Egzamin z przedmiotu „Analiza matematyczna”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013

1. [8p.] Obliczyć całki (w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

dx

(2 + cos x)(3 + cos x)

b)

0

Z

−∞

e

3

√

x

dx

[2p.] c) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na całkę

Z

x

n

e

x

dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. [8p.] a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach y = tg x, y = ctg x i osią

OX w zakresie od x = 0 do x =

π

2

.

[2p.] b) Korzystając z własności funkcji nieparzystej obliczyć wartość całki

2

Z

−2

3x

5

− 7x

3

+ 2x

x

2

+ 4

dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [8p.] a) Wyznaczyć wartość pochodnej

∂

5

f

∂z

2

∂x∂y

2

dla f (x, y, z) = ln(x

2

+ 2y − z) w punkcie

P (1, 0, 0).
[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia 2, 97 · e

0,05

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [8p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x(x

2

+ y

2

− 1).

[2p.] b) Obliczyć lub pokazać, że nie istnieje granicę funkcji h(x, y) =

(x + y)

2

x

2

+ y

2

w punkcie (0, 0).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [8p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = 6 −

q

x

2

+ y

2

,

x

2

+ y

2

= 4

i płaszczyznami z = 1, x = 0 i y = x znajdującej się w pierwszym oktancie układu współrzędnych.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć całkę

ZZ

V

Z

y cos(z + x) dxdydz,

gdzie obszar V ograniczony jest powierzchnią y =

√

x i płaszczyznami y = 0, z = 0 i x + z =

π

2

.