Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 1 -
Wydział Elektryczny
Zakład Automatyki
LABORATORIUM CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW
Ćwiczenie 1
Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
1. Cel ćwiczenia
• Opanowanie umiejętności komputerowego modelowania sygnałów i liniowych układów
dyskretnych (z wykorzystaniem pakietu matematycznego MATLAB).
• Ćwiczenie w posługiwaniu się podstawowymi pojęciami analizy widmowej, w szczególności
dyskretną transformatą Fouriera (DFT).
• Ćwiczenie umiejętności interpretacji wyników obliczeń komputerowych i oceny ich
poprawności.
2. Podstawy teoretyczne
Pod pojęciem sygnał dyskretny x będziemy rozumieli ciąg liczbowy {x(n)}, którego elementami są
próbki x(n) sygnału ciągłego (analogowego) pobierane w chwilach t
n
=nT
s
, gdzie T
s
jest okresem
próbkowania. Indeks n oznacza dyskretny czas t
n
unormowany względem okresu próbkowania: n=t
n
/T
s
(Rys. 1).
Rys. 1 Sygnał ciągły (analogowy), dyskretny i cyfrowy
Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 2 -
W układach cyfrowych przetwarzane są nie sygnały dyskretne o ciągłym zakresie wartości, ale
sygnały cyfrowe x
c
(n)=Q[x(n)], gdzie Q[
⋅] oznacza operację kwantowania , czyli nadawania wartości
ze zbioru dyskretnego. Przy dalszej analizie błędy kwantowania nie będą jednak uwzględniane, co
oznacza utożsamienie sygnałów cyfrowych z dyskretnymi. Jest to uzasadnione, jeżeli liczba bitów
przetwornika A/C jest na tyle duża, że Q[x(n)]
≅x(n).
2.1. Pojęcia podstawowe
A. Transformatą Fouriera (widmem Fourierowskim DTFT – Discrete Time Fourier Transform)
sygnału dyskretnego w czasie x(n) i o ograniczonej energii, tzn. spełniającego warunek
∞
<
∑
∞
−∞
=
n
n
x
2
)
(
(1.1)
nazywamy funkcję
∑
∞
−∞
=
Ω
−
Ω
=
=
n
n
j
j
e
n
x
e
X
n
x
DTFT
)
(
)
(
)]
(
[
(1.2)
Jeżeli x(n)=0 dla n<0 (sygnał jest przyczynowy), to oblicza się transformatę jednostronną z dolną
granicą sumowania n=0. Wzór (1.1) określa warunek zbieżności sumy w definicji (1.2).
Wielkość (kąt)
s
s
f
f
T
/
2
π
=
ω
=
Ω
(1.3)
oznacza pulsację unormowaną względem częstotliwości próbkowania f
s
=1/T
s
.
Widmo X(e
j
Ω
) sygnału x(n) jest funkcją okresową o okresie 2
π. Rozwijając ją w szereg Fouriera
otrzymamy jego współczynniki określające kolejne próbki sygnału dyskretnego:
∫
π
π
−
Ω
Ω
Ω
π
=
d
e
e
X
n
x
jn
j
)
(
2
1
)
(
Podstawowe właściwości transformaty DTFT sygnału dyskretnego:
• jest funkcją okresową kąta Ω o okresie 2π,
• jest funkcją ciągłego argumentu Ω,
• jest obliczana na podstawie nieskończonego ciągu próbek x(n),
• dla sygnału rzeczywistego amplituda transformaty jest funkcją parzystą, a faza – funkcją
nieparzystą.
Z właściwości tych wynika, że widmo sygnału dyskretnego wystarczy przedstawić w zakresie
kątów 0
≤Ω≤π lub częstotliwości 0≤f≤f
s
/2. Pulsację
Ω
Ν
=π (częstotliwość f
N
=f
s
/2) nazywa się
pulsacją Nyquista i określa ona największą częstotliwość, jaka jest widoczna w widmie sygnału
dyskretnego.
