TESTY PARAMATRYCZNE
TESTY PARAMATRYCZNE
Test dla warto
ś
ci oczekiwanej
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny
2. dyspersja znana
0
0
:
m
m
H
=
0
1
:
m
m
H
≠
B. Gładysz 2007
rozkład normalny N(0,1)
Obszar krytyczny
n
m
x
u
σ
0
−
=
Test dla warto
ś
ci oczekiwanej
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny
2. mała próba
3. dyspersja nieznana
0
0
:
m
m
H
=
0
1
:
m
m
H
≠
B. Gładysz 2007
rozkład t-Studenta t(n-1)
Obszar krytyczny
n
S
m
x
t
ˆ
0
−
=
Test dla warto
ś
ci oczekiwanej
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny
2. mała próba
3. dyspersja nieznana
0
0
:
m
m
H
=
0
1
:
m
m
H
≠
B. Gładysz 2007
rozkład t-Studenta t(n-1)
Obszar krytyczny
1
0
−
−
=
n
S
m
x
t
Test dla warto
ś
ci oczekiwanej wzrostu
165
:
0
=
m
H
165
:
1
≠
m
H
165
171
=
−
−
=
−
−
=
m
x
(160
160,
163,
165,
168,
170,
170,
173,
176,
178,
183, 186)
73
,
72
ˆ
7
,
66
171
2
2
=
=
=
S
S
x
B. Gładysz 2007
44
,
2
1
12
7
,
66
165
171
1
0
=
−
−
=
−
−
=
n
S
m
x
t
Obszar krytyczny
( )
2
,
2
11
44
,
2
05
,
0
=
>
=
t
t
Odrzucamy hipotez
ę
na korzy
ść
0
H
1
H
ś
redni wzrost jest ró
Ŝ
ny od 165cm
B. Gładysz 2007
Test jednostronny dla warto
ś
ci oczekiwanej wzrostu
165
:
0
=
m
H
165
:
1
>
m
H
165
171
=
−
−
=
−
−
=
m
x
(160
160,
163,
165,
168,
170,
170,
173,
176,
178,
183, 186)
73
,
72
ˆ
7
,
66
171
2
2
=
=
=
S
S
x
B. Gładysz 2007
44
,
2
1
12
7
,
66
165
171
1
0
=
−
−
=
−
−
=
n
S
m
x
t
Obszar krytyczny
( )
8
,
1
11
44
,
2
05
,
0
=
>
=
t
t
Odrzucamy hipotez
ę
na korzy
ść
0
H
1
H
ś
redni wzrost jest wi
ę
kszy od 165cm
Test dla warto
ś
ci oczekiwanej
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny lub zbli
Ŝ
ony do normalnego
2. du
Ŝ
a próba
3. dyspersja nieznana
0
0
:
m
m
H
=
0
1
:
m
m
H
≠
B. Gładysz 2007
rozkład normalny N(0,1)
Obszar krytyczny
n
S
m
x
u
0
−
=
Test jednostronny dla warto
ś
ci oczekiwanej wzrostu
165
:
0
=
m
H
165
:
1
>
m
H
165
6
,
170
=
−
=
−
=
m
x
n=100
17
,
91
ˆ
26
,
90
6
,
170
2
2
=
=
=
S
S
x
B. Gładysz 2007
872
,
5
100
26
,
90
165
6
,
170
0
=
−
=
−
=
n
S
m
x
u
Obszar krytyczny
65
,
1
872
,
5
05
,
0
=
>
=
u
u
Odrzucamy hipotez
ę
na korzy
ść
0
H
1
H
ś
redni wzrost jest wi
ę
kszy od 165cm
B. Gładysz 2007
Przedział ufno
ś
ci dla warto
ś
ci oczekiwanej
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny
2. mała próba
α
α
α
−
=
−
⋅
+
<
<
−
⋅
−
1
1
1
n
s
t
x
m
n
s
t
x
P
B. Gładysz 2007
