Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

1 

 

 

WYKŁAD 1. Informacje wstępne. Sylabus. Wprowadzenie w 

problematykę badao statystycznych. Elementy statystyki 
opisowej 

SYLABUS 



 

1. Wprowadzenie w problematykę badao statystycznych. 
Elementy statystyki opisowej.   



 

2. Próba losowa prosta. Momenty z próby. Model 
Statystyczny. Przykłady statystyk. 
 



 

3. Dystrybuanta empiryczna.  Twierdzenie.Gliwienki-
Cantelliego. Prawa wielkich liczb i Centralne twierdzenia 
graniczne. 
 



 

4.Funkcje charakterystyczne. Własności.  Związek funkcji 
charakterystycznych z rozkładami prawdopodobieostwa. 
 



 

5. Przegląd i charakterystyka ważniejszych rozkładów 
prawdopodobieostwa . Rozkład Chi-kwadrat. Rozkład     
t-Studenta. 
 



 

6. Estymatory i ich własności. Metody estymacji 
punktowej. Problem oceny estymatora. Funkcja ryzyka. 
Związek ryzyka z wariancją i obciążeniem 

 



 

7. Informacja Fishera i nierównośd informacyjna 

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

2 

 

 



 

8. Estymacja przedziałowa. Przykłady konstrukcji 
przedziałów ufności 

 



 

9. Asymptotyczne przedziały ufności. Metoda delta 

 



  10. Weryfikacja hipotez. Metody konstrukcji testów 

statystycznych 

 



  11.Testy parametryczne. Przykłady zastosowań 

 



  12. Testy nieparametryczne. Przykłady zastosowań 

 



 

13. Weryfikacja hipotez dotyczących dwu populacji 
 



  14.Testy ilorazu wiarogodności. Podstawowy Lemat 

Neymana-Pearsona. Krzywa mocy testu. Przykłady 
wyznaczania krzywych 

 



  15. Elementy analizy regresji i analizy wariancji 

Literatura 

[1]  M. Sobczyk.Statystyka Opisowa. CM.BECK, Warszawa 2010 

[2] W. Niemiro. Rachunek Prawdopodobieostwa i Statystyka Matematyczna. 
Biblioteka Szkoły Nauk Ścisłych, Warszawa 1999. 

[3]  M. Krzyśko. Statystyka Matematyczna, UAM, Poznań 2004. 
 
[4]  A. Plucińska i E. Pluciński. Probabilistyka . Rachunek 
Prawdopodobieństwa. Statystyka Matematyczna. Procesy Stochastyczne. WNT. 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

3 

 

Warszawa 2000. 
 
[5]  S. Trybuła. Statystyka Matematyczna z Elementami Teorii Decyzji. OWPW, 
Wrocław 2004. 
[6] W. Krysicki i inni. Rachunek prawdopodobieostwa i statystyka 
matematyczna w zadaniach. Cz.2., PWN, 2007. 

Wprowadzenie w problematykę badao 

statystycznych. 

(por.Sobczyk [1])

 

I.  Przedmiot,  metody  i  organizacja  badao 
statystycznych 

 

Rodowód terminu statystyka pochodzi od słowa 
łacioskiego  status czyli paostwo. (

Gottfried 

Achenwal (1719-1772) 

 

– nazwa „statystyka” pojawiła się w 

piśmiennictwie) 

 

  Do połowy XIX w. statystyka, to  zbiór  danych 

liczbowych  dotyczących paostwa. Rozszerzono 
pojęcie  na inne zbiory danych liczbowych. 
   

  Zbiory danych ujmowano w tablice. Pojawili się  

tabelaryści. (1741 r. praca J. P. Anchersona) 

                

(Opisywano najczęściej warunki bytu ludności , zestawiano  
bilanse itp.) 

  Rozwój nauki: 1835r. W Anglii powołano 

Królewskie Towarzystwo Statystyczne. W 1854 r. 
odbył się w Brukseli I Międzynarodowy Kongres 
Statystyczny. 