Jeżeli sygnał dyskretny x(n) został otrzymany przez próbkowanie z okresem T
s
sygnału ciągłego
x
a
(t), który ma ciągłą transformatę Fouriera X
a
(j
ω), to jego widmo jest (z dokładnością do
czynnika 1/T
s
) sumą poprzesuwanych o wielokrotność pulsacji próbkowania
ω
s
=2
πf
s
widm
sygnału ciągłego (Rys. 2):
)
(
1
)
(
∑
∞
−∞
=
ω
ω
+
ω
=
k
s
a
s
T
j
jk
j
X
T
e
X
s
(1.4)
gdzie widmo sygnału analogowego
∫
∞
∞
−
ω
−
=
ω
t
j
a
a
e
t
x
j
X
)
(
)
(
Próbkowanie w czasie powoduje okresowość widma w dziedzinie częstotliwości. Częstotliwości
analogowe różniące się o wielokrotność częstotliwości próbkowania f
s
nie dają się rozróżnić w
sygnale dyskretnym po próbkowaniu i są widziane jako ta sama częstotliwość f
1
z zakresu
podstawowego [0,f
N
] (efekt nakładania się częstotliwości – aliasing):
|
mod
)
(
|
1
N
s
N
true
f
f
f
f
f
−
+
=
(1.5)
Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 3 -
Transformata Fouriera jest szczególnym przypadkiem transformaty Z funkcji dyskretnych:
∑
∞
−∞
=
−
=
=
n
n
z
n
x
z
X
n
x
Z
)
(
)
(
)]
(
[
(1.6)
obliczanej na okręgu jednostkowym zmiennej zespolonej |z|=1, czyli dla z=e
j
Ω
.
B. Podstawowe właściwości DTFT. Jeżeli DTFT[x(n)]=X(e
j
Ω
), to:
1) widmo sygnału modulowanego
0
)
(
Ω
jn
e
n
x
ma postać
)
(
)
(
0
Ω
−
Ω
j
e
X
(przesunięcie skali pulsacji),
2) widmo sygnału przesuniętego w czasie x(n-d) ma postać
)
(
)
Ω
Ω
−
j
jd
e
X
e
(przesunięcie fazowe),
3) widmo splotu sygnałów
∑
∞
−∞
=
−
=
k
k
n
y
k
x
n
y
n
x
)
(
)
(
)
(
*
)
(
jest iloczynem widm
)
(
)
(
Ω
Ω
j
j
e
Y
e
X
,
4) widmo iloczynu sygnałów
)
(
)
(
n
y
n
x
jest splotem ich widm
θ
π
=
∗
θ
−
π
π
−
θ
∫
d
e
Y
e
X
e
Y
e
X
j
j
j
j
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
Ω
Ω
Ω
(1.7)
|X
a
(j
ω)|
T
s
|X(e
j
ω
Τ
)|
T
s
|X(e
j
ω
Τ
)|
Rys. 2 Transformaty amplitudowe Fouriera (
ω
s
=2
πf
s
): a) sygnału ciągłego o paśmie ograniczonym do
pulsacji
ω
g
, b) sygnału zdyskretyzowanego dla
ω
g
> ω
N
, widoczny efekt nakładania się widm
(aliasing), c) sygnału zdyskretyzowanego dla
ω
g
< ω
N
(pulsacja Nyquista
ω
N
=
ω
s
/2).
2.2. Dyskretne przekształcenie Fouriera
2.2.1. Widmo fragmentu sygnału o skończonej długości
W praktyce obserwuje się (rejestruje) jedynie pewien fragment x
0
(n) sygnału x(n) i dlatego
obliczenie widma (1.2) wymagającego nieskończonego ciągu próbek nie jest możliwe (poza tym tylko
dla ograniczonej klasy sygnałów suma (1.2) jest zbieżna). "Obcięty" sygnał
⎩
⎨
⎧
≥
−
≤
≤
=
N
n
N
n
n
x
n
x
dla
0
1
0
dla
)
(
)
(
0
(1.8)
można interpretować jako nałożenie na x(n) okna czasowego (prostokątnego impulsu o jednostkowej
amplitudzie) w(n) o długości N:
Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 4 -
x
0
(n) = x(n) w(n).
