X L V I I I   K O N F E R E N C J A  N AU K O W A 

KOMITETU  INŻ YNIERII  LĄ DOWEJ  I  WODNEJ  PAN 

I  KOMITETU  NAUKI  PZITB 

Opole – Krynica

 

2002

 

 
 
 
 
 
 
Janusz NICZYJ

1

 

 
 
 

OPTYMALIZACJA NIEZAWODNOŚ CIOWA PŁ ASKICH 

UKŁ ADÓ W KRATOWYCH ZA POMOCĄ ZBIORÓ W ROZMYTCH 

 
 

1.  Wprowadzenie 

 
Teoria  zbioró w  rozmytych  została  zainicjowana  przez  Lotfi  Asker  Zadeha  na  początku  lat 
sześ ć dziesiątych,  [1].  Od  kiedy  Munro  w  1979  r.  [2]  wprowadził  koncepcje  rozmytoś ci  do 
optymalizacji  konstrukcji  wiele  prac  zostało  opublikowanych  w  zakresie  optymalnego 
projektowania  konstrukcji.  Sformułowane  programowanie  matematyczne  można 
sklasyfikować   na  trzy  modele:  rozmyte  programowanie  liniowe  (FLP),  rozmyte 
programowanie celu (FGP) i rozmyte programowanie nieliniowe (FNLP). 

Mö ller i inni w pracy [3] z 2001 r. przedstawili nową koncepcje bezpieczeństwa konstrukcji 

w  któ rej  nieprecyzyjnoś ć  danych  wejś ciowych  i  parametró w  modeli  przyjmuje  się  w  postaci 
rozmytych zmiennych losowych, czy samych zmiennych losowych i rozmytych. Poprzez zmienne 
rozmyte  zamodelowano  rozmytą  powierzchnię  graniczną  stanu.  Rozszerzono  metode 
niezawodnoś ci  pierwszego  rzędu  (First  Order  Reliability  Method  -  FORM)  dlaś rodowiska 
rozmytego, proponując rozmytą metodę pierwszego rzędu (Fuzzy First Order Reliability Method – 
FFORM)  i  rozmyty  wspó łczynnik  niezawodnoś ci.  W  pracy  [4]  Royset  i  inni  przedstawili 
optymalne  projektowanie  konstrukcji  na  bazie  niezawodnoś ci.  Rozpatrywano  trzy  problemy 
polegające  na:  minimalizacji  początkowych  kosztó w  projektu  i  spodziewanych  kosztó w  awarii, 
minimalizacji  kosztó w  projektu  spełniającego  ograniczenia  projektowe  i  niezawodnoś ć;  i 
maksymalizacji  niezawodnoś ci  przy  spełnieniu  ograniczeń  konstrukcyjnych  i  związanych  z 
kosztami.  Funkcje  celu  i/lub  zbió r  ograniczeń  są  sprzężone  z  ogó lnym  wspó łczynnikiem 
bezpieczeństwa  lub  prawdopodobieństwem  awarii  układu  lub  jego  elementó w.  Zastosowano 
metody pozwalające na rozprzężenie obliczeń związanych z niezawodnoś cią i optymalizacją.  

 

2.  Podejmowanie rozmytej decyzji 

 
Yu  i  Xu  w  [5]  przestawili  wielokryterialną  rozmytą  optymalizacje  i  trzy  metody 
podejmowania  rozmytej  decyzji  dla  uzyskania  optymalnego  rozwiązania:  metoda  przecięć  
rozmytych funkcji celu i ograniczeń, wypukła decyzja, iloczyn decyzji.  

                                                           

1

  Dr inż., Wydział Budownictwa i Architektury Politechniki Szczecińskiej 

 

142 

2.1.  Decyzja przecię ć funkcji celu i ograniczeń  

 
Decyzja  przecięć   funkcji  celu  ( C

~ )  i  ograniczeń  ( G~ )  ma  postać  (nadkreś lenie  oznacza 

rozmytoś ć   danego  zbioru): 

C

~

G

~

D

~

Ç

=

.  W  przypadku  wielokryterialnej  rozmytej 

optymalizacji, mamy  

 

I

I

p

j

j

q

k

k

.

C

~

C

~

,

G

~

G

~

1

1

=

=

=

=

 

                               (1) 

Funkcja przynależnoś ci decyzji ma więc postać  

 

 

( )

( )

( )

.