  Współcześnie statystyka ma wiele znaczeo:  

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

4 

 

- zbiory danych liczbowych, 
- gromadzenie  oraz opracowywanie danych,  
- charakterystyki zbioru danych,  
- dyscyplina naukowa    o „ ilościowych metodach  
badania prawidłowości występujących w zjawiskach 
masowych” (Kurkiewicz,Stanowski 2005r). 

           - 

potocznie - metody gromadzenia, prezentacji,  

              analizy i interpretacji danych dotyczących zjawisk 
               masowych. 
 
   W 

Polsce,  zasady  gromadzenia  danych,  przechowywania, 

opracowywania,  udostępniania  i  rozpowszechniania  danych  oraz 
wyników badao,   tworzy  System Informacyjny Statystyki Publicznej( 
SIST). Prace SIST  koordynuje GUS.

 

             Statystyka  – w programach nauczania 

 

  statystyka opisowa – wstępna analiza danych 

 

statystyka matematyczna  (wnioskowanie 
statystyczne)

  – metodologia wyciągania wniosków 

(dotyczących badanego zjawiska masowego) na 
podstawie danych statystycznych. Podstawy 
teoretyczne metodologii – rachunek 
prawdopodobieostwa 

Zjawiska masowe (z.m.) 

  metody statystyczne  są wykorzystywane do takich 

z.m. , które dotyczą zbiorowości złożone z dużej 
liczby jednostek (elementów).Na ogół jednostki te 
są podobne ale nie identyczne.  

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

5 

 

 

  prawidłowości  ujawnione w obserwacji z.m. 

nazywamy statystycznymi.(Np. prawidłowości 
dotyczące charakterystyk demograficznych).  

 

Badania statystyczne są pomocne przy podejmowaniu 
decyzji w wielu dziedzinach życia i dają dużą siłę 
poznawczą w różnych dyscyplinach naukowych.  

 

 

Podstawowe pojęcia 

a) Populacja generalna (p.g). (Inne nazwy: populacja, 

zbiorowośd statystyczna) 

  p.g.- zbiór elementów (jednostek) objętych 

badaniem.  

b) Cecha statystyczna – badana właściwośd elementów 
p.g. Bada się te cechy, które różnią elementy p.g - 

 (inna nazwa - zmienna obserwowalna). 

  cech jakościowe(niemierzalne) i ilościowe 

(mierzalne)   

  cechy o wartościach skokowych (dyskretnych) i 

ciągłych 

  Cechy wielowymiarowe. 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

6 

 

Organizacja badao statystycznych 

Etapy 

  przygotowanie  badania:  cel,  metoda  (badanie 

pełne, 

częściowe), 

zbiorowośd 

statystyczna, 

badane cechy, jednostki sprawozdawcze. 

  obserwacja  statystyczna:  ustalenie  wartości  cech 

ilościowych  lub  odmian  cech  jakościowych  w 
badanej  próbie  lub  całej  populacji  –  zbieranie 
danych - materiał statystyczny pierwotny i wtórny.  

  opracowanie 

materiału 

statystycznego: 

grupowanie i zliczanie, 

  prezentacja  materiału  statystycznego:  szeregi 

statystyczne, 

  opis lub wnioskowanie statystyczne.  

 

Szereg statystyczny – zbiór wyników obserwacji cech 
(materiał statystyczny)                                                                                                                                 

                                                  

 



 

                    



 

                     



 

               

 

 



 

szereg szczegółowy   rozdzielczy       przestrzenny        dynamiczny      

(uporządkowany)    (strukturalny)   (geograficzny)       (czasowy)        

                                 

wariantom cechy  

                                            przyporządkowuje się 

                                            liczebności

 

lub częstości 

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

7 

 

 Przykład szeregu rozdzielczego punktowego: 

Ocena testu (cecha) 

2 

3 

4 

5 

Liczba studentów  

3 

20  6 

1 

 

Dane jakościowe 

  Podstawą analiz statystycznych są:  

-    rozkład  empiryczny  cechy.  (Pojęciem  tym  określa  się 
przyporządkowanie 

poszczególnym 

wariantom 

cechy, 

obserwowalnym w próbce, liczności lub częstości  ich występowania). 

