CAŠKA PODWÓJNA I POTRÓJNA (dla I roku IIst. MiBM) opracowanie: Agnieszka Görlich

1. Oblicz

∫ ∫

x 2 ydxdy,

D

gdzie D : x 2 + y 2 ≤ 9.

2. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 0, y = −x 2 + x + 2.

3. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej obj¦to±¢ bryªy ograniczonej pªaszczyzn¡

z = 0 oraz powierzchni¡ V : x 2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0.

4. Oblicz

∫ ∫ | cos( x+ y) |dxdy,

D

gdzie D : [0 , π] × [0 , π].

5. Oblicz

∫ ∫

dxdy

,

D (1 − x 2 − y 2)2

gdzie D : x 2 + y 2 ≤ x, x 2 + y 2 ≤ y.

6. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej pole obszaru ograniczonego krzywymi y 2 = 4 x, x + y = 3, gdzie y ≥ 0.

7. Oblicz za pomoc¡ caªki podwójnej obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzch-niami x = 0, x = 1 − |y|, z = 0, z = 105 x − 2 y.

8. Oblicz

∫ ∫ ∫

e−( x 2+ y 2+ z 2)

√

dxdydz,

V

x 2 + y 2 + z 2

gdzie V : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4.

9. Oblicz za pomoc¡ caªki potrójnej obj¦to±¢ bryªy zawartej pomi¦dzy powierzch-niami z 2 = x 2 + y 2, z = 0, z = 4.

10. Oblicz

∫ ∫ ∫

1

1

( ex +

+

) dxdydz,

V

y

z 2

gdzie V = {( x, y, z) : 1 ≤ x ≤ 2 , 2 ≤ y ≤ 3 , − 3 ≤ z ≤ − 1 }.

11. Oblicz

∫ ∫ ∫

sin x sin( x + y) sin( x + y + z) dxdydz, D

gdzie D : [0 , π] × [0 , π] × [0 , π] .

12. Oblicz

∫ ∫ ∫

x 2 dxdydz,

D

gdzie D : 0 ≤ y ≤ 9 − x 2 − z 2.

13. Oblicz

∫ ∫ ∫

z 2 dxdydz,

D

gdzie D : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2, R > 0.

14. Oblicz za pomoc¡ caªki potrójnej obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzch-niami x = − 1, x = 2, z = 4 − y 2, z = 2 + y 2.

2