plik

RozdziaÃl 1

UkÃlady inercjalne

1.1

UkÃlady inercjalne

Fizyka opiera sie

na pewnych zaÃlo˙zeniach, kt´orych cecha

jest to, ˙ze sa

zdefiniowane

bezwzgle

dnie. Oznacza to, ˙ze podstawa

ich wprowadzenia jest nie do´swiadczenie,

lecz zaÃlo˙zenie (umowa). PrzykÃladem mo˙ze by´c jednostka dÃlugo´sci - 1 metr [m]. In-
nymi jednostkami podstawowymi sa

: kilogram [kg] - okre´slenie masy, sekunda [s] -

czasu, amper [A] - nate

˙zenia pra

du elektrycznego, Kelvin [K] - jednostka temperatury,

mol [mol] - okre´slenie ilo´sci materii. ´SwiatÃlo´s´c ´zr´odÃla emituja

cego promieniowanie

okre´slamy w kandelach [cd].

Nie mo˙zemy m´owi´c o bezwzgle

dnym ruchu lub te˙z bezwzgle

dnym spoczynku. Ruch

ciaÃl opisujemy wzgle

dem jakiego´s ukladu, czyli ruch ten jest wzgle

dny. ZaÃlo˙zenie to

jest opisywane przez zasade

wzgle

dno´sci Galileusza.

Poje

cie ukÃladu inercjalnego jest r´ownie˙z poje

ciem bezwzgle

dnym.

Co to jest ukÃlad inercjalny? Zgodnie z defincja

: jest to taki ukÃlad odniesienia, w

kt´

orym ciaÃlo punktowe, w przypadku braku siÃl zewne

trznych lub gdy siÃly

dziaÃlaja

ce na to ciaÃlo sie

r´

ownowa˙za

, to porusza sie

ono ze staÃla

pre

dko´scia

Wektor pre

dko´sci ~v tego ciaÃla jest w takim przypadku staÃly.

~v(t) =

d~v

= const

(1.1.1)

Obecno´s´c powy˙zszych ukÃlad´ow opisuje I zasada dynamiki Newtona, kt´ora wprowadza
poje

cie bezwÃladno´sci. M´owia

, ˙ze ruch ciaÃla jest bezwÃladny, gdy nie dziaÃla na niego

˙zadna siÃla zewne

trzna lub gdy siÃly dziaÃlaja

ce sie

r´ownowa˙za

Pierwsza zasada dynamiki zostaÃla sprawdzona do´swiadczalnie, potwierdzaja

c teo-

retyczne zaÃlo˙zenia. Okazuje sie

, zgodnie z okre´sleniem, ˙ze Ziemia nie jest ukÃladem

inercjalnym. Empirycznie mo˙zna to wykaza´c analizuja

c ruch wahadÃla Foucault.

Skoro najbli˙zsza nam planeta nie speÃlnia powy˙zszych zaÃlo˙ze´n, powstaje pytanie: gdzie
mo˙zna spotka´c ukÃlady inercjalne? By je znale˙z´c musimy nasze poszukiwania posze-
rzy´c o Wszech´swiat. UkÃlady takie (z do´s´c dobrym przybli˙zeniem) tworza

gwiazdy, z

RozdziaÃl 1. UkÃlady inercjalne

kt´orymi zwia

zany jest np. heliocentryczny ukÃlad odniesienia - to jest taki, w kt´orym

masywna gwiazda znajduje sie

w ´srodku ukÃladu pokrywaja

cego sie

ze ´srodkiem masy.

Przeprowadzaja

c eksperymenty, dosy´c cze

sto mo˙zemy uwa˙za´c Ziemie

jako inerc-

jalny ukÃlad odniesienia (zaniedbuja

c przy tym ,,siÃle

Coriolisa”). Czasami ruch Ziemi

nie ma znacza

cego wpÃlywu na zjawiska znane z ˙zycia codziennego jak praca wykony-

wana z udziaÃlem maszyn, przemiany energii dokonywane w domu i w laboratorium,
procesy zwia

zane z przesyÃlaniem faÃl elektromagnetycznych (m.in. wsp´oÃlczesna ko-

munikacja). Poprawiaja

c nasze zaÃlo˙zenia w celu idealizacji zmierzaja

cej do idealnego

ukÃladu inercjalnego, jest ukÃlad zwia

zany ze ´srodkiem Ziemi. Taki ukÃlad nazywamy

ukÃladem geocentrycznym. Kolejnym przybli˙zeniem mo˙ze by´c ukÃlad heliocentryczny,
gdzie w centrum ukÃladu znajduje sie

SÃlo´nce. (Nale˙zy pamie

ta´c, ˙ze Ziemia porusza sie

dookoÃla SÃlo´nca ruchem przyspieszonym). Nasza

idealizacje

mo˙zemy stosowa´c dalej,

w zale˙zno´sci od dokÃladno´sci, kt´ora

chcemy uzyska´c.

Eksperyment, tak bardzo przydatny w wielu dziedzinach fizyki, w przypadku

bada´n nad ukÃladami inercjalnymi zawodzi, gdy˙z nie jest w stanie wyr´o˙zni´c ukÃladu
,,czysto” inercjalnego - tego szczeg´olnego przypadku, kt´ory posÃlu˙zyÃlby za wz´or -
etalon.

UkÃlady inercjalne sa

do siebie r´

ownowa˙zne

Zasada wzgle

dno´sci we wsp´oÃlczesnym sformuÃlowaniu rozszerza poje

cie ukÃladu in-

ercjalnego:

W ka˙zdym ukÃladzie inercjalnym wszystkie zjawiska fizyczne przebiegaja

tak samo

Podsumowuja

- w ka˙zdym ukÃladzie inercjalnym obowia

zuja

te same prawa przyrody.

- zachowanie formy r´owna´n fizyki (matematycznej) podczas transformacji z ukÃladu
S

do S

, mianowicie, r´ownania fizyki matematycznej powinny by´c r´ownaniami ten-

sorowymi wzgle

dem pewnej grupy transformacji (tj. forma ka˙zdego r´ownania po-

zostaje taka sama - patrz [Ref 2]).
- istnienie jednego ukÃladu inercjalnego S, stwarza mo˙zliwo´s´c wyznaczenia kolejnych
ukÃlad´ow inercjalnych, gdy˙z ka˙zdy ukÃlad poruszaja

cy sie

ruchem jednostajnym ze staÃla

pre

dko´scia

wzgle

dem ukÃladu S, te˙z jest ukÃladem inercjalnym.