-     wykresy: kołowe, słupkowe…  

Przykład  

 

Tabela:  Skład wyznaniowy ludności Warszawy w 1864 i 1917 (K.M. str.14,15)  

 

Wyznanie 

      Rok 

Liczebnośd 

1864 

   % 

       Rok 

Liczebnośd 

1917 

  % 

Katolicy 

131808 

 59.1  

     387069 

 46.2 

Prawosławni 

    3026 

   1.4 

          3961 

   0.5 

Ewangelicy 

  15909  

   6.7 

         12147 

   1.5 

Żydzi 

   72772 

 32.6 

       329535 

  39.3 

Inne 

       287 

   0.2 

       104500 

  12.5 

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

8 

 

Dane ilościowe  

  tablice,  szeregi rozdzielcze,  wykresy  
  histogram : zbiór przylegających prostokątów; 

podstawa - rozpiętośd klasy, wysokośd -  
liczebnośd,  częstotliwośd lub  natężenie 
liczebności.  

  wielobok liczebności(częstości)- łamana 

powstała przez połączenie punktów 
odpowiadającym środkom klas i odpowiadającym 
licznościom (częstościom)) 

  dystrybuanta empiryczna 

 

3. Grupowanie danych 

Przykład. 

Rejestr wieku 20 pracowników zgłaszających się na 

badanie lekarskie w pewnej firmie: 

36, 41, 33, 34, 38, 26, 33, 36, 30, 48, 39, 31, 35, 36, 38, 37, 22, 
31, 25, 32. 

 Liczba różnych wartości cechy = 16. Wykres 16-słupkowy 
mało czytelny – wkładamy wartości cechy w przedziały, np:  

[20,25), [25,30), [30,35), [35,40), [40,45), [45,50) 

     1               2         7             8           1           1 

Szereg rozdzielczy przedziałowy przedstawia się graficznie w postaci wykresu 
nazywanego histogramem. 

 

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

9 

 

 

 

 

 

 



 

Przy dużej liczności próbki dane grupuje się w przedziały klasowe. 
Najczęściej tworzy się szereg rozdzielczy z klasami o jednakowej 
długości (nie jest to konieczne). Liczbę klas dobiera się w zależności 
od liczności próbki n. Praktycy mają swoje sposoby na ustalania 
liczby klas. Niektórzy zalecają przyjąd liczbę klas k spełniającą 
nierównośd 

n

k

n





4

3

 



 

Jeżeli przyjąd, że klasy będą jednakowej długości to praktycy 
zalecają wyznaczyd długośd klasy z następującego wzoru 

     Długośd klasy:                    

k

x

x

min

max



  

max

x

, 

min

x

 oznaczają odpowiednio największą i najmniejszą 

obserwację. 

 

Końcowy etap badania statystycznego 

 

Opis statystyczny (dziedzina statystyki opisowej) 



 

dotyczy całej badanej populacji lub jej podzbioru (próby, 
która nie musi byd losowa). Miary opisu: miary centralne 
(np.  średni  poziom  cechy),  rozproszenia  (dyspersji), 
asymetrii, ... 

histogram liczebności 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

10 

 

  dotyczy także współzależności zjawisk - powiązao między 

różnymi cechami zbiorowości (np. staż pracy  
i wynagrodzenie w ustalonej firmie). 

  dotyczy  również  dynamiki  zjawisk  (rozwój  badanego 

zjawiska w czasie  nazywa się szeregiem czasowym)  



  Wnioskowanie statystyczne 

  Wnioskowanie  o  generalnej  populacji  na  podstawie 

próby  losowej  (wnioskowanie  reprezentacyjne)  – 
uogólnianie  wyników  z  próby  na  całą  zbiorowośd 
statystyczną.  W  zakres  wnioskowania  wchodzi 
estymacja 

i 

testowanie 

hipotez. 

