9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

1

9.

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

9.1. Pierwsze kroki

Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie

zastanawialiśmy się, co będzie się działo z materiałem po przekroczeniu pewnych odkształceń odwracalnych
czyli tzw. sprężystych.

W tym wykładzie postaramy się krótko omówić podstawowy teorii plastyczności. Będziemy tu

analizować zatem stan, kiedy przekroczone zostaną odkształcenia sprężyste. Pojawią się odkształcenia
nieodwracalne nazywane plastycznymi.

Do analizy materiału plastycznego wprowadzamy naprężenia



ij

, prędkości czyli przyrosty

przemieszczeń opisywane jako

˙u

i

oraz prędkości odkształceń plastycznych, które występują podczas

plastycznego płynięcia oznaczane przez

˙

ij

P

.

W teorii ciał idealnie plastycznych definiujemy plastyczne płynięcie jako proces, w którym

naprężenia nie zależą od skali czasu. Oznacza to, że np. podczas przeprowadzenia prób jednoosiowego
rozciągania, przeprowadzonych z różnymi prędkościami odkształceń, wartości naprężeń będą niezmienne i
będą przyjmowały wartości granicy plastyczności. Wynika z tego, że pojawienie się deformacji
plastycznych jest uwarunkowane spełnieniem zależności:

F

=0

(9.1)

Jeżeli ponadto przyjmiemy założenie, że

∂

ij

∂ ˙

kl

P

=

∂

kl

∂ ˙

ij

P

(9.2)

które z całą pewnością spełnione będzie dla materiałów izotropowych, będziemy mogli wykazać, że

prędkości odkształceń plastycznych zostaną wyrażone przez tzw. stowarzyszone prawo płynięcia, które
można zapisać następująco

˙

ij

P

= ˙

∂

kl

∂ ˙

ij

P

(9.3)

gdzie

˙

jest pewnym mnożnikiem skalarnym

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

2

Równość (9.3) pokazuje nam, że wektor prędkości odkształceń plastycznych jest prostopadły do

powierzchni opisanej przez warunek plastyczności. Graficznie możemy to przedstawić następująco

Rys. 9.1. Graficzne przedstawienie stowarzyszenia

Stowarzyszenie polega na tym, że funkcja

F



odgrywa rolę potencjału dla prędkości odkształceń

plastycznych

˙

. Przestawione równanie (9.3) wiąże nam naprężenia z prędkościami odkształceń, ma więc

sens równania fizycznego dla ciał plastycznych

Jednym z ograniczeń na warunek plastyczności, jest wniosek z tzw. postulatu Druckera. Zgodnie z

tym postulatem przyrost pracy wykonanej w cyklu naprężeniowym na nieskończenie małym przyroście
odkształcenia jest nieujemny.

Sens postulatu przedstawimy na przykładzie materiału sprężysto-plastycznego ze wzmocnieniem

liniowym dla jednoosiowego przypadku obciążenia i odciążenia. Przyjmijmy, że naprężenie



odpowiada

punktowi należącemu do powierzchni plastyczności tzn. wymagane jest spełnienie warunku (9.1). Ponadto
załóżmy naprężenie

 '

, które będzie odpowiadać dowolnemu stanowi dopuszczalnemu, a więc takiemu

który leży wewnątrz lub na powierzchni plastyczności, czyli spełniającego warunek

F

0

. Dodajmy

jeszcze, że symbolem

d



oznaczono infinitezymalny przyrost naprężenia,

d



E

- przyrost odkształceń

sprężystych,

d



P

- przyrost odkształceń plastycznych, które zostały wywołane przez

d



.

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater



II



I

˙

pl

powierzchnia plastyczności

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

3

Rys. 9.2. Wykres

−

dla jednoosiowego przypadku obciążenia i odciążenia materiału sprężysto-plastycznego ze

wzmocnieniem liniowym

Z rysunku (Rys. 9.2.) widać, pole prostokąta BCEF jest nie większe od pola prostokąta ABCD.

Możemy to zapisać



− 'd 





d



E

d 

P



−



− 'd 



d



E

0

(9.4)

Jeśli zredukujemy wyrazy podobne otrzymamy



− '



d



P

d  d 

P

0

(9.5)

Jeśli weźmiemy pod uwagę fakt, że wyrażenie

d

 d 

P

jest małą wartością wyższego rzędu i

przyjmiemy, że możemy je pominąć dostaniemy



− '



d



P

0

(9.6)

lub inaczej

 d 

P

 d 

P

(9.7)

Nierówność (9.7) jest prawdziwa zarówno dla materiałów idealnie plastycznych, jak i dla materiałów

ze wzmocnieniem plastycznym.

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

d





 '

D

E

C

A

F

B







d



P

d



E

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

4

Jeśli przyjmiemy, że będziemy potrafili znaleźć plastyczną i sprężystą część odkształceń wówczas

będziemy mogli określić całkowite odkształcenia ze wzoru:

=





pl

(9.8)

gdzie





=



E

to część sprężysta odkształcenia, a



pl

stanowi część plastyczną odkształcenia

Jak możemy wywnioskować z wcześniejszych rozważać dotyczących teorii plastyczności warunek

plastyczności jest nieliniową funkcją składowych stanu naprężenia np. warunek H-M-H (przejście cząstki
materiału w stan plastyczny następuje z chwilą osiągnięcia przez jednostkową energię odkształcenia
postaciowego pewnej wartości krytycznej). Spełnienie warunku plastyczności świadczy o tym, że plastyczne
płynięcie może wystąpić. Nie jest jednak ono bliżej określone - jak przebiega ruch plastyczny, czyli jak
narastają składowe tensora odkształcenia. Te informacje zawiera prawo plastycznego płynięcia wiążące
przyrosty odkształceń plastycznych z naprężeniami lub prędkości odkształcenia plastycznego

˙



pl

z

naprężeniami. Czyli do określonego stanu naprężenia, spełniającego warunki plastyczności, wektor
prędkości odkształceń plastycznych ma kierunek normalnej do powierzchni – mamy tu na myśli
przedstawione wcześniej stowarzyszone prawo płynięcia.

Dla przykładu podajmy, że beton należy do materiałów niestowarzyszonych plastycznie, natomiast

materiały ciągliwe zaliczamy do stowarzyszonych plastycznie (zależą od drugiego niezmiennika)

Algorytm analizy plastycznej MES wymaga:

•

sformułowania standardowej macierzy sztywności stycznej układu

•

sformułowania macierzy konsystentnej do procedur iteracyjnych np. Newtona-Raphsona

•

całkowanie związków konstytutywnych celem zmodyfikowania tensora naprężeń



dla odksztalceń

nieliniowych

Przeanalizujmy następujące zadanie

Mamy belkę pokazaną na rysunku poniżej

Zauważmy, że jeśli belkę obciążymy siłą skupioną, inaczej będą wyglądały odkształcenia w punkcie

A a inaczej w punkcie B.

Na początku włókna w punkcie A będą ściskane, ale po osiągnięciu granicy plastyczności zaczną

ulegać rozciąganiu. Natomiast włókna w punkcie B będą cały czas rozciągane. Przebieg odkształceń we

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

A

B

P

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

5

włóknach w punktach A i B pokazano na wykresie poniżej





0

−

0



A

B



0

Moment, w którym zarówno we włóknach górnych jak i dolnych będą takie same co do wartości i

znaku wartość naprężeń nastąpi wówczas, gdy wielkość przemieszczeń osiągnie wartość równą



0

=d

(9.9)

gdzie d jest wysokością przekroju belki

9.2. Nieliniowości fizyczne

9.2.1. Przyczyny nieliniowości leżące w istocie związku konstytutywnego

Warunek plastyczności (warunek Hubera):

I

z

−k

0

2

=0

(9.10)

gdzie k

0

oznacza wartość graniczną plastyczności. Warunek ten jest obrazem używanego przez nas

zastępczego naprężenia:





x

2

3

xy

2

−k=0

(9.11)

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

6

Omawianą tu plastyczność rozważać będziemy na poziomie:

1) punktu,

2) przekroju,

3) konstrukcji.

9.2.2. Plastyczność na poziomie punktu.

Znany jest nam stan naprężeń punktu {σ}, jednak istotę stanowi znalezienie stanu naprężeń w każdym

punkcie. Rozważmy najpierw zachowanie materiałów nieciągliwych, kruchych.

•

warunek plastyczności dla betonu:

W stanie plastycznym, po przekroczeniu pewnej granicy, mimo odciążania pozostaną trwałe

odkształcenia (oznaczone na rysunku jako ε

pl

):

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

σ

ε

ε

pl

σ

2

σ

1

interpretacja

graficzna warunku

plastyczności dla

betonu

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

7

•

w przypadku rozciągania omawianych materiałów pojawiają się geometryczne nieliniowości. Stan
plastyczny możemy jednak sprowadzić do jednego punktu.

Dla materiałów ciągliwych wyróżniamy dwa typy wzmocnienia:

a) wzmocnienie izotropowe – w wyniku kolejnej deformacji równowagę stanu naprężenia można uchwycić

na rosnącym wzmocnieniu.

Warunek plastyczności Hubera dla materiałów ciągliwych:

Prezentowane na rysunku wzmocnienie izotropowe jest obrazem rzutu przestrzennego walca,

mającego przekątną nachyloną do wszystkich osi pod tym samym kątem. Wprowadza ono dla materiałów
ciągliwych stan quasistatyczny:

=

s



pl

(9.12)

gdzie ε

s

– odkształcenie sprężyste, ε

pl

– odkształcenie plastyczne.