RozdziaÃl 2

Podstawowe poje

cia

elektrodynamiki

2.1

Elektrodynamika w pr´

o˙zni

Fundamentem elektrodynamiki jest obecno´s´c p´ol: elektrycznego i magnetycznego,

wytworzonych przez poruszaja

ce sie

Ãladunki elektryczne. Pola te wyste

puja

ze soba

w ´scisÃlym zwia

zku, dlatego te˙z okre´slamy je wsp´olnym mianem pola elektromagnety-

cznego (E-M). Zasada interakcji pomie

dzy Ãladunkami a polem E-M dziaÃla r´ownie˙z na

odwr´ot: pole elektromagnetyczne wpÃlywa na ruch Ãladunk´ow elektrycznych. Po´sre-
dniczy ono w oddziaÃlywaniu pomie

dzy nimi, co przejawia sie

tym, i˙z cza

stka pr´obna

zachowa sie

identycznie w dw´och r´o˙znych ukÃladach odniesienia, je´sli podziaÃlaja

nia

takie same E i B.

Analize

pola elektromagnetycznego rozpocznijmy od okre´slenia nate

˙zenia pola

elektrycznego w danym punkcie:

E =

(2.1.1)

co oznacza, i˙z badaja

c nate

˙zenie pola E mierzymy siÃle

wywierana

na Ãladunek pun-

ktowy. ÃLadunek pr´obny powinien by´c maÃly, aby jego obecno´s´c nie zaburzaÃla istnieja

cego pola elektrycznego (przez wpÃlyw na Ãladunki tworza

ce to pole).

Aby dokona´c peÃlnego opisu pola elektromagnetycznego, opr´ocz zdefiniowania pola

elektryczego, nale˙zy poda´c r´ownie˙z okre´slenie pola magnetycznego. W tym celu
przeprowad´zmy naste

puja

ce rozwa˙zania. Wybierzmy dowolna

poruszaja

sie

cza

stke

punktowa

i umie´s´cmy ja

w polu B. Na te

cza

stke

dziaÃla´c be

dzie siÃla magnetyczna F

kt´ora zale˙zy od kierunku ~v, przez co jej warto´s´c mo˙ze zmienia´c sie

od 0 do pewnej

warto´sci granicznej F

max

. Podczas obserwacji zauwa˙zymy, ˙ze wektor siÃly magnety-

cznej jest zawsze prostopadÃly do wektora pre

dko´sci cza

stki: ~

⊥~v. Oznacza to, ˙ze

siÃla magnetyczna nie wpÃlywa na warto´s´c ruchu cza

stki (czyli brak przyspieszenia lub

op´o´znienia co jest zwia

zane ze zmiana

energii kinetycznej cza

stki) a jedynie mo˙ze

zmienia´c tor ruchu, a to oznacza ˙ze praca wykonana przez F

jest zawsze r´owna 0

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

(zero). Zatem siÃle

magnetyczna

zdefiniujemy jako:

= q

~v × ~

= qvBsin(~v ~

(2.1.2)

Przyjmujemy, i˙z kierunek wektora indukcji magnetycznej B, jest zgodny z kierunkiem
pre

dko´sci w przypadku gdy F

= 0.

Kontynuuja

c, zawsze mo˙zemy tak dostroi´c ukÃlad pomiarowy przez odpowiednie

ustawienie zwrotu B, aby cza

stka poruszaÃla sie

pod ka

tem prostym do B, a to oz-

nacza, ˙ze siÃla dziaÃlaja

ca na nia

dzie maksymalna, gdy˙z sin(~v ~

B) = sin(90

◦

) = 1.

Otrzymamy zatem r´ownanie:

= qvB

(2.1.3)

kt´ore posÃlu˙zy nam do okre´slenia pola B:

B =

(2.1.4)

WÃlasno´sci pola magnetycznego sa

wykorzystywane bardzo cze

sto w fizyce i tech-

nice. Dzie

ki wiedzy o tym, jak zachowa sie

naÃladowana cza

stka elektryczna w B,

mo˙zliwe byÃlo zbudowanie takich urza

dze´n jak cyklotron (1932) lub komora Wilsona

(1912). Cyklotrony stosowane sa

do przyspieszania cza

stek, natomiast komora Wilsona

sÃlu˙zy do detekcji cza

stek lub promieniowania [Ref 5].

Rys 2.1. ´

Slady po przej´sciach naÃladowanych cza

stek w komorze Wilsona. Widoczne sa

zakrzywienia

tor´ow cza

stek pod wpÃlywem pola magnetycznego. Ilustracja pochodzi ze zbior´ow Brookhaven Na-

tional Laboratory http://www.bnl.gov/bnlweb/history/charmed.asp

PeÃlny opis oddziaÃlywania pola EM z naÃladowana

cza

stka

mo˙zna zatem przedstawi´c

naste

puja

co:

= q

E + ~v × ~

(2.1.5)

2.1. Elektrodynamika w pr´

o˙zni

SiÃle

nazywamy siÃla

Lorentza. R´ownanie (2.1.3) zostaÃlo wprowadzone w opar-

ciu o eksperyment (np. przez analize

zachowania sie

dw´och przewodnik´ow podczas

przepÃlywu przez nie pra

d´ow elektrycznych).

Po wprowadzeniu okre´slenia pola elektromagnetycznego, mo˙zemy przej´s´c do r´owna´n
dla tego pola. Do opisu pola E-M u˙zywamy r´owna´n Maxwella [Ref 1, Ref 2], kt´ore
wyra˙zaja

cztery podstawowe prawa elektryczno´sci i magnetyzmu:

- prawo Coulomba (1785 r.)
- brak Ãladunk´ow magnetycznych!
- prawo Faradaya (1831 r.)
- r´ownanie Amp`ere’a-Maxwella (1864 r.)

Dokonajmy opisu wy˙zej wymienionych praw:
1. Prawo Coulomba.

Rozwa˙zmy oddziaÃlywania o charakterze centralnym (pochodza

ce od Ãladunk´ow

punktowych). SiÃly pochodza

ce od takich Ãladunk´ow podlegaja

zasadzie liniowej su-

perpozycji:

+ ~

+ ... =

i=1

= ~

kt´ora mo˙ze by´c zapisana w spos´ob cia

gÃly zamieniwszy sume

na caÃlke

, oraz zasadzie i˙z

siÃla oddziaÃlywania pomie

dzy Ãladunkami jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu

ich odlegÃlo´sci.

Aby wyprowadzi´c prawo Coulomba posÃlu˙zymy sie

prawem Gaussa, kt´ore zasto-

sujemy do opisu pojedynczego Ãladunku q. Prawo to mo˙zna zastosowa´c do dowolnej
sfery, jednak my, dla uÃlatwienia wykorzystamy powierzchnie

kulista

o promieniu r,

ze wzgle

du na symetrie

, gdy˙z wtedy pole E jest takie same na caÃlej jej powierzchni.

W ´srodku sfery znajduje sie

Ãladunek punktowy q.