(1.9)
Sygnał x
0
(n) spełnia warunek (1.1), a zatem istnieje jego widmo ciągłe (DTFT):
∑
−
=
Ω
−
Ω
=
1
0
0
0
)
(
)
(
N
n
jn
j
e
n
x
e
X
(1.10)
Stosując cyfrowe metody obliczeń transformatę (1.10) można obliczyć tylko dla skończonego zbioru
dyskretnych wartości
Ω
m
. Ponieważ X
0
(e
j
Ω
) jest funkcją okresową, wystarczy obliczać widmo tylko dla
przedziału [0, 2
π) lub [-π, π). Przyjmując, że obliczamy N wartości widma (tyle ile jest próbek
sygnału) dla równomiernie rozłożonych pulsacji unormowanych
1
,...,
1
,
0
,
2
−
=
π
=
Ω
N
m
N
m
m
(1.11)
otrzymujemy próbki widma (1.10):
∑
−
=
Ω
−
Ω
=
1
0
0
0
)
(
)
(
N
n
jn
j
m
m
e
n
x
e
X
(1.12)
Wzór (1.12) określa N-punktowe dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT), które
przyporządkowuje (w sposób wzajemnie jednoznaczny) skończonemu ciągowi N próbek x
0
(n)
współczynniki jego transformaty DFT. W skrócie zapisuje się:
1
,...,
1
,
0
,
)
(
)
(
)]
(
[
1
0
2
0
0
0
−
=
=
=
∑
−
=
π
−
N
m
e
n
x
m
X
n
x
DFT
N
n
N
nm
j
(1.13)
Zauważmy, że
• współczynniki DFT nie zmieniają wartości bezwzględnej po cyklicznym przestawieniu próbek w
ciągu (np. x
0
(0)
→x
0
(1), x
0
(1)
→x
0
(2), ..., x
0
(N-1)
→x
0
(0) ), ich fazy zmieniają się o 2
π/N,
• współczynniki DFT mają wartości parami zespolone sprzężone: X(N-1)= X
*
(1), X(N-2)=X
*
(2) itd.,
dlatego wystarczy obliczać (wykreślać) współczynniki w zakresie 0
≤m≤[N/2].
Znajomość DFT[x
0
(n)] umożliwia wyznaczenie N próbek wziętych do obliczania transformaty.
W tym celu stosuje się odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera IDFT (Inverse DFT):
1
,...,
1
,
0
,
)
(
1
)
(
)]
(
[
1
0
2
0
0
0
−
=
=
=
∑
−
=
π
N
n
e
m
X
N
n
x
m
X
IDFT
N
m
N
nm
j
(1.14)
Operacja IDFT[X
0
(m)] powoduje okresowe powielenie odtworzonego ciągu próbek dając sygnał
okresowy x
p
(n) o okresie N:
IDFT[X
0
(m)]=x
p
(n), gdzie
∑
∞
−∞
=
+
=
k
p
kN
n
x
n
x
)
(
)
(
0
(1.15)
Obliczanie DFT[x
0
(n)] zamiast widma ciągłego DTFT[x(n)] wnosi zniekształcenia wynikające z:
• brania do obliczeń jedynie skończonej liczby próbek (nakładania okna czasowego),
• obliczania dyskretnego zbioru wartości transformaty (próbkowania widma ciągłego).
Przeprowadzane w ramach ćwiczenia eksperymenty numeryczne mają na celu zapoznanie się z
wynikającymi z powyższych uproszczeń efektami. Parę transformat DFT i IDFT implementuje się
numerycznie stosując szybkie algorytmy FFT (Fast Fourier Transform). DFT jest głównym
narzędziem analizy widmowej sygnałów dyskretnych.
2.2.2. Dyskretna transformata Fouriera sygnału okresowego
Sygnały okresowe stanowią bardzo istotną klasę sygnałów podlegających analizie widmowej.
Dyskretne sygnały okresowe mają nieograniczoną energię i dlatego nie istnieją dla nich widma ciągłe
DTFT. Narzędziem analizy takich sygnałów jest dyskretna transformata Fouriera DFT.
Jeżeli ciąg N próbek wziętych do obliczenia DFT pochodzi z sygnału okresowego x
p
(n) i zawiera
całkowitą liczbę okresów sygnału (tzn. N jest wielokrotnością okresu), to na podstawie obliczonego
Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 5 -
N-punktowego widma dyskretnego X
0p
(m)=DFT[x
0p
(n)] można odtworzyć wyjściowy sygnał
okresowy x
p
(n) bez zniekształceń przez powielanie IDFT zgodnie ze wzorem (1.15), gdzie
x
0
(n)=IDFT[X
0p
(m)].
Jeżeli sygnał okresowy x
p
(n) ma ograniczoną zawartość harmonicznych, tzn. jego rozwinięcie w
szereg Fouriera
∑
−
=
Ω
=
1
0
)
(
M
m
jn
m
p
m
e
c
n
x
zawiera M wyrazów o współczynnikach zespolonych c
m
,
m=0,...,M-1, to współczynniki c
m
są związane ze współczynnikami N-punktowej DFT[x
p
(n)], gdzie
N
≥M, zależnością:
N
m
X
c
p
m
)
(
=
(1.16)
Jeżeli liczba punktów DFT (próbek x
p
(n)) mniejsza od M (w sygnale są harmoniczne o
częstotliwościach wyższych niż częstotliwość Nyquista DFT) , to we współczynnikach szeregu
wyznaczanych na podstawie (1.16) występuje błąd nałożenia (aliasing):
m
m kN
k
c
c
∞
+
=−∞
=
∑
, gdzie
m
c~
oznacza prawdziwe wartości współczynników szeregu Fouriera.