Wzmocnienie izotropowe pozwala nam na znajdowanie stanu plastycznego tylko w obrębie jego

powierzchni.

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

σ

2

σ

1

izotropowe wzmocnienie

wg hipotezy Treski

wg teorii Hubera

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

8

b) wzmocnienie kinematyczne – w tym przypadku możemy zaobserwować efekt histerezy:

Opiszmy ewolucję tensora resztkowego jako {α}. Wówczas dla wzmocnienia kinematycznego

możemy zapisać teorię plastyczności

I

z

{}−{}

(9.13)

Zakładając {α}={0}, {k}={0} otrzymamy stan idealnie plastyczny.

Obiektywną miarą dla porównania stanów naprężeń (na przykład w dwóch różnych punktach) będzie

energia. Przyjmijmy, że znamy stan naprężeń w pierwszym punkcie σ

1

. Możemy σ

1

rozłożyć na aksjator i

dewiator:



1

=

1

A



1

D

(9.14)

Identycznie postąpimy z tensorem naprężeń dla drugiego punktu:



2

=

2

A



2

D

(9.15)

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

σ

ε

σ

2

σ

1

obciążenie dalej jest

przenoszone, powierzchnia

ewoluuje

tensor resztkowy

odciążenie

obciążenie

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

9

Teraz możemy zamienić powyższe tensory na energię:

9.2.3. Plastyczność na poziomie przekroju

Plastyczność na poziomie przekroju możemy omówić na przykładzie symetrycznej belki (przekroju

płaskiego). Wstępne wykresy naprężeń i odkształceń przybierają postać:

Jeśli zdecydujemy się na dalsze odkształcanie belki, to otrzymamy wykres

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

E

E

A

dla punktu 1

E

D

E

E

A

dla punktu 2

E

D

tylko ta część (energia postaciowa)

odpowiada za stan plastyczny

σ

x

ε

M

σ

0

σ

0

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

10

σ

0

oznacza tu naprężenie sprężyste graniczne. Odkształcenia na tym etapie również są sprężyste,

podobnie jak moment w przekroju, który możemy wyznaczyć ze wzoru:

M

0

=

0

bh

2

6

(9.16)

Odkształcając dalej:

Ostatnim etapem jest sytuacja, gdy cały przekrój zostaje uplastyczniony:

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

σ

0

σ

0

cały

przekrój

uplastyczniony

σ

0

odkształcenie ma tutaj charakter stały

σ

0

część

sprężysta

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

11

Moment w tym przekroju obliczymy ze wzoru

M

pl

=

0

bh

2

4

(9.17)

9.2.4. Plastyczność na poziomie konstrukcji.

Plastyczność na poziomie konstrukcji wyrazimy w obciążeniach:

Analiza plastyczna MES wymaga:

•

sformułowania standardowej macierzy sztywności stycznej układu,

•

sformułowania macierzy konsystentnej do procedur iteracyjnych N-R,

•

całkowania związków konstytutywnych, aby zmodyfikować stan naprężeń.

Dla materiałów nieliniowych:

K

t

=

∫

V

B

T

D

t

B dV

K

NL

d 

(9.18)

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

V

H

V

H

powstanie mechanizmu

belkowego

l

l

l

Konstrukcja rozpatrywana jako całość

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

12

gdzie

D

t

=

∂

∂

(9.19)

Dokonamy teraz uaktualnienia naprężeń w punkcie Gaussa:

•

odkształcenia iteracyjne

1) Obliczamy

∂ d :

∂ d =−k

t

−1

⋅r

(9.20)

2) Na podstawie wzoru 9.20 wyznaczamy

∂

:

∂= f ∂ d 

(9.21)

3) Obliczamy

∂

:

∂=D

t

∂

(9.22)

4) Dokonujemy modyfikacji naprężeń:



u

=

0

∂

1

(9.23)

gdzie



0

jest naprężeniem przed aktualną iteracją.

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

σ

ε

K (d) Δd Δp

=

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

13

•

odkształcenia przyrostowe

1) Obliczamy

∂ d :

∂ d =−k

t

−1

⋅r

(9.24)

2) Modyfikujemy przyrostowe przemieszczenia (od ostatniego stanu równowagi):

 d

N

= d

0

 d

1

(9.25)

gdzie

d

0

jest przyrostem przemieszczenia od ostatniej iteracji.

3) Obliczamy przyrostowe odkształcenia:

= f  d 

(9.26)

4) Wyznaczamy przyrostowe naprężenia:

=D

t



(9.27)

5) Modyfikujemy naprężenia:



u

=

0



1

(9.28)

gdzie



0

jest naprężeniem na końcu ostatniego przyrostu.

J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak

AlmaMater

λ

p

d