Teoretyczną 

podstawą jest rachunek prawdopodobieostwa  

 

Przykłady problemów statystycznych 

1 . Testowanie hipotezy, że producent utrzymuje  
zapowiedzianą na opakowaniu normę. 

Listwy podłogowe dostarczane przez tartak powinny mied średnią 
długośd 240 cm z odchyleniem standardowym 15cm. 
Czy można na poziomie istotności

05

,

0





 twierdzid, że dostarczona 

duża partia listew jest zgodna z tą normą, jeśli w losowej próbie 20 
listew średnia długośd wynosiła 234 cm.  (Można założyd, że rozkład 
długości produkowanych listew jest normalny).  
 

2.  Sprawdzanie rzetelności kostki do gry planszowej 

 

W celu sprawdzenia , czy kostka sześcienna do gry jest rzetelna 
(symetryczna) wykonano 120 rzutów, uzyskując wyniki:     

Liczba oczek 

1  2  3  4 

5 

6 

Liczba rzutów 

11  30  14  10 

33 

22 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

11 

 

Zweryfikuj, na poziomie istotności 0.05,  hipotezę, że kostka jest 
rzetelna.  

3. Przykład zadania ze statystyki opisowej 

1.  

Przeprowadzono badania dotyczące rozkładu czasu trwania 

rozmów telefonicznych. Wyniki – w minutach - dla 32 połączeo 
telefonicznych przedstawiały się następująco: 

Czas   
rozmowy 

liczba  
 rozmów 

     0 –   5         7 
     5 – 10       10 
   10 –15         8 
   15 –20         4 
   20 –25         2 
   25 –30         1 
 

     32 

 

a) podaj średni czas rozmowy………………………………………………………………………………………….    

b)  Wyznacz następujące miar zróżnicowania czasu  trwania  rozmów  i podaj ich wartości: 



 

wariancję empiryczną i odchylenie standardowe……..……………………………………………   

………………………………………………………………………………………………………………………… 



 

typowy obszar zmienności badanej cechy…… ………………………………………….…………   

………………………………………………………………………………………………………………………… 



 

Oceo (w przybliżeniu) jaki procent rozmów znajduje się w typowym obszarze……….. 
zmienności? …………………………………………………………………………………………………………

 

          Prezentacja  i analiza danych empirycznych 

a) szereg punktowy: x

1, 

x

2

,…, x

n 

b)  szereg rozdzielczy punktowy, 

c) szereg rozdzielczy przedziałowy. 

 

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

12 

 

Ad b) Schemat szeregu rozdzielczego punktowego 

Cecha 

x

1 

licznośd 

n

i

  

częstość 

w

i 

Udział procentowy 

w

i

 100 

 x

2 

n

1

 

w

1

 

w

1

 100 

x

3

 

n

2

 

w

2

 

w

2

 100 

x

4

 

n

3

 

w

3

 

w

3

 100 

... 

 

 

 

x

k

 

n

k

 

w

k

 

w

k

 100 

Suma 

n 

1 

100 

 Ad c) Schemat szeregu rozdzielczego przedziałowego 

Cecha 

x

0i

-x

1i 

licznośd 

n

i

  

częstość 

w

i 

Udział procentowy 

w

i

 100 

 x

01

-x

11

 

n

1

 

w

1

 

w

1

 100 

x

02

-x

12

 

n

2

 

w

2

 

w

2

 100 

x

03

-x

13

 

n

3

 

w

3

 

w

3

 100 

... 

 

 

 

x

0k

-x

1k

 

n

k

 

w

k

 

w

k

 100 

Suma 

n 

1 

100 

Rozważmy szereg punktowy częstości 

Wartości cechy 

x

1 

x

2

  …  x

n

 

częstosci wzgledne  w

1 

w

2 

…  w

n 

gdzie  w

i

 = n

i

 /n,   n

i

 – licznośd i-tej obserwacji w próbie,                    

n-ogólna liczba obserwacji. 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

13 

 

Dystrybuanta empiryczna, to taka funkcja : F: R          

 że F(x)=   

 

 

     

 

   

 

                          Materiał na dwiczenia 

        Opis próbki empirycznej. 

