1

Metoda Monte Carlo

Podstawowa metoda Monte Carlo (MC)

Podstawowym zadaniem metody MC jest estymacja wartości oczekiwanej 

pewnej zmiennej losowej. Wiele problemów można sprowadzić do tego typu

zagadnienia.

Założenia:          jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa (fgp)

 i wartości oczekiwanej:  

Jeżeli  

są niezależnymi zmiennymi losowymi o f.g.p.            To ich średnia arytmetyczna

jest również zmienną losową:

będącą estymatorem wartości oczekiwanej zmiennej losowej 

2

Metoda Monte Carlo

Zgodnie z założeniami centralnego twierdzenia granicznego przy 

średnia arytmetyczna         dąży do zmiennej losowej o rozkładzie normalnym

z wartością oczekiwaną       i wariancją:   

Mając do dyspozycji N niezależnych realizacji 

zmiennej losowej      o pewnej fgp, estymatę wartości oczekiwanej       

wyznacza się ze wzoru:  

a nieobciążoną estymatę wariancji tej zmiennej (nie wartości zmiennej)

przy pomocy wyrażenia:

3

Metoda Monte Carlo

Realizacją zmiennej losowej          jest estymata        , dlatego za miarę dokladności 

można przyjąć odchylenie standardowe estymatora zmiennej losowej 

Obliczając wartość odchylenia standardowego zgodnie z (a) należy dwukrotnie 

odwoływać się do wartości każdej próbki. W przypadku (b) odwołanie jest 

jednokrotne ale błędy zaokrągleń przy sumowaniu mogą spowodować

pojawienie się wartości ujemnych pod pierwiastkiem. 

Interesuje nas wyznaczenie (a raczej estymacja) wartości oczekiwanej 

zmiennej losowej 

ftóra jest funkcją wektora zmiennych (losowych):

o funkcji gęstości prawdopodobienstwa

4

Metoda Monte Carlo

W metodzie MC wykorzystujemy przejście:

Estymację wartości oczekiwanej zmiennej losowej     można wykonać 

wg wzoru:   

oraz wariancję tej zmiennej losowej: 

Trzy powyższe wyrażenia są podstawą metody Monte Carlo przybliżonego 

obliczania całek.

5

Metoda Monte Carlo

Zazwyczaj obszarem całkowania jest określony podzbiór przestrzeni         .

W takim przypadku obliczaną całkę trzeba zapisać w nieco zmienionej postaci:

gdzie:

jest funkcją przynależności do zbioru

Przykład. Dzielnik napięcia powinien zapewniać tłumienie o wartości 0.5 

z dokładnością 2%. Opory r

1

 i r

2

 mają rozrzuty produkcyjne które można 

reprezentować za pomocą niezależnych zmiennych       i      o funkcjach

gęstości prawdopodobieństwa              i              . Wyznaczyć estymatę

uzysku produkcyjnego ´   , czyli średniego odsetka układów sprawnych. 

Tłumienie napięciowe dzielnika:

6

Metoda Monte Carlo

Tłumienie jest realizacją zmiennej losowej:

Rozkład tej zmiennej opisuje fgp              zależna od fgp:

Warunkiem sprawności układu (jednej z wielu realizowanych możliwości)

jest :

Wykorzystujemy metodę MC do estymacji wartości oczekiwanej:

     jest funkcją wektora losowego: 

dlatego uzysk produkcyjny można wyrazić wzorem na średnią wartość 

funkcji przynależności:

7

Metoda Monte Carlo

gdzie:

- iloczyn ze względu na niezależność

   zmiennych losowych

Estymatę uzysku można obliczać jako średnią arytmetyczną:

gdzie:

Są niezależnymi realizacjiami wektora losowego 

Algorytm wyznaczenia uzysku:

1)Wylosuj parę liczb: r

1

 i r

2

, zwiększ N o 1

2)Jeśli obliczone k mieści się w obszarze ­ wówczas zwiększ N

s

 o 1

3)Uzysk oblicz jako wartość ułamka

8

Metoda Monte Carlo

Przykład. Wyznaczyć minimalną liczbę N próbek wystarczającą do wyznaczenia

estymaty uzysku z trzysigmowym błędem względnym:

dla ±  =0.1%,1%,10%.  

Obliczamy wariancję estymatora:

Błąd względny:

Przekształcając go można otrzymać wyrażenie na minimalną liczbę próbek

potrzebną do uzyskania wymaganej dokładności:

9

Metoda Monte Carlo

Zależność minimalnej liczby próbek od założnego uzysku

10

Metoda Monte Carlo

Metody zwiększania efektywności metody Monte Carlo.

Dokładność wyznaczenia całki metodą MC zależy od liczeby próbek N oraz 

wariancji zmiennej losowej:

Wydajność metody można zwiększyć ustalając N i dokonując takiej transformacji

aby nowa zmienna losowa miała mniejszą wariancję.

1. Metoda losowania ważonego

Zakładamy że             jest fgp dodatnio okresloną  dla 

Całkę estymujemy:

11

Metoda Monte Carlo

Zmienna losowa z ma taką samą wartość oczekiwaną jak zmienna losowa y oraz 

wariancję zależną od fgp:

Wariancję etsymatora całki można zmniejszyć odpowiednio dobierając fgp

Najmniejszą wartość wariancja osiąga dla:

Jeżeli G(x) jest funkcją nieujemną, wówczas minimalna wariancja estymatora 

ważonego jest równa 0. Należałoby jednak w takim przypadku znać wartość

całki w mianowniku. Zazwyczaj nie jest to możliwe, dlatego funkcję G(x) 

zastępuje się inną G

1

(x), której całka może być łatwo obliczona. Minimalizacja

wariancji w takim przypadku zależy od jakości zastosowanego przybliżenia. 

12

Metoda Monte Carlo

2. Metoda zmiennej kontrolnej.

Metoda polega na dekompozycji całki:

gdzie:

- jest aproksymacją funkcji G(x) umożliwiającą łatwe obliczenie 

  pierwszego wyrazu po prawej stronie analitycznie lub numerycznie. 

Wariancja zmiennej losowej                               ma znacznie mniejszą wariancję

niż  G(x).

3. Losowanie warstwowe

W metodzie tej obszar całkowania ­  dzieli się na K rozłącznych obszarów:

Całkę I oblicza się jako sumę takich całek: 

gdzie: k=1,2,3,...,K

13

Metoda Monte Carlo

Całki I

k

 można obliczać za pomocą podstawowej wersji metody MC:

Próbki                                         są realizacjami wektora losowego      o fgp:

4. Metoda obniżania krotności całki

Obniżenia krotności całki można dokonać gdy jest mozliwa dekompozycja 

wektora oryginalnych zmiennych losowych:

oraz obszaru:

że zachodzi:

14

Metoda Monte Carlo

Zmienna losowa:

ma zazwyczaj mniejszą wariancję niż           co pozwala dość łatwo 

obliczyć całkę zewnętrzną. Metoda jest skuteczna jeśli potrafimy

dość dokładnie i szybko obliczyć całkę wewnętrzną (analitycznie

lub numerycznie).