μ

μ

μ

~

~

~

þ

ý

ü

î

í

ì

Ù

Ù

þ

ý

ü

î

í

ì

Ù

=

£

£

£

£

x

x

x

p

k

C

p

j

G

q

k

D

1

1

            

 

   (2) 

Decyzja optymalna wybierana jest z rozmytej przestrzeni decyzyjnej  D

~  charakteryzowanej 

przez  funkcje  przynależnoś ci 

D

~

μ   tak  by znaleźć optymalny punkt x* któ ry maksymalizuje 

D

~

μ , czyli 

( )

( )

.

μ

max

μ

~

*

~

x

x

D

R

X

D

n

Î

=

 Podstawiając ró wnanie (2) do tej zależnoś ci otrzymujemy 

 

 

( )

( )

( )

.

μ

,

μ

min

max

μ

~

~

,

*

~

þý

ü

îí

ì

=

Î

x

x

x

j

k

n

C

G

j

k

R

X

D

  

 

 

  (3) 

Stosując  koncepcje  wartoś ci  progowej 

l

  i  metody  poziomó w  przecięć   C

l

  można  napisać  

ró wnoważne ró wnanie powyższej zależnoś ci w postaci 

 

 

( )

( )

( )

[ ]

.

,

λ

,

λ

μ

,

λ

μ

λ

max

μ

~

~

*

~

þ

ý

ü

î

í

ì

Î

³

³

=

Î

1

0

x

x

x

jk

k

n

C

G

R

X

D

   

   (4) 

Problem  rozmytej  wielokryterialnej  optymalizacji  można  transformować   do  problemu 
rozwiązania jednokryterialnej nierozmytej optymalizacji, typu; 
 

 

znaleźć                            max  

D

~

μ (x) = 

l

,       0 

£

 

l

 

£

 1 

 

 

spełniającego ograniczenia     

( )

λ

μ

~

³

x

k

G

,         k = 1, ... , q 

 

( )

λ

μ

~

³

x

j

C

,       j = 1, ... , p.                    (5) 

 

 

 

 

 

       

2.2.  Decyzja wypukła 

 
Decyzje wypukłą przedstawiamy w postaci  

C

G

D

~

β

~

α

~

+

=

 gdzie 

a

 i 

b

 są wspó łczynnikami 

spełniającymi następujące warunki 

a

+

b

=1, 

a

³

0, 

b

³

0. Dla okreś lonych założeń projektowych 

dla  funkcji  przynależnoś ci  elementó w  składowych  wagi 

a

k

  i 

b

j

  są  dane  i  można  funkcje 

przynależnoś ci decyzji przedstawić  w następującej postaci 

 

 

( )

( )

( )

,

μ

β

μ

α

μ

~

~

~

x

x

x

p

j

C

j

G

q

k

k

D

j

k

å

å

=

=

+

=

1

1

 

 

 

 

  (6) 

gdzie  

  

a

k

  i  

b

j

  spełniają warunki   

 

 

,

β

α

p

j

j

q

k

k

1

1

1

=

+

å

å

=

=

    

a

k

 

³

 0,   k = 1, .. , q       

b

j

 

³

 0,    j = 1, ... , p.        (7) 

Problem  rozmytej  wielokryterialnej  optymalizacji  można  transformować   do  problemu 
rozwiązania jednokryterialnej nierozmytej optymalizacji, typu: 

 

143 

 

 

znaleźć                            max  

( )

,

~

μ

x

D

 

 

 

spełniającego ograniczenia      g

j

(x) 

£

 C

j

g

 ,       j = 1, ... , m-1     

   (8) 

 

 

 

 

                    g

j

(x) 

³

 C

j

d

  ,      j = m, ... , p. 

W  metodzie  tej  decyzja  ma  charakter  ś redniej  arytmetycznej  w  któ rym  wagi  funkcji  celu  i 
ograniczeń są okreś lane przez decydenta. 
 

2.3.  Iloczyn decyzji 

 

Decyzja związana z podejś ciem iloczynowym ma postać

C

G

D

~

~

~

·

=

. Funkcja przynależnoś ci 

decyzji ma postać  

 

( )

( )

( )

(

)

p

q

p

j

C

q

k

G

D

x

x

x

j

k

+

=

=

ú

ú
û

ù

ê

ê
ë

é

×

=

Õ

Õ

1

1

1

~

~

~

μ

μ

μ

.   