Mierniki statystyczne: średnia 

arytmetyczna, mediana, dominanta, wariancja, odchylenie 
standardowe skośnośd i kurtoza.

 

Miary opisowe rozkładu empirycznego 

  Syntetyczny sposób charakteryzacji struktury danych 

statystycznych: poziom cechy, zróżnicowanie wartości 
oraz kształt rozkładu.  
  Miary położenia (inne nazwy- miary tendencji 

centralnej, przeciętnego poziomu): średnia 
arytmetyczna, dominanta, kwantyle, kwartyle, 
mediana 

 

  Miary rozproszenia (inne nazwy - miary 

zróżnicowania, zmienności, rozrzutu, dyspersji): 
rozstęp, wariancja, odchylenie standardowe, 
typowy obszar zmienności, klasyczny współczynnik 
zmienności, odchylenie dwiartkowe (kwartylowe) 

 

  Miary kształtu rozkładu: współczynnik skośności 

Pearsona, klasyczny współczynnik zmienności, 
pozycyjny współczynnik asymetrii, współczynnik 
kurtozy.   

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

14 

 

Miary położenia 

1) Średnia arytmetyczna, oznaczenie  x  

a) szereg szczegółowy  

x

1

, x

2

, ...,x

n  

- wartości cechy w doświadczeniu 

 

)

x

x

x

(

n

1

x

n

2

1















=





n

1

i

i

x

n

1

 

     b) szereg rozdzielczy punktowy 

 

Ogólnie:    



















k

1

i

k

1

i

k

1

i

i

i

i

i

i

i

w

x

n

n

x

n

x

n

1

x

 

c) szereg rozdzielczy przedziałowy 

Przykład. X – wyraża czas dojazdu do pracy w min. 

 

   Ogólnie: mamy k przedziałów klasowych:i=1,2,...,k 

                   x

0i

-dolna granica i-tego przedziału 

                    x

0i

-górnana granica i-tego przedziału 

            

i

x

-środek i-tego przedziału 

     



















k

1

i

k

1

i

k

1

i

i

i

i

i

i

i

w

x

n

n

x

n

x

n

1

x







 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

15 

 

        Własności  

           

max

min

x

x

x





 ,     







n

1

i

i

)

x

x

(

 = 0    

             

 







n

1

i

2

i

)

x

x

(

 



  







n

1

i

2

i

)

x

x

(

  dla każdego x 

 

2. Dominanta  (moda, wartośd najczęstsza)                  

  Miara tendencji centralnej – najczęściej występująca 

wartośd cechy w zbiorze.  
Oznaczenie- D 

Przykład: X-liczba wizyt w kinie 

          0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3  

                      D = 1 

a) szereg szczegółowy i szereg rozdzielczy punktowy 

D = wartośd najliczniejszego wariantu cechy 

b) szereg rozdzielczy przedziałowy 

Dominantę wyznacza się w rozkładzie, który ma: 

   wyraźnie zaznaczone maksimum 
  zbliżony jest do symetrycznego 

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

16 

 

 

   .  - 

    .  -   

    .  - 

    .  - 

   .   - 

       - 

 

                                                                                 

      

             

Dominanta  

h

)

n

n

(

)

n

n

(

n

n

x

D

1

D

D

1

D

D

1

D

D

D

0



















     (*) 



 

Wzór (*) można także podad w wersji odpowiadającej  
rozkładowi określonemu za pomocą częstości . Ma on 
wtedy postad: 

)

w

w

(

)

w

w

(

w

w

x

D

1

D

D

1

D

D

1

D

D

D

0



















h 

w

D

, w

D-1

, w

D+1 

oznaczają odpowiednio częstości względne 

przedziałów dominanty, przedziału poprzedniego i 
następnego.

 

3. Kwantyle                                                                

Kwantyle są miarami pozycyjnymi. Charakterystyki te 
wskazują  na położenie rozkładu względem osi liczbowej, 

 

x

0D

- dolna granica dominującego przedziału 

n

D

  - licznośd dominującego przedziału   

n

D-1 

– licznośd przedziału poprzedniego 

n

D+1

 - licznośd przedziału następnego 

h

     

-  rozpiętośd dominującego przedziału 

Równanie dłuższej prostej : L(t)= n

D-1

+ (t-x

0D

) 

h

n

n

1

D

D





 

Równanie  krótszej prostej: L(t)= n

D

+ (x

0D

-t) 

h

n

n

1

D

D





 

Punkt przecię

cia prostych =  dominanta ( D) 

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

17 

 

na której zaznaczono  wartości cechy.  Kwantylem rzędu p 
(0<p<1) w rozkładzie  jest taka  wartośd cechy,  że 

%

100

p



 

obserwacji  ma wartości nie większe od niej . 

Kwantyle rzędu p = 1/4 i p=3/4 nazywają się kwartylami. 
Oznaczamy je odpowiednio

4

/

3

4

/

1

Q

,

Q

. 

Kwantyl rzędu p = ½  nazywa się medianą. Oznaczamy go 
literą M. 

4. Mediana 

W przybliżeniu można powiedzied, że jest to środkowa 
wartośd cechy w doświadczeniu. Dzieli  ona wartości próbki 
na połowy tak, że połowa obserwacji ma wartości nie 
większe od niej a druga nie mniejsze. 

a) szereg szczegółowy uporządkowana lub szereg 
rozdzielczy punktowy 

  

 

 

 

Przykład. 1, 3,  5 , 6,  9 ;       M= 5  

                1, 3,  5 , 6,  9, 10;    

5

.

5

2

6

5

M







 

 

liczebnośd 

parzysta 

2

x

x

M

2

/

)

2

n

(

2

/

n







 

liczebnośd 

nieparzysta 

2

/

)

1

n

(

x

M





 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

18 

 

Wyznaczanie mediany w przypadku szeregu rozdzielczego 

przedziałowego 

Przykład. Czas obsługi klienta w sklepie w min. (przedziału 
prawostronnie domknięte) 

x

0i

-x

1i 

   n

i 

        w

i 

 n(x

i

) = 

licz. sk. 

  F

n

(x

i

 ) = 

czest. sk. 

0-4 

4-8 

8-12 

12-16 

16-18 

12 

16 

10 

  9 

  3 

   0,24 

   0.32 

   0.20 

   0.18 

   0.06 

 

  12 

  28 

  38 

  47 

  50 

  0.24 

  0.56 

  0.76 

  0.94 

  1 

 

suma 

  50 

       1 

 

 

 



 

Zauważmy,  że środkowa obserwacja:   n/2 = 25, po raz pierwszy 
została przekroczona w przedziale (4,8+.  



 

Przyjmujemy następujące (upraszczające)  założenie.     

(**)              Obserwacja w przedziałach są rozłożone  równomiernie.   

Zatem  w przedziale (4,8] obserwacje są  w odstępach (8-4)/16   =  
0.25

 



 

Stąd wynika, że 25 obserwacją jest 13 obserwacją z 
przedziału (4,8+, co oznacza, że jest to wielkośd  

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

19 

 

              M= 4+ (13) (0.25) = 7.25 

  Ogólny wzór na medianę jest oparty na opisanej metodzie.    

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego przyjmuje się 
następujący wzór na wyznaczanie mediany (M) 

 

(***)       

M

M

M

0

M

0

n

h

)

x

(

n

2

n

x

M







 





 

gdzie  

 x

0M

 – dolna granica przedziału , w którym znajduje  

się mediana,  

)

x

(

n

M

0

- licznośd skumulowana do dolnej granicy 

   przedziału median, h

M  

–  rozpiętośd przedziału mediany,             

n

M 

 –  licznośd przedziału mediany, n  -     liczba zbadanych 

jednostek. 

Wyznaczanie mediany za pomocą częstości względnych 

(dystrybuanty empirycznej) dla cech ciągłej 

 Ta metoda opiera się na przekształconym wzorze (***).  

