WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.1

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

2.1. Płaskie układy tarcz sztywnych

Analiza kinematyczna służy nam do określenia czy dany układ spełnia wszystkie warunki aby być

konstrukcją budowlaną.

Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej jest tarcza sztywna. Jest to uogólnie-

nie znanej z kursu fizyki bryły sztywnej czyli ciała, którego odkształcanie w warunkach danego zagadnienia
jest zaniedbywalnie małe a odległość pomiędzy dwoma dowolnymi punktami bryły sztywnej jest stała nieza-
leżnie od wielkości działających sił. Tarczę sztywną możemy sobie wyobrazić jako bardzo cienką, płaską
bryłę sztywną w kształcie plastra. Tarcza sztywna wraz z obciążeniem na nią działającym znajdują się na
jednej płaszczyźnie. Jeżeli tych tarcz sztywnych jest więcej niż jedna to taki układ nazywamy płaskim
układem tarcz sztywnych.

Przyjęcie tarczy sztywnej jako modelu rzeczywistej konstrukcji jest uzasadnione tym, że deformacje

mierzone w rzeczywistych konstrukcjach są bardzo małe w porównaniu z ich wymiarami. Można więc
przyjąć, że analizujemy konstrukcję niezdeformowaną czyli tak zwaną konfigurację pierwotną konstruk-
cji. Inaczej powyższą zasadę nazywa się zasadą zesztywnienia.

Następnym bardzo ważnym pojęciem przy analizie kinematycznej jest stopień swobody. Jest to nie-

zależny parametr, za pomocą którego opisujemy położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie. Ich liczba
określa nam liczbę stopni swobody tarczy sztywnej. Aby znać dokładne położenie tarczy sztywnej na płasz-
czyźnie wystarczy znać położenie dowolnego odcinka AB. Położenie tego odcinka może być opisane za
pomocą dwóch współrzędnych punktu A (x

A

i y

A

) i kąta

α

, który jest kątem nachylenia odcinka AB. Przed-

stawia to rysunek 2.1. Można więc stwierdzić, że pojedyncza tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie
trzy stopnie swobody.

X

Y

A

B

x

A

y

A

α

Rys. 2.1. Stopnie swobody tarczy sztywnej na płaszczyźnie

Od konstrukcji budowlanej wymagamy aby nie była ona mechanizmem i pozostała nieruchoma

pod wpływem obciążenia. Aby tak było należy odebrać jej wszystkie stopnie swobody. Robi się to przymo-
cowując tarcze sztywne do nieruchomej tarczy podporowej za pomocą więzów. Tarczą podporową w
przypadku rzeczywistych konstrukcji jest na przykład podłoże gruntowe. Może nim być także inna konstru-
kcja.

Pierwszym rodzajem więzu jest pręt podporowy. Został on przedstawiony na rysunku 2.2 a) i b).

Schemat pręta podporowego przedstawia rysunek 2.2 c).

Jak widać na rysunku 2.2 pręt podporowy ma możliwość obrotu względem sworznia (a w zasadzie

punktu) A. Tarczę sztywną podpartą prętem podporowym przedstawia rysunek 2.3. Do opisu położenia
tarczy sztywnej połączonej z podłożem jednym prętem podporowym potrzebne są dwa niezależne parametry
(kąty

α

oraz

β

). Czyli tarcza sztywna utraciła jeden stopień swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że

pręt podporowy odbiera tarczy sztywnej jeden stopień swobody.

Drugim rodzajem więzu jest przegub. Przedstawia go rysunek 2.4. Tarcza sztywna ma możliwość

obrotu względem takiego przegubu.

Przegub przedstawiony na rysunku 2.4 nazywa się przegubem rzeczywistym. Do opisu położenia

tarczy sztywnej połączonej z podłożem przegubem rzeczywistym potrzebny jest jeden niezależny parametr

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.2

(kąt nachylenia tarczy sztywnej do poziomu). Przedstawia to rysunek 2.5. Tarcza sztywna utraciła więc dwa
stopnie swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że przegub rzeczywisty odbiera tarczy sztywnej
dwa stopnie swobody.

A

A

a)

b)

c)

A

Rys. 2.2. Pręt podporowy

A

α

β

Rys. 2.3. Stopnie swobody tarczy sztywnej popartej prętem podporowym

A

A

a)

b)

c)

A

Rys. 2.4. Przegub

A

α

Rys. 2.5. Stopnień swobody tarczy sztywnej podpartej przegubem rzeczywistym

Przegub może być także utworzony z dwóch prętów podporowych. Mówimy wtedy o przegubie

fikcyjnym. Punkt przegubu znajduje się na przecięciu kierunków obu prętów podporowych. Przedstawia to
rysunek 2.6. Może się zdarzyć taka sytuacja, że oba pręty podporowe tworzące przegub fikcyjny będą do
siebie równoległe. Wtedy przegub fikcyjny znajduje się w nieskończoności na prostej, która jest równoległa
do kierunku obu prętów podporowych. Przegub taki nazywa się przegubem niewłaściwym. Tarczę sztywną
podpartą dwoma równoległymi prętami podporowymi przedstawia rysunek 2.7 a). Rysunek 2.7 b) przedsta-
wia ruch tarczy sztywnej, która przesunęła się w kierunku prostopadłym do kierunku obu prętów podporo-
wych.

Możliwe jest także połączenie więcej niż dwóch tarcz sztywnych przegubem rzeczywistym. Przegub

taki nazywa się przegubem wielokrotnym. Rysunek 2.8 a) przedstawia trzy tarcze sztywne połączone prze-
gubem tego typu.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.3

A

A

Rys. 2.6. Przegub fikcyjny

A

∞

a)

b)

Rys. 2.7. Tarcza sztywna podparta przegubem niewłaściwym w nieskończoności

I

II

I

II

III

A

A

a)

b)

III

Rys. 2.8. Przegub wielokrotny

Jak widać przegub wielokrotny A łączący trzy tarcze sztywne odpowiada czterem prętom podporo-

wym. Ogólnie możemy stwierdzić, że jeżeli przegub wielokrotny łączy t tarcz sztywnych to odpowiada on

2⋅



t−1



(2.1)

prętom podporowym.

Pojedyncza tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie trzy stopnie swobody. Jeżeli tych tarcz będzie t to

będą one posiadały

3⋅t

(2.2)

stopni swobody. Aby układ tarcz sztywnych nie był mechanizmem i mógł być konstrukcją budowlaną musi
spełniać warunek nazywany warunkiem koniecznym geometrycznej niezmienności układu tarcz
sztywnych Warunkiem tym jest zależność

3⋅t p

,

(2.3)

w której t oznacza liczbę tarcz sztywnych natomiast p oznacza liczbę stopni swobody odbieranych przez
więzy. Nierówność (2.3) oznacza, że liczba stopni swobody odbieranych przez więzy jest większa lub równa
liczbie stopni swobody wszystkich tarcz sztywnych stanowiących układ tarcz sztywnych. Układy, w których
zastosowano większą niż minimalna liczba więzów nazywa się układami geometrycznie niezmiennymi
statycznie niewyznaczalnymi. Układy tego typu nie będą tutaj rozpatrywane ze względu na to, że do roz-

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.4

wiązania ich konieczne będą dodatkowe równania niż tylko rozpatrywane w dalszej części kursu równania
równowagi. Układy, w których zastosowano minimalną liczbę więzów koniecznych do unieruchomienia ich
nazywa się układami geometrycznie niezmiennymi statycznie wyznaczalnymi. Spełniają one warunek

3⋅t= p

.

(2.4)

Układy tarcz sztywnych, które nie spełniają warunku (2.3) nazywa się układami geometrycznie zmien-
nymi. Układy ten nie mogą być konstrukcjami budowlanymi.

Równanie (2.3) jest warunkiem koniecznym ale niewystarczającym geometrycznej niezmienności.

Możliwe są układy, które spełniają ten warunek jednak będące układami geometrycznie zmiennymi. Układ
tarcz sztywnych musi spełniać także warunki dostateczne geometrycznej niezmienności. Dopiero speł-
nienie warunku koniecznego oraz warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności stanowi o tym, że
układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny.

Aby układ tarcz sztywnych był geometrycznie niezmienny wszystkie tarcze sztywne go tworzące

muszą być geometrycznie niezmienne. Jeżeli którakolwiek tarcza sztywna jest geometrycznie zmienna to
cały układ jest także geometrycznie zmienny.

Pojedyncza tarcza sztywna podparta trzema prętami podporowymi spełnia warunek dostateczny

geometrycznej niezmienności wtedy, gdy kierunki wszystkich trzech prętów podporowych nie przeci-
nają się w jednym punkcie. Rysunek 2.9 a) przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną nato-
miast rysunek 2.9 b) przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną.

a)

b)

Rys. 2.9. Tarcza sztywna podparta trzema prętami podporowymi: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie

zmienna

Pojedyncza tarcza sztywna podparta przegubem rzeczywistym i prętem podporowym spełnia warunek

dostateczny geometrycznej niezmienności wtedy, gdy przegub rzeczywisty nie znajduje się na kierunku
pręta podporowego. Rysunek 2.10 a) przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną natomiast
rysunek 2.10 b) przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną.

a)

b)

Rys. 2.10. Tarcza sztywna podparta przegubem rzeczywistym i prętem podporowym: a)geometrycznie niezmienna, b)

geometrycznie zmienna

Często wykorzystywanym układem tarcz sztywnych jest układ dwóch tarcz połączonych między sobą

oraz z tarczą podporową przegubami (rzeczywistym, fikcyjnym lub niewłaściwym). Układ taki nazywamy

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.5

układem trójprzegubowym. Układ trójprzegubowy spełnia warunek dostateczny geometrycznej niezmien-
ności wtedy, gdy trzy przeguby nie znajdują się na jednej prostej. Rysunek 2.11 przedstawia układy
trójprzegubowe geometrycznie niezmienne natomiast rysunek 2.12 przedstawia układy trójprzegubowe geo-
metrycznie zmienne.

A

B

C

A

B

C

A

B

C

∞

Rys. 2.11. Geometrycznie niezmienne układy trójprzegubowe

A

B

C

A

B

C

A

B

C

∞

Rys. 2.12. Geometrycznie zmienne układy trójprzegubowe

2.2. Układy prętowe

Podstawowym elementem konstrukcyjnym jest pręt. Pręt powstaje wtedy, gdy po linii regularnej AB

przemieszcza się środek ciężkości figury płaskiej (jeżeli wykonamy figurę z cienkiej blachy i podeprzemy ją
dokładnie w środku ciężkości na szpilce to będzie ona leżała stabilnie) w taki sposób aby płaszczyzna figury
była zawsze prostopadła do linii AB. Kontur figury opisuje bryłę geometryczną, która wypełniona ma-
teriałem tworzy pręt. Przedstawia to rysunek 2.13. Figurę tworzącą pręt nazywamy przekrojem pręta
natomiast linię AB nazywamy osią pręta. Jeżeli przekrój pręta jest stały to pręt jest prętem pryzmatycz-
nym. Większość rzeczywistych prętów jest właśnie prętami pryzmatycznymi. W niniejszym kursie będzie-
my rozpatrywać tylko pręty o osi prostej nazywane prętami prostoliniowymi.

Modelem matematycznym pręta jest jego oś. Przedstawia to rysunek 2.14. Z osią pręta związana

będzie oś X, której początek będzie się znajdował na jednym z końców pręta. Z przekrojem pręta będzie zaś
związany układ współrzędnych YZ. Początek tego układu znajduje się w środku ciężkości przekroju (punkt
B). Położenie osi przedstawia rysunek 2.15. Pewne wielkości fizyczne, omówione w dalszej części niniej-
szego kursu, które posłużą nam do opisu zachowania się pręta pod obciążeniem, będą zależne od zmiennych
x, y oraz z.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.6

B

A

Rys. 2.13. Pręt

B

A

B

A

Rzeczywisty obiekt

Model matematyczny

Rys. 2.14. Model matematyczny pręta

B

B

Y=Y

0

Z=Z

0

A

X

- x-

Rys. 2.15. Układ współrzędnych związany z przekrojem pręta

Konstrukcję składającą się z prętów będziemy nazywać płaskim układem prętowym. Na potrzeby

analizy kinematycznej płaskich układów prętowych możemy każdy pręt traktować jako bardzo wydłużoną
tarczę sztywną, której kształt jest zbliżony do kształtu pręta. Przedstawia to rysunek 2.16.

Tarcza sztywna

Pręt

Rys. 2.16. Pręt jako tarcza sztywna

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.7

Rzeczywiste pręty są przedstawione na rysunkach od 2.17 do 2.20. Pręty przedstawione na rysunkach

2.17 i 2.18 są wykonane ze stali. Pręty na rysunkach 2.19 i 2.20 wykonane są z żelbetu, który to jest
materiałem kompozytowym składającym się z betonu oraz drutów stalowych nazywanych zbrojeniem.

Rys. 2.17. Pręt stalowy

Rys. 2.18. Pręt stalowy

Rys. 2.19. Pręt żelbetowy

Rys. 2.20. Pręty żelbetowe

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.8

W przypadku płaskich układów prętowych więzy odbierające prętom stopnie swobody nazywane są

podporami. Mamy ich kilka rodzajów. Pierwszym z nich jest podpora przegubowo-przesuwna, odpowia-
dająca jednemu prętowi podporowemu. Odbiera ona więc jeden stopień swobody. Podporę taką przedsta-
wia rysunek 2.21. Rzeczywiste podpory przegubowo-przesuwne przedstawiają rysunki od 2.22 do 2.28.

Rys. 2.21. Podpora przegubowo-przesuwna

Rys. 2.22. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna

Rys. 2.23. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.9

Rys. 2.24. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (wiadukt na trasie PST)

Rys. 2.25. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna (wiadukt na trasie PST)

Rys. 2.26. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna

Rys. 2.27. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.10

Rys. 2.28. Rzeczywista podpora przegubowo-przesuwna

Drugim rodzajem podpory jest podpora przegubowo-nieprzesuwna, odpowiadająca dwóm nierów-

noległym prętom podporowym. Odbiera ona więc dwa stopnie swobody. Podporę taką przedstawia
rysunek 2.29. Rzeczywiste podpory przegubowo-nieprzesuwne przedstawiają rysunki od 2.30 do 2.32.

Rys. 2.29. Podpora przegubowo-nieprzesuwna

Rys. 2.30. Rzeczywista podpora przegubowo-nieprzesuwna

Rys. 2.31. Rzeczywista podpora przegubowo-nieprzesuwna

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.11

Rys. 2.32. Rzeczywista podpora przegubowo-nieprzesuwna

Trzecim rodzajem podpory jest przegub, łączący ze sobą dwa pręty i odpowiadający przegubowi

rzeczywistemu. Odbiera on więc dwa stopnie swobody. Podporę taką przedstawia rysunek 2.33. Przegub
w rzeczywistej konstrukcji budowlanej przedstawia rysunek 2.34.

A

A

Rys. 2.33. Przegub rzeczywisty

Rys. 2.34. Przegub w rzeczywistej konstrukcji

Czwartym rodzajem podpory jest podpora teleskopowa, która odpowiada dwóm równoległym do

siebie prętom podporowym. Odbiera ona więc dwa stopnie swobody. Podporę taką przedstawia rysunek
2.35.

Rys. 2.35. Podpora teleskopowa

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.12

Piątym rodzajem podpory jest utwierdzenie, które odpowiada trzem prętom podporowym, których

kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Odbiera ono więc trzy stopnie swobody. Podporę taką
przedstawia rysunek 2.36. Rysunek 2.37 przedstawia rzeczywisty pręt, do którego przymocowana jest
prostokątna blacha z otworami na śruby fundamentowe. Śruby te łączą pręt z betonowym blokiem funda-
mentowym w kształcie prostopadłościanu, który traktujemy jako tarczę sztywną dla tego pręta. Za pomocą
tych czterech śrub zrealizowane jest utwierdzenie. Utwierdzenie takie jest przedstawione na rysunkach 2.38
i 2.39.

Rys. 2.36. Utwierdzenie

Rys. 2.37. Rzeczywiste utwierdzenie

Rys. 2.38. Rzeczywiste utwierdzenie

Rys. 2.39. Rzeczywiste utwierdzenie

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.13

2.3. Kratownice płaskie

Kratownicą płaską nazywamy układ prętów prostych leżących na jednej płaszczyźnie, które są

połączone między sobą przegubami rzeczywistymi. Przeguby nazywa się węzłami kratownicy. Kratownica
następnie jest podparta do podłoża za pomocą podpór: przegubowo-przesuwnej i przegubowo-nieprzesuw-
nej. Rysunek 2.40 przedstawia model matematyczny przykładowej kratownicy.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Rys. 2.40. Model matematyczny kratownicy

Poszczególne pręty kratownicy mają swoje charakterystyczne nazwy. Opierając się na oznaczeniach

prętów przedstawionych na rysunku 2.40 pręty kratownicy możemy podzielić na:

•

pręty pasa dolnego – od numeru 1 do 4

•

pręty pasa górnego – od numeru 5 do 8

•

słupki – od numeru 9 do 13

•

krzyżulce – od numeru 14 do 17.

Rysunki od 2.41 do 2.44 przedstawiają rzeczywiste kratownice wraz z zaznaczonymi modelami

matematycznymi tych kratownic.

Rys. 2.41. Rzeczywista kratownica

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.14

Rys. 2.42. Rzeczywista kratownica

Rys. 2.43. Rzeczywista kratownica

Rys. 2.44. Rzeczywista kratownica

W modelu matematycznym przyjmujemy, że węzeł kratownicy jest przegubem. Jednak w rzeczy-

wistych konstrukcjach najczęściej nie da się wykonstruować idealnego przegubu. Rzeczywiste węzły
kratownic przedstawiają rysunki od 2.45 do 2.48.

Kratownica może być częścią innej konstrukcji. Na rysunku 2.49 przedstawione są kratownice będące

pomostem mostu wiszącego. Zaletą takiego rozwiązania jest niewielki opór na jaki napotyka wiejący wiatr,
który w przypadku mostów jest w stanie nawet zniszczyć konstrukcję.

Oprócz kratownic płaskich spotykane są kratownice przestrzenne, które składają się z kilku kratownic

płaskich leżących na różnych płaszczyznach nachylonych do siebie pod pewnymi kątami. Najczęściej są to
płaszczyzny prostopadłe. Kratownice takie przedstawiają rysunki od 2.50, 2.51 i 2.52.

Dotychczas przedstawione kratownice wykonane były ze stali. Jednak nie jest to jedyny materiał,

z którego wykonuje się kratownice. Rysunek 2.53 przedstawia kratownicę wykonaną z żelbetu. Kratownica
może być także wykonana z drewna. Kratownice tego typu są przedstawione na rysunku 2.54.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.15

Rys. 2.45. Rzeczywisty węzeł kratownicy

Rys. 2.46. Rzeczywisty węzeł kratownicy

Rys. 2.47. Rzeczywisty węzeł kratownicy

Rys. 2.48. Rzeczywisty węzeł kratownicy

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.16

Rys. 2.49. Kratownica będąca pomostem mostu wiszącego

Rys. 2.50. Kratownice przestrzenne

Rys. 2.51. Kratownice przestrzenne

Rys. 2.52. Kratownica przestrzenne

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.17

Rys. 2.53. Kratownica żelbetowa

Rys. 2.54. Kratownice drewniane

X

Y

A

x

A

y

A

Rys. 2.55. Stopnie swobody punktu na płaszczyźnie

Analiza kinematyczna kratownic przebiega w nieco inny sposób niż w przypadku innych typów

konstrukcji prętowych. Rysunek 2.55 przedstawia dowolny punkt, który reprezentuje nam węzeł kratownicy
w płaskim układzie współrzędnych. Jak widać do opisu jego położenia potrzebujemy dwóch parametrów,
którymi są współrzędne x

A

i y

A

. Możemy więc stwierdzić, że punkt posiada na płaszczyźnie dwa stopnie

swobody. Jeżeli dana kratownica składa się z w węzłów to posiadają one

2

⋅

w

(2.5)

stopni swobody. Wszystkie stopnie swobody muszą zostać odebrane węzłom przez pręty kratownicy oraz
podpory. Warunkiem koniecznym geometrycznej niezmienności będzie więc warunek

2

⋅

w

≤

p



r

,

(2.6)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.18

w którym w oznacza liczbę węzłów kratownicy, p oznacza liczbę prętów kratownicy natomiast r oznacza
liczbę stopni swobody odbieranych przez podpory.

Kratownice, w których pręty oraz podpory odbierają więcej stopni swobody niż posiadają je węzły

nazywa się kratownicami geometrycznie niezmiennymi statycznie niewyznaczalnymi. Układy tego typu
nie będą tutaj rozpatrywane ze względu na to, że do rozwiązania ich konieczne będą dodatkowe równania
niż tylko rozpatrywane w dalszej części kursu równania równowagi.

Układy, w których pręty oraz podpory odbierają dokładnie tyle stopni swobody ile posiadają ich

węzły nazywa się układami geometrycznie niezmiennymi statycznie wyznaczalnymi. Spełniają one
warunek

2⋅w= pr

.

(2.7)

Kratownice, które nie spełniają warunku (2.6) nazywamy kratownicami geometrycznie zmiennymi.

Nie mogą one być konstrukcjami budowlanymi.

1

2

3

1

2

3

=

Rys. 2.56. Kratownica będąca tarczą sztywną

1

2

3

1

2

3

=

4

4

5

Rys. 2.57. Kratownica będąca tarczą sztywną

Podobnie jak w przypadku płaskiego układu tarcz sztywnych kratownice muszą oprócz warunku

koniecznego spełnić także warunki dostateczne geometrycznej niezmienności. Kratownica pokazana na
rysunku 2.56 jest geometrycznie niezmienna, ponieważ nie można zmienić położenia dowolnego węzła bez
zmiany długości prętów kratownicy. Stanowi ona więc tarczę sztywną. Dokładając do niej następny węzeł za
pomocą dwóch prętów, jak to jest przedstawione na rysunku 2.57, kratownica taka pozostaje nadal
geometrycznie niezmienna. Ogólnie możemy więc powiedzieć, że kratownica składająca się z trójkątów
jest tarczą sztywną. Kratownicę taką nazywamy kratownicą o strukturze prostej. Jeżeli więc mamy do
czynienia z kratownicą o strukturze prostej to w analizie kinematycznej możemy ją traktować jako tarczę
sztywną i dalej będziemy mogli stosować do niej warunki dostateczne geometrycznej niezmienności jak dla
płaskiego układu tarcz sztywnych.

Rysunek 2.58 przedstawia kratownicę o strukturze prostej spełniającą warunek (2.7) traktowaną

w analizie kinematycznej jako tarcza sztywna podparta trzema prętami podporowymi, spełniającymi waru-
nek konieczny geometrycznej niezmienności. Kierunki prętów podporowych nie przecinają się w jednym
punkcie, przez co spełniony został warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Ostatecznie możemy
więc stwierdzić, że kratownica na rysunku 2.58 jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.19

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

=

Rys. 2.58. Kratownica będąca tarczą sztywną podpartą trzema prętami podporowymi

2.4. Belki

Belką nazywamy układ prętowy, który składa się z prętów leżących na jednej prostej. Podporami

belek są wszystkie przedstawione wcześniej typy podpór.

Jeżeli belka składa się z jednego tylko pręta to belkę taką nazywamy belką prostą. Istnieją dwa typy

belek prostych. Pierwszym z nich jest belka swobodnie podparta. Przedstawia ją rysunek 2.59. Podporami
tej belki są: podpora przegubowo-przesuwna i przegubowo-nieprzesuwna. Stanowią one układ trzech prętów
podporowych. Dzięki ich liczbie spełniony jest warunek konieczny geometrycznej niezmienności. Kierunki
tych trzech prętów podporowych nie przecinają się w jednym punkcie, przez co spełniony jest także
warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Belka ta jest więc układem geometrycznie niezmiennym
i statycznie wyznaczalnym.

Rys. 2.59. Belka swobodnie podparta

Drugim rodzajem belki prostej jest belka wspornikowa. Belka ta jest przedstawiona na rysunku 2.60.

Podporą tej belki jest utwierdzenie, które stanowi jak wiadomo układ trzech prętów podporowych, których
kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Przez to belka ta jest układem geometrycznie niezmiennym
i statycznie wyznaczalnym.

Rys. 2.60. Belka wspornikowa

Jeżeli belka składa się z przynajmniej dwóch prętów to nazywamy ją belką złożoną. Rysunki od 2.61

do 2.64 przedstawiają przykłady belek złożonych. Do analizy kinematycznej tych belek stosujemy zasady
jak dla płaskich układów tarcz sztywnych. Belki złożone przedstawione na poniższych rysunkach są
układami geometrycznie niezmiennymi i statycznie wyznaczalnymi.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.20

Rys. 2.61. Belka złożona

Rys. 2.62. Belka złożona

Rys. 2.63. Belka złożona

Rys. 2.64. Belka złożona

Rysunki od 2.65 do 2.69 przedstawiają rzeczywiste belki swobodnie podparte. Rysunki 2.70 i 2.71

przedstawiają tak zwane belki ciągłe, które to są belkami statycznie niewyznaczalnanymi.

Rys. 2.65. Rzeczywista belka swobodnie podparta

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.21

Rys. 2.66. Rzeczywista belka swobodnie podparta

Rys. 2.67. Rzeczywista belka swobodnie podparta (Stonehenge)

Rys. 2.68. Rzeczywista belka swobodnie podparta

Rys. 2.69. Rzeczywista belka swobodnie podparta (trasa PST w Poznaniu)

Rys. 2.70. Rzeczywista belka ciągła

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.22

Rys. 2.71. Rzeczywista belka ciągła (trasa PST w Poznaniu)

2.5. Ramy płaskie

Ramą płaską nazywamy układ prętowy, w którym pręty nie leżą na jednej prostej. Poszczególne

pręty ramy płaskiej mogą się łączyć między sobą za pomocą przegubów lub połączeń sztywnych.
Połączenie sztywne to takie połączenie, które nie pozwala na zmianę kąta lub kątów pomiędzy prętami
schodzącymi się w tym połączeniu. Miejsce sztywnego połączenia prętów w ramie płaskiej nazywamy
węzłem ramy. Pionowe pręty w ramie płaskiej nazywamy słupami natomiast poziome pręty nazywamy
ryglami. Jeżeli wszystkie pręty w ramie płaskiej są do siebie prostopadłe to taką ramę nazywamy ramą
ortogonalną. Rysunek 2.72 przedstawia ramę ortogonalną z zaznaczonymi węzłami, słupami i ryglem.

Słup

Słup

Rygiel

Węzeł

Węzeł

Rys. 2.72. Ortogonalna rama płaska

Rysunki od 2.73 do 2.76 przedstawiają przykładowe ramy płaskie. Do analizy kinematycznej ram

płaskich stosujemy zasady jak dla płaskich układów tarcz sztywnych. Ramy płaskie przedstawione na poniż-
szych rysunkach są układami geometrycznie niezmiennymi i statycznie wyznaczalnymi.

Rys. 2.73. Rama płaska

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.23

Rys. 2.74. Rama płaska

Rys. 2.75. Trójprzegubowa rama płaska

Rys. 2.76. Rama płaska

Rzeczywiste ramy płaskie przedstawiają rysunki od 2.77 do 2.84. Rysunki od 2.85 do 2.87 przedsta-

wiają rzeczywiste węzły sztywne w ramach płaskich.

Rys. 2.77. Rzeczywista rama płaska

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.24

Rys. 2.78. Rzeczywista rama płaska

Rys. 2.79. Rzeczywista rama płaska

Rys. 2.80. Rzeczywista rama płaska

Rys. 2.81. Rzeczywista rama płaska

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.25

Rys. 2.82. Rzeczywista rama płaska

Rys. 2.83. Rzeczywista rama płaska

Rys. 2.84. Rzeczywista rama płaska

Rys. 2.85. Sztywne węzły ramy płaskiej

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

2. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

R2.26

Rys. 2.86. Sztywne węzły ramy płaskiej

Rys. 2.87. Sztywne węzły ramy płaskiej

Dr inż. Janusz Dębiński