   (9) 

Problem  rozmytej  wielokryterialnej  optymalizacji  można  transformować   do  problemu 
rozwiązania jednokryterialnej nierozmytej optymalizacji, typu; 

 

 

 

znaleźć                         max     

( )

,

~

μ

x

D

 

 

 

spełniającego ograniczenia      g

j

(x) 

£

 C

j

g

 ,       j = 1, ... , m-1   

 (10) 

 

 

 

 

                     g

j

(x) 

³

 C

j

d

 ,       j = m, ... , p. 

 

W metodzie tej decyzja ma charakter ś redniej geometrycznej.  
 

3.  Rozmyte wielokryterialne programowanie liniowe (FMOLP) 

 

 

Problem  wielokryterialnego  programowania  liniowego  (fuzzy  multiobjective  linear 
programming-FMOLP) zawierający rozmyte parametry w funkcjach celu i w ograniczeniach 
można przedstawić  w postaci [6] 

 

 

znaleźć                                max  f(x,ã ) 

@

 {f

1

(x,ã

1

), ..., f

k

(x,ã

k

)}, 

spełniającego ograniczenia   x 

Î

 X(ũ)  = { x 

Î

 R

N

 

½

 g

i

(x,ũ

i

) 

å

=

=

n

j

j

ij

x

b

1

£

 ũ

i

,      (11) 

i=1,2,...,m,     x

j 

³

 0,   j=1,2,...,n}, 

 

gdzie i-ta liniowa funkcja celu ma postać   f

i

(x,ã

i

) = (c

i

 + ã

i

c

i

’) x, a obszar dopuszczalny x(ũ) 

przyjmujemy  jako  zbió r  zwarty.  W  ró wnaniach  (11)  x  jest    n-wymiarowym  wektorem 
zmiennych  decyzyjnych,  ã

i

  (i=1,...,k)  n-wymiarowe  wektory  rozmytych  parametró w,  c

i

  i c

i

’  

n-wymiarowe  wektory  i-tej  funkcji  celu, ũ

i

  (i=1,2,...,m)  –  rozmyte  parametry  wchodzące  w 

prawe strony ograniczeń  g

i

(x,ũ

i

). 

Punkt    x* 

Î

  X(u*)    jest  rozwiązaniem  optymalnym  problemu 

a

-wielokryterialnego  w 

sensie  

a

-Pareto, wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje inny punkt x 

Î

 X(u), taki, że  f

i

(x,ã ) 

³

 

f

i

(x*,a

i

*),    i=1,...,k,  i  nieró wnoś ć   ta  jest  spełniona  przynajmniej  dla  jednego  punktu    i,  dla 

któ rego  odpowiadające  wartoś ci  parametró w  (a*,u*)  nazywamy  optymalnymi  parametrami  
otrzymanymi dla 

a

-poziomu. 

 

4.  Rozmyte wielokryterialne programowanie nieliniowe (FMONLP)  

 

Głó wne założenia związane z wielokryterialnym programowaniem nieliniowym z rozmytymi 
parametrami  przedstawił  w  swej  pracy  Orlovski  [7].  Sakawa  i  Yano  [8]  wprowadzili 
koncepcje 

a

-Pareto optymalnoś ci rozmytego programowania parametrycznego. 

 

144 

Hussein  i  Maaty  [9]  przedstawiają  problem  rozmytego  wielokryterialnego 

programowania  nieliniowego  (fuzzy  multiobjective  nonlinear  programming-FMONLP) 
zawierającego rozmyte parametry w funkcji celu w postaci 

 

 

znalezienia                            min  f(x,ã ) 

@

 {f

1

(x,ã

1

), ..., f

n

(x,ã

n

)},            (12) 

 

 

spełniającego ograniczenia   x 

Î

 X  = { x 

Î

 R

n

 

½

 g

i

(x) 

£

 0,  i=1,2,...,m}, 

gdzie  ã

j

 = (ã

j1

, ..., ã

jp

),  j=1,2, ..., n  jest wektorem rozmytych parametró w, któ re mogą być  

zdefiniowane przez liczby rozmyte. 

