dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

1

5. Rozkład funkcji zmiennej losowej

i dwuwymiarowe zmienne losowe

5.1. Rozkład funkcji zmiennej losowej

•

Mówimy, że

g

jest funkcją borelowską, jeśli dla każdego a∈ℝ zbiór

{

x : g ( x)<a

}

jest zbiorem borelowskim (elementem σ -ciała generowanego przez

zbiory otwarte).

•

W szczególności każda funkcja ciągła na pewnym przedziale jest w tym
przedziale funkcją borelowską.

•

Niech zmienna losowa Y będzie pewną funkcją zmiennej losowej X, tzn. dla każdego

ω∈Ω

mamy Y (ω)=g ( X (ω)) , gdzie

g

jest funkcją borelowską.

•

Znając rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, możemy wyznaczyć
rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

2

Przykład 5.1.
Niech

Y = X

2

+

1,

gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie

P( X =−1)=

1
4

, P ( X =0)=

1
4

, P ( X =1)=

1
2

.

Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y i obliczyć EY.

Rozkład zmiennej losowej Y:

P(Y =1)=P ( X =0)=

1
4

,

P(Y =2)=P( X =−1∨ X =1)=

1
4

+

1
2

=

3

4

.

EY =1⋅

1
4

+

2⋅

3
4

=

7
4

lub

EY =E ( X

2

+

1)=EX

2

+

1=(−1)

2

⋅

1
4

+

0

2

⋅

1

4

+

1

2

⋅

1

2

+

1=

7
4

.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

3

Twierdzenie 5.1.
Jeżeli X jest zmienną losową ciągłą o gęstości f

X

skoncentrowanej na przedziale

(

a , b)

oraz

y=g ( x)

jest funkcją ściśle monotoniczną klasy

C

1

o pochodnej

g ' (x)≠0

w tym przedziale, przy czym x=h( y) jest funkcją odwrotną do funkcji

y=g ( x)

, to gęstość f

Y

zmiennej losowej ciągłej Y =g ( X ) wyraża się wzorem

f

Y

(

y )= f

X

(

h( y)

)

∣

h ' ( y)

∣

dla

y∈(c , d )

oraz f

Y

(

y )=0 dla pozostałych y,

gdzie c=min(c

1,

d

1

)

, d=max(c

1,

d

1

)

, c

1

=

lim

x → a

+

g ( x) , d

1

=

lim

x → b

-

g (x).

Przykład 5.2.
Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości

f

X

przyjmującą wartości

z przedziału

(−∞

,+∞).

Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej

Y =aX +b , a≠0.

Funkcja liniowa

y=g ( x)=ax+b

spełnia założenia twierdzenia 5.1. (dla a > 0 funkcja

jest rosnąca, dla a < 0 funkcja jest malejąca).

Funkcja odwrotna x=h( y)=

1
a

(

y−b) , x ' =h' ( y)=

1
a

Zatem f

Y

(

y )= f

X

(

y−b

a

)

1

∣

a

∣

, y∈ℝ .

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

4

Zauważmy, że wzór ten możemy także uzyskać w następujący sposób.

W przypadku a > 0 mamy

F

Y

(

y)=P(Y ≤ y)=P (aX +b≤ y)=P

(

X ≤

y−b

a

)

=

F

X

(

y−b

a

)

Ponieważ funkcja

F

X

jest różniczkowalna w punktach ciągłości f

X

, więc w tych

punktach

f

Y

(

y )=

d

dy

F

Y

(

y)=

d

dy

F

X

(

y−b

a

)

=

1
a

f

X

(

y−b

a

)

W przypadku a < 0 mamy

F

Y

(

y)=P (Y ≤y )=P (aX +b≤y)=P

(

X ≥

y−b

a

)

=

1−F

X

(

y−b

a

)

f

Y

(

y )=

d

dy

F

Y

(

y)=

d

dy

(

1−F

X

(

y−b

a

)

)

=−

1
a

f

X

(

y−b

a

)

Zatem otrzymujemy, że f

Y

(

y )=

1

∣

a

∣

f

X

(

y−b

a

)

.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

5

5.2. Dwuwymiarowe zmienne losowe

•

Niech (Ω ,

Α

, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, w której jest określonych n

zmiennych losowych

X

1,

X

2,



, X

n

X

i

:Ω → R ,

i=1, 2, , n

.

•

Wówczas dla każdego ∈ możemy rozpatrywać układ

X = X

1



, X

2



,, X

n



•

Układ ten nazywamy wektorem losowym (n-wymiarowym).

