Metody Numeryczne w Mechanice -

Ćwiczenia laboratoryjne (M.Pyrz)

Rozwiązywanie równania nieliniowego

1.

Programowanie

Napisać w Scilabie skrypt umożliwiający wyznaczanie pierwiastków nieliniowego równania
f(x)=0 za pomocą metody

a) bisekcji,

b) stycznych (Newtona-Raphsona).

Zastosujemy kryterium zatrzymania

n

n

x

x

+

−

<

1

1

ε

(

ε

1

jest podawane przez użytkownika).

Równanie f(x) może być zdefiniowane jako funkcja lub jako oddzielny skrypt *.sci.

2.

Test procedury

Wyznaczyć pierwiastek równania

4

3

2

( )

2

11

12

f x

x

x

x

x

=

−

−

+

za pomocą

a)

metody bisekcji (w przedziale x

∈

[3,2 ; 8,2] ),

b)

metody stycznych (zaczynając iteracje od wartości x

0

=8,2 ).

Przeprowadzić obliczenia pierwiastka z dokładnością

ε

1

=10

-1

, 10

-2

, 10

-3

, 10

-4

, 10

-5

i 10

-6

.

Dla każdych obliczeń podać uzyskaną wartość pierwiastka x, wartość funkcji f(x), błąd
bezwzględny

ε

=x-x* (dokładna wartość x* wynosi 4,0) i liczbę wykonanych iteracji.

Sformułować wnioski. Potwierdzić wynik stosując funkcję fsolve.

3.

Przykład obliczeniowy

Kula o promieniu R i gęstości

ρ

k

została umieszczona w

pojemniku wypełnionym cieczą o gęstości

ρ

c

=1000 kg/m

3

(woda). Kula utonie lub będzie pływać, zanurzona na głębokość
h (patrz rysunek). Określić, w zależności od podanej gęstości
materiału kuli

ρ

k

, jak zachowa się kula po włożeniu jej do

cieczy. Obliczyć (jeżeli zachodzi taka potrzeba) głębokość h zanurzenia kuli.

a) Rozważając równowagę sił występujących w zadaniu, podać zależność pozwalającą na

wyznaczenie głębokości h w funkcji

ρ

k

,

ρ

c

oraz

R.

Podpowiedź : Objętość kuli o promieniu r jest równa

V

r

s

=

4

3

3

π

/

. Objętość fragmentu

kuli o promieniu r, uciętej poziomo na wysokości h wynosi

V

h

r

h

=

−

π

2

3

3

(

) /

b)

Określić czy kula o promieniu R = 0,125 m utonie czy będzie pływać (a jeżeli tak, to na
jaką głębokość h zanurzy się w cieczy)?

Rozważyć następujące rodzaje materiału kuli:
plexiglas (

ρ

k

=1200 kg/m

3

),

dąb świeżo ścięty (

ρ

k

=1000 kg/m

3

),

grusza (

ρ

k

=800 kg/m

3

),

sosna (

ρ

k

=400 kg/m

3

),

korek (

ρ

k

=220 kg/m

3

).

Zadania dodatkowe (nieobowiązkowe) :

- rozwiązanie równania f(x)=0 za pomocą metody siecznych ;

- wykonanie schematycznego rysunku kuli zanurzonej w cieczy na obliczoną głębokość h.

h