Wektor    x

*

Î

X    będzie  efektywnym  rozmytym 

a

-rozwiązaniem    problemu  FMNOLP 

wtedy i tylko wtedy jeżeli nie istnieje inne x

Î

X  takie, że  

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

Î

³

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

£

<

£

Î

å

=

a

a

m

,

,

,

,...,

,

,

...,

,

,

,

|

*

*

*

1

1

1

~

,

1

n

n

n

n

j

j

j

j

j

a

a

x

f

a

x

f

a

x

f

a

x

f

a

x

f

a

x

f

R

a

n

j

p

j

      (13) 

5.  Rozmyta wielokryterialna optymalizacja niezawodno ściowa 

 

Sformułowanie  zagadnienia  wielokryterialnej  optymalizacji  rozmytej  polegające  na 
wyznaczeniu  wektora  zmiennych  decyzyjnych  x  minimalizującego  wektorową  funkcje  celu 
f(x)  i  spełniającego  rozmyte  ograniczenia  noś noś ci  g

j

(x)  i  niezawodnoś ci  konstrukcji, 

P

f,s

£

o

f

P

~

 można przedstawić  w następującej postaci: 

znaleźć  wektor                          x = [x

1

, x

2

, ... , x

n

]

T

  

minimalizujący                         f(x) = [f

1

(x),..., f

k

(x)]

T

, 

 

   

 (14) 

oraz spełniający ograniczenia    g

j 

(x) 

Î

  G

~ ,  j=1, 2, . ., m,   oraz    P

f,s

 

£

 

o

f

P

~

.          

gdzie  G

~   oznacza  zbió r  rozmytych  ograniczeń  projektowych,  P

f,s

  i 

o

f

P

~

,  jest  odpowiednio 

prawdopodobieństwem  awarii  i  dopuszczalnym  rozmytym  prawdopodobieństwem  awarii 
konstrukcji. Rozmyty zbió r wszystkich ograniczeń 

 

       

å

=

=

m

j

j

G

~

G

~

1

,             

j

G

~  = { g

j 

(x): 

j

g

m

(x)>0},     j=1, ..., m                      (15) 

Ograniczenie  to  oznacza,  że  g

j 

(x)  jest  elementem  zbioru  rozmytego 

j

G

~   gdy  funkcja 

przynależnoś ci tego ograniczenia jest większa od zera, czyli 

j

g

m

(x)>0.  

Rozmyty  obszar  dopuszczalny  jest  więc  rozpatrywany  jako  iloczyn  (przecięcie)  wszystkich 
ograniczeń problemu (pkt 2.1.), to znaczy 

 

 

I

m

j

j

G

~

D

~

=

 ,     

( )

x

D

~

μ

 = min {

j

G

~

μ

(g

j

 (x))}>0,   j=1, ..., m.                           (16) 

Funkcja  przynależnoś ci  tego  zbioru  oznacza,  że  wektor  x  jest  jednym  z  rozwiązań 
dopuszczalnych gdy w minimalnym choć by stopniu spełnia wszystkie przyjęte ograniczenia. 

Zbió r  rozwiązań  dopuszczalnych, 

D

R

~

~

Ì

,  wyznaczony  zgodnie  z  zasadami 

podejmowania decyzji rozmytych, Yu i Xu [5], jest więc przecięciem rozmytych ograniczeń i 
rozmytych funkcji celu 

 

 

 

 

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

Ç

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

Ç

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

=

=

=

=

I

I

I

n

l

P

m

j

j

g

k

i

i

f

l

f

R

1

1

1

)

x

(

)

x

(

)

x

(

~

μ

μ

μ

,

,

,

, 

                            (17) 

 

145 

Wielkoś ci  rozmyte  są  okreś lone  odpowiednio  poprzez  funkcje  przynależnoś ci 

m

f

, 

m

g

  i 

m

Pf

. 

Rozwiązanie  optymalne  x

*

  wybrane  ze  zbioru  rozwiązań  dopuszczalnych  cechuje  się 

największą wartoś cią funkcji przynależnoś ci (3), czyli 

 

R

~

μ (x

*

) = 

R

~

x

max

Î

 

l

j

i

,

,

min {

i

f

m

(x), 

j

g

m

(x), 

m

Pf,l

 (x)}, 

x

Î

  R

~                    (18) 

Zagadnienie  wielokryterialnej  optymalizacji  rozmytej  można  zatem  przedstawić   jako 
problem max-min tzn. maksymalizacji minimalnej wartoś ci parametru 

l

. Wtedy tradycyjne 

programowanie  kompromisowe  w  poró wnaniu  z  optymalizacją  rozmytą  z  operatorem 
decyzyjnym ‘min’ łączącym funkcje celu (18) prowadzi do tych samych wynikó w.  
Sformułowanie  parametryczne  programowania  matematycznego  ułatwia  wprowadzenie 
metody 

a

-przekrojó w. 

a

-przekrojem  zbioru  rozmytego  A

Í

X,  oznaczanym  przez 

a

A

, 

nazywamy następujący zbió r nierozmyty

a

A

= 

{

}

,

α

)

(

μ

:

³

Î

x

X

x

A

 

[ ]

1

,

0

Î

"

a

.    

