów. Kontrolą obliczenia

azymutów jest uzyskanie na końcu rachunku niezmienionego azymutu końcowego
A

K

.

9. Obliczenie przyrostów współrzędnych 

x, y poszczególnych boków na podstawie

wzorów (8.6)

10. Kontrola obliczenia przyrostów w oparciu o wzory (8.33) i (8.34).
11. Obliczenie sum przyrostów: praktycznych: [

x]

p

 

,

 

[

y]

p

 i teoretycznych: [

x]

t

 

,

 

[

y]

t

.

Sumy teoretyczne przyrostów są równe różnicy współrzędnych punktów nawiązania
(punkty B, C na rys. 8.17) końcowego K i początkowego P.

[

x]

t

 = X

K

 – X

P

(8.41)

[

y]

t

 = Y

K

 – Y

P

12. Obliczenie   odchyłek   przyrostów:  f

x

  ,   f

y

  oraz   odchyłki   liniowej  f

L

  .   Odchyłki

przyrostów   są   różnicami   pomiędzy   sumami   praktycznymi   i   teoretycznymi
odpowiednich przyrostów współrzędnych:

f

x

 = [

x]

p

 – [

x]

t

(8.42)

f

y

 = [

y]

p

 – [

y]

t

Odchyłka   liniowa   otrzymana   w  danym   ciągu   jest   równa   pierwiastkowi   z   sumy
kwadratów odchyłek przyrostów:

f

L

 =  f

f

x

y

2

2



(8.43)

13. Obliczenie odchyłki liniowej dopuszczalnej  f

L   max.

  i porównanie z nią odchyłki  f

L

otrzymanej. Odchyłka ta nie może przekroczyć odchyłki dopuszczalnej, czyli:

f

L 

 f

L max

(8.44)

Zgodnie   z   instrukcją   G-4   odchyłkę   dopuszczalną  f

L   max

  należy   obliczyć   na

podstawie wzoru:

f

L max 

= 







2

2

2

0

2

12

2

 

1

c

L

n

n

n

m

L

u

b

b

b





























(8.45)

gdzie:
L – długość ciągu wyrażona w metrach,
u – współczynnik błędów przypadkowych pomiarów liniowych (wg G-4 u = 0,0059),
n

b

 – ilość boków ciągu,

c – wpływ błędów położenia punktów nawiązania (wg instr. G-4  c = 0,10 m).

Dla ok. 30% ciągów można dopuścić odchyłki dochodzące do wartości 2 f

L  max

 

.

Wartości odchyłek liniowych maksymalnych są zestawione w tabeli znajdującej się
w załącznikach do instrukcji G-4.

14. Rozrzucenie odchyłek przyrostów proporcjonalnie do długości boków. Poprawki

przyrostów wyniosą:

209

a)

 

(8.46

       

          

       

oraz

      

(8.46)

      

          

i

y

y

i

i

x

x

i

d

L

f

v

d

L

f

v













gdzie:  L – długość ciągu w metrach,

d

i

 – długość i – tego boku, dla którego obliczana jest poprawka przyrostu.

Poprawki   należy   zaokrąglić   do   pełnych   centymetrów,   zaś   ich   suma   musi   być
dokładnie równa odchyłce przyrostów ze znakiem przeciwnym. Wartości poprawek
wpisuje się kolorem czerwonym nad przyrostami. Wartości poprawek przyrostów
można też obliczać proporcjonalnie do bezwzględnej wartości przyrostów

15. Obliczenie   współrzędnych   punktów   poligonowych:  X

N

  ,   Y

N

    na   podstawie

współrzędnych punktów poprzednich: X

P

 , Y

P

 i przyrostów poprawionych: 

x

P-N

 ,

y

P-N

 :

X

N

 = X

P 

+ 

x

P-N

Y

N 

= Y

P 

+ 

y

P-N

Przykład:
Obliczyć   współrzędne   punktów:  1,   2,   3    w  ciągu  sytuacyjnym  otwartym,  nawiązanym
obustronnie do punktów: B, C  (rys. 8.17).

Tabela 8.9. Obliczenie ciągu sytuacyjnego otwartego, nawiązanego obustronnie

Oz
n.
pun
ktu

Kąty

 – lewe

 – prawe

   g      c    cc

Azymuty

A

   g      c    cc

Boki 

d

Przyrosty

Kontrola przyrostów

Współrzędne

x

y

2

d

A+50

g

S

C

x=S+C

y=S -C

X

Y

Ozn
.
pun
ktu

Uwagi,

obliczenia

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

A

2000,0

0

3000,0

0

A

B 245

5
7

+2

5

2
0

2010,0

0

3300,0

0

B

1 154

3
3

+2

4

2
0

1915,4

0

3416,4

1

1

2 254

8
0

+2

5

5
0

1922,3

8

3616,3

2

2

3 170

2
0

+2

4

0
0

1793,3

5

3735,2

9

3

C 230

8
0

+2

5

9
0

1719,5

0

3932,7

5

C

D

1421,1

0

4199,1

0

D

[

]

p

[

]

t

105

5

105

5

71

73

80

03

 
Obliczenie azymutu
A

AB

 ze

współrzędnych:
 tg A = (+300,00):
( +10,00)

 I ćw. 

 =97-87-87

A

AB

=97,8787

g

 Kontrola:

 

tg

 

(A+50

g

)

 

=





310 00

290 00

,

,

 

 =52,1213

g

 A+50

g

= 147,8787

g

 

 

tgA

CD

=(+266,35):

(-298,40)

II ćw. 

 =46,3910

g

  

A

CD

=153,60

90

g

  Kontrola:

tg

 

(A+50

g

)

 

=





32 05

564 75

,

,

  



 =3,6090

g

A+50

g

 

=

203,6090

g

 

210