gdzie:
t
α
– warto
ść
krytyczna rozkładu t-Studenta t(n-1)
−
−
1
1
n
n
Przedział ufno
ś
ci dla warto
ś
ci oczekiwanej
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny
2. mała próba
α
α
α
−
=
⋅
+
<
<
⋅
−
1
ˆ
ˆ
n
s
t
x
m
n
s
t
x
P
B. Gładysz 2007
gdzie:
t
α
– warto
ść
krytyczna rozkładu t-Studenta t(n-1)
n
n
Przedział ufno
ś
ci dla warto
ś
ci oczekiwanej wzrostu
(160
160,
163,
165,
168,
170,
170,
173,
176,
178,
183, 186)
α
α
α
−
=
−
⋅
+
<
<
−
⋅
−
1
1
1
n
s
t
x
m
n
s
t
x
P
73
,
72
ˆ
7
,
66
171
2
2
=
=
=
S
S
x
B. Gładysz 2007
95
,
0
11
7
,
66
2
,
2
171
11
7
,
66
2
,
2
171
=
⋅
+
<
<
⋅
−
m
P
−
−
1
1
n
n
(
)
95
,
0
4
,
176
6
,
165
=
<
<
m
P
Przedział ufno
ś
ci dla warto
ś
ci oczekiwanej
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny lub zbli
Ŝ
ony do normalnego
2. du
Ŝ
a próba
α
α
α
−
=
⋅
+
<
<
⋅
−
1
n
s
u
x
m
n
s
u
x
P
B. Gładysz 2007
gdzie:
u
α
– warto
ść
krytyczna rozkładu normalnego N(0,1)
n
n
Przedział ufno
ś
ci dla warto
ś
ci oczekiwanej wzrostu
α
α
α
−
=
⋅
+
<
<
⋅
−
1
n
s
u
x
m
n
s
u
x
P
n=100
17
,
91
ˆ
26
,
90
6
,
170
2
2
=
=
=
S
S
x
B. Gładysz 2007
95
,
0
100
26
,
90
96
,
1
6
,
170
100
26
,
90
96
,
1
6
,
170
=
⋅
+
<
<
⋅
−
m
P
(
)
95
,
0
4
,
172
7
,
168
=
<
<
m
P
Test dla wariancji
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny
2
0
2
0
:
σ
σ
=
H
2
0
2
1
:
σ
σ
>
H
B. Gładysz 2007
rozkład chi kwadrat
Χ
2
(n-1)
Obszar krytyczny
2
0
2
2
σ
χ
nS
=
Test dla wariancji
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny
2
0
2
0
:
σ
σ
=
H
2
0
2
1
:
σ
σ
>
H
B. Gładysz 2007
rozkład chi kwadrat
Χ
2
(n-1)
Obszar krytyczny
( )
2
0
2
2
ˆ
1
σ
χ
S
n
−
=
Test dla wariancji wzrostu
49
:
2
0
=
σ
H
49
:
2
1
>
σ
H
(160
160,
163,
165,
168,
170,
170,
173,
176,
178,
183, 186)
73
,
72
ˆ
7
,
66
6
,
170
2
2
=
=
=
S
S
x
B. Gładysz 2007
327
,
16
49
7
,
66
12
2
=
⋅
=
χ
( )
675
,
19
11
327
,
16
05
,
0
2
2
=
<
=
χ
χ
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
na korzy
ść
hipotezy
0
H
1
H
B. Gładysz 2007
Przedział ufno
ś
ci dla wariancji
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny
2. mała próba
α
σ
−
=
<
<
1
2
2
2
ns
ns
P
B. Gładysz 2007
– warto
ść
krytyczna rozkładu chi
2
dla
α
χ
σ
χ
−
=
<
<
1
2
1
2
2
2
ns
ns
P
(
) (
)
1
,
1
2
2
2
1
−
−
n
n
χ
χ
2
1
,
2
α
α
−
gdzie:
Przedział ufno
ś
ci dla wariancji wzrostu
α
χ
σ
χ
−
=
<
<
1
2
1
2
2
2
2
2
ns
ns
P
(160
160,
163,
165,