 

Wprowadzenie  metody 

a

-przekrojó w  pozwala  sprowadzić   rozwiązanie  zagadnienia 

wielokryterialnej optymalizacji rozmytej do optymalizacji skalarnej nierozmytej z dolnymi i 
gó rnymi ograniczeniami brzegowymi i polega na 

znalezieniu wektora                                    x  
minimalizującego wektorową funkcję celu  f(x), 
spełniającego ograniczenia      g

j,

a

d

(x) 

£

 g

j,

a

 

(x) 

£

 g

j,

a

g 

(x),  j=1,2,...,m, 

i maksymalizującego              

a

l

, 

przy spełnieniu ograniczeń    

α

f

l

μ

(x) 

³

a

l

,    i=1, ... , k; 

j

g

μ

(x) 

³

a

l

,   j=1, ... , m 

 

 

                                

α
Pf

l

μ

(x) 

³

a

l

,    l=1, ... , n                                      (19) 

 

 

                                x

d

s

 

£

 x

s

 

£

 x

g

s   

a

, 

l

a

 

Î

 [0, 1]. 

Rozwiązanie układu (19),  x

l

a

, zależy od 

a

 okreś lającego poziom osiągnięcia przez rozmyte 

wielkoś ci wartoś ci dopuszczalnych oraz od maksymalizowanej wielkoś ci 

l

 prowadzącej do 

ogó lnego rozwiązania kompromisowego uwzględniającego wszystkie rozmyte funkcje celu i 
ograniczeń spełnione na poziomie dopuszczalnym 

a

. 

 

6.  Funkcje przynależności obciążeń , naprę żeń  i prawdopodobień stwa awarii 

 
Funkcję  przynależnoś ci  obciążeń  przyjęto  w  postaci  funkcji  tró jkątnej,  funkcja 
przynależnoś ci  naprężeń  granicznych  g

j

=

j

σ~

  w  poostaci  trapezowej  [10].  Funkcje 

przynależnoś ci  funkcji  celu  oraz  dopuszczalnego  prawdopodobieństwa  awarii,  P

f

o

  mają 

podobne postacie 

,

)

(

,

)

(

,

)

(

)

(

,

μ

max

α

,

α

,

max

α

,

α

,

min

α

,

min

α

,

max

α

,

α

,

max

α

,

min

α

,

α

,

α

ï

ï

ï

î

ïï

ï

í

ì

>

£

<

-

-

£

=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

f

f

x

f

dla

f

x

f

f

dla

f

f

x

f

f

f

x

f

dla

i

0

1

  

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

>

£

<

-

-

£

=

g

α

,

f

α

,

f

g

α

,

f

α

,

f

d

α

,

f

d

α

,

f

g

α

,

f

α

,

f

g

α

,

f

d

α

,

f

α

,

f

α
P

P

)

(

P

dla

,

P

)

(

P

P

dla

,

P

P

)

(

P

P

P

)

(

P

dla

,

μ

f

x

x

x

x

0

1

(20) 

gdzie: 

)

(

f

),

(

f

max

α

,

i

min

α

,

i

x

x

-  są  odpowiednio  najlepszą  i  najgorszą  wartoś cią  funkcji  celu,  a 

)

(

P

),

(

P

g

α

,

f

d

α

,

f

x

x

-  dolną  i  gó rną  wartoś cią  prawdopodobieństwa  awarii;  wielkoś ci  te  są 

ograniczeniami w rozważanej rozmytej optymalizacji na poziomie 

a

. 

