RW – 1.5 – dr inż. Jan Ruchel
1/3
Macierze – układ równań
Układ równań
a
1,1
* x + a
1,2
* y + a
1,3
* z = l
1
a
2,1
* x + a
2,2
* y + a
2,3
* z = l
2
a
3,1
* x + a
3,2
* y + a
3,3
* z = l
3
zapis algebraiczny
A * X = L
(zapis macierzowy układu równań)
Macierz odwrotna dla macierzy współczynników przy
ni
ewiadomych układu równań określa rozwiązanie tego układu,
(dla macierzy A kwadratowej i nieosobliwej)
A
n,n
* X
n,1
= L
n,1
1
,
1
,
1
,
*
n
n
n
n
L
A
X
A * X
= L
/
mnożymy lewostronnie
* A
-1
A
-1
* A * X = A
-1
* L
(A
-1
* A) * X = A
-1
* L
( E ) * X
= A
-1
* L
E * X
= A
-1
* L
X
= A
-1
* L
Praktycznie realizacja (wariant 1):
A = H
T
* G
H
T
* (H
T
)
-1
= E
G * G
-1
= E
G
-1
* (H
T
)
-1
= A
-1
X = A
-1
* L
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
,
3
2
,
3
1
,
3
3
,
2
2
,
2
1
,
2
3
,
1
2
,
1
1
,
1
L
l
l
l
3
2
1
X
z
y
x
RW – 1.5 – dr inż. Jan Ruchel
2/3
Macierze – układ równań
Układ trzech równań liniowych
x - 5y + 3z = -5
3x -13y + 17z = -21
2x -14y - 5z = -3
Macierz X
Macierz L
1
-5
3
x
-5
3
-13
17
*
y
=
-21
2
-14
-5
Z
-3
1
-5
3
1
0
0
1
-5
3
3
-13
17
=
3
2
0
*
0
1
4
2
-14
-5
2
-4
5
0
0
1
1
0
0
1.00
0.00
0.00
1
0
0
3
2
0
*
-1.50
0.50
0.00
=
0
1
0
2
-4
5
-1.60
0.40
0.20
0
0
1
1
-5
3
1.00
5.00 -23.00
1
0
0
0
1
4
*
0.00
1.00
-4.00
=
0
1
0
0
0
1
0.00
0.00
1.00
0
0
1
1.00
5.00 -23.00
1.00
0.00
0.00
30.30
-6.70
-4.60
0.00
1.00
-4.00
*
-1.50
0.50
0.00
=
4.90
-1.10
-0.80
0.00
0.00
1.00
-1.60
0.40
0.20
-1.60
0.40
0.20
Macierz X
Macierz L
3
30.30
-6.70
-4.60
-5
1
=
4.90
-1.10
-0.80
*
-21
-1
-1.60
0.40
0.20
-3
Macierz X
Macierz L
1
-5
3
3
-5
3
-13
17
*
1
=
-21
2
-14
-5
-1
-3
Kontrola
Iloczyn
odwrotnośći
Macierz A-1
Rozwiązanie
Macierz A
Odwrotność
Macierz G
-1
Macierz (H
T
)
-1
Macierz A
-1
Odwrotność
Macierz G
Macierz G
-1
E
Macierz G
Rozkład
Macierz H
T
Macierz (H
T
)
-1
E
Układ
Macierz A
Macierz A
Macierz H
T
RW – 1.5 – dr inż. Jan Ruchel
3/3
Macierze – układ równań