•

Dystrybuantą wektora losowego

X = X

1,

X

2,



, X

n

 nazywamy funkcję

F : R

n



R daną wzorem:

F  x

1,

x

2,



, x

n

=

P



{

∈

: X

1



x

1

, X

2



x

2

,, X

n



x

n

}



.

•

Wektor losowy X = X

1,

X

2,



, X

n

 nazywamy wektorem losowym o rozkładzie

dyskretnym jeśli przyjmuje skończoną bądź przeliczalną liczbę wartości.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

6

•

Wektor losowy X = X

1,

X

2,



, X

n

 nazywamy wektorem losowym o rozkładzie

(absolutnie) ciągłym, jeśli istnieje nieujemna funkcja n zmiennych

f  x

1

, x

2,



, x

n



taka, że

F  x

1,

x

2,



, x

n

=

∫

−∞

x

1

∫

−∞

x

2



∫

−∞

x

n

f t

1

, t

2

,,t

n



dt

1

dt

2



dt

n

.

•

Niech  X , Y  będzie dwuwymiarową zmienną losową dyskretną (skokową),
czyli zmienne losowe X i Y mają skończony lub przeliczalny zbiór wartości.

•

Rozkładem łącznym dyskretnej zmiennej dwuwymiarowej  X , Y  nazywa się
zbiór prawdopodobieństw:

P  X =x

i

,Y = y

j

=

p

ij

dla i=1, 2,…(r) , , j=1,2,…( s).

•

Prawdopodobieństwa

p

ij

spełniają warunek:

∑

i

∑

j

p

ij

=

1 .

•

Dystrybuantę dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej określa się wówczas
wzorem:

F x , y=P  X x ,Y  y=

∑

x

i



x

∑

y

j



y

p

ij

.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

7

•

Rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej zwykle jest zapisywany
w postaci tablicy, nazywanej tablicą korelacyjną.

y

1

y

2



y

s

∑

x

1

p

11

p

12



p

1s

p

1⋅

x

2

p

21

p

22



p

2s

p

2⋅

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

x

r

p

r1

p

r2



p

rs

p

r⋅

∑

p

⋅

1

p

⋅

2



p

⋅

s

1

•

Rozkładem brzegowym dyskretnej zmiennej losowej X nazywamy rozkład

prawdopodobieństwa : P( X =x

i

)=

p

i⋅

=

∑

j=1

s

p

ij

, dla

i=1, 2,, r

.

•

Podobnie rozkładem brzegowym dyskretnej zmiennej losowej Y nazywamy rozkład

prawdopodobieństwa: P Y = y

j

=

p

⋅

j

=

∑

i=1

r

p

ij

dla j=1,2,, s .

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

8

•

Rozkładem warunkowym zmiennej losowej dyskretnej X pod warunkiem Y = y

j

,

j=1, 2,…, s , nazywamy rozkład prawdopodobieństwa:

P( X =x

i

∣

Y = y

j

)=

P( X =x

i

,Y = y

j

)

P (Y = y

j

)

=

p

ij

p

⋅

j

, dla

i=1, 2,… , r

.

•

Rozkładem warunkowym zmiennej losowej dyskretnej Y pod warunkiem X =x

i

,

i=1, 2,… , r , nazywamy rozkład prawdopodobieństwa:

P(Y = y

j

∣

X =x

i

)=

P( X =x

i

,Y = y

j

)

P ( X = x

i

)

=

p

ij

p

i⋅

, dla j=1,2,…, s .

•

Zmienne losowe dyskretne X i Y są niezależne jeżeli

P  X =x

i

,Y = y

j

=

P  X =x

i

⋅

P Y = y

j



, czyli p

ij

=

p

i⋅

⋅

p

⋅

j

,

dla wszystkich

i=1, 2,, r

,

j=1,2,, s

.

•

Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to oczywiście

P  X =x

i

∣

Y = y

j

=

P  X =x

i

=

p

i⋅

, dla

i=1, 2,, r

.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

9

•

Niech teraz dwuwymiarowa zmienna losowa  X , Y  będzie zmienną losową
ciągłą.

•

Funkcja gęstości f  x , y dwuwymiarowej zmiennej losowej ciągłej  X , Y 
łącznego rozkładu jest funkcją spełniającą warunki:

f  x , y0 ,

∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

f (x , y)dxdy=1 .

