RW – 1.2 – dr inż. Jan Ruchel
1/4
Macierze
PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY
Macierz A
m,n
,
gdzie
„ m „ to ilość wierszy, „ n „ ilość kolumn
a
i,j
element macierzy z
”i-tego„ wiersza, „j-tej„ kolumny
Operacje na macierzach
Równość macierzy
A
m,n
= B
m,n
.
def
a
i,j
= b
i,j
8
6
4
2
4
3
2
1
8
6
4
2
4
3
2
1
Dodawanie (odejmowanie) macierzy
A
m,n
± B
m,n
= C
m,n
.
def
c
i,j
= a
i,j
± b
i,j
9
2
13
5
2
3
5
2
1
2
0
2
4
0
12
3
2
1
Mnożenie macierzy przez skalar
A
m,n
* c = B
m,n
.
def
b
i,j
= a
i,j
* c
2
0
3
3
1
3
1
2
1
4
2
1
3
1
0
1
WIERSZ A
i
KOLUMNA A
(j)
A
3,2
RW – 1.2 – dr inż. Jan Ruchel
2/4
Macierze
16
0
48
12
8
4
4
0
12
3
2
1
*
4
Mnożenie macierzy przez skalar jest przemienne
16
0
48
12
8
4
4
*
4
0
12
3
2
1
A
m,n
* c = c * A
m,n
Iloczyn dwóch macierzy
Iloczyn wierszy(sumo-mnożenie) pierwszej macierzy i
odpowiadających elementów kolumn drugiej macierzy
A
m,n
* B
n,s
= C
m,s
.
def
j
k
b
n
k
k
i
a
j
i
c
,
1
*
,
,
2
9
14
7
4
0
2
3
2
1
*
1
2
3
3
2
1
Iloczyn wielu macierzy
A
m,n
* B
n,s
* C
s,t
* D
t,v
= E
m,v
15
16
37
63
0
21
0
1
2
3
0
1
*
1
2
2
1
*
4
0
2
3
2
1
*
1
2
3
3
2
1
Iloczyn wielu macierzy
A
1
2
3
3
2
1
RW – 1.2 – dr inż. Jan Ruchel
3/4
Macierze
B
A*B
SUMA
1
-2
-1
7
14
21
21
3
2
5
9
2
11
11
0
4
4
C
A*B*C
SUMA
1
-2
-1
-21
0
-21
-21
-2
1
-1
5
-16
-11
-11
D
A*B*C*D
SUMA
-1
0
3
2
21
0
-63
-42
-42
2
1
0
3
-37
-16
15
-38
-38
Mnożenie macierzy jest łączne
A
m,n
* B
n,s
* C
s,t
= A
m,n
* (B
n,s
* C
s,t
)
Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania
( A
m,n
+ B
m,n
) * C
n,s
= A
m,n
* C
n,s
+ B
m,n
* C
n,s
Mnożenie macierzy nie jest przemienne
A
m,n
* B
n,s
B
n,s
* A
m,n
2
9
14
7
4
0
2
3
2
1
*
1
2
3
3
2
1
≠
4
8
12
11
10
9
1
2
5
1
2
3
3
2
1
*
4
0
2
3
2
1
Transpoza macierzy
Macierz transponowaną względem macierzy A
m,n
nazywa się taką
macierz
T
m
n
A
,
w której wiersze odpowiadają kolumnom macierzy A
m,n
8
6
4
2
4
3
2
1
T
8
4
6
3
4
2
2
1
a
T
i,j
a
j,i
Transpoza macierzy posiada następujące własności:
RW – 1.2 – dr inż. Jan Ruchel
4/4
Macierze
(A
T
)
T
= A
Transpoza macierzy transponowanej przywraca pierwotną macierz
8
4
6
3
4
2
2
1
T
8
6
4
2
4
3
2
1
(A
T
+ B + C)
T
= (A
T
)
T
+ B
T
+ C
T
= A + B
T
+ C
T
Transpoza sumy macierzy jest sumą macierzy transponowanych
(ABCD)
T
= D
T
C
T
B
T
A
T
Transpoza iloczynu macierzy jest iloczynem macierzy
transponowanych w odwrotnej kolejności.