© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
MATEMATYKA STOSOWANA
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład – 2
Układy równań – metody analityczne
Metody numeryczne rozwiązywania
równań liczbowych
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
MATEMATYKA STOSOWANA
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład – 2
Układy równań – metody analityczne
Metody numeryczne rozwiązywania
równań liczbowych
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
2
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW
RÓWNAŃ
0
)
,...,
,
(
0
)
,...,
,
(
0
)
,...,
,
(
2
1
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
x
x
x
F
x
x
x
F
x
x
x
F
Układem równań nazywamy n równości, w których występuje na ogół
n niewiadomych.
Każdy układ równań daje się sprowadzić do postaci:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW
RÓWNAŃ
0
33904
.
1
)
,
,
(
0
989351
.
0
)
sin(
)
,
,
(
0
)
ln(
4411
.
61
)
,
,
(
3
2
1
3
2
1
3
3
2
1
3
2
1
2
3
2
1
3
3
2
2
1
3
2
1
1
2
1
x
x
x
e
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
x
x
Przykładowy układ równań
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
4
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW
RÓWNAŃ
Układ równań możemy zapisać w postaci wektorowej:
wektorowa
funkcja
F
F
F
F
n
]
,...
,
[
2
1
0
)
(
x
F
ch
niewiadomy
wektor
x
x
x
x
n
]
,...
,
[
2
1
zerowy
wektor
]
0
,...
0
,
0
[
0
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
Analityczne rozwiązanie układów jest możliwe w rzadkich przypadkach,
gdy za pomocą różnych przekształceń można układ sprowadzić do równania
algebraicznego stopnia co najwyżej 4.
Przykład:
2
2
1
2
2
1
1
2
13
2
3
x
x
x
x
x
Wyznaczając z drugiego równania x
2
i podstawiając do równania pierwszego
otrzymujemy równanie 4 – tego stopnia:
4
3
2
1
1
1
1
4
4
10
6
4
0
x
x
x
x
Równanie to ma dwa pierwiastki rzeczywiste: x
1,1
=2 x
1,2
=-1.537
Podstawienie tych wartości do drugiego równania daje x
2,1
=3 x
2,2
=3.2616
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH
Stosunkowo często w wielu zastosowaniach występują układy równań liniowych.
Układy takie można rozwiązywać analitycznie za pomocą wielu metod.
Układ równań liniowych można zapisać następująco:
11 1
12
2
1
1
21 1
22
2
2
2
1 1
2
2
...
...
...
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
a x
a x
a x
w
a x
a x
a x
w
a x
a x
a x
w
Współczynniki liczbowe występujące po lewej stronie tworzą tzw. macierz
główną układu. Liczby po prawej stronie tworzą tzw. wektor wyrazów wolnych.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH
Układ równań liniowych ma jednoznaczne rozwiązanie wtedy, gdy wyznacznik
macierzy głównej jest różny od zera.
Spośród wielu metod analitycznych rozwiązywania układów liniowych
przypominam metodę wyznacznikową Cramera:
Zgodnie z tą metodą rozwiązanie liniowego układu równań jest dane
za pomocą wzorów:
1
2
1
2
det(
)
det(
)
det(
)
....
det( )
det( )
det( )
n
n
A
A
A
x
x
x
A
A
A
gdzie:
A – macierz główna układu
A
i
– macierz główna, w której i - tą kolumnę zastąpiono wektorem
wyrazów wolnych
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Numeryczne metody rozwiązywania
równań liczbowych
1.
Uwagi ogólne
2.
Błąd pierwiastka i równania
3.
Metoda bisekcji
4.
Metoda „regula falsi”
5.
Metoda siecznej
6.
Metoda Newtona (stycznej)
7.
Metoda iteracji prostej
8.
Numeryczne rozwiązywanie układów
równań
© Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
,...
,...,
,
}
{
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
i
i
x
x
x
x
Numeryczne rozwiązywanie tego równania polega na konstrukcji ciągu
liczbowego zbieżnego do szukanego pierwiastka:
Załóżmy że mamy do rozwiązania równanie:
)
(
)
(
x
G
x
F
x
x
i
i
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
x
G
x
F
szukany pierwiastek równania.
© Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł
10
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
)
(
)
(
i
i
x
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
i
i
i
y
x
G
x
F
W związku z tym, że w praktyce zamiast granicy należy przyjąć konkretny,
skończony wyraz ciągu, w metodach numerycznych dużą rolę odgrywa
zagadnienie dokładności obliczeń lub też błędu pierwiastka lub równania.
Błędem pierwiastka będziemy nazywać wartość absolutną różnicy
rzeczywistego pierwiastka x
*
a konkretnym wyrazem x
i
ciągu liczbowego
kończącym konstrukcję:
Błędem równania nazywamy wartość absolutną różnicy rzeczywistych
wartości funkcji F i G w punkcie x
i
:
© Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł
11
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
Pojęcia błędu pierwiastka i równania dla równania F(x)=0
można pokazać graficznie:
x
y
x
i
x*
F(x
i
)
y=F(x)
)
(
)
(
i
i
x
x
x
( )
( )
(
)
i
i
y
F x
© Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł
12
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
Konstrukcję ciągu {x
i
} kończy się gdy błąd pierwiastka lub błąd równania
(lub obydwu wartości) będzie mniejszy od z góry zadanej liczby dodatniej ε.
)
(i
x
)
(
lub
i
y
)
(
lub
)
(
)
(
i
y
i
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
13
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
0
)
(x
F
0
)
(
)
(
0
0
b
F
a
F
Istnieje kilka metod przybliżonego (numerycznego) rozwiązywania
równań z jedną niewiadomą. Tutaj zaprezentuję Państwu 5 takich metod.
Wszystkie metody zostaną przedstawione w postaci algorytmów
(przepisów) za pomocą kolejnych kroków.
1. Metoda połowienia przedziału (bisekcji)
Metodę stosujemy do równania postaci:
Krok 1 - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przedział [a
0
,b
0
],
w którym funkcja F(x) ma na brzegach przedziału różne
znaki czyli spełnia warunek:
Jeżeli funkcja F jest ciągła to wiemy wtedy że pierwiastek
znajduje się w przedziale [a
0
,b
0
].
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
14
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
Krok 2 - Dzielimy przedział na pół tzn. zakładamy że pierwszym
przybliżeniem pierwiastka jest środek przedziału:
2
2
0
0
0
0
0
1
b
a
a
b
a
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –Metoda bisekcji cd.
)
:
(
)
:
(
0
)
(
)
(
)
:
(
)
:
(
0
)
(
)
(
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
b
b
x
a
b
F
x
F
a
a
x
b
a
F
x
F
Krok 3 - Badamy znak funkcji F(x) w punkcie x
1
i porównujemy ze
znakami tej funkcji na brzegach przedziału. Porównanie to
daje nam informację, w której połówce znajduje się szukany
pierwiastek. Jest on zawsze tam gdzie znaki na brzegach są
różne. Po tej lokalizacji pierwiastka do dalszej procedury
bierzemy odpowiednią połówkę. W tym celu środek przedziału
podstawiamy jako brzeg b
1
lub a
1
.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
16
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –Metoda bisekcji cd.
Krok 4 - Wracamy do kroku 2 tzn. nowy przedział dzielimy na pół
i znajdujemy drugie przybliżenie pierwiastka x
2
. Następnie
powtarzamy krok 3 itd.
Powstaję w ten sposób typowa pętla numeryczna,
którą przerywamy wtedy gdy osiągniemy żądaną dokładność
obliczeń. Żądaną dokładność obliczeń na ogół określa się
wybierają pewną dostatecznie małą dodatnią liczbę ε,
np. ε =10
-6
. Pętla kolejnych obliczeń zostaje przerwana, gdy
długość aktualnego przedziału będzie mniejsza od zadanej
dokładności, tzn.:
n
n
n
x
x
a
b
)
(
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –Metoda bisekcji cd.
W przypadku metody bisekcji można z góry określić liczbę kroków
wymaganą do osiągnięcia żądanej dokładności. Konstrukcja metody
prowadzi do wzoru:
0
0
2
lg
a
b
n
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
18
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –Metoda bisekcji cd.
Graficzna ilustracja metody bisekcji:
x
y
a
0
b
0
x*
x
1
F(b
0
)
F(a
0
)
y=F(x)
Metoda bisekcji jest zawsze zbieżna, pod warunkiem znalezienia
przedziału [a
0
,b
0
]
x
2
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
19
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –Metoda „regula falsi”
0
)
(x
F
0
)
(
)
(
0
0
b
F
a
F
2. Metoda „regula falsi”
Metodę stosujemy do równania postaci:
Krok 1 - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przedział [a
0
,b
0
],
w którym znajduje się szukany pierwiastek x
*
.
Funkcja F(x) ma wtedy na brzegach przedziału różne znaki
czyli musi spełniać warunek:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
20
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –Metoda „regula falsi”
Krok 2 - Zakładamy, że w przedziale tym funkcja jest liniowa.
Prowadzi to do następującego wzoru określającego pierwsze
przybliżenie pierwiastka:
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
1
a
F
b
F
a
F
b
b
F
a
x
Otrzymany punkt x
1
dzieli pierwotny przedział na dwa na ogół
nierówne podprzedziały. W jednym z tych podprzedziałów będzie
się znajdował szukany pierwiastek.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ – metoda „regula falsi” cd.
)
:
(
)
:
(
0
)
(
)
(
)
:
(
)
:
(
0
)
(
)
(
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
b
b
x
a
b
F
x
F
a
a
x
b
a
F
x
F
Krok 3 - Obliczamy wartość funkcji F(x) w punkcie x
1
a znak tej wartości
porównujemy ze znakami tej funkcji na brzegach przedziału.
Porównanie to daje nam informację, w którym podprzedziale
znajduje się szukany pierwiastek. Jest on zawsze tam gdzie
znaki na brzegach są różne.
Po tej lokalizacji pierwiastka do dalszej procedury wybieramy
odpowiedni podprzedział. W tym celu obliczony punkt x
1
podstawiamy jako brzeg b
1
lub a
1
.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
22
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ – metoda „regula falsi” cd.
Krok 4 - Wracamy do kroku 2 tzn. nowy przedział dzielimy na dwie
części za pomocą założenia liniowości i znajdujemy drugie
przybliżenie pierwiastka x
2
.
Wzór wynikający z tego założenia dla i – tego przybliżenia
jest następujący:
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
a
F
b
F
a
F
b
b
F
a
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ – metoda „regula falsi” cd.
Następnie powtarzamy krok 3° itd. Pętla kolejnych obliczeń zostaje
przerwana, gdy długość aktualnego przedziału będzie mniejsza od
zadanej dokładności, tzn.:
n
n
n
x
x
a
b
)
(
W przypadku metody „regula falsi” nie można z góry określić liczby
kroków koniecznych do osiągnięcia żądanej dokładności.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
24
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ – metoda „regula falsi” cd.
Graficzna ilustracja metody „regula falsi”:
x
y
a
0
b
0
x*
x
1
F(b
0
)
F(a
0
)
y=F(x)
Metoda „regula falsi” podobnie jak metoda bisekcji jest zawsze zbieżna,
pod warunkiem znalezienia przedziału [a
0
,b
0
]
x
2
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –Metoda siecznej
0
)
(x
F
3. Metoda siecznej
Metodę stosujemy do równania postaci:
Krok 1 - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy dwie różne
liczby a i b leżące w pobliżu szukanego pierwiastka x
*
.
Następnie obliczamy wartości funkcji F(a) i F(b).
W zależności od tych wartości określamy dwa pierwsze
przybliżenia x
1
i x
2
:
)
:
(
)
:
(
)
(
)
(
)
:
(
)
:
(
)
(
)
(
2
1
2
1
a
x
b
x
b
F
a
F
b
x
a
x
b
F
a
F
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
26
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –Metoda siecznej
Krok 2 - Na podstawie znajomości wartości funkcji w dwu poprzednich
przybliżeniach obliczmy wartość kolejnego przybliżenia stosując
wzór zakładający liniową postać funkcji (prowadzimy sieczną
przez te punkty – stąd nazwa metody) :
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
2
1
i
i
i
i
i
i
i
x
F
x
F
x
F
x
x
F
x
x
Otrzymujemy w ten sposób ciąg kolejnych wartości pierwiastka
x
1
,x
2
,…x
i
,…
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
27
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ – metoda siecznej cd.
1
i
i
i
x
x
W celu oszacowania dokładności na każdym etapie obliczamy wartość
szacunkowego błędu :
Na ogół pętlę obliczeń przerywa się gdy:
i
Metoda siecznej może być rozbieżna tzn. kolejne błędy mogą
wzrastać. W takim przypadku należy zmienić punkty startowe
lub metodę.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
x
2
x
1
28
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ – metoda siecznej cd.
Graficzna ilustracja metody siecznej:
y
x
F(x
1
)
F(x
2
)
x
3
x
*
y=F(x)
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
–
Metoda Newtona (stycznej)
0
)
(x
F
4. Metoda Newtona (stycznej)
Metoda ta jest bardzo znana i często stosowana.
Warunkiem stosowalności metody jest różniczkowalność
funkcji F w pobliżu pierwiastka.
Ponadto wartość pochodnej funkcji F musi być różna od zera.
Oznacza to, że metoda nie nadaje się do równań, w których
pierwiastek jest jednocześnie ekstremum lub punktem
przegięcia.
Metodę stosujemy do równań w postaci:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
–
Metoda Newtona (stycznej)
Krok 1 - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przybliżoną wartość
pierwiastka x
1
oraz przyjmujemy że i=1
Krok 2 - Różniczkujemy funkcję F(x) i obliczamy pochodną F’(x
i
)
)
(
'
)
(
1
i
i
i
i
x
F
x
F
x
x
Krok 3 - Obliczamy przybliżenie następne x
i+1
za pomocą wzoru
iteracyjnego (na podstawie przybliżenia poprzedniego x
i
)
Istotą metody Newtona jest przyjęcie że funkcja ma w pobliżu
pierwiastka przebieg liniowy zbliżony do stycznej jej wykresu
w punkcie x
i
. Wzór powyższy wynika z tego założenia.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
31
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
–
Metoda Newtona (stycznej)
Krok 4 - Obliczamy różnicę |x
i+1
-x
i
| i porównujemy ją z zadaną
dokładnością ε.
Krok 5 - Jeżeli aktualna dokładność jest mniejsza od założonej to
zwiększamy numer i o 1 i wracamy do kroku 3 .
Obliczenia przerywamy po uzyskaniu zadanej dokładności.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
32
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ – Metoda Newtona cd.
Graficzna ilustracja metody stycznej:
y
x
x
1
F(x
1
)
x
*
y=F(x)
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
1
1
1
2
2
1
1
1
x
F
x
F
x
x
x
x
x
F
x
F
Metoda Newtona może być rozbieżna. W takim przypadku należy albo
poszukać nowego przybliżenia początkowego albo przekształcić równanie
do innej postaci albo też zmienić metodę.
x
2
x
3
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
–
Metoda iteracji prostej
)
(x
f
x
5. Metoda iteracji prostej Jest to najprostsza z istniejących metod
numerycznych.
Metodę stosujemy do równań postaci:
Krok 1 - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przybliżoną wartość
pierwiastka x
1
oraz przyjmujemy że i=1
)
(
1
i
i
x
f
x
Krok 2 - Obliczamy przybliżenie następne x
i+1
za pomocą wzoru
iteracyjnego (na podstawie przybliżenia poprzedniego x
i
)
będącego bezpośrednim zapisem równania:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
34
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ
–
Metoda iteracji prostej
Krok 3 - Obliczamy różnicę |x
i+1
-x
i
| i porównujemy ją z zadaną
dokładnością ε.
Krok 4 - Jeżeli aktualna dokładność jest mniejsza od założonej to
zwiększamy numer i o 1 i wracamy do kroku 2 . Obliczenia
przerywamy po osiągnięciu zadanej dokładności.
Również metoda iteracji prostej dosyć często jest rozbieżna. W takim
przypadku zmiana przybliżenia początkowego nic nie daje. Należy albo
przekształcić równanie do innej postaci albo też zmienić metodę.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
x
2
35
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –
Metoda iteracji prostej cd.
Za pomocą ilustracji graficznej można pokazać przypadki, w których
metoda ta jest zbieżna lub rozbieżna. Rozpatrzmy najpierw funkcje
rosnące.
x
y
y=f(x)
y=x
x
*
f(x
1
)
f(x
2
)
x
y
y=x
y=f(x)
f(x
1
)
f(x
2
)
Metoda zbieżna
Metoda rozbieżna
x*
x
1
x
2
x
3
x
1
x
3
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
36
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –
Metoda iteracji prostej cd.
A teraz funkcje malejące.
x
y
y=f(x)
y=x
x
*
x
1
f(x
1
)
f(x
2
)
x
y
y=x
y=f(x)
f(x
1
)
f(x
2
)
Metoda zbieżna
x
2
Metoda rozbieżna
x
3
x
*
x
1
x
2
x
3
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
37
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ –
Metoda iteracji prostej cd.
1
)
(
'
1
x
f
Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna to można w prosty sposób określić
zbieżność metody iteracji prostej. O zbieżności metody decyduje
następujące twierdzenie:
Jeżeli w pobliżu pierwiastka równania x=f(x) pochodna funkcji f spełnia
warunek:
to metoda jest zbieżna. Jeżeli natomiast
1
)
(
' x
f
to metoda jest rozbieżna.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
38
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW
RÓWNAŃ
0
)
,...,
,
(
0
)
,...,
,
(
0
)
,...,
,
(
2
1
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
x
x
x
F
x
x
x
F
x
x
x
F
Układem równań nazywamy n równości, w których występuje na ogół
n niewiadomych.
Każdy układ równań daje się sprowadzić do postaci:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
39
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW
RÓWNAŃ
0
33904
.
1
)
,
,
(
0
989351
.
0
)
sin(
)
,
,
(
0
)
ln(
4411
.
61
)
,
,
(
3
2
1
3
2
1
3
3
2
1
3
2
1
2
3
2
1
3
3
2
2
1
3
2
1
1
2
1
x
x
x
e
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
x
x
Przykładowy układ równań
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
40
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW
RÓWNAŃ
Układ równań możemy zapisać w postaci wektorowej:
wektorowa
funkcja
F
F
F
F
n
]
,...
,
[
2
1
0
)
(
x
F
ch
niewiadomy
wektor
x
x
x
x
n
]
,...
,
[
2
1
zerowy
wektor
]
0
,...
0
,
0
[
0
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
41
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW
RÓWNAŃ
Układy podobnie jak pojedyncze równania można rozwiązywać metodami
analitycznymi (dokładnymi) lub numerycznymi (przybliżonymi).
Analitycznie można rozwiązywać np. układy równań liniowych lub
niektóre proste układy nieliniowe.
W metodach numerycznych konstruuje się ciąg wektorów zbieżny do
wektora pierwiastków niewiadomych. W związku z tym, że jest to ciąg
wektorowy, charakter wektorowy ma również dokładność pierwiastka
i dokładność równań.
]
)
(
,...,
)
(
,
)
(
[
]
,...,
,
[
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
i
n
i
i
i
yn
i
y
i
y
i
y
x
F
x
F
x
F
]
,...,
,
[
]
,...,
,
[
)
(
)
(
2
2
)
(
1
1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
i
n
n
i
i
i
xn
i
x
i
x
i
x
x
x
x
x
x
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
42
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW
RÓWNAŃ
W celu stwierdzenia kiedy należy zakończyć konstrukcję ciągu rozwiązań
konieczne jest znormalizowanie (czyli „zmierzenie”) powyższych wektorów.
Najczęściej stosowane są dwie normy: jednostajna i średniokwadratowa.
Stosowanie normy jednostajnej jest bardziej rygorystyczne niż normy
średniokwadratowej, tzn. że norma jednostajna zazwyczaj prowadzi do
dłuższych obliczeń.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
43
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW
RÓWNAŃ
)
(
max
1
j
n
j
n
j
j
n
1
2
2
1
Norma jednostajna:
Norma średniokwadratowa:
Rozważmy przykładowy wektor:
1
.
0
)
001
.
0
,
01
.
0
,
1
.
0
max(
]
001
.
0
,
01
.
0
,
1
.
0
[
058026
.
0
)
001
.
0
01
.
0
1
.
0
(
3
1
2
2
2
2
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
44
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW
RÓWNAŃ
Konstrukcja ciągu rozwiązań jest przerywana gdy norma wybranej
dokładności (pierwiastka lub równania) staje się mniejsza lub równa
zadanej dokładności obliczeń ε czyli:
)
(
)
(
lub
i
y
i
x
)
(
)
(
)
(
i
y
i
x
albo
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
45
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
)
(x
f
x
1. Metoda iteracji prostej.
Aby zastosować tę metodę układ równań należy przekształcić
do postaci:
W pierwszym kroku trzeba znaleźć pierwsze przybliżenie wektora
niewiadomych czyli startowe wartości wszystkich niewiadomych.
Kolejne wyrazy ciągu znajdujemy bezpośrednio za pomocą równania tzn.:
)
(
)
1
(
)
(
i
i
x
f
x
Metoda jest zbieżna gdy ciąg norm wektora dokładności jest zbieżny do zera.
Na ogół jednak metoda iteracji prostej nie jest zbieżna.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
46
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
0
33904
.
1
)
,
,
(
0
989351
.
0
)
sin(
)
,
,
(
0
)
ln(
4411
.
61
)
,
,
(
3
2
1
3
2
1
3
3
2
1
3
2
1
2
3
2
1
3
3
2
2
1
3
2
1
1
2
1
x
x
x
e
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
x
x
Spróbujmy rozwiązać metodą iteracji prostej nasz przykładowy
układ równań:
Za pomocą prostych przekształceń układ ten można doprowadzić do postaci:
3
2
2
1
3
2
1
3
2
1
3
3
1
3
2
1
3
2
1
2
2
3
2
3
2
1
1
1
)
ln(
4411
.
61
)
,
,
(
)
33904
.
1
ln(
)
,
,
(
)
sin(
989351
.
0
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
47
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
9
.
4
9
.
2
9
.
0
)
0
(
3
)
0
(
2
)
0
(
1
x
x
x
Załóżmy że początkowy wektor rozwiązań wynosi:
Za pomocą wzorów określających postać iteracyjną układu można obliczyć
kolejne wektory rozwiązania:
9993
.
4
9974
.
2
9955
.
0
0073
.
5
9644
.
2
9954
.
0
0029
.
5
9613
.
2
01177
.
1
9989
.
4
066
.
3
0305
.
1
8139
9
.
4
15615
.
3
990794
.
0
)
5
(
3
)
5
(
2
)
5
(
1
)
4
(
3
)
4
(
2
)
4
(
1
)
3
(
3
)
3
(
2
)
3
(
1
)
2
(
3
)
2
(
2
)
2
(
1
)
1
(
3
)
1
(
2
)
1
(
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Widzimy że metoda jest zbieżna a wektor rozwiązań wynosi:
0
.
5
0
.
3
0
.
1
3
2
1
x
x
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
0
)
(
x
F
2. Metoda Newtona - Raphsona.
Jest to adaptacja metody stycznej do układów równań.
Metodę stosuje się do układu w postaci:
W pierwszym kroku trzeba znaleźć pierwsze przybliżenie wektora
niewiadomych czyli startowe wartości wszystkich niewiadomych.
Kolejne wyrazy ciągu znajdujemy za pomocą następującej procedury:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
49
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
]
,...,
,
[
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
i
n
i
i
i
i
i
i
gdzie
x
x
- wektor przyrostów wyznaczany za
pomocą układu równań liniowych
w zapisie macierzowym:
)
(
)
(
'
)
1
(
)
(
)
1
(
i
i
i
x
F
x
F
F’ oznacza macierz kwadratową pochodnych cząstkowych funkcji
wektorowej F.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
50
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
)
(
)
(
...
)
(
)
(
..
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
2
2
)
1
(
)
(
1
1
)
1
(
)
1
(
2
)
(
)
1
(
2
)
(
2
2
)
1
(
2
)
(
1
1
)
1
(
2
)
1
(
1
)
(
)
1
(
1
)
(
2
2
)
1
(
1
)
(
1
1
)
1
(
1
i
n
i
n
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
n
i
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
i
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
Pełny zapis tego pomocniczego układu równań jest następujący:
Proces konstrukcji ciągu rozwiązań przerywamy gdy norma
(średniokwadratowa lub jednostajna) wektora przyrostów osiągnie zadaną
dokładność ε.
n
j
i
j
i
n
1
2
)
(
2
)
(
1
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
51
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
Rozwiążmy za pomocą metody Newtona – Raphsona nasz przykładowy
układ równań.
5
.
5
7
.
2
8
.
0
)
0
(
3
)
0
(
2
)
0
(
1
x
x
x
Załóżmy że początkowy wektor rozwiązań wynosi:
Podstawiając te wartości do zasadniczego układu równań liniowych
otrzymujemy wektor przyrostów Δ:
]
422735
.
0
,
671782
.
0
,
323508
.
0
[
)
1
(
Dodając odpowiednie przyrosty otrzymujemy poprawiony wektor
rozwiązań:
07724
.
5
37178
.
3
12351
.
1
)
1
(
3
)
1
(
2
)
1
(
1
x
x
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
52
NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE
UKŁADÓW RÓWNAŃ
Podstawieniu nowych wartości prowadzi do drugiego wektora Δ:
]
073858
.
0
,
17273
.
0
,
116344
.
0
[
)
2
(
co daje kolejny wektor rozwiązań:
0034
.
5
19905
.
3
00716
.
1
)
2
(
3
)
2
(
2
)
2
(
1
x
x
x
i dalej:
]
002946
.
0
,
1583
.
0
,
01354
.
0
[
)
3
(
00044
.
5
0408
.
3
99362
.
0
)
3
(
3
)
3
(
2
)
3
(
1
x
x
x
]
00044
.
0
,
03925
.
0
,
00585
.
0
[
)
4
(
00000
.
5
0015
.
3
99948
.
0
)
4
(
3
)
4
(
2
)
4
(
1
x
x
x
Widzimy, że w czwartej iteracji otrzymaliśmy dokładność
rzędu jednej tysięcznej.