•

Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej ciągłej



X , Y 

nazywamy

funkcję określoną za pomocą wzoru:

F  x , y=P  X x ,Y  y =

∫

−∞

x

∫

−∞

y

f s ,t dsdt .

•

Rozkładami brzegowymi f

1



x , f

2



y ciągłych zmiennych losowych X i Y

nazywa się następujące funkcje: f

1



x=

∫

−∞

∞

f  x , y dy , f

2



y=

∫

−∞

∞

f  x , y dx .

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

10

•

Warunkowe funkcje gęstości zmiennych losowych ciągłych X i Y są określone

wzorami: f ( x

∣

y )=

f ( x , y)

f

2

(

y)

, dla f

2

(

y)>0

oraz f ( y

∣

x )=

f ( x , y)

f

1

(

x)

, dla f

1

(

x)>0 .

•

Zmienne losowe ciągłe X i Y są niezależne jeżeli:

f  x , y= f

1



x⋅f

2



y  , dla każdej pary liczb rzeczywistych  x , y .

•

Oczywiście dla dowolnych niezależnych zmiennych losowych X i Y mamy:

F



X ,Y 



x , y =P  X x , Y  y =P  X x ⋅P Y  y =F

X



x⋅F

Y



y

.

•

Momenty zwykłe dwuwymiarowej zmiennej losowej  X , Y  definiujemy
następująco:

α

rs

=

E ( X

r

Y

s

)

,

gdzie liczby

r , s∈ℕ.

•

Jeżeli



X , Y 

jest zmienną losową dyskretną, to: α

rs

=

∑

i

∑

j

x

i

r

y

j

s

p

ij

.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

11

•

Jeżeli



X , Y 

jest zmienną losową ciągłą o funkcji gęstości prawdopodobieństwa

f ( x , y) , to α

rs

=

∫

−∞

∞

∫

−∞

∞

x

r

y

s

f ( x , y)dxdy .

•

Najczęściej wykorzystuje się momenty zwykłe rzędu pierwszego

(α

10

=

E ( X

1

Y

0

)=

EX ,α

01

=

E ( X

0

Y

1

)=

EY )

oraz momenty zwykłe rzędu drugiego

(α

20

=

E ( X

2

Y

0

)=

EX

2

,α

11

=

E ( X

1

Y

1

)=

E ( XY ) , α

02

=

E ( X

0

Y

2

)=

EY

2

)

•

Momenty centralne definiujemy w następujący sposób:

μ

rs

=

E( X −EX )

r

(

Y −EY )

s

.

•

W szczególności μ

20

=

E ( X −EX )

2

=

D

2

X ,μ

02

=

E (Y −EY )

2

=

D

2

Y.

•

Kowariancja zmiennych losowych  X , Y  jest określona za pomocą wzoru:

Cov ( X , Y )=μ

11

=

E

(

(

X −EX )(Y −EY )

)

=

E ( XY )−EX⋅EY

.

•

Zauważmy, ze dla niezależnych zmiennych losowych X i Y kowariancja wynosi 0.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 5. (19.03.2014 r.)

12

•

Ponadto Cov  X , X =VarX ,

Var  X Y =VarX VarY 2Cov  X , Y 

.

•

Współczynnik korelacji liniowej między zmiennymi X i Y jest określony wzorem:

ρ=ρ(

X , Y )=

Cov ( X , Y )

σ

X σ Y

.

•

Zachodzi nierówność: −1 X , Y 1

•

Współczynnik korelacji mierzy „siłę” zależności liniowej między zmiennymi
losowymi X i Y.

•

Jeżeli ρ( X ,Y )=0, czyli gdy

Cov ( X ,Y )=0,

to zmienne losowe X i Y nazywamy

nieskorelowanymi.

•

Oczywiście zmienne losowe niezależne są nieskorelowane (nie są skorelowane).

•

Jeżeli ρ( X ,Y )=1, to zmienne losowe X i Y związane są funkcyjnie, a zależność
między nimi ma charakter liniowej funkcji rosnącej.

•

Jeżeli ρ( X ,Y )=−1, to zmienne losowe X i Y związane są funkcyjnie, a zależność
między nimi ma charakter liniowej funkcji malejącej.

•

Jeżeli 0<

∣

ρ(

X ,Y )

∣

<

1, to istnieje współzależność między zmiennymi losowymi

X i Y, ale nie ma ona charakteru funkcyjnego. Im współzależność ta jest silniejsza,
tym ρ( X ,Y ) bardziej odbiega od zera.