Rys 2.2. Hipotetyczna sfera dla naszych rozwa˙za´

n, gdzie: r - to jej promie´

n, ~n - jednostkowy wektor

skierowany na zewnatrz da (infinitezymalnej cze

´sci powierzchni sfery)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

Policzmy teraz strumie´n przechodza

cy przez wybrana

sfere

Φ =

E · d~

(2.1.6)

t pomie

dzy wektorem pola elektrycznego a wektorem stycznym do powierzchni

wynosi zero. Wiemy r´ownie˙z z rozwa˙za´n nad symetria

, i˙z pole E jest w ka˙zdym

punkcie takie same, czyli:

E · d~

S = E

dS = 4πr

(2.1.7)

gdzie 4πr

jest powierzchnia

sfery. Strumie´n dla pojedynczego Ãladunku mo˙zemy

r´ownie˙z zapisa´c jako:

Φ =

q
ε

(2.1.8)

co pozwala, po przyr´ownaniu (2.1.7) i (2.1.8) wyznaczy´c nate

˙zenie pola E pochodza

od Ãladunku q.

E =

4πε

(2.1.9)

Gdy w pobli˙zu Ãladunku q pojawi sie

drugi Ãladunek Q, to wielko´s´c siÃly dziaÃlaja

cej na

ten Ãladunek wynosi F = Eq

, a uwzgle

dniaja

c wcze´sniej otrzymany wynik, dostajemy:

F =

4πε

(2.1.10)

czyli r´ownanie Coulomba. Prawo Gaussa mo˙zemy stosowa´c do dowolnej powierzchni,
przez co jest ono wygodne przy znajdowaniu zale˙zno´sci pomie

dzy strumieniem pola

elektrycznego Φ przechodza

cym przez dana

powierzchnie

a Ãladunkiem, kt´ory jest

przez nia

otoczony. Je˙zeli rozkÃlad Ãladunk´ow jest cia

gÃly, to pewnym uÃlatwieniem

mo˙ze by´c wprowadzenie ge

sto´sci Ãladunku elektrycznego ρ. Pozwoli to zapisa´c prawo

Coulomba w formie caÃlkowej:

E · d~

S = 4πρ

(2.1.11)

Gdy skorzystamy z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego:

K · d~

S =

div ~

KdV

dziemy mogli przedstawi´c prawo Gaussa w postaci r´o˙zniczkowej:

div ~

E = 4πρ

(2.1.12)

2. Brak Ãladunk´

ow magnetycznych.

2.1. Elektrodynamika w pr´

o˙zni

Prawo to mo˙zna wykaza´c naste

puja

co: wybieraja

c jaka

´s powierzchnie

zamknie

a naste

pnie policzy´c (na podstawie pomiar´ow) caÃlke

wedÃlug okre´slenia Riemanna:

B · d~

kt´ora, jak mo˙zna stwierdzi´c (empirycznie!), wynosi 0.

Oznacza to, ˙ze jedynym

´zr´odÃlem pola magnetycznego sa

pra

dy elektryczne.

Gdyby istniaÃl Ãladunek magnetyczny, wytwarzaÃlby pole magnetyczne skierowane ra-

dialnie od obiektu. Pole to (analogicznie do pola elektrycznego) malaÃloby jak

. Ist-

nienie Ãladunku magnetycznego - pojedynczego bieguna magnetycznego (o poszukiwa-
niach monopolu magnetycznego [Ref 3]), spowodowaÃloby, ˙ze z obszaru, w kt´orym zna-
jdowaÃlby sie

, wypÃlywaÃlby strumie´n indukcji B. IstniaÃlaby r´ownie˙z symetria pomie

dzy

r´ownaniami opisuja

cymi Ãladunki elektryczne (prawo Coulomba) i Ãladunki magne-

tyczne. Jednak zastosowanie twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa (podobnie jak to
zrobili´smy dla E), daje wÃla´snie r´ownanie rotB = 0 zgodne z wynikami pomiar´ow.

3. Prawo Faradaya.

Rozwa˙zmy przewodnik umieszczony w polu magnetycznym B. Gdy wycia

gniemy

go z tego pola, okazuje sie

, ˙ze przewodniku popÃlyna

Ãl pra

d elektryczny. M´owimy,

˙ze zaindukowaÃla sie

siÃla elektromotoryczna SEM. Gdy wprowadzimy przewodnik

ponownie do B, powstanie znowu siÃla elektromotoryczna tylko, ˙ze o przeciwnym
znaku. Oznacza to, i˙z na umieszczony w zmiennym polu magnetycznym przewod-
nik dziaÃla SEM. Pod jej wpÃlywem, w przewodniku powstaje pra

d indukcyjny. SiÃla

elektromotoryczna jest proporcjonalna (ze znakiem minus) do szybko´sci zmian stru-
mienia magnetycznego przenikaja

cego przez powierzchnie

, czego skutkiem jest reguÃla

Lenza: zmiana strumienia magnetycznego przechodza

cego przez powierzchnie

nad ob-

wodem powoduje powstanie pra

du indukcyjnego, kt´orego w Ãlasne pole magnetyczne

przeciwdziaÃla zmianom strumienia magnetycznego, kt´ore wywoÃluje pra

d indukcyjny.

4. R´

ownanie Amp`

ere’a-Maxwella.

R´ownanie to okre´sla zale˙zno´s´c pomie

dzy polem magnetycznym a predko´scia

zmian

pola elektrycznego oraz pre

dko´scia

ruchu Ãladunk´ow elektrycznych. CzÃlon

∂ ~

∂t

w tym

r´ownaniu, wprowadzony przez Maxwella, uwzgle

dniÃl symetrie

r´owna´n, zawieraja

cych

rotacje

, czym potwierdziÃl do´swiadczalna

zasade

zachowania Ãladunku elektrycznego.

Podsumowywuja

c, r´ownania Maxwella (w pr´o˙zni) przyjmuja

posta´c:

r´ownianie Coulomba:

div ~

E = 4πρ

(2.1.13)

brak Ãladunk´ow magnetycznych:

div ~

B = 0

(2.1.14)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

prawo Faraday’a:

rot ~

E = −

∂ ~

∂t

(2.1.15)

r´ownanie Amp`ere’a-Maxwella:

rot ~

B =

∂ ~

∂t

4π

(2.1.16)

gdzie: ρ(~r, t) - ge

sto´s´c Ãladunku elektrycznego, ~j(~r, t) - ge

sto´s´c pra

du elektrycznego.

Korzystaja

c z wÃlasno´sci r´ownania (2.1.7), mo˙zemy wyprowadzi´c zasade

zachowania

Ãladunku elektrycznego. Policzmy zatem dywergencje

r´ownania (2.1.9):

div(rot ~

B) =

∂(div ~

∂t

4π

div~j

(2.1.17)

pamie

taja

c jednak, ˙ze:

∇, [∇ × B]

∇, [B × ∇]

B, [∇ × ∇]

= 0

(2.1.18)

Otrzymujemy:

0 =

∂(4πρ)

∂t

4π

div~j

(2.1.19)

Porza

dkuja

c r´ownanie (2.1.12) oraz dziela

c przez czynnik

4π

, dostajemy:

∂ρ

∂t

+ div~j = 0

(2.1.20)

R´ownanie (2.1.13) przedstawia prawo zachowania Ãladunku elektrycznego (= r´ownanie
cia

gÃlo´sci). Prawo to nie jest zaÃlo˙zeniem a priori, lecz bezpo´srednio wynika z r´owna´n

Maxwella, co zreszta

udowodnili´smy. Jest ono speÃlnione dla cia

gÃlego rozkÃladu Ãladunk´ow.

Wprowadzenie p´ol: elektrycznego i magnetycznego pozwala na niezale˙zne rozpa-

trzenie ´zr´odeÃl i Ãladunk´ow podlegaja

cych dziaÃlaniu siÃl elektromagnetycznych. Dla

ka˙zdego (wybranego) Ãladunku obecno´s´c innych Ãladunk´ow wpÃlywa na jego ruch z
przyspieszeniem, co z kolei opisujemy r´ownaniem ruchu. Aby zamkna

´c ukÃlad r´owna´n

Maxwella (tj. dokona´c peÃlnego opisu) konieczne jest dopisanie r´owna´n ruchu. Kiedy
jednak istnieje mo˙zliwo´s´c zaniedbania przyspieszenia, korzystamy z r´owna´n Maxwella,
rozpatruja

c opis Ãladunk´ow tylko na podstawie ge

sto´sci Ãladunku i ge

sto´sci pra

du.

Je˙zeli na Ãladunki pr´obne be

dziaÃla´c jednakowe siÃly, to rozkÃlad p´ol E i B jest

jednakowy w okre´slonym punkcie przestrzeni. Bardzo wa˙zne jest stwierdzenie, i˙z pola
elektromagnetyczne moga

istnie´c w obszarach, w kt´orych brak jest ´zr´odeÃl. Istotnym

faktem jest r´ownie˙z to, E i B ˙ze moga

by´c one no´snikami energii, pe

du, momentu

du.

Podsumowywuja

c, sformuÃlujmy matematyczna

podstawe

opisu E i B. Og´olna

liczna r´owna´n Maxwella wynosi osiem. Dwa z nich sa

r´ownaniami, w kt´orych nie

2.2. PotencjaÃly wektorowe i skalarne

ma pochodnych po czasie, co oznacza, ˙ze mo˙zemy w dowolnej chwili wyznaczy´c jedna

ze skÃladowych obu p´ol E i B a naste

pnie podstawi´c do pozostalych (dynamicznych,

tj. zawieraja

cych pochodne po czasie) r´owna´n.

SformuÃlowanie zagadnienia pocza

tkowego (tj. zagadnienia Cauchy’ego) dla ukÃladu

r´owna´n Maxwella zawiera sze´s´c warunk´ow pocza

tkowych, po jednym dla ka˙zdej zmi-

ennej. R´ownania (2.1.1) i (2.1.4) [?] wprowadzaja

pewne wie

zy dla podstawowych

zmiennych (tj. E i B), wa˙znych w dowolnym czasie, a wie

c i w chwili pocza

tkowej.

To oznacza, ze tylko cztery ze skÃladowych p´ol sa

dynamicznie niezale˙zne, czyli mo˙zna

zostawi´c cztery r´ownania przy uzyskaniu zale˙zno´sci od czasu.

2.2

PotencjaÃly wektorowe i skalarne

Rozwa˙zmy r´ownania (2.1.7) i (2.1.9). Wynika z nich i˙z rotacja B w (2.1.9)

w og´olnym przypadku nie musi by´c r´owna zero. Skutkiem tego, pole B (w przeci-
wie´nstwie do pola E) nie mo˙ze by´c ju˙z przedstawione za pomoca

gradientu. Jednak

uwzgle

dniaja

c i˙z divB = 0, pole B mo˙zna wyrazi´c za pomoca

innego pola wek-

torowego. Wprowad´zmy zatem potencjaÃl wektorowy A, kt´ory zdefiniujemy naste

pu-

co:

B = rot ~

(2.2.1)

co automatycznie daje div(rot ~

B) = 0. Podstawmy potencjaÃl wektorowy A do r´ow-

nania Faradaya (2.1.8):

rot ~

E = −

∂

∂t

rot ~

=⇒

rot

E +

∂ ~

∂t

= 0

(2.2.2)

W elektrostatyce potencjaÃl definiowali´smy jako:

E = −∇φ = −gradϕ

(2.2.3)

Na podstawie (2.2.2) i (2.2.3) wprowad´zmy nowa

definicje

potencjaÃlu:

E +

∂ ~

∂t

= −gradϕ

(2.2.4)

kt´ory mo˙zemy zapisa´c naste

puja

co:

E = −gradϕ −

∂ ~

∂t

(2.2.5)

Stosuja

c okre´slenie potencjaÃlu (2.2.3) do r´ownania Coulomba (2.1.6) stwierdzamy, ˙ze

zasada zachowania Ãladunku elektrycznego jest speÃlniona.

div ~

E = −4ϕ −

∂

div ~

∂t

= 4πρ

(2.2.6)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

Podobnie mo˙zemy posta

pi´c z pozostaÃlymi r´ownaniami Maxwella (2.1.7) i (2.1.9):

div ~

B = div

rot ~

= 0

(2.2.7)

rot ~

B = rot

rot ~

= −

grad

∂ϕ

∂t

−

∂

∂t

4π

~j = ∇

div ~

− ∇

(2.2.8)

W r´ownaniu (2.2.8) wykorzystali´smy zale˙zno´s´c:

rot

rot ~

∇ × [∇ × ~

= ∇

∇, ~

− ∇

gdzie:

∇, ~

= div ~

A =

∂A

∂x

∂A

∂y

∂A

∂z

oraz

grad

div ~

A +

∂ϕ

∂t

= 4 ~

A −

∂

∂t

4π

(2.2.9)

Z powy˙zszych wzor´ow wynika naste

puja

ca transformacja:

A → ~

+ ∇Λ(t, ~r)

(2.2.10)

z kt´orej wynika, i˙z pole wektorowe ~

A jest okre´slone do pewnej staÃlej, kt´ora znika przy

r´o˙zniczkowaniu, wie

c og´olna posta´c r´ownania nie ulegnie zmianie. Nasza

staÃla

jest

gradient pola skalarnego ∇Λ(t, ~r).

Gdy podstawimy (2.2.10) do r´ownania (2.2.4):

E = ∇ϕ −

∂ ~

∂t

− 1c∇

∂Λ

∂t

= −∇

ϕ +

∂Λ

∂t

−

∂ ~

∂t

(2.2.11)

otrzymamy zale˙zno´s´c okre´slaja

potencjaÃl ϕ:

ϕ → ϕ

= −

∂Λ(t, ~r)

∂t

+ ϕ

(2.2.12)

−

∂

∂t

+ div(gradΛ) = 0

(2.2.13)

Mo˙zemy opisa´c skÃladowe E pola elektromagnetycznego przy pomocy wprowadzonych
przez nas potencjaÃl´ow Ai ϕ:

E = −∇ϕ

−

∂ ~

∂t

(2.2.14)

Uzyskana

transformacje

tj. (2.2.10) i (2.2.12) nazywamy transformacja

cechowania:

A → ~

+ ∇Λ(t, ~r)

ϕ → ϕ

= −

∂Λ(t, ~r)

∂t

+ ϕ

2.2. PotencjaÃly wektorowe i skalarne

Powy˙zsze zwia

zki (transformacje) pozwalaja

nam zachowa´c pewna

dowolno´s´c przy

wyborze potencjaÃlu wektorowego. Funkcja Λ jest dowolna, a to oznacza, ˙ze mo˙zemy
wybra´c funkcje

ϕ i A takie, aby m´oc upro´sci´c r´ownanie (2.2.9), jednak pod warunk-

iem, ˙ze:

∂ϕ

∂t

+ div ~

A = 0

(2.2.15)

R´ownanie (2.2.15) jest okre´sleniem warunku cechowania Lorentza.
W przypadku, gdy

div ~

A = 0

(2.2.16)

mamy do czynienia z warunkiem cechowania Coulomba.

Z przedstawienia E i B za pomoca

potencjaÃl´ow: wektorowego i skalarnego, korzys-

tamy maja

c na celu uproszczenie oblicze´n. Startuja

c z r´owna´n Maxwella dysponujemy

sze´scioma zmiennymi (E

), podczas gdy wprowadzaja

c potencjaÃly :

wektorowy i skalarny, pozostana

ju˙z tylko cztery zmienne (A

,ϕ). Z wÃlasno´sci

potencjaÃlu wektorowego A korzystamy w obliczeniach dla p´ol magnetycznych, nato-
miast potencjaÃl skalarny ϕ stosujemy rozpatruja

c pola elektryczne.

Jakie mo˙zliwo´sci daje nam cechowanie? - rozwa˙zania teoretyczne

Warunek na cechowanie Lorentza jest bardzo cze

sto wykorzystywany ze wzgle

du na

dwie, bardzo wa˙zne wÃlasno´sci. Przede wszystkim mo˙zna uzyska´c niezale˙zne r´ownania
falowe speÃlniane przez A i ϕ:

−

∂

∂t

+ 4 ~

A = −

4π

(2.2.17)

oraz

¤ϕ = −4πρ

(2.2.18)

gdzie: ¤ = −

1
c

∂

∂t

+ 4

oraz zawsze mo˙zemy tak dobra´c A i ϕ aby uzyska´c to cechowanie.

Natomiast z warunk´ow cechowania Coulomba korzystamy kiedy wygodnie jest

zastosowa´c r´ownanie Poissona dla potencjaÃlu ϕ. PotencjaÃl skalarny w tym przypadku,
to po prostu dobrze znany potencjaÃl kulombowski.

∇ϕ = −

∂

∂t

+ 4 ~

A +

4π

(2.2.19)

gdzie: 4 = ∇

oraz

4ϕ = −4πρ

(2.2.20)

Po rozwia

zaniu powy˙zszych r´owna´n, mo˙zemy obliczy´c pole A.

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

2.3

Zasady zachowania. Twierdzenie Poyntinga.

Zasady zachowania tworza

fundamenty fizyki. Na nich opieraja

sie

wszelkie prawa

oraz zjawiska zachodza

ce w przyrodzie. GÃl´owna

cecha

zasad zachowania jest ich

niepodwa˙zalno´s´c! Do tych podstawowych praw, zaliczamy m.in. zachowanie Ãladunku
elektrycznego, zasady zachowania energii, pe

du, momentu pe

du [Ref 3, Ref 4]. Z

punktu widzenia elektrodynamiki, najbardziej interesuja

nas zasady zachowania ener-

gii oraz pe

du, kt´ore dotycza

podstawowych wÃlasno´sci pola elektromagnetycznego oraz

poruszaja

cych sie

Ãladunk´ow.

Jako pierwsza

rozpatrzmy zasade

zachowania energii, nazywana

r´ownie˙z twierdze-

niem Poyntinga. W tym celu skorzystamy z r´owna´n Maxwella:

rot ~

E = −

∂ ~

∂t

rot ~

B =

∂ ~

∂t

4π

Korzystaja

c z powy˙zszych wzor´ow mo˙zemy obliczy´c naste

puja

ce iloczyny skalarne:

( ~

B, rot ~

E) = −

∂ ~

∂t

= −

∂ ~

∂t

(2.3.1)

( ~

E, rot ~

B) =

∂ ~

∂t

4π

( ~

E,~j)

(2.3.2)

Gdy odejmiemy stronami (2.3.1) od (2.3.2), otrzymamy:

∂ ~

∂t

4π

E,~j

∂ ~

∂t

∂

+ ~

∂t

4π

E,~j

B, rot ~

−

E, rot ~

= 0

(2.3.3)

Korzystaja

c z zale˙zno´sci wektorowej:

div

E × ~

B, rot ~

−

E, rot ~

ostatecznie mo˙zemy zapisa´c prawo zachowania energii w postaci:

8π

∂

∂t

+ ~

= −

4π

div

E × ~

−

E,~j

(2.3.4)

Powy˙zsze r´ownanie (2.3.4) skÃlada sie

z dw´och czÃlon´ow: div

4π

E × ~

¤¢

oraz z ( ~

E,~j).

W pierwszym z nich, wyra˙zenie

4π

E × ~

¤¢

nazywamy wektorem Poyntinga i oz-

naczamy jako:

S =

4π

E × ~

(2.3.5)

Wektor ten reprezentuje ge

sto´s´c strumienia energii, tj. energie

przenoszona

przez pola

w jednosce czasu na jednostke

powierzchni. Zdolno´s´c p´ol do przenoszenia i maga-

zynowania energii, jest jedna

z wa˙zniejszych wÃlasno´sci fal elektromagnetycznych.

2.3. Zasady zachowania. Twierdzenie Poyntinga.

Korzystaja

c z wÃlasno´sci wektora Poyntinga mo˙zemy opisa´c pre

dko´s´c przepÃlywu

energii przez jednostkowa

powierzchnie

dla pÃlaskiej fali elektromagnetycznej. Wektor

ten, korzystaja

c ze zwia

zk´ow pomie

dzy c i µ

, mo˙zna zapisa´c tak˙ze w r´ownowa˙zny

spos´ob:

S =

E × ~

(2.3.6)

gdzie: µ

to przenikalno´s´c magnetyczna pr´o˙zni.

Wymiar wektora Poyntinga okre´slamy jako

[energia]

[pole powierzchni]·[czas]

, co w ukÃladzie jed-

nostek SI przyjmuje posta´c

W r´ownaniu opisuja

cym prawo zachowania energii, liczymy div ~

S. Oznacza to, i˙z

wektor Poyntinga jest okre´slony z dokÃladno´scia

do pewnej staÃlej, w naszym przy-

padku jest to dowolne pole wektorowe (analogicznie jak w przypadku potencjaÃlu
wektorowego i skalarnego). Natomiast drugi z czÃlon´ow, okre´slaja

cy iloczyn skalarny

E,~j

okre´sla ge

sto´s´c mocy (prace

wykonana

w jednostce czasu w jednostkowej

obje

to´sci).

Zatem zasada zachowania energii to suma zmian energii elektromagnetycznej na

jednostke

czasu w pewnej obje

to´sci oraz energii elektromagnetycznej wypÃlywaja

cej w

jednostce czasu przez powierzchnie

ograniczaja

obje

to´s´c, przy czym jest r´owna

(−) pracy wykonanej w jednostce czasu przez pola nad ´zr´odÃlami w tej obje

to´sci.

sto´s´c energii definiujemy jako:

energii

+ ~

8π

(2.3.7)

Druga

z rozpatrywanych przez nas zasad jest zasada zachowania pe

du.

Wybie˙zmy zatem dowolny Ãladunek punktowy, kt´ory porusza sie

w polu E ruchem

jednostajnym z pre

dko´scia

v. Na Ãladunek ten, dziaÃla´c be

dzie siÃla Lorentza F

, kt´ora

wcze´sniej zdefiniowali´smy naste

puja

co:

= q

E +

~v × ~

PosÃluguja

c sie

druga

zasada

dynamiki Newtona, oznaczmy sume

d´ow wszystkich

cza

stek w pewnej obje

to´sci V przez P. Otrzymamy:

ρ ~

E +

~j × ~

(2.3.8)

Aby m´oc wyeliminowa´c ze wzoru (2.3.8) ge

sto´s´c Ãladunku elektrycznego ρ(t, ~r) oraz

sto´s´c pra

du elektrycznego ~j(t, ~r) posÃlu˙zymy sie

r´ownaniami Maxwella (2.1.6) i

(2.1.9):

rot ~

B =

∂ ~

∂t

4π

⇒

~j =

4π

rot ~

B −

∂ ~

∂t

(2.3.9)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

div ~

E = 4πρ

⇒

ρ =

4π

div ~

(2.3.10)

Gdy podstawimy (2.3.9) i (2.3.10) do (2.3.8) otrzymamy naste

puja

ce wyra˙zenie:

4π

∇, ~

B ×

∂ ~

∂t

−

B ×

∇ × ~

¸¶

(2.3.11)

W powy˙zszym r´ownaniu skorzystamy z wÃlasno´sci iloczynu wektorowego:

B ×

∂ ~

∂t

= −

∂

∂t

E × ~

E ×

∂ ~

∂t

a naste

pnie gdy dodamy B(∇, B) = 0, dostaniemy:

4π

E(∇, ~

E)+ ~

B(∇, ~

B)−

E×

∇× ~

−

B×

∇× ~

−

∂

∂t

E× ~

(2.3.12)

Wz´or (2.3.8), przedstawiaja

cy pre

dko´s´c zmiany pe

du, w postaci (2.3.12) mo˙zna za-

pisa´c naste

puja

co:

4πc

∂

∂t

E × ~

4π

E(∇, ~

E) + ~

B(∇, ~

B) −

E ×

∇ × ~

−

B ×

∇ × ~

¸!

(2.3.13)

gdzie caÃlka po lewej stronie r´ownania (2.3.13) opisuje caÃlkowity pe

d pola elektromag-

netycznego P

4πc

∂

∂t

E × ~

(2.3.14)

Funkcje

podcaÃlkowa

[E × B] mo˙zna zinterpretowa´c jako ge

sto´s´c pe

du pola elektro-

magnetycznego. Jest ona proporcjonalna do wektora Poyntinga (ge

sto´sci strumienia

energii), przy czym wsp´oÃlczynnik proporcjonalno´sci wynosi

Zgodnie z zasada

zachowania pe

du, poruszaja

ce sie

cza

stki oraz pola E i B posiadaja

d. Oznacza to, i˙z aby zasada ta byÃla speÃlniona, pe

d tracony przez cza

stki, jest

przekazywany polom.

2.4

Fale elektromagnetyczne. Fala pÃlaska

Przedstawmy r´ownania Maxwella za pomoca

potencjaÃl´ow: wektorowego i skalarnego,

podobnie jak to uczynili´smy w podrozdziale (2.2). Wprowad´zmy jednak pewne ogra-
niczenie dotycza

ce Ãladunk´ow elektrycznych, a mianowicie ich brak. Oznacza to, ˙ze

2.4. Fale elektromagnetyczne. Fala pÃlaska

czÃlony zawieraja

ce ge

sto´s´c Ãladunku ρ oraz ge

sto´s´c pra

du elektrycznego ~j znikna

. Poz-

woli nam to uzyska´c warunek na ¤ ~

E :

∂

∂t

∂

∂t

∂ ~

∂t

∂

∂t

rot ~

rot

∂ ~

∂t

rot

− crot ~

= −rot(rot ~

B) =

= −grad(div ~

E) + ∇

E = ∇

E (2.4.1)

W r´ownaniu (2.4.1) div ~

E = 0, poniewa˙z nasze zaÃlo˙zenia dotycza

pr´o˙zni. Tak wie

¤ ~

E = 0

(2.4.2)

gdzie ¤ jest operatorem d’Alemberta. Powy˙zsze r´ownanie (2.4.2) tworzy ukÃlad r´owna´n
dla skÃladowych (t, x, y, z) :

∂

∂t

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

(2.4.3)

kt´ory rozwia

˙zemy metoda

Fouriera. Metoda ta polega na rozdzieleniu zmiennych

funkcji:

(t, x, y, z) = T (t)X(x)Y (y)Z(z)

(2.4.4)

a naste

pnie scaÃlkowaniu po parametrze zewne

trznym k

. Rozwia

zanie szczeg´olnego

r´ownania falowego przyjmie posta´c:

= E

i(~k~r−ωt)

+ c.c.

(2.4.5)

przy czym wprowadzili´smy oznaczenie ~k~r = k

x + k

y + k

z, w kt´orym k

, k

stanowia

parametry separacji zmiennych. Sa

to wspomniane wy˙zej parametry

zewne

trzne, niezale˙zne od siebie.

Podobny algorytm poste

powania, przeprowad´zmy dla pola B. Ostatecznie otrzy-

mamy wzory dla p´ol E i B stowarzyszonych z fala

pÃlaska

E = E

i(~k~r−ωt)

+ c.c.

(2.4.6a)

B = B

i(~k~r−ωt)

+ c.c

(2.4.6b)

W r´ownaniach (2.4.6), E

oraz B

stanowia

amplitudy fal.

Naszym kolejnym etapem be

dzie policzenie rotacji pola elektrycznego wyste

puja

cego

w (2.4.6). Skorzystamy przy tym z r´ownania Faradaya (2.1.15):

∇ × ~

E = −

∂ ~

∂t

= −

iϕ

(−iω)

= i

iϕ

(2.4.7a)

∇ × ~

E =

∇ × ~

iϕ

= e

iϕ

∇ϕ × ~

= ie

iϕ

~k × ~E

(2.4.7b)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

Przyr´ownujemy stronami powy˙zsze wyra˙zenia, aby wyznaczy´c B:

~k × ~E

(2.4.8)

Podobny algorytm poste

powania zastosujemy obliczaja

c rotacje

pola magnetycznego.

Wykorzystamy r´ownania (2.4.6) oraz Amp´ere’a-Maxwella.

∇ × ~

B = −i

iϕ

(2.4.9a)

∇ × ~

B = ie

iϕ

~k × ~B

(2.4.9b)

Ponownie musimy przyr´owna´c stronami wyra˙zenia r´owno´sci(2.4.9), jednak tym razem
wykorzystamy warto´s´c B otrzymana

w (2.4.8).

~k ×

~k × ~E

= −

(2.4.10)

Wyra˙zenie po lewej stronie r´ownania (2.4.10) upro´scimy, gdy skorzystamy z zale˙zno´sci
”bac-cab”:

a × [b × c]

= b(a, c) − c(a, b)

czyli w naszym przypadku:

~k, ~E

− ~

= −

(2.4.11)

Poniewa˙z wektory k i E sa

ortogonalne, wie

c wyra˙zenie (2.4.11) zredukuje sie

postaci

− ~k

= 0

(2.4.12)

Rozwia

zanie r´ownania (2.4.12) be

dzie jedno, gdy zaÃlo˙zymy, ˙ze jest ono nietrywialne,

tzn. E

6= 0.

gdy :

6= 0

⇒

− ~k

= 0

= c

(2.4.13)

R´ownanie postaci (2.4.13) jest warunkiem dyspersyjnym dla fali pÃlaskiej, kt´ory wraz z
powy˙zszym rozumowaniem, stanowi potwierdzenie poprawno´sci otrzymanych wzor´ow
(2.4.6). Gdy rozwa˙zamy ruch falowy jako og´oÃl zjawisk, to oka˙ze sie

, ˙ze zachowanie

fal mo˙ze by´c dwojakie: moga

ulega´c dyspersji lub te˙z nie. Zale˙zy to od pewnych

czynnik´ow tj. rodzaju fali oraz wÃlasno´sci fizycznych o´srodka propagacji.

Rozwia

zanie szczeg´olne r´ownania falowego (2.4.6) m´owi nam, ˙ze czoÃlo fali pÃlaskiej

jest fala

harmoniczna

. O fali m´owimy, ˙ze jest harmoniczna

, je˙zeli w chwili pocza

tkowej

jej ksztaÃlt przyjmuje posta´c funkcji sinus lub cosinus. Oznacza to, ˙ze funkcje te

tworza

baze

, za pomoca

kt´orej mo˙zemy przedstawi´c fale

2.4. Fale elektromagnetyczne. Fala pÃlaska

Z propagacja

fal nieodzownie zwia

zane jest poje

cie paczki falowej. Paczka falowa

jest skutkiem pracy (rzeczywistego) generatora. Generator wytwarza impuls, kt´ory
tworzy fale. Czas trwania tego impulsu jest ograniczony, wie

c w miare

oddalania sie

fal od generatora utworza

one paczke

falowa

. Z kolei paczka falowa stanowi pewna

reprezenstacje

caÃlki Fouriera, kt´ora

liczymy w granicach od k do k + dk.

Rys 2.4.1 Model dwuwymiarowej paczki falowej.

Kontynuuja

c rozwa˙zania dotycza

ce fali pÃlaskiej w pro˙zni, posÃlu˙zymy sie

superpozycja

fourierowska

paczek falowych. Z jej pomoca

mo˙zemy r´ownie˙z skonstruowa´c r´ownanie

falowe. Pomijaja

c warunki brzegowe, otrzymamy caÃlke

Fouriera:

, k

)

(2.4.14)

oraz posta´c transformacji Fouriera w przestrzeni tr´ojwymiarowej:

(0, ~r) =

d~kE

(~k)e

i~k~r

(2.4.15)

(~k) =

2π

d~rE

(0, ~r)e

−i~k~r

(2.4.16)

kt´ora przy policzeniu dla ka˙zdej skÃladowej (x, y, z):

= E

i(~k~r−ωt)

+ c.c.

(2.4.17a)

= E

i(~k~r−ωt)

+ c.c.

(2.4.17b)

= E

i(~k~r−ωt)

+ c.c.

(2.4.17c)

da warunek

+ k

= 0

(2.4.18)

(~k, ~

) = 0

(2.4.19)

2.5. Niejednorodne r´

ownanie falowe. Generacja fal E-M.

odbiornik) czy te˙z nie. Wykorzystujemy przy tym dwie wÃlasno´sci fali, kt´ore mo˙zemy
modelowa´c. Sa

to mianowicie amplituda oraz cze

stotliwo´s´c. Taki mechanizm jest

wykorzystywany m.in. przy przesyÃlaniu fal radiowych. Stosujemy dwie techniki:
modulujemy amplitude

(fale tzw. ,,AM”-Amplitude Modulation), wtedy w r´ownaniach

(2.4.6) zmieniaja

sie

w czasie E

i B

- amplitudy. Mo˙zna r´ownie˙z zmienia´c cze

stotliwo´s´c

(fale tzw. ,,FM” - Frequency Modulation). Wtedy zmianom w r´ownaniach falowych
podlega ω. W uje

ciu fizycznym, metoda wytwarzania fali zawarta jest w warunkach

brzegowych, kt´ore ograniczaja

liczbe

rozwia

za´n do konkretnego modelu.

2.5

Niejednorodne r´

ownanie falowe. Generacja fal E-M.

W poprzednich rozdziaÃlach rozwa˙zali´smy liniowe r´ownanie falowe. W tym rozdziale
zajmiemy sie

niejednorodnym (nieliniowym) r´ownaniem falowym, tj. w og´olnym przy-

padku gdy f 6= 0:

¤u(t, r) = f (t, r)

Rozwa˙zmy r´ownanie Poissona:

4u(t, r) = f (t, r)

(2.5.1)

w kt´orym r = (x, y, z) ∈ R

. W elektrostatyce f przyjmuje posta´c: f = 4πρ, gdy˙z:

divE = div(gradϕ) = 4πρ, przy czym ρ = ρ(t, ~r) jest ge

sto´scia

Ãladunku. ZakÃladamy

jednak, ˙ze Ãladunki sa

staÃle w czasie, czyli: f (t, r) = f (r). Naste

pnie chcemy wykaza´c,

i˙z rozwia

zanie r´ownania falowego mo˙zna wyrazi´c za pomoca

funkcji Greena G. Dla

fal poruszaja

cych sie

w trzech wymiarach, przy uwzgle

dnieniu warunk´ow brzegowych

oraz funkcji u = u(~r) be

cej potencjaÃlem pochodza

cym od Ãladunku, opisywanego

przez funkcje

f , mamy:

u(~r) =

G(~r, ~r

)f (~r

)d~r

gdzie d~r

= dx

. Funkcje

Greena (w trzech wymiarach) definiujemy analogicznie:

¤G(~r − ~r

) = δ(~r − ~r

)δ(t − t

)

(2.5.2)

co inaczej mo˙zemy zapisa´c jako:

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

−

∂

∂t

= δ(x − x

)δ(y − y

)δ(z − z

)δ(t − t

)

Wprowad´zmy oznaczenie dla |~r − ~r

| = R.

Funkcje

G rozpatrzmy we wsp´oÃlrze

dnych sferycznych. Operator 4 be

dzie skÃladaÃl sie

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

z naste

puja

cych czÃlon´ow:

∂

∂R

∂

∂R

(2.5.3a)

sinϕ

∂

∂ϕ

sinϕ

∂

∂ϕ

(2.5.3b)

sin

∂

∂ϑ

(2.5.3c)

Stosuja

c powy˙zszy zapis otrzymujemy:

G(R) = δ(R)

(2.5.4)

ZwÃlasno´sci funkcji Greena oraz z wÃlasno´sci funkcji δ-Diraca wiadomo, ˙ze

drδ(~r − ~r

) =

dRδ(R) = 1, caÃlkuja

c to po powierzchni kuli o promieniu R, otrzymujemy:

µ Z

2π

G(R)R

cosϑdϑ

dϕ

dR = 1

(2.5.5)

Przy czym mo˙zemy zapisa´c:

G =

∂

∂R

∂G
∂R

co upro´sci caÃlke

(2.5.4) do postaci:

4π

= 4πR

∂G
∂R

= 1

Po trywialnych przeksztaÃlceniach, otrzymujemy r´ownanie r´o˙zniczkowe:

dG
dR

4πR

kt´orego rozwia

zanie przyjmuje posta´c:

G = −

4πR

(2.5.6)

Maja

c posta´c funkcji Greena G, mo˙zemy ja

naste

pnie zastosowa´c do (2.5.3), pamie

taja

i˙z R = |~r − ~r

4πR

= δ(~r − ~r

)

(2.5.7)

Omawiana przez nas fala eletromagnetyczna jest emitowana z punktu pocza

tkowego

r. Rozchodzi sie

ona w caÃlej przestrzeni z jednokowa

pre

dko´scia

v tworza

c kule

promieniu R = |~r − ~r

Gdy fala rozchodzi sie

w pr´o˙zni, promie´n R mo˙zemy opisa´c r´ownie˙z zale˙zno´scia

R = c

− t

, gdzie

− t

to czas, w kt´orym fala pokonuje dystans R =

− r

Schematycznie mo˙zna to przedstawi´c:

2.6. Promieniowanie fal elektromagnetycznych. Przybli˙zenie dipolowe.

Rozpatrywany przez nas przypadek, mo˙zna rozsze˙zy´c na peÃlne r´ownanie falowe (ana-
logicznie jak wy˙zej):

− ~r

d~r

= 1

(2.5.8)

4u =

f dr = f

4G = δ

~r − ~r

¤G = δ

~r − ~r

t − t

(2.5.9)

G =

t − t

−

4πR

(2.5.10)

Powy˙zszy schemat przedstawia rozwia

zanie funkcji Greena dla fali kulistej (prze-

dziaÃly czasowe t

r´owne). Cecha

tej fali, wyra˙zonej (2.5.9) jest to, i˙z pokonuje ona

odlegÃlo´s´c |r − r

| w ´sci´sle okre´slonym czasie t

= t +

. CzÃlon

odpowiedzialny jest

r´ownie˙z za wzrost op´o´znienia propagacji fali kulistej. [ Fale

kulista

mo˙zemy zaob-

serwowa´c, detonuja

c na pewnej wysoko´sci Ãladunek wybuchowy a naste

pnie mierza

rozchodzenie sie

fali uderzeniowej ]

2.6

Promieniowanie fal elektromagnetycznych. Przybli˙zenie
dipolowe.

Nie ka˙zdy Ãladunek promieniuje.

¤ ~

A = −

4π

(2.6.1a)

¤ϕ = −4πρ

(2.6.1b)

RozdziaÃl 2. Podstawowe poje

cia elektrodynamiki

˙Zeby nie caÃlkowa´c wielokrotnie, stosujemy funkcje

Greena:

ϕ(t, ~r) = e

iωt

(~r

)

−i

d~r

(2.6.2)

przy czym punkt R jest punktem obserwacji danym naste

puja

co:

R = |~r − ~r

| ¿ R

(2.6.3)

Rozwi´nmy R w szereg Taylorowski:

R =

(x − x

)

+ (y − y

)

+ (z − z

)

= r +

∂R

∂x

(−x

) +

∂R
∂y

(−y

) +

∂R
∂z

(−z

) + . . . =

= r −

(~r, ~r

)

+ . . . (2.6.4)

gdzie:

r =

+ y

+ z

(2.6.5a)

+ y

+ z

(2.6.5b)

oraz odwrotno´s´c R:

1
r

(~r, ~r

)

+ ...

(2.6.6)

Uzyskane rozwinie

cia stosuje

do (2.6.2).

ϕ(t, ~r) = e

iωt

Z ·

1
r

(~r, ~r

)

+ ...

−i

r−

r,~

)

+...

d~r

(2.6.7)

W powy˙zszym r´ownaniu skorzystajmy z rozwinie

cia funkcji e

w szereg:

r,~

r0)

≈ 1 +

iω

(~r, ~r

)

+ . . .

(2.6.8)