 

146 

7.  Funkcje celu 

 
Jako  funkcje  celu  przyjęto  minimalną  masę  konstrukcji  i  minimalne  przemieszczenie  węzła 
obciążonego siłą, mianowicie:  

 

α

,

f

1

(x) = 

r

s

n

=

å

1

x

s

l

s,

           

å

=

×

=

=

n

s

s

g

α

g

α

,

s

s

α

),

(

α

,

x

E

)

P

(

N

N

w

)

(

f

1

6

2

x

l

s

,               (21) 

gdzie: x

s

, l

s

, N

s

 oznaczają odpowiednio: przekró j, długoś ć  i siłę w s-tym elemencie natomiast 

P

g

a

 i P

d

a

 są odpowiednio gó rną i dolną wartoś cią obciążenia na poziomie 

a

. 

     Ograniczenia  naprężeń  osiowych  w  elementach  rozciąganych  oraz  ś ciskanych  przy 
uwzględnieniu wyboczenia prętó w można wyrazić  wzorem: 

 

g

( )

( )

g

α

.

j

α

,

j

α

,

j

σ

σ

£

=

x

x

,       g

( )

( )

2

2

j

j

α

,

j

α

,

j

l

x

β

E

π

σ

-

£

=

x

x

,                    (22) 

gdzie  I=

b

x

j

2

  opisuje  zależnoś ć   pomiędzy  momentem  bezwładnoś ci  i  polem  przekroju 

poprzecznego pręta, przy stałej wartoś ci 

b

 ró wnej 0,45. 

 

8.  Analiza niezawodności kratownic 

 
W analizie niezawodnoś ci konstrukcji składających się z n elementó w przyjęto, że układ traci 
swoje  własnoś ci  użytkowe  gdy  staje  się  mechanizmem.  Przyjęto,  że  układ  składa  się  z 
elementó w  mających  własnoś ci  sprężysto-plastyczne.  Konstrukcje  kratowe  są  układami 
składającymi  się  z  wielu  elementó w,  a  więc  ich  niezawodnoś ć   jest  funkcją  niezawodnoś ci 
elementó w. Przyjęto, że każdy element ma ten sam stopień ważnoś ci i to samo dopuszczalne 
prawdopodobieństwo  awarii.  Margines  bezpieczeństwa  dla  k-tej  postaci  zniszczenia  można 
przedstawić  w następujący sposó b  

 

 

( )

å

=

-

=

=

I

i

α

α

i

e

i

α

i

α

k

P

x

R

c

M

g

1

x

, 

 

k = 1, ... , K                            (23) 

gdzie:  c

i

a

  -  stała  obliczeniowa,  R

i

e

  –  wytrzymałoś ć   obliczeniowa  elementu,  P

a

  -  obciążenie 

zewnętrzne,  I  –  liczba  elementó w,  któ rych  uszkodzenie  doprowadza  do  k-tej  postaci 
zniszczenia.  Natomiast  prawdopodobieństwo  awarii  konstrukcji  w  przypadku  k-tej  postaci 
zniszczenia można przedstawić  następująco: 

  

 

 

P

k

a

 = P(M

k

a

<0),   

 

k = 1, ... , K 

                        (24) 

 

W  pracy  rozważano  tylko  te  postacie  zniszczenia,  któ re  dominują  przy  tworzeniu  się 

mechanizmu. W ogó lnym przypadku istnieje korelacja pomiędzy postaciami awarii i trudno 
jest  uzyskać   rozwiązanie  z  powyższego  ró wnania.  Dlatego  też  często  oblicza  się  gó rną  i 
dolną granicę  P

f

 wykorzystując zależnoś ci podane przez Ditlevsena  

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

,

,

max

,

max

α

α

α

α

α

α

α

α

ï

ï

ï

î

ïï

ï

í

ì

<

Ç

<

-

<

£

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

ïþ

ï

ý

ü

ïî

ï

í

ì

<

Ç

<

-

<

+

<

³

®

å

å

å

å

=

= <

+

=

-

=

K

i

j

i

K

i

i

j

i

K

i

i

i

j

j

i

i

i

f

M

M

P

M

P

M

M

P

M

P

M

P

P

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

               (25) 

 

147 

 

Rys. 1. Schemat optymalzacji niezawodnoś ciowej układu 

 

9.  Przykład optymalizacji i niezawodności kratownicy 

 
Rozpatrzono  przykład  optymalizacji  płaskiej  aluminiowej  kratownicy  10-prętowej  (rys.2), 

module  sprężystoś ci  E  =  6.895E3  kN/cm

2

,  i 

długoś ci L = 914.4 cm. Rozmycie obciążenia 
przyjęto  w  granicach  10  %  w  stosunku  do 
wartoś ci  ś cisłej  P

1

=P

2

=444.52  kN.  Jako 

zmienne decyzyjne przyjęto pola przekrojó w 
poprzecznych  prętó w  zmieniających  się  w 
przedziale  x

d

s

=0.254cm

2

£

x

s

£

x

g

s

=101.6cm

2

. 