168,
170,
170,
173,
176,
178,
183, 186)
73
,
72
ˆ
7
,
66
6
,
170
2
2
=
=
=
S
S
x
B. Gładysz 2007
95
,
0
816
,
3
7
,
66
12
92
,
21
6
,
66
12
2
=
⋅
<
<
⋅
σ
P
(
)
95
,
0
7
,
209
5
,
36
2
=
<
<
σ
P
Przedział ufno
ś
ci dla wariancji
Zał.:
1. populacja ma rozkład normalny lub zbli
Ŝ
ony do normalnego
2. du
Ŝ
a próba
α
σ
−
=
<
<
1
s
s
P
B. Gładysz 2007
gdzie:
u
α
– warto
ść
krytyczna rozkładu normalnego N(0,1)
α
σ
α
α
−
=
−
<
<
+
1
2
1
2
1
n
u
s
n
u
s
P
Przedział ufno
ś
ci dla wariancji wzrostu
n=100
17
,
91
ˆ
26
,
90
6
,
170
2
2
=
=
=
S
S
x
α
σ
α
α
−
=
−
<
<
+
1
1
1
u
s
u
s
P
B. Gładysz 2007
95
,
0
200
96
,
1
1
26
,
90
200
96
,
1
1
26
,
90
=
−
<
<
+
σ
P
−
+
2
1
2
1
n
n
(
)
95
,
0
03
,
11
34
,
8
=
<
<
σ
P
Test dla frakcji
Zał.:
1. populacja ma rozkład dwupunktowy
2. du
Ŝ
a próba (n>100)
0
0
:
p
p
H
=
0
1
:
p
p
H
≠
m
B. Gładysz 2007
rozkład normalny N(0,1)
gdzie:
Obszar krytyczny
n
q
p
p
n
m
u
0
0
0
−
=
0
0
1
p
q
−
=
Test dla frakcji kobiet
5
,
0
:
0
=
p
H
5
,
0
:
0
1
≠
p
H
kobiet
m
n
45
100
=
=
5
,
0
100
45
0
−
−
p
n
m
B. Gładysz 2007
Obszar krytyczny
96
,
1
1
05
,
0
=
<
−
=
u
u
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
0
H
frakcja kobiet = 50%
1
100
5
,
0
5
,
0
5
,
0
100
0
0
0
−
=
⋅
−
=
−
=
n
q
p
p
n
u
Przedział ufno
ś
ci dla frakcji
m
m
m
m
Zał.:
1. populacja ma rozkład dwupunktowy
2. du
Ŝ
a próba (n>100)
B. Gładysz 2007
α
α
α
−
≈
−
+
<
<
−
−
1
1
1
n
n
m
n
m
u
n
m
p
n
n
m
n
m
u
n
m
P
Przedział ufno
ś
ci dla frakcji kobiet
α
α
α
−
≈
−
+
<
<
−
−
1
1
1
n
n
m
n
m
u
n
m
p
n
n
m
n
m
u
n
m
P
kobiet
m
n
45
100
=
=
B. Gładysz 2007
95
,
0
100
100
45
1
100
45
96
,
1
100
45
100
100
45
1
100
45
96
,
1
100
45
≈
−
+
<
<
−
−
p
P
(
)
95
,
0
5475
,
0
3525
,
0
≅
<
<
p
P
Test równo
ś
ci dwóch wariancji
lub
2
2
2
1
:
δ
δ
=
o
H
2
1
2
2
1
:
δ
δ
>
H
2
2
2
1
1
:
δ
δ
>
H
Zał.:
1. populacje maj
ą
rozkłady normalne
B. Gładysz 2007
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
2
1
ˆ
,
ˆ
min
ˆ
,
ˆ
max
S
S
S
S
F
=
Rozkład F-Snedecora
(
)
1
,
1
2
1
−
−
n
n
F
Obszar krytyczny
Test równo
ś
ci dwóch wariancji
2
2
:
M
K
o
H
δ
δ
=
2
2
δ
δ
>
(160
160,
163,
165,
168,
170,
170,
173,
176,
178,
183, 186)
K K K K K K K M K M M M
86
,
30
ˆ
27
5
,
166
2
2
=
=
=
S
S
x
67
,
32
ˆ
5
,
24
180
2
2
=
=
=
S
S
x
Kobiety
M
ęŜ
czy
ź
ni
B. Gładysz 2007
05
,
1
86
,
30
67
,
32
=
=
F
2
2
1
:
K
M
H
δ
δ
>
( )
347
,
4
7
,
3
05
,
1
05
,
