Metody Numeryczne w Mechanice -
Ćwiczenia laboratoryjne (M.Pyrz)
Rozwiązywanie równania nieliniowego
1.
Programowanie
Napisać w Scilabie skrypt umożliwiający wyznaczanie pierwiastków nieliniowego równania
f(x)=0 za pomocą metody
a) bisekcji,
b) stycznych (Newtona-Raphsona).
Zastosujemy kryterium zatrzymania
n
n
x
x
+
−
<
1
1
ε
(
ε
1
jest podawane przez użytkownika).
Równanie f(x) może być zdefiniowane jako funkcja lub jako oddzielny skrypt *.sci.
2.
Test procedury
Wyznaczyć pierwiastek równania
4
3
2
( )
2
11
12
f x
x
x
x
x
=
−
−
+
za pomocą
a)
metody bisekcji (w przedziale x
∈
[3,2 ; 8,2] ),
b)
metody stycznych (zaczynając iteracje od wartości x
0
=8,2 ).
Przeprowadzić obliczenia pierwiastka z dokładnością
ε
1
=10
-1
, 10
-2
, 10
-3
, 10
-4
, 10
-5
i 10
-6
.
Dla każdych obliczeń podać uzyskaną wartość pierwiastka x, wartość funkcji f(x), błąd
bezwzględny
ε
=x-x* (dokładna wartość x* wynosi 4,0) i liczbę wykonanych iteracji.
Sformułować wnioski. Potwierdzić wynik stosując funkcję fsolve.
3.
Przykład obliczeniowy
Kula o promieniu R i gęstości
ρ
k
została umieszczona w
pojemniku wypełnionym cieczą o gęstości
ρ
c
=1000 kg/m
3
(woda). Kula utonie lub będzie pływać, zanurzona na głębokość
h (patrz rysunek). Określić, w zależności od podanej gęstości
materiału kuli
ρ
k
, jak zachowa się kula po włożeniu jej do
cieczy. Obliczyć (jeżeli zachodzi taka potrzeba) głębokość h zanurzenia kuli.
a) Rozważając równowagę sił występujących w zadaniu, podać zależność pozwalającą na
wyznaczenie głębokości h w funkcji
ρ
k
,
ρ
c
oraz
R.
Podpowiedź : Objętość kuli o promieniu r jest równa
V
r
s
=
4
3
3
π
/
. Objętość fragmentu
kuli o promieniu r, uciętej poziomo na wysokości h wynosi
V
h
r
h
=
−
π
2
3
3
(
) /
b)
Określić czy kula o promieniu R = 0,125 m utonie czy będzie pływać (a jeżeli tak, to na
jaką głębokość h zanurzy się w cieczy)?
Rozważyć następujące rodzaje materiału kuli:
plexiglas (
ρ
k
=1200 kg/m
3
),
dąb świeżo ścięty (
ρ
k
=1000 kg/m
3
),
grusza (
ρ
k
=800 kg/m
3
),
sosna (
ρ
k
=400 kg/m
3
),
korek (
ρ
k
=220 kg/m
3
).
Zadania dodatkowe (nieobowiązkowe) :
- rozwiązanie równania f(x)=0 za pomocą metody siecznych ;
- wykonanie schematycznego rysunku kuli zanurzonej w cieczy na obliczoną głębokość h.
h