Jeżeli znamy dystrybuantę empiryczną to mediana jest taką 
wartością cechy, która po raz pierwszy przekroczy wartośd 
0.5. 

Uwagi. Mediana jest miarą tendencji centralnej dla 
wartości cechy w próbce -lokuje  „środek rozkład ”. 

Jest niewrażliwa na występowanie „odstających”  t.zn. 
bardzo małych lub bardzo dużych wartości cech.   

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

20 

 

5. Kwartyle rzędu  1/4 i ¾.   Oznaczamy je odpowiednio

4

/

3

4

/

1

Q

,

Q

 

  Pierwszy kwartyl 

,

Q

4

/

1

oznacza, że 25%  zbiorowości 

przyjmuje wartości nie większe niż  

4

/

1

Q

a  75% nie 

mniejsze. 

  Trzeci kwartyl 

,

Q

4

/

3

 oznacza, że 75%  zbiorowości 

przyjmuje wartości nie większe niż  

4

/

3

Q

a  25% nie 

mniejsze. 

   Drugi kwartyl to mediana 

 

Wzory na wielkości kwartyli 

  Dla szeregów punktowych (bez poprawki na parzystośd)          

Q

1 



)

4

/

n

(

x

   ;                                                     

Q

3 



 

)

4

/

n

3

(

x

      

  Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych 

1

1

1

1

Q

Q

Q

0

Q

0

)

4

/

n

(

1

n

h

)

x

(

n

4

n

x

x

Q







 







 

3

3

3

3

Q

Q

Q

0

Q

0

)

4

/

n

3

(

3

n

h

)

x

(

n

4

n

3

x

x

Q

















 

gdzie 

3

1

Q

0

Q

0

x

,

x

- Dolne granice przedziałów odpowiednio dla Q

1, 

Q

3; 

)

x

(

n

1

Q

0

,

)

x

(

n

3

Q

0

 - liczebności skumulowane do momentu pojawienia się 

odpowiednio przedziału pierwszego i przedziału trzeciego kwartyla; 

3

1

Q

,

Q

h

h

- rozpiętości przedziałów odpowiednio pierwszego i trzeciego 

kwartyla; 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

21 

 

2

1

Q

Q

n

,

n

licznośd przedziałów odpowiednich kwartyli. 

Miary rozproszenia (inne nazwy - miary zróżnicowania, 
zmienności, rozrzutu, dyspersji) 

1. Rozstęp  

Całkowita zmiennośd w wartości cechy w próbie 
(wstępna ocena  dyspersji,  miara pozycyjna)  

R= x

max

 - x

min 

x

max

 – najwyższa wartośd cechy 

 x

min 

– najniższa wartośd cechy 

Wykres pudełkowy czasu obsługi 

 

 

                   

x

min

    Q

1

     M                    Q

3

                    

x

max

   

 Wykres pudełkowy pozwala różne parametry rozkładu 
przedstawid poglądowo.   

Wartości cechy w przedziale 

]

M

,

Q

[

1

 są bardziej „zagęszczone” niż w 

].

Q

,

M

[

3

 

2. Wariancja z próby 

a)

 szereg szczegółowy, (n = licznośd próby, k = liczba 

wariantów cechy). 

       



2

S

  

n

1







n

1

i

2

i

)

x

x

(

    -  wartośd średnia sumy 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

22 

 

                          kwadratów odchyleo od średniej 

b) szereg rozdzielczy punktowy 



2

S

  

n

1







k

1

i

i

2

i

n

)

x

x

(

  

c) szereg rozdzielczy przedziałowy 



2

S

  

n

1







k

1

i

i

2

i

n

)

x

x

( 

 

     Uproszczona formuła liczenia S

2

 

Po prostych przekształceniach  można wykazad , że  



2

S

  

n

1







k

1

i

i

2

i

n

)

x

x

(

 =   

n

1

2

k

1

i

i

2

i

x

)

n

x

(







 

3. Odchylenie standardowe 

Bezwzględna miara zróżnicowania: S = 

2

S

 

4. Typowy obszar zmienności wartości cechy w 
doświadczeniu 

s

x

x

s

x

typ









 

Przykład. Komunikat: Średnia temperatura lipca  wynosi  
17

0 +

_

2

0 

Typowy obszar zmienności to przedział *15

0

, 19

0

] 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

23 

 

5. Standaryzowane wartości cechy.                                    

Przy porównywaniu obszarów zmienności kilku cech 
wygodnie jest  wprowadzid uniwersalny obszar zmienności.  