W praktyce często nie wiadomo, jaki jest okres L sygnału, a nawet, czy jest on w ogóle okresowy.
Jeżeli analizę przeprowadza się stosując N-punktową DFT (N jest określone czasem obserwacji i
częstotliwością próbkowania), to odtworzony z próbek widma sygnał ma okres L’ i różni się od
rzeczywistego. Równość tych sygnałów zachodzi tylko wtedy, kiedy w przedziale obserwacji (w
sygnale x
0
(n)) mieści się całkowita liczba okresów sygnału oryginalnego x
p
(n) (Rys. 3).
Jeżeli w okresie obserwacji nie mieści się całkowita liczba okresów określonej składowej
harmonicznej o pulsacji
Ω
0
, to pulsacja ta wypada pomiędzy prążkami widma odpowiadającymi
pulsacjom
Ω
m
określonym wzorem (1.11) i część widma X
0
(m) obrazująca składową ulega
rozmyciu jak na Rys. 3b.
Rys. 3. Moduł N-punktowej transformaty DFT wycinka x
0
(n) sygnału okresowego x
p
(n) o okresie L i
sygnał okresowy odtworzony na podstawie N-punktowej IDFT dla: a) L=N=8, b) N=12, L=8
2.3. Właściwości DFT
2.3.1. Rozdzielczość częstotliwościowa DFT
Przy obliczaniu DFT na podstawie wycinka x
0
(n) sygnału składającego się z N próbek (wzór (1.13)),
rozdzielczość wyznaczanego widma w dziedzinie częstotliwości, określana jako odległość między
kolejnymi wyrazami DFT, wynosi (por. wzór (1.11)):
s
N
NT
f
1
=
Δ
(1.17)
a)
b)
Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 6 -
i jest odwrotnie proporcjonalna do czasu obserwacji sygnału T
0
=NT
s
. Rozdzielczość DFT wskazuje,
jak jest zdolność rozróżnienia w sygnale dwóch składowych harmonicznych o mało różniących się
częstotliwościach.
Odległość między wyrazami można zmniejszyć poprzez uzupełnienie zarejestrowanego ciągu N
1
próbkami zerowymi (zero-padding), czyli sztucznie wydłużając czas obserwacji. Odległość między
wyrazami DFT o wymiarze zwiększonym do N+N
1
zmniejszy się po takiej operacji do
]
)
/[(
1
1
s
zp
T
N
N
f
+
=
Δ
. Ponieważ uzupełnienie zerami nie wprowadza nowej informacji o sygnale,
nowe wyrazy w DFT stanowią efekt interpolacji oryginalnych danych i nie zwiększają zdolności
rozróżniania częstotliwości, ale uwypuklają szczegóły widma widoczne wcześniej. Uzupełnianie
zerami stosuje się często w celu otrzymania ciągu próbek o długości 2
k
, co umożliwia zastosowanie
do obliczeń algorytmu FFT.
2.3.2. Wpływ nałożenia okna czasowego na widmo sygnału
Skończony czas obserwacji powoduje, że możliwe do obliczenia widmo DFT jest na ogół
zniekształcone w stosunku do rzeczywistego widma sygnału o nieograniczonym czasie trwania.
Zgodnie z (1.9) DFT stanowi widmo X
0
(e
j
Ω
) sygnału x(n) z nałożonym oknem w(n). Jeżeli prawdziwe
widma sygnału i okna oznaczymy odpowiednio przez X(e
j
Ω
) i W(e
j
Ω
), to widmo iloczynu sygnałów w
dziedzinie czasu jest splotem ich widm w dziedzinie częstotliwości (por. 1.7):
θ
π
θ
π
π
θ
d
e
W
e
X
e
W
e
X
e
X
j
j
j
j
j
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
−
Ω
−
Ω
Ω
Ω
∫
=
∗
=
(1.18)
Widać, że prawdziwe widmo sygnału nie uległoby zniekształceniu tylko wtedy, kiedy widmo okna
miałoby kształt szpilki, gdy tymczasem widmo okna jest rozmyte jak na Rys. 4. O zniekształceniu
widma DFT decydują głównie: szerokość listka głównego widma okna oraz wysokość listków
bocznych.
Szerokość listka głównego widma okna wpływa na rozróżnialność częstotliwościową DFT. Jeżeli
różnica częstotliwości dwóch składowych o podobnych amplitudach jest mniejsza od szerokości listka
głównego, to odpowiadające im prążki zleją się w jeden wskutek rozmycia widma.
Wysokość listków bocznych widma okna wpływa na rozróżnialność amplitudową DFT. Jeżeli w
widmie występuje składowa o amplitudzie porównywalnej z amplitudą lisków bocznych, to „utonie”
ona w pofalowaniach widma DFT związanych z listkami.
W celu poprawienia rozróżnialności amplitudy stosuje się okna o kształcie innym niż prostokątny.
Zmniejszenie wysokości listków bocznych powoduje jednak poszerzenie listka głównego. Stosowane
zwykle okna czasowe są zebrane w poniższej tabeli.
Okno Równanie
Szerokość
listka
głównego
Maks. wys.
listków
bocznych [dB]
Prostokątne
w(n)=1, 0
≤n≤N-1 2π/N
-13
Bartletta
(trójkątne)
⎩
⎨
⎧
−
≤
≤
−
−
−
−
≤
≤
−
=
1
2
/
)
1
(
),
1
/(
2
2
2
/
)
1
(
0
),
1
/(
2
)
(
N
n
N
N
n
N
n
N
n
n
w
4
π/N
-25
Hanninga
1
0
))],
1
/(
2
cos(
1
[
5
.
0
)
(
−
≤
≤
−
−
=
N
n
N
n
n
w
π
4
π/N
-31
Hamminga
1
0
)),
1
/(
2
cos(
46
.
0
54
.
0
)
(
−
≤
≤
−
−
=
N
n
N
n
n
w
π
4
π/N
-41
Blackmana
1
0
)),
1
/(
4
cos(
08
.
0
))
1
/(
2
cos(
5
.
0
42
.
0
)
(
−
≤
≤
−
+
+
−
−
=
N
n
N
n
N
n
n
w
π
π
6
π/N
-57
Kaisera
]
2
/
)
1
(
[
]
2
/
)
1
(
[
]
2
/
)
1
[(
[
)
(
0
2
2
0
−
β
−
−
−
−
β
=
N
I
N
n
N
I
n
w
,
0
≤n≤N-1, I
0
(.) – zmodyfikowana f. Bessela pierwszego
rodzaju zerowego rzędu; typowo 4<
β(N-1)/2<10
-46 do -82
Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 7 -
0
π
0
0 .5
1
Ω
|W |
−π
Rys. 4. Widmo amplitudowe okna prostokątnego dla N=21
2.4. Odtworzenie DTFT sygnału skończonego lub okresowego na podstawie DFT
Dysponując M wartościami dyskretnej transformaty Fouriera X
0
(m) skończonego odcinka x
0
(n)
sygnału dla dyskretnych pulsacji
Ω
m
można odtworzyć ciągłą względem
Ω transformatę X
0
(e
j
Ω
)
(DTFT) przechodzącą przez punkty X
0
(m) korzystając ze wzoru interpolacyjnego:
∑
−
=
Ω
−
−
Ω
−
Ω
Ω
−
Ω
Ω
⋅
=
1
0
2
1
)
1
(
2
1
0
0
2
sin
2
sin
)
(
)
(
M
m
m
j
M
j
j
m
e
M
e
M
m
X
e
X
(1.19)
wynikającego z podstawienia prawej strony wzoru (1.14) na IDFT do równania (1.2) definiującego
DTFT dla przypadku skończonego zakresu sumowania.
Literatura
1. Oppenheim A.V., Schafer R.W.: „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”, WKiŁ, 1979.
2. Marven C., Ewers G.: Zarys cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKiŁ, 1999.
3. Praca zbiorowa pod red. A. Dąbrowskiego: „Przetwarzanie sygnałów przy użyciu procesorów sygnałowych”,
Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1998.
4. Papoulis A.: „Obwody i układy”, WKiŁ, 1988.
5. Praca zbiorowa pod red. A. Wojtkiewicza: „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”, Preskrypt laboratoryjny,
Oficyna Wyd. Politechniki Warszawskiej, 1997.
Opracował: Dr inż.
Janusz
Baran
Częstochowa, 1999
Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 8 -
3. Obliczenia komputerowe - zadania do wykonania
UWAGA:
a) Funkcje i procedury MATLABa wywołuje się wpisując po znaku zachęty ">>" nazwę (bez
rozszerzenia) i naciskając <Enter>. Klawiszami strzałek "
↑" i "↓" można przywoływać do linii
komend poprzednio wydane polecenia i edytować je (np. zmieniać wartości argumentów) bez
konieczności wpisywania całości od nowa.
b) Plik tekstowy (skrypt) *.m procedury można otworzyć do przeglądania, edycji lub wydruku
poleceniem File | Open M-file z okna komend MATLABa. Podstawowe informacje na temat
procedur można uzyskać wypisując z klawiatury:
>>help nazwa_procedury
<Enter>
c) Wykresy drukuje się przy pomocy polecenia File | Print z menu danego okna graficznego.
d) W większości przypadków istnieje możliwość kilkukrotnego wykonywania procedur z różnymi
wartościami parametrów, co spowoduje nakładanie się na siebie otrzymywanych wykresów i
umożliwi porównanie wyników.
e) Zakresy osi można dopasowywać za pomocą instrukcji axis([Xmin,Xmax,Ymin,Ymax])
podając własne wartości minimalne i maksymalne na osiach.
3.1. Porównanie widma sygnału ciągłego i dyskretnego
a) (*) Wywołać skrypt c1_expt(a,Ts); z parametrami a=1, Ts=0.5. Procedura wykreśla
funkcję wykładniczą
at
e
t
x
−
=
)
(
(1.21)
próbkowaną co Ts s.
b) Uruchomić skrypt c1_ad(a,Ts); dla Ts=0.2, 0.5, 1. Eksperyment umożliwia
obserwowanie widma DTFT wykładniczego sygnału dyskretnego
n
b
n
x
=
)
(
(1.22)
gdzie
s
aT
e
b
−
=
na tle widma wyjściowego sygnału ciągłego (1.21). Oś częstotliwości jest
wyskalowana w [Hz], a amplitudy widm są unormowane.
• zaobserwować zmiany okresowości widma sygnału dyskretnego i związek tego okresu z T
s
,
• przeliczyć skalę do częstotliwości unormowanej f
n
=f/f
s
; w jakim zakresie częstotliwości
wystarczy obserwować widmo w skali unormowanej?
• zauważyć, że amplituda jest funkcją parzystą, a faza – nieparzystą,
• w jakim zakresie częstotliwości widma sygnału ciągłego i dyskretnego są zbliżone i jak zależy
to od T
s
.; wyjaśnić przyczynę zmian amplitudy widma sygnału dyskretnego dla częstotliwości
Nyquista f=f
s
/2,
3.2. Analiza widm DTFT sygnałów dyskretnych o skończonej długości
UWAGA:
a) Dalej rysowane będą wykresy wartości bezwzględnych zespolonych wyrazów DFT dla
częstotliwości unormowanej
s
n
f
f
f
/
=
z zakresu (-0.5,0.5]. Poza tym przedziałem przebiegi dla
sygnałów dyskretnych powtarzają się okresowo).
b) Transformaty DTFT sygnałów N-punktowych są obliczane jako L-punktowe DFT, gdzie L>>N, z
uzupełnianiem zerami.
a) (*) Sygnał stały
⎩
⎨
⎧
≥
−
≤
≤
=
N
n
N
n
n
x
dla
0
1
0
dla
1
)
(
(1.23)
Uruchomić skrypt c1_unit(N); i zarejestrować widma amplitudowe dla różnych długości
sygnału, np. N = 5, 10.
• jaki jest związek miejsc zerowych widma z N?
Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 9 -
b) Sygnał wykładniczy
⎩
⎨
⎧
≥
−
≤
≤
=
N
n
N
n
b
n
x
n
dla
0
1
0
dla
)
(
(1.24)
Uruchomić skrypt c1_exp(N); i zarejestrować widma amplitudowe dla różnych długości
sygnału, np. N = 5, 10 na tle widma przy
∞
→
N
.
• jaki jest związek minimów widma z N?
• z czego wynikają zmiany amplitudy na krańcach okresu widma?
• przeliczyć skalę do częstotliwości fizycznej jeśli T
s
=0.2.
c) Sygnał kosinusoidalny
⎩
⎨
⎧
≥
−
≤
≤
Ω
=
N
n
N
n
n
n
x
dla
0
1
0
dla
)
cos(
)
(
0
(1.25)
Uruchomić skrypt c1_cos(N,f0); i zarejestrować widma amplitudowe dla różnych długości
sygnału, np. N = 5, 10, 20 i częstotliwości unormowanej (względem f
s
) f0=0.1 (
Ω
0
=2
πf
0
).
• jak na podstawie liczby minimów widma ocenić liczbę próbek N? (porównać z widmami
sygnału stałego),
• z czego wynika obecność dwóch prążków (obejrzeć c1_cos(100,0.1);)?
Powtórzyć eksperyment dla ustalonego N=20 zmieniając częstotliwość, np. f0=0.1, 0.4.
• dlaczego zmiana częstotliwości powoduje również zmianę kształtu listków bocznych widma?
• porównać i zinterpretować wykresy dla c1_cos(20,0.4); i c1_cos(20,0.6);
3.3. Ilustracja modulacji. Widmo sygnału zespolonego
Sygnał zespolony
⎩
⎨
⎧
≥
−
≤
≤
=
Ω
N
n
N
n
e
n
x
n
x
jn
z
dla
0
1
0
dla
)
(
)
(
0
(1.26)
jest iloczynem skończonego sygnału stałego x(n) oraz zespolonej harmonicznej
0
Ω
jn
e
. Do obliczenia
widma można zastosować twierdzenie o modulacji (widmo zostaje przesunięte o
±Ω
0
).
a) (*) Modulacja dla sygnału stałego x(n)=1 (1.23)
• wygenerować z linii komend Matlaba sygnał stały x(n)=1 o długości N=50
>> x = ones(1,50);
Przy pomocy procedury c1_modul(x,f0); dokonać modulacji sygnału zespoloną
harmoniczną
0
Ω
jn
e
, gdzie
Ω
0
=2
πf
0
i zarejestrować widmo dla kilku wartości: f0=0,0.2,-0.1
(zmiana znaku oznacza przesunięcie fazowe o 180
°).
Zaobserwować zależność przesunięcia widma od f
0
.
• zwrócić uwagę na fakt, że widmo amplitudowe nie jest funkcją parzystą,
• co fizycznie oznacza położenie prążka widma dla f
0
=-0.1?
b) Obserwacja modulacji dla sygnału zmiennego
1
0
),
cos(
)
(
1
−
≤
≤
Ω
=
N
n
n
n
x
;
Korzystając z funkcji c1_gcos(f1, N); wygenerować sygnał cosinusoidalny o długości N=50
i częstotliwości unormowanej f
1
=0.15:
>> x = c1_gcos(0.15, 50);
Przy pomocy c1_modul(x,f0); dokonać obserwacji widma dla f0=0,0.2,-0.1 i
zinterpretować wyniki.
c) (*) Przeprowadzić obliczenia jak w pkt. b) dla f1=0.5 oraz f0=0 (brak modulacji) i 0.5
(f=0.5 oznacza graniczną częstotliwość Nyquista).
Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 10 -
3.4. Widmo sygnału opóźnionego
Celem eksperymentu jest porównanie widma sygnału x(n) z widmem jego opóźnionej kopii x(n-d) .
Porównanie takie realizuje procedura c1_delay(x,d);
• wygenerować sygnał stały o długości N=5 i obliczyć widma dla opóźnienia d=5 próbek:
>>x=ones(1,5);
>>c1_delay(x,5)
• zaobserwować widma fazowe i powiązać nachylenie fazy sygnału opóźnionego z wielkością
opóźnienia,
• zwrócić uwagę na skoki fazy o 180° w miejscach zerowych amplitudy.
3.5. Dyskretna transformata Fouriera DFT
A. DFT sygnału o skończonym czasie trwania
a) Dla sygnału stałego o długości N=8 zaobserwować efekt próbkowania widma przy obliczaniu N-
punktowej DFT dla L=N, 2N, 4N. Do obliczania DFT służy procedura c1_dft(x,L,c);
(wykres DFT jest rysowany w zakresie [0, f
N
], opcjonalny parametr c=1 powoduje dodatkowo
wykreślanie DTFT(x), domyślnie c=0).
>>x=ones(1,8);
>>X=c1_dft(x,L,1);
(ma być duże X)
• W ilu i jakich punktach Ω
m
wartości DFT są próbkami widma ciągłego X(e
j
Ω
)?
b) Dla każdej wartości L z pkt.a) dokonać odtworzenia sygnału x(n) na podstawie L-punktowej DFT
wykorzystując procedurę c1_idft(X,L);
>>x1=c1_idft(X,L);
(X jest pamiętane z poprzedniego kroku)
• Odtworzony fragment stanowi jeden okres sygnału okresowego powstającego po operacji
IDFT wskutek próbkowania w dziedzinie częstotliwości. Jak okres ten zależy od L?
• W którym przypadku wyjściowy sygnał stały został odtworzony poprawnie?
