Elementy teorii przeŜywalności
Podstawą wszystkich rozwaŜań w teorii ubezpieczeń na Ŝycie jest funkcja przeŜycia
s(x). Podaje ona prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe noworodek losowo wybrany z danej
populacji doŜyje wieku x lat. W literaturze ubezpieczeniowej dla oznaczenia osoby w wie-
ku x lat często stosowany jest zapis symboliczny (x). Przyjmuje się, Ŝe model opisujący
czas Ŝycie ludzkiego jest pewną ciągłą zmienną losową.
Niech
:
X
Ω →
Ω →
Ω →
Ω →
Ñ oznacza zmienną losową przyjmującą wartości równe czasowi
Ŝ
ycia noworodka losowo wybranego z danej populacji
Ω
. Niech
( )
Pr(
)
F x
X
x
=
≤
=
≤
=
≤
=
≤
,
0
x
≥≥≥≥
oznacza dystrybuantę zmiennej losowej X, czyli prawdopodobieństwo, Ŝe zmienna losowa
X przyjmie wartości nie przekraczające x, a zatem prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe
ś
mierć nastąpiła w przedziale [0, x]. Zakładamy, Ŝe F(0)=0. Mamy zatem
( )
1
( )
Pr(
)
s x
F x
X
x
= −
=
>
= −
=
>
= −
=
>
= −
=
>
.
Funkcja przeŜywalności s(x) jest malejąca.
Przyjmujemy teŜ, Ŝe istnieje kres górny trwania Ŝycia, tzn. taki wiek w, Ŝe
Pr(
X
>
w
) = 0
oraz
Pr(
)
0
X
w
> − ε >
> − ε >
> − ε >
> − ε >
dla kaŜdego
0
>
ε
. (W Polsce przyjmuje się w
= 100 lub 110 lat).
Prawdopodobieństwo warunkowe, Ŝe noworodek umrze między wiekiem x a wie-
kiem z, przy załoŜeniu, Ŝe przeŜył wiek x, obliczamy ze wzoru
( )
( )
( )
( )
Pr(
|
)
1
( )
( )
F z
F x
s x
s z
x
X
z X
x
F x
s x
−
−
−
−
−
−
−
−
<
≤
>
=
=
<
≤
>
=
=
<
≤
>
=
=
<
≤
>
=
=
−−−−
.
Niech T oznacza przyszły czas Ŝycia osoby (x), tzn., osoby, która ma x lat. Zatem
T = X – x jest teŜ zmienną losową przyjmującą wartości w przedziale [0, w – x]. Niech
( )
Pr( ( )
)
G t
T x
t
=
≤
=
≤
=
≤
=
≤
,
0
t
≥≥≥≥
będzie dystrybuantą zmiennej losowej T(x). W dalszej części wykładu dla uproszczenia
zapisu będziemy zakładać, Ŝe kres górny trwania Ŝycia jest równy +
∞
.
Zmienne losowe X oraz T są to ciągłe zmienne losowe
W rachunku aktuarialnym przyjmuje się następujące oznaczenia:
t
x
p
−
prawdopodobieństwo, Ŝe osoba obecnie w wieku x przeŜyje następnych t lat, tzn.
doŜyje wieku x+t;
t
x
q
−
prawdopodobieństwo, Ŝe osoba obecnie w wieku x nie przeŜyje kolejnych t lat,
tzn. nie doŜyje wieku x+t.
Oczywiście zachodzi równość
1
t
x
t
x
p
q
+
=
+
=
+
=
+
=
.
Umowa
. Jeśli t = 1, to przyjmujemy:
1
x
x
p
p
====
oraz
1
x
x
q
q
====
.
Z powyŜszego widać, Ŝe
t
x
q
jest dystrybuantą zmiennej losowej T wyznaczającej
dalszy czas trwania Ŝycia osoby (x), tzn. zachodzą równości:
Pr( ( )
)
t
x
q
T x
t
=
≤
=
≤
=
≤
=
≤
,
1
Pr( ( )
)
t
x
t
x
p
q
T x
t
= −
=
>
= −
=
>
= −
=
>
= −
=
>
.
Ponadto mamy
Pr(
|
)
Pr( ( )
)
x
X
z X
x
T x
z
x
<
≤
>
=
≤ −
<
≤
>
=
≤ −
<
≤
>
=
≤ −
<
≤
>
=
≤ −
.
Przyjmijmy jeszcze jedno oznaczenie:
|
Pr(
( )
)
t u
x
q
t
T x
t
u
=
<
≤ +
=
<
≤ +
=
<
≤ +
=
<
≤ +
.
Oznacza ono prawdopodobieństwo, Ŝe x–latek przeŜyje jeszcze t lat, a następnie umrze w
przeciągu czasu u.
Twierdzenie. Zachodzą następujące równości
(a)
(
)
( )
t
x
s x
t
p
s x
++++
====
,
(b)
( )
(
)
( )
t
x
s x
s x
t
q
s x
−
+
−
+
−
+
−
+
====
,
(c)
|
t u
x
t
x
u
x t
q
p
q
++++
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
,
(d)
t u
x
t
x
u
x t
p
p
p
+
+
+
+
+
+
+
+
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
,
(e)
1
0
(
)
n
n
x
k
x
x k
k
q
p
q
−−−−
++++
====
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
∑
∑
∑
∑
, gdzie
0
1
x
p
====
.
Równości te wynikają z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz ze wzoru
Pr(
|
)
Pr( ( )
)
x
X
x
k X
x
T x
k
<
≤ +
>
=
≤
<
≤ +
>
=
≤
<
≤ +
>
=
≤
<
≤ +
>
=
≤
.
Wprowadźmy teraz model, w którym czas dalszego trwania Ŝycia jest całkowity.
Przez K(x) oznaczmy zmienną losową, która opisuje liczbę pełnych lat, jakie pozostały do
przeŜycia osobie będącej obecnie w wieku x.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej K(x) określony jest następująco:
1
( )
Pr( ( )
)
Pr(
( )
1)
k
x
k
x
g k
K x
k
k
T x
k
p
p
++++
=
=
=
≤
< + =
−
=
=
=
≤
< + =
−
=
=
=
≤
< + =
−
=
=
=
≤
< + =
−
|
k
x
x k
k
x k
p
q
q
+
+
+
+
+
+
+
+
=
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
=
.
Dystrybuanta zmiennej losowej K(x) jest funkcją schodkową postaci
1|
|
0
( )
...
k
n
x
x
x
k
x
n
G k
q
q
q
q
====
=
=
+
+ +
=
=
=
+
+ +
=
=
=
+
+ +
=
=
=
+
+ +
=
∑
∑
∑
∑
2
1
1
1
(1
)
(
)
...
(
)
1
x
x
x
k
x
k
x
k
x
k
x
p
p
p
p
p
p
q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
−
+ +
−
= −
=
−
+
−
+ +
−
= −
=
−
+
−
+ +
−
= −
=
−
+
−
+ +
−
= −
=
Intensywność wymierania (natęŜenie umieralności)
Chcielibyśmy czasem mieć moŜliwość oceny prawdopodobieństwa zgonu nie w
pewnym przedziale czasu, ale lokalnie w danym momencie t. Prawdopodobieństwo
x
x
p
jest równe 0. Musimy więc rozwaŜać niezerowe przedziały i dokonać przejścia graniczne-
go, czyli innymi słowy posłuŜyć się pojęciem pochodnej.
Definicja. Intensywnością wymierania nazywamy następująco określoną funkcję
0
Pr(
)
lim
Pr(
)
x
x
x
X
x
x
x
X
x
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
<
< + ∆
<
< + ∆
<
< + ∆
<
< + ∆
µ =
µ =
µ =
µ =
∆
>
∆
>
∆
>
∆
>
,
0
x
≥≥≥≥
.
Jeśli dystrybuanta F(x) ma pochodną – oznaczmy ją jako f(x) – to funkcję intensyw-
ności wymierania definiuje się następująco:
( )
( )
1
( )
( )
x
f x
f x
F x
s x
µ =
=
µ =
=
µ =
=
µ =
=
−−−−
.
Funkcja ta nosi teŜ miano funkcji hazardu. Związek między funkcją intensywności
wymierania
x
µµµµ
i funkcją przeŜycia
( )
s x
wyraŜa się wzorem
( )
ln ( )
( )
x
s x
d
s x
s x
dx
′′′′
µ = −
= −
µ = −
= −
µ = −
= −
µ = −
= −
.
Korzystając z tego wzoru moŜna prawdopodobieństwa
t
x
p
i
t
x
q
wyrazić za pomocą
funkcji natęŜenia umieralności
( )
x
µµµµ
. Całkując powyŜszą równość w przedziale (x, x + t)
otrzymujemy
(
)
ln
ln
( )
x t
y
t
x
x
s x
t
dy
p
s x
++++
++++
µ
= −
= −
µ
= −
= −
µ
= −
= −
µ
= −
= −
∫∫∫∫
.
Stąd
exp
x t
t
x
y
x
p
dy
++++
=
− µ
=
− µ
=
− µ
=
− µ
∫∫∫∫
.
MoŜna teŜ pokazać, Ŝe
0
( )
x t
t
t
x
y
x
x y
x
q
f y dy
p
dy
++++
++++
=
=
µ
=
=
µ
=
=
µ
=
=
µ
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
.
Omówione wyŜej charakterystyki trwania Ŝycia mogą być wyznaczone tylko wów-
czas, gdy znany jest rozkład trwania Ŝycia. Nie ma jednego ustalonego rozkładu przyszłe-
go Ŝycia. KaŜda populacja osób w wieku x lat moŜe mieć inny rozkład przyszłego czasu
Ŝ
ycia.
Tablice trwania Ŝycia są konstrukcją teoretyczną umoŜliwiającą prowadzenie szcze-
gółowej analizy procesu wymierania badanej populacji. Podstawę do budowy kaŜdej tabli-
cy Ŝycia stanowią dokładne informacje o:
−
strukturze ludności według płci i roczników urodzenia (lub o strukturze według miej-
sca zamieszkania, lub grup społecznych),
−
zgonów według tych cech.
Konieczność posiadania tych informacji sprawia, Ŝe TTś sporządza się na ogół dla
okresów bliskich spisom ludności.
Podstawą szacowania parametrów prawdopodobieństwa zgonu były między innymi
dane o zgonach. Przy budowie TTś przyjmuje się, Ŝe zgony mają miejsce na początku ro-
ku. Z tego wynika, Ŝe na podstawie TTś moŜemy określić rozkład zmiennej losowej sko-
kowej K(x) związanej z dalszym trwaniem Ŝycia osoby w wieku x. Chcąc uzyskać rozkład
ciągłej zmiennej losowej K(x), musimy uwzględnić fakt, Ŝe zgony mogą zdarzyć się w
kaŜdym momencie. W tym celu przyjmuje się jedno z następujących załoŜeń dotyczących
wymieralności między całkowitymi liczbami lat x i x + 1.
1.Jednostajna umieralność w ciągu roku (UDD) (ang. uniform distribution of deaths).
Zakłada się, Ŝe rozkład zgonów miedzy całkowitymi liczbami lat jest równomierny:
(
)
(1
) ( )
(
1)
s x
t
t s x
t s x
+ = −
+ ⋅
+
+ = −
+ ⋅
+
+ = −
+ ⋅
+
+ = −
+ ⋅
+
,
0
1
t
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
oraz
0,1, 2,... .
x
====
Z jednostajności rozkładu zgonów w ciągu roku wynika liniowość prawdopodobieństwa
t
x
q
względem t w przedziale [0, 1), czyli
t
x
x
q
t q
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅
.
2.Stała intensywność wymieralności. Zakłada się, Ŝe funkcja
x t
++++
µµµµ
ma dla kaŜdego
(0,1)
t
∈
∈
∈
∈
stałą wartość równą:
ln
x
p
µ = −
µ = −
µ = −
µ = −
. Przy tym załoŜeniu mamy
(
)
( )
t
s x
t
s x
e
−µ
−µ
−µ
−µ
+ =
⋅
+ =
⋅
+ =
⋅
+ =
⋅
3.ZałoŜenie Balducciego. ZałoŜenie to jest określone wzorem
1
(1
)
t
x
x
q
t q
−−−−
= −
= −
= −
= −
.
Idea tego załoŜenia polega na liniowej interpolacji odwrotności funkcji przeŜycia:
1
1
1
(1
)
(
)
( )
(
1)
t
t
s x
t
s x
s x
= −
+
= −
+
= −
+
= −
+
+
+
+
+
+
+
+
+
, 0
1
t
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
.