dr Dymitr Słezion
1
Matematyka
Temat 4
ILOCZYN KARTEZJAŃSKI, PRZESTRZEŃ R
n
Przy opisie zbioru kolejność wymienianych elementów nie jest istotna i kaŜdy element wymieniamy tylko
jeden raz. Bardzo często zachodzi potrzeba rozwaŜania układów elementów danego zbioru, w których kolejność
wymienianych elementów jest istotna i elementy mogą się powtarzać.
D
EFINICJA
4.1 (para uporządkowana, układ uporządkowany elementów).
1. Parą uporządkowaną elementów niepustego zbioru nazywamy układ (a, b), w którym a jest elementem
pierwszym, natomiast b jest elementem drugim.
2. Układem uporządkowanym n-elementowym z elementów niepustego zbioru nazywamy układ postaci
)
,
,
,
,
(
3
2
1
n
a
a
a
a
K
,
w którym a
k
, k = 1, 2, ... , n, znajduje się na pozycji o numerze k.
3. Równość układów uporządkowanych definiujemy następująco:
.
;
,
,
2
,
1
)]
,
,
,
(
)
,
,
,
[(
2
1
2
1
k
k
df
n
n
b
a
n
k
b
b
b
a
a
a
=
=
∀
⇔
=
K
K
K
♦
D
EFINICJA
4.2 (iloczyn kartezjański).
1. Iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A oraz B nazywamy zbiór
A
×
B
df
=
{(a, b) : a
∈
A, b
∈
B}.
2. Iloczyn kartezjański
n
A
A
A
×
×
×
K
2
1
definiujemy następująco:
}.
,
,
,
:
)
,
,
,
{(
2
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
df
n
A
a
A
a
A
a
a
a
a
A
A
A
∈
∈
∈
=
×
×
×
K
K
K
♦
P
RZYKŁAD
4.1 (iloczyny kartezjańskie zbiorów skończonych).
Dla zbiorów A = {5, 2}, B = {b, a, d}, C = {2} mamy:
a) A
×
B = {(5, b), (5, a), (5, d), (2, b), (2, a), (2, d)},
B
×
A = {(b, 5), (b, 2), (a, 5), (a, 2), (d, 5), (d, 2)},
b) A
×
B
×
C = {(5, b, 2), (5, a, 2), (5, d, 2), (2, b, 2), (2, a, 2), (2, d, 2)},
♦
Z Def. 4.1 i 4.2 otrzymujemy (patrz Prz. 4.1)
W
NIOSEK
4.1 (nieprzemienność iloczynu kartezjańskiego).
Iloczyn kartezjański nie jest działaniem przemiennym: A
×
B
≠
B
×
A. Analogicznie dla iloczynu kartezjań-
skiego więcej niŜ dwóch zbiorów.
♦
U
MOWA
4.1 (potęga kartezjańska zbioru).
Dla danego zbioru A oraz n
∈
N stosujemy następujące oznaczenia i nazewnictwo:
,
n
oz
czynników
n
A
A
A
A
=
×
×
×
−
4
4 3
4
4 2
1
K
n-ta potęga kartezjańska zbioru A.
♦
Szczególne znaczenie mają potęgi kartezjańskie zbioru liczb rzeczywistych R.
dr Dymitr Słezion
2
Matematyka
U
MOWA
4.2 (przestrzeń rzeczywista n-wymiarowa
n
R ).
Zbiór
}
,
,
2
,
1
,
:
)
,
,
,
{(
2
1
n
i
x
x
x
x
i
n
czynników
n
n
K
K
4
4 3
4
4 2
1
K
=
∈
=
×
×
×
=
−
R
R
R
R
R
nazywamy n-wymiarową przestrzenią arytmetyczną albo przestrzenią rzeczywistą n-wymiarową. Element
n
n
x
x
x
R
∈
)
,
,
,
(
2
1
K
nazywamy punktem tej przestrzeni, a liczby
n
x
x
x
,
,
,
2
1
K
współrzędnymi tego punktu.
Będziemy stosowali oznaczenia:
.
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
2
1
2
1
n
n
n
x
x
x
x
x
x
X
X
R
∈
=
=
K
K
Punkt O(0,0,...,0) nazywamy punktem początkowym przestrzeni
.
n
R
♦
Dla n = 1, 2, 3 przestrzeniom
R
R
=
1
,
2
R
i
3
R moŜemy nadać realną interpretację geometryczną. W tych
przypadkach zamiast numeracji współrzędnych punktu wygodniej jest uŜywać róŜnych liter, najczęściej x, y, z.
U
WAGA
4.1 (interpretacja geometryczna przestrzeni
3
2
1
,
,
R
R
R
).
1. Obrazem geometrycznym przestrzeni jednowymiarowej
R
R
=
1
jest oś liczbowa Ox.
