TECHNIKI ODWRACANIA MACIERZY
I.
Elementarne wyznaczanie macierzy
odwrotnej.
Przykład 1.
=
=
−
2221
12111
;
21
32
aa
aa
AA
Stąd mamy AA
-1
= I
2
czyli:
=
10
01
21
32
2221
1211
aa
aa
czyli:
TECHNIKI ODWRACANIA MACIERZY
I.
Elementarne wyznaczanie macierzy
odwrotnej.
Przykład 1.
=
=
−
2221
12111
;
21
32
aa
aa
AA
Stąd mamy AA
-1
= I
2
czyli:
=
10
01
21
32
2221
1211
aa
aa
czyli:
=
++
++
10
01
2
2
32
32
22
12
21
11
22
1221
11
aa
aa
aa
aa
Stąd otrzymujemy układ czterech równań
z czterema niewiadomymi, który daje się
zapisać, ze względu na możliwość
rozdzielenia zmiennych, jako dwa
niezależne układy dwóch równań z
dwiema niewiadomymi:
=+
=+
=+
=+
12
03
2
;
02
13
2
22
12
22
12
21
11
21
11
aa
aa
aa
aa
-
Skąd otrzymujemy:
a
21
=-1 ; a
11
=2 ; a
22
=2 ; a
12
=-3 . Czyli:
−
=
−
32
1
A
II. Metoda dopełnień algebraicznych.
Twierdzenie 1.
Jeżeli detA
≠
0 to
(A
-1
)
-1
=A
Twierdzenie 2.
Jeżeli macierze A i B są tego samego
stopnia i są nieosobliwe, to:
(AB)
-1
=B
-1
A
-1
Twierdzenie 3.
Jeżeli detA
≠
0 to
det(A
-1
)=(detA)
-1
Twierdzenie 4.
Jeżeli detA
≠
0 i stA = n to:
A
-1
=(detA)
-1
D
T
;
(1)
gdzie D =[D
ij
]
n
x
n
oraz D
ij
=(-1)
i+j
M
ij