CAKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA I
ZORIENTOWANA (dla I roku studiów IIst. MiBM)
opracowanie: Agnieszka Görlich
1. Oblicz pole poraboloidy z = x
2
+ y
2
odci¦tej pªaszczyznami z = 1, z = 4.
2. Oblicz pole pªata S zadanego parametrycznie
r :
x = u + v
y = u
− v
z = u
,
gdzie u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 1].
3. Oblicz mas¦ pªata powierzchniowego S : z =
1
2
(x
2
+ y
2
)
, z ≤ 2 o g¦sto±ci
ρ(x, y, z) = 5
.
4. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ niezorientowan¡
∫ ∫
S
(x + y + z)dS,
gdzie S jest powierzchi¡ prostopadªo±cianu x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 2], z ∈ [0, 3].
5. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡ z pola ⃗F = [x, y
2
, z
3
]
po
zewn¦trznej stronie powierzchni prostopadªo±cianu x ∈ [−1, 1], y ∈ [−1, 1],
z
∈ [−1, 1].
6. Oblicz caªk¦ powierzchniow¡ zorientowan¡
∫ ∫
S
xdydz + ydzdx + zdxdy,
gdzie S jest wewn¦trzn¡ stron¡ powierzchni x
2
+ y
2
+ z
2
= 16
, z ≤ 0.
7. Oblicz, korzystaj¡c z twierdzenia Stokesa caªk¦
∫
(y
2
+ x
2
)dx + (z
2
+ x
2
)dy + (x
2
+ y
2
)dz.