0
=
<
=
F
F
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
o jednakowym zró
Ŝ
nicowaniu wzrostu m
ęŜ
czyzn i kobiet
0
H
B. Gładysz 2007
Test równo
ś
ci dwóch warto
ś
ci oczekiwanych
Zał.:
1. populacje maj
ą
rozkłady normalne
2. du
Ŝ
e próby
2
1
0
:
m
m
H
=
2
1
1
:
m
m
H
≠
−
B. Gładysz 2007
rozkład normalny N(0,1)
Obszar krytyczny
2
2
2
1
2
1
2
1
n
n
x
x
u
σ
σ
+
−
=
Test równo
ś
ci dwóch warto
ś
ci oczekiwanych
Zał.:
1. populacje maj
ą
rozkłady normalne
2. małe próby
3. jednakowe wariancje
2
1
0
:
m
m
H
=
2
1
1
:
m
m
H
≠
−
x
x
B. Gładysz 2007
rozkład t Studenta t(n
1
+n
2
-2)
Obszar krytyczny
+
−
+
+
−
=
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
S
n
S
n
x
x
t
Test równo
ś
ci dwóch warto
ś
ci oczekiwanych
M
K
m
m
H
=
:
0
M
K
m
m
H
≠
:
1
(160
160,
163,
165,
168,
170,
170,
173,
176,
178,
183, 186)
K K K K K K K M K M M M
Kobiety
M
ęŜ
czy
ź
ni
86
,
30
ˆ
27
5
,
166
2
2
=
=
=
S
S
x
67
,
32
ˆ
5
,
24
180
2
2
=
=
=
S
S
x
B. Gładysz 2007
M
K
m
m
H
≠
:
1
93
,
3
4
1
8
1
2
4
8
5
,
24
4
27
8
180
5
,
166
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
−
=
+
−
+
⋅
+
⋅
−
=
+
−
+
+
−
=
n
n
n
n
S
n
S
n
x
x
t
( )
228
,
2
10
93
,
3
05
,
0
=
>
=
t
t
Odrzucamy hipotez
ę
o równo
ś
ci
ś
redniego wzrostu m
ęŜ
czyzn i kobiet
0
H
Test równo
ś
ci dwóch warto
ś
ci oczekiwanych
M
K
m
m
H
=
:
0
M
K
m
m
H
<
:
1
93
,
3
180
5
,
166
2
1
−
=
−
=
−
=
x
x
t
(160
160,
163,
165,
168,
170,
170,
173,
176,
178,
183, 186)
K K K K K K K M K M M M
B. Gładysz 2007
93
,
3
4
1
8
1
2
4
8
67
,
32
4
86
,
30
8
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
−
=
+
−
+
⋅
+
⋅
=
+
−
+
+
=
n
n
n
n
S
n
S
n
t
( )
812
,
1
10
93
,
3
05
,
0
−
=
<
−
=
t
t
Odrzucamy hipotez
ę
na korzy
ść
hipotezy
ś
redni wzrost kobiet jest mniejszy od
ś
redniego
wzrostu m
ęŜ
czyzn
1
H
0
H
Test równo
ś
ci dwóch warto
ś
ci oczekiwanych
Zał.:
1. populacje maj
ą
rozkłady normalne lub zbli
Ŝ
one do normalnego
2. du
Ŝ
e próby
2
1
0
:
m
m
H
=
2
1
1
:
m
m
H
≠
x
x
−
B. Gładysz 2007
rozkład normalny N(0,1)
Obszar krytyczny
2
2
2
1
2
1
2
1
n
S
n
S
x
x
u
+
−
=
Test równo
ś
ci dwóch frakcji
Zał.:
1. populacje maj
ą
rozkłady dwupunktowe
2. du
Ŝ
e próby (n
1
, n
2
>100
2
1
0
:
p
p
H
=
2
1
1
:
p
p
H
≠
m
m
2
1
−
B. Gładysz 2007
rozkład normalny N(0,1)
Obszar krytyczny
n
q
p
n
m
n
m
u
2
2
1
1
−
=
2
1
2
1
2
1
2
1
1
n
n
n
n
n
p
q
n
n
m
m
p
+
⋅
=
−
=
+
+
=
gdzie: