Zad.1.

Dla kształtownika jak na rysunku ze stali ST3, należy wyznaczyć zależność momentu uplastycznienia od siły tnącej.

Rozwiązanie pierwszego przypadku, gdzie: z є ( 0 ;$\ \frac{h}{2}$ – t_f) oraz T є (0 ; T_g).

T=τ_pl*t_w*z*2

z = $\frac{T}{2*\tau_{\text{pl}}*t_{w}}$

T_g = τ_pl*t_w*($\frac{h}{2}$ – t_f)*2

M^*_pl = 2*[σ_pl* t_w*($\frac{h}{2}$ – t_f -2)*$\frac{1}{2}$*($\frac{\ h}{2}$ – t_f -2)+2+ σ_pl*b*t_f*($\frac{h}{2}$ – t_f *$\frac{1}{2}$)

M^*_pl =2 σ_pl*[ t_w*($\ \frac{h}{2}$ – t_f – $\frac{T}{2*\tau_{\text{pl}}*t_{w}}$)*($\ \frac{h}{4}$ – $\frac{t_{f}}{2}$ + $\frac{T}{4*\tau_{\text{pl}}*t_{w}}$)+b* t_f*($\frac{h}{2}$ – $\frac{t_{f}}{2}$)

M^*_pl= f_{I (T)}

Rozwiązanie drugiego przypadku, gdzie: z є ($\ \frac{h}{2}$ – t_f ; $\frac{h}{2}$ ) oraz T є (T_g ;T_max).

T_max= τ_pl*t_w*(h-2t_f)+ τ_pl *b*t_f

T_max= τ_pl*( t_w**(h-2t_f)+ b*t_f

T=τ_pl*t_w*(h-2t_f)+ τ_pl*(z-( $\frac{h}{2}$ – t_f)*2b

z = $\frac{T - \ \tau_{\text{pl}}*t_{w}*(h - 2t_{f})}{2*\tau_{\text{pl}}*b}$ + ( $\frac{h}{2}$ – t_f)

M^*_pl = 2 σ_pl*b*[$\ \frac{h}{2}$ – $\frac{T - \ \tau_{\text{pl}}*t_{w}*(h - 2t_{f})}{2*\tau_{\text{pl}}*b}\ $+ ( $\frac{h}{2}$ – t_f)]* [$\frac{T - \ \tau_{\text{pl}}*t_{w}*(h - 2t_{f})}{2*\tau_{\text{pl}}*b}$ + ( $\frac{h}{2}$ – t_f) + $\frac{1}{2}$*( $\frac{h}{4}$ – $\frac{T - \ \tau_{\text{pl}}*t_{w}*(h - 2t_{f})}{2*\tau_{\text{pl}}*b}\ )$+ ( $\frac{h}{2}$ – t_f)]

M^*_pl= f_{I I(T)}

Wszystkie wartości zostały zestawione w tabelce i pokazane na wykresie poniżej.

DANE
Z
0,00
0,5
1,0
1,5
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
8,5
9,0
z
9,0
9,2
9,4
9,6

Zad.2.

Wyznaczyć obciążenie graniczne „P” ramy tak jak na rysunku wykonanej w całości z kształtowników określonych w zadaniu pierwszym. Należy uwzględnić wyznaczony w zadaniu pierwszym M^*_pl(T).

Powstałe mechanizmy:

mechanizm ramowy mechanizm belkowy

mechanizm złożony

Mechanizm złożony- zniszczenie.

δ₁ = $\frac{\delta}{2}$ tgφ= $\frac{\delta}{L}$ => φ=$\frac{\delta}{L}$

Suma prac sił wewnętrznych i zewnętrznych:

L_W= M_A*φ+2M₂* φ+2M₃* φ = φ(M_A+2M₂+2M₃)

L₂= P* φ+P* φ₁=1,5 P φ

L₂= L_w

1,5 P φ= φ(M_A+2M₂+2M₃)

P=$\ \frac{\varphi}{1,5\ P\ \varphi}$(M_A+2M₂+2M₃)

P=$\ \frac{\frac{\varphi}{2}}{1,5\ P\ \varphi}(MA + 2M2 + 2M3)$

P_gr=P==$\ \frac{1}{1,5\ P\ \varphi}$(M_A+2M₂+2M₃)

M^*_pl =22,322kN/m

T_max=319.92kN

Wyznaczanie reakcji przy założeniu znanych M_A M₂ M₃:

∑M₃^P=H_B*L-M₃

H_B= $\frac{M_{B}}{5}$

∑M_A= 0

V_B*L-M₃+M₃-M₂+M₂+M_A-P*$\frac{L}{2}$ - P*L=0

V_B=1,5P- $\frac{M_{a}}{6}$

∑X= -H_A-H_B+P

H_A= $- \ \frac{M_{B}}{5}$ +P

∑Y= 0

V_A+V_B-P=0

V_A= -0,5P+ $\frac{M_{A}}{5}$

M[kN/m]

T [kN]

Obliczenie obciążenia granicznego z wykorzystaniem metody kolejnych przybliżeń. Wyniki zestawiono w tabelce poniżej.

Symbol przegubu plast.	I przybliżenie	II przybliżenie
	Mpl	T1
A	22,322	20,409
2	22,322	4,464
3	22,322	-1,913
Pgr	3,827	3,297

Mechanizm belkowy - zniszczenie .

$${L_{w} = M_{B} \bullet \rho + {2 \bullet M}_{2} \bullet \rho + M_{4} \bullet \rho = \rho(M_{A} + {2M}_{2} + M_{4)}}{L_{Z} = P \bullet \delta}{L_{w} = L_{Z}}{\rho(M_{A} + {2M}_{2} + M_{4)} = P\delta}{tg\rho = \frac{\delta}{L} = \frac{\delta}{6} \approx \rho = \frac{\delta}{6}}{P = \frac{\rho(M_{A} + {2M}_{2} + M_{4)}}{\delta} = \frac{\frac{\delta}{5}(M_{A} + {2M}_{2} + M_{4)}}{\delta} = \frac{1}{6}(M_{A} + {2M}_{2} + M_{4)}}$$

$$\mathbf{P}_{\mathbf{\text{gr}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{(}\mathbf{M}_{\mathbf{A}}\mathbf{+}{\mathbf{2}\mathbf{M}}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{M}_{\mathbf{4)}}\mathbf{)}}{\mathbf{6}}$$

Dane z zadania 1:

M_pl^* = 22, 322kNm

T_pl = 319, 927kN

Obliczenie obciążenia granicznego z wykorzystaniem metody kolejnych przybliżeń. Rozwiązanie z wykorzystaniem programu Excel pokazano poniżej:

Symbol	I przybliżenie	II przybliżenie
przegubu plast.	Mpl	T1
A	44,544	-17,816
2	44,544	-17,816
		17,816
4	44,544	17,816
Pgr	35,632	35,573