CAŠKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA I

SKIEROWANA (dla I roku studiów IIst. MiBM)

opracowanie: Agnieszka Görlich

1. Oblicz dªugo±¢ ªuku x(t) = 3t, y(t) = 3t

2

, z(t) = 2t

3

, gdzie t ∈ [0, 1].

2. Oblicz dªugo±¢ ªuku x(t) = 2 cos t, y(t) = 2 sin t, z(t) = t, gdzie t ∈ [0, 2π].

3. Oblicz dªugo±¢ ªuku x = y

2

, gdzie y ∈ [−1, 1].

4. Oblicz caªk¦ krzywoliniow¡ nieskierowan¡

∫

Γ

xyds,

gdzie Γ jest cz¦±ci¡ okr¦gu x

2

+ y

2

= 1

le»¡c¡ w pierwszej ¢wiartce ukªadu

wspóªrz¦dnych.

5. Oblicz caªk¦ krzywoliniow¡ nieskierowan¡

∫

Γ

x

y

ds,

gdzie Γ jest ªukiem paraboli y

2

= 2x

zawartym miedzy punktami (1,

√

2)

,

(2, 2)

.

6. Oblicz caªk¦ krzywoliniow¡ skierowan¡

∫

Γ

(cos y + y cos x)dx + (sin x

− x sin y + 2)dy,

gdzie Γ jest odcinkiem ª¡cz¡cym punkty A(0,

π

4

)

, B(

π

2

, π)

.

7. Oblicz caªk¦ krzywoliniow¡ skierowan¡

∫

Γ

(x

2

+ y

2

)dx + xydy,

gdzie Γ : x = t, y = e

t

, t ∈ [0, 1].

8. Oblicz caªk¦ krzywoliniow¡ zorientowan¡ po dowolnym ªuku o pocz¡tku
A(0, 0, 1)

i ko«cu B(1, 2, 1) z pola potencjalnego ⃗F = [x + yz, y + xz, z + xy].

9. Oblicz caªk¦ krzywoliniow¡ skierowan¡

∫

Γ

(y

2

− xy)dx + xdy,

gdzie Γ jest ujemnie zorientowanym ªukiem y =

√

x

, x ∈ [0, 1].

10. Sprawd¹, »e caªka

∫

Γ

(x

4

+ 4xy

3

)dx + (6x

2

y

2

)dy

nie zale»y od ksztaªtu krzywej Γ oraz oblicz j¡ w przypadku, gdy Γ jest

okr¦giem (y − 4)

2

= 16

− (x + 3)

2

.

2