2. Obrazem geometrycznym przestrzeni dwuwymiarowej
2
R
jest płaszczyzna z kartezjańskim układem
współrzędnych. pisy: X = X(x, y) = (x, y).
3. Obrazem geometrycznym przestrzeni trójwymiarowej
3
R
jest otaczająca nas „realna przestrzeń” z karte-
zjańskim układem współrzędnych, który, analogicznie jak w przypadku
,
2
R
tworzą trzy wzajemnie prostopadłe
osie liczbowe Ox, Oy, Oz, o identycznej jednostce i wspólnym punkcie O.
KaŜdej trójce liczb
3
)
,
,
(
R
∈
z
y
x
odpowiada więc jeden punkt X przestrzeni Oxyz i odwrotnie, kaŜdemu punk-
towi X przestrzeni Oxyz odpowiada jedna trójka liczb (x, y, z), które nazywamy współrzędnymi tego punktu.
Stosujemy zapisy: X = X(x, y, z) = (x, y, z).
♦
P
RZYKŁAD
4.2 (interpretacja geometryczna iloczynów kartezjańskich).
Z Uw. 4.1 wynika, Ŝe ilustracją geometryczną iloczynu kartezjańskiego dwóch (trzech) zbiorów liczbowych
będzie odpowiedni zbiór płaszczyzny Oxy (przestrzeni realnej Oxyz).
A = {
−
2, 1},
B = {2, 1};
A
×
B = {(
−
2, 2), (
−
2, 1), (1, 2), (1, 1)},
Rys. 4.1.
C = R,
D = {
−
1, 2};
C
×
D = {(x, y): x
∈
R, y
∈
{
−
1,2}},
Rys. 4.2.
(
−
2,2)
Oy
Oy
Ox
(x,2)
(x,
−
1)
1
2
2
−
1
1
(1,2)
(1,1)
1
O
(
−
2,1)
1
−
2
Ox
O
Rys. 4.1
Rys. 4.2
dr Dymitr Słezion
3
Matematyka
E = 〈
2
;4),
F =
(
1;3〉 ;
E
×
F = {(x, y): x
∈
〈
2
;4), y
∈
(1;3〉},
Rys. 4.3.
G = 〈
−3
;
−
1),
H = R ;
G
×
H = {(x, y): x
∈
〈
−3
;
−
1),
y
∈
R},
Rys. 4.4.
♦
Z
ADANIA
4
4.1. Dane są zbiory: A = {1}, B = {
−
2, 3}, C =
(−3
;1〉, D = 〈2;4〉
.
a) Zapisać definicje i podać ilustracje graficzne zbiorów: A
×
B, B
×
A, B
×
C, C
×
B, A
×
D, A
2
, B
2
, C
2
, D
×
R, R
×
B,
R
×{
0
}
, {0}
×
R.
b) Zapisać definicje i podać (opisać) ilustracje graficzne zbiorów: R
×
R
×{
0
}
, R
×
{0}
×
R, {0}
×
R
×
R, R
×{
0
}×{
0
}
,
{0}
×
R
×
{0},
{
0
}×{
0
}×
R, A
×
B
×
R, C
×
D
×
R, {0}
×
C
×
D.
Odpowiedzi, wskazówki.
4.1. a) A
×
B = {(x, y): x
∈
{1}, y
∈
{-2, 3}} = {(1, -2), (1, 3)},
},
4
;
2
,
1
;
3
(
:
)
,
{(
〉
〈
∈
〉
−
∈
=
×
y
x
y
x
D
C
)},
1
,
1
{(
}}
1
{
,
:
)
,
{(
2
=
∈
=
×
=
y
x
y
x
A
A
A
}
0
,
:
)
,
{(
}
0
{
=
∈
=
×
y
x
y
x
R
R
- oś Ox, {0}
×
R – oś Oy.
b)
}
0
,
,
:
)
,
,
{(
}
0
{
=
∈
=
×
×
z
y
x
z
y
x
R
R
R
−
Oxy, R
×
{0}
×
R
−
Oxz, {0}
×
R
×
R
−
Oyz,
}
0
,
:
)
,
,
{(
}
0
{
}
0
{
=
=
∈
=
×
×
z
y
x
z
y
x
R
R
−
Ox, {0}
×
R
×
{0}
−
Oy,
{
0
}×{
0
}×
R
−
Oz.
W
YMAGANE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI
1. Definicje układu uporządkowanego elementów i iloczynu kartezjańskiegoi zbiorów.
2. Potęga kartezjańska zbioru, przestrzeń R
n
.
3. Wyznaczanie iloczynów kartezjańskich zbiorów liczbowych i ich ilustracja graficzna.
4. Zapisy osi układu współrzędnych w R
2
i R
3
oraz płaszczyzn układu współrzędnych w R
3
za pomocą iloczy-
nów kartezjańskich.
Ox
−
1
−
3
O
3
1
O
4
2
Ox
Oy
Oy
Rys. 4.3
Rys. 4.4