Iloczyn kartezjański zbiorów 

 
 

Ze słowem para spotykamy się w Ŝyciu codziennym; np. mówimy para skarpetek, para 

rękawiczek, dzieci ustawcie się parami. W matematyce mówi się o nieuporządkowanych oraz 

uporządkowanych parach elementów. Nas interesują głównie te drugie. 

 

Definicje 

Parę uporządkowaną elementów a, b zapisujemy następująco (a, b) wskazując w ten  

 sposób, Ŝe a traktujemy jako element pierwszy, b – jako drugi tej pary.  

Pary porządkowane (a, b) i (c, d) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.  

 

Z tej definicji wynika, Ŝe pary  (1, 2) i  (2, 1) są róŜne. Wiem juŜ, Ŝe {1, 2} = {2, 1}. 

Zatem zbiór {1, 2} i para (1, 2) to róŜne obiekty.   

 

Parę (a, b) graficznie przestawiamy rysując strzałkę od a do b.  

 
 
                        a                             b  

 

Przykład 

RozwaŜmy dwa zbiory A = { 1, 2, 3} i B = {a, b}. Tworzymy zbiór wszystkich par, w któ-

rych pierwszym elementem jest liczba ze rozbioru A i drugim elementem obiekt ze zbioru B.  

a)  Pary te moŜna wypisywać kojarząc odpowiednie elementy zbiorów: 

     (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b).  

b) MoŜna to uczynić posługując się tabelką: 

 

 

B 

 

 

a 

b 

1 

(1, a) 

(1, b) 

2 

(2, a) 

(2, b) 

 

A 

3 

(3, a) 

(3, b) 

 

Otrzymujemy zbiór par  Z = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. 

Zbiór Z moŜemy przedstawić grafem strzałkowym:  

 
 

 
 
 
 
 
 

 

Przyjmując oznaczenia: 1 – ser Ŝółty, 2 – szynka, 3 – kiełbasa,  a- pieczywo białe, b- pieczy-

wo ciemne, wtedy zbiór Z reprezentuje (jest modelem teoretycznym) moŜliwych rodzajów 

kanapek, które moŜna zrobić dysponując dwoma rodzajami pieczywa i trzema rodzajami do-

datków. 

 

Definicja 

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B (symbol A 

×

 B) nazywamy zbiór wszystkich 

par uporządkowanych, których pierwszy element naleŜy do zbioru A i drugi element na-

leŜy do zbioru B. 

Czyli  

                       A 

×

 B = {(a, b): a 

∈

 A  i  b 

∈

 B} . 

 

Wiemy, Ŝe w danym prostokątnym układzie współrzędnych kaŜdy punkt płaszczyzny 

ma dwie współrzędne x, y. KaŜdemu punktowi odpowiada więc para liczb (x, y), a takŜe od-

wrotnie kaŜdej parze liczb (x, y) odpowiada dokładnie jeden punkt płaszczyzny.  

Wykorzystując tę własność układu współrzędnych moŜemy otrzymać wykres kartezjań-

ski iloczynu A 

×

 B, gdzie A = { 1, 2, 3, 4}, B = {b:  1 

≤

 b 

≤

 3 } . Przedstawia go poniŜszy 

rysunek. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 

b

1
2

3

Z 

1

2

1

2

3

3

4

Twierdzenie 

Dla dowolnych zbiorów A, B i C  zachodzi: 

         a)  (A 

∪

 B ) 

×

 C =  (A 

×

 C)  

∪

 (B 

×

 C),  

b)

 

(A 

∩

  B)  

×

 C = (A 

×

 C) 

∩

 (B 

×

 C). 

 

 

Odniesienia do nauczania 

 

W nauczaniu szkolnym spotkamy się z omawianymi treściami w sytuacjach dydaktycz-

nych związanych z mnoŜeniem liczb naturalnych. W szczególności, jeŜeli mamy dwa skoń-

czone zbiory A i B liczące odpowiednio n i m elementów, to liczba elementów iloczynu kar-

tezjańskiego A 

×

 B wynosi n • m. Uzasadniamy to wyobraŜając sobie elementy zbioru A 

×

 B 

ułoŜone w prostokątnej tabelce.  

Podobnie zbiór B 

×

 A ma liczebność równą m • n. 

Na ogół zbiory A 

×

 B,  B 

×

 A  nie są równe, natomiast są one tak samo liczne (równo-

liczne). Zwykle sytuacja konkretna związana z wyznaczeniem iloczynu liczb n • m jest róŜna 

od sytuacji wymagającej wyznaczenia iloczynu m • n. Np. rozwaŜmy: 2 koszyczki jabłek po 5 

sztuk oraz 5 koszyczków po 2 jabłka; to odmienne sytuacje, chociaŜ w obu przypadkach jest 

tyle samo jabłek. Ta róŜnica między sytuacjami a liczebnością iloczynu bywa źródłem wielu 

nieporozumień i trudności posługiwania się mnoŜeniem liczb przez dzieci.  

Nieprzemienność iloczynu kartezjańskiego jest ściśle związana z róŜną rolą mnoŜnej i 

mnoŜnika w iloczynie n • m, zaś równoliczność zbiorów A 

×

 B, B 

×

 A odpowiada przemien-

ności mnoŜenia liczb.  

 

Literatura 

Nauczanie początkowe matematyki (red. Z. Semadeni), t. 3, WSiP. Warszawa 1984;  s. 

258 – 276. 

T. Sawicki, R. Reclik, J. Nowik, Matematyka, Wydawnictwo Nowik, Opole 1997; 

 s. 41 - 46. 

 

 

 

 

 

Ćwiczenia 

1.

 

Dane są zbiory A = { 1, 3, 5}, B = { 2, 4, 5}.  

a) Wyznacz oba iloczyny A 

×

 B, B 

×

 A ,  

b) Narysuj grafy strzałkowe tych iloczynów. 

c) Wyznacz wykresy kartezjańskie obu iloczynów kartezjańskich. 

2.

 

Dany jest iloczyn kartezjański zbiorów A i B. Określ zbiory A, B.  

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

Zapisz swój tygodniowy rozkład zajęć w postaci iloczynu kartezjańskiego odpowied-

nio dobranych zbiorów. 

4.

 

Niech A = {n 

∈

 N: 3 < n < 10}.  Wyznacz iloczyny: 

a)   

∅

 

×

 A,   A 

×

 

∅

 , 

b) {0} 

×

 A,   A 

×

 {0} , 

 

 

 

1

2

1

2

3

3

4

0