W tym celu przekształcamy wartości cechy: 

                   u

i

 = 

s

x

x

i



   

Typowy obszar zmienności dla przekształconych wartości 
cechy to 

                     -1

1

u

i





   

Przykład zastosowania (slajd) 

 

6. Klasyczny współczynnik zmienności 

Względna miara zróżnicowania cechy:  

V=

%

100

x

S

 

7. Odchylenie dwiartkowe 

(kwartylowe)

 

    

  Bezwzględna miara zróżnicowania – rozstęp 

uwzględniający 50% środkowych wartości 

Q= Q

3/4

 – Q

1/4 

 

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

24 

 

Miary skośnośd i spłaszczenia rozkładu 

 1. 

Współczynnik skośności Pearsona 

Charakteryzuje asymetrię rozkładu przez porównanie 
średniej i dominanty 

                      w

pirson

= 

S

D

x



  

2. Klasyczny współczynnik asymetrii 

  

Charakteryzuje skośnośd rozkłady za pomocą 3 

momentu centralnego z próby 

W

klasyk

=

3

3

S



 

Niech  n = licznośd próby, k = liczba wariantów cechy 

a) szereg szczegółowy  





3

  

n

1







n

1

i

3

i

)

x

x

(

     

b) szereg rozdzielczy punktowy

 





3

  

n

1







k

1

i

i

3

i

n

)

x

x

(

 

 c) szereg rozdzielczy przedziałowy (



i

x

środek 

przedziału) 





3

  

n

1







k

1

i

i

3

i

n

)

x

x

( 

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

25 

 

Trzeci moment centralny liczy się jak wariancję zamieniając we wzorze  

potęgę drugą na trzecią  

  

3.Pozycyjny współczynnik asymetrii 

       

 Współczynnik mierzy skośnośd rozkładu w jego 

centralnej części. Definiowany jest za pomocą 1,2 i 3 
kwartyla: 

W

pozycyjny

= 

4

/

1

4

/

3

4

/

1

4

/

3

Q

Q

)

Q

M

(

)

M

Q

(









   

 

Znak informuje o kierunku skośności (dodatni skośnośd 
prawostronna, ujemny lewa), moduł wartości informuje  o 
sile asymetrii w części centralnej rozkładu. 

 

 

4. Pudełko z wąsami 

 

                 min              Q

1/4

       M      Q

3/4

    max       

 

Rysunek przedstawia obrazowo rozkład za pomocą kwartyli: 
1,2 i 3 

oraz minimalnej i maksymalnej wartości cechy. (Widad, że 

rozkład jest lewostronnie skośny). 

 

Mat.Statystyka,2013L.   Wykład 1 oraz materiał na  dwiczenia     

 Ryszarda Rempała.     Materiały dydaktyczne 

 

26 

 

3. 

Współczynnik kurtozy (spłaszczenia rozkładu) 

 

Dotyczy jedynie rozkładów symetrycznych. Jest miarą 
spłaszczenia rozkładu cechy. Wykorzystuje 4 moment 
centralny.  

W

kurtoza

=

4

4

S



 

Czwarty moment centralny liczy się tak jak wariancję 
wstawiając w miejsce drugiej potęgi potęgę czwartą. 

 

Wyliczony dla rozkładu normalnego współczynnik kurtozy wynosi 3. 
Wartośd W

kurtoza

 porównuje się więc z liczbą 3. Jeśli W

kurtoza

< 3 

spłaszczenie jest mniejsze od normalnego, jeśli  W

kurtoza 

> 3 skupienie 

wartości cechy wokół średniej jest większe niż w rozkładzie 
normalnym.