B. DFT sygnału okresowego
W tym punkcie analizowane będzie DFT nieskończonego sygnału okresowego
)
cos(
)
(
0
Ω
=
n
n
x
(1.27)
o pulsacji
Ω
0
=2
π/K (częstotliwości unormowanej
f
0
=1/K).
a) przyjąć K=32 i wyznaczyć N-punktową DFT sygnału (1.27) na podstawie wycinka N=64 próbek
(pomiar zawiera dokładnie 2 okresy x(n)), a następnie 1 okres odtworzenia sygnału stosując IDFT:
>>N=64;
>>x= c1_gcos(1/32,N);
>>X=c1_dft(x,N);
>>x1=c1_idft(X,N);
• czy sygnał odtworzony na podstawie IDFT jest zgodny z pierwowzorem?
b) powtórzyć obliczenia i analizę odtworzenia dla K=29 (w wycinku nie mieści się pełna liczba
okresów),
• zaobserwować i wyjaśnić rozmycie widma DFT; jaki jest okres sygnału odtworzonego?
c) powtórzyć obliczenia i analizę K=29 generując tylko 2K próbek, tzn.
>>x=c1_gcos(1/29,58);
(N nadal równe 64)
...... (jest to przypadek uzupełnienia obserwacji zerami (zero padding) do obliczania DFT)
3.6. Przebiegi i widma okien czasowych
a) Zarejestrować i porównać przebiegi podstawowych okien czasowych o szerokości N=51 (wartość
nieparzysta zachowuje symetrię okna):
>>c1_gwin(N)
b) Zarejestrować i porównać widma amplitudowe okien (unormowane względem N=51)
Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów
Ćwiczenie 1 – Dyskretne sygnały deterministyczne i analiza widmowa
- 11 -
• prostokątnego (c1_box(N)),
• Bartletta (trójkątnego) (c1_bart(N)),
• Hamminga (c1_hamm(N)),
• Kaisera (c1_kais(N) dla 2 wartości parametru β),
Dla każdego okna zanotować: szerokość listka głównego, poziom pierwszego listka bocznego oraz
czy poziom listków bocznych utrzymuje się czy opada w miarę oddalania się od listka głównego.
3.7. Zastosowanie okien w analizie widmowej
Przeprowadzić analizę DFT sygnału po nałożeniu okna. Powtórzyć obliczenia z (w wycinku) mnożąc
obserwowany wycinek przez okno Kaisera:
• Zapoznać się z zawartością pliku skryptowego c1_okno.m. Podobnie jak w pkt.3.5.B.b w
wycinku sygnału okresowego nie mieści się pełna liczba okresów powodująca nieciągłość na
krańcach sygnału. Nakładane na sygnał okno Hanninga ma na brzegach wartości zerowe, co
likwiduje nieciągłości przy okresowym powielaniu sygnału z nałożonym oknem. Uruchomić
skrypt:
>> c1_okno
• Zwrócić uwagę na rozmycie DFT badanego wycinka (Figure 1). Zaobserwować zmianę sygnału w
stosunku do oryginału po nałożeniu okna i sprawdzić, że odtworzenie sygnału przekształconego
po IDFT jest wierne i nie występuje nieciągłość na krańcach (Figure 2).
• Porównać widma wycinka oryginalnego (sygnał z oknem prostokątnym) i wycinka po nałożeniu
okna Hanninga na wykresie w skali logarytmicznej i liniowej (Figure 3 i 4). Zwrócić uwagę na
wysokość i szerokość listka głównego poziom widma poza nim.
3.8. Rozdzielczość widmowa
Przeprowadzić obliczenia ilustrujące wpływ nałożenia na obserwowany sygnał okna Hamminga na
zdolność wykrywania składowych harmonicznych.
• Zapoznać się z zawartością pliku skryptowego c1_rozdz.m: generowany jest sygnał y o
długości N=32 zawierający 3 składowe o częstotliwościach (unormowanych) określonych przez
składowe wektora f0 i amplitudach określonych przez składowe A. Obliczana jest L=256-
punktowa DFT sygnału oryginalnego i po nałożeniu okna Hamminga. Uruchomić skrypt:
>>c1_rozdz
• Na wykresach DFT w skali logarytmicznej i liniowej zaobserwować różnice wysokości prążków
DFT odpowiadających bliskim składowym 1 i 2 (rozróżnialność częstotliwościowa) oraz zdolność
wykrywania 3 składowej o małej amplitudzie (rozróżnialność amplitudowa).
• (*) Uruchomić i przeanalizować skrypt c1_resol.m ilustrujący pozorny wzrost rozróżnialności
po uzupełnieniu ciągu próbek zerami.
4. Opracowanie sprawozdania
W sprawozdaniu należy zawrzeć zarejestrowane wyniki eksperymentów numerycznych z
odpowiednimi opisami oraz wyjaśnieniami problemów wskazanych w pkt. 3 dokonanymi na
podstawie informacji teoretycznych z pkt.2.