Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013

1. [8p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

arc cos 2xdx

b)

∞

Z

1

dx

(5 + x)

√

x

dx

[2p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę

Z

tg

n

x dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [8p.] a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach

y = x

2

,

y = 3x

2

i

y = 12

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Korzystając z własności całek z funkcji nieparzystej lub parzystej uzasadnić równość

1/e

Z

−1/e

ln

1 + sin x

1 − sin x

dx = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [8p.] a) Sprawdzić, czy funkcja z = ln(e

x

+ e

y

) spełnia równanie

z

xx

z

yy

− (z

xy

)

2

= 0

[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną funkcji dwóch zmiennych obliczyć przybliżoną wartość
wyrażenia

(0, 97)

1,05

+ (1, 05)

0,97

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [8p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = 4x

3

− 2x

2

y + y

2

.

[2p.] b) Obliczyć lub pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) =

sin(xy)

πx

w punkcie (0, 2).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [8p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = 2 +

q

x

2

+ y

2

,

x

2

+ y

2

= 4x

i płaszczyzną z = 0. Wykonać rysunek opisanej bryły.
[2p.] b) Wyprowadzić wzory na współrzędne biegunowe.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć całkę

ZZ

V

Z

dxdydz

(x + y + z + 1)

3

gdzie obszar V ograniczony jest płaszczyzną x+y+z = 1 i płaszczyznami układu współrzędnych.
Wykonać rysunek obszaru V .