Funkcje  celu  okreś lone  są  wzorami  (21). 
Dopuszczalne  prawdopodobieństwo  awarii 
konstrukcji  P

o

f

=1.0E-4.  W  przypadku 

ograniczenia  związanego  z  naprężeniami 

L

P

2

P

1

2

3

1

6

7

8

9

10

4

5

     

L

L

3

4

5

6

1

2

Rys.2

                  

Obliczenie max  

l

k

a

  z ograniczeniami 

l

k

a

 

£

 

( )

k

x

P

f

α

μ

,   

l

k

a

 

£

 

( )

k

x

f

i

α

μ

 

Wektor zmiennych decyzyjnych -  x

k 

DANE WEJŚ CIOWE 

START 

Inicjalizacja 
  x

o

, 

a

,

 

k=0

 

Wyznaczenie sił w prętach z uwzlędnieniem

 

ograniczeń  na napręż enia (22) 

Obliczenie prawdopodobień stwa 

awarii   P

f,

a

(x

k

) - (24), (25) 

Obliczenie funkcji celu 

f

1,

a

(x

k

), f

2,

a

(x

k

) - (21)

 

Obliczenie funkcji przynależ noś ci 

( )

k

x

P

f

α

μ

 - (20) 

 

Obliczenie funkcji przynależ noś ci 

( )

k

x

f

i

α

μ

 - (20) 

l

k

a

 < 

l

k-

1

a

 

STOP 

Tak 

Nie 

x

k+1 

=

 

x

k

 

 

148 

przyjęto  20  %  ró żnicę  w  stosunku  do  wartoś ci  granicznej.  Marginesy  bezpieczeństwa  (23) 
dla czterech ś cieżek zniszczenia przedstawiono w tab.1. 

 

Tablica 1. Marginesy bezpieczeństwa dla czterech ś cieżek zniszczenia 

Ścieżki 
zniszczenia 

M

k

a

<0 

1

+

-7

+*

 

   [0.512 R

1

x

1

a

-(P

1,

a

+P

2,

a

)]<0 

Ç

 [0.236 R

7

x

7

a

+0.333 R

1

x

1

a

-(P

1,

a

+P

2,

a

)]<0 

10

-

-9

+

 

   [1.763 R

10

x

10

a

-(P

1,

a

+P

2,

a

)]<0 

Ç

 [0.707 R

9

x

9

a

+0.706 R

1

x

1

a

-(P

1,

a

+P

2,

a

)]<0 

3

-

-7

+

 

   [0.488 R

1

x

1

a

-(P

1,

a

+P

2,

a

)]<0 

Ç

 [0.707 R

7

x

7

a

+R

1

x

1

a

-(P

1,

a

+P

2,

a

)]<0 

7

+

-8

-

 

   [0.676 R

1

x

1

a

-(P

1,

a

+P

2,

a

)]<0 

Ç

 [0.354 R

7

x

7

a

+0.353 R

1

x

1

a

-(P

1,

a

+P

2,

a

)]<0 

*)

(+) i (–) oznaczają odpowiednio siły rozciągające i ś ciskające w elementach 

 

Literatura 

 

  [1]  ZADEH L.A., Fuzzy sets. Information Control, 8, 1965, pp.338-353.  
  [2]  MUNRO  J.,  Uncertainty  and  fuzziness  in  engineering  decision-making,  In:  Proc.  First 

Canadian Seminar on Systems Theory for Civil Engineering, Calgary, 1979, pp.113-133. 

  [3]  MÖ LLER B., GRAF W., BEER M., SICKERT J.-U., Fuzzy probabilistic method and its 

application  for  the  safety  assessment  of  structures,  2

nd

  European  Conference  on 

Computational Mechanics, ECCM-2001, Cracow, Poland, 2001, Proc. on CD-Rom, 1-20. 

  [4]  ROYSET J.O., Der KIUREGHIAN A., POLAK E., Reliability-based optimal structural 

design  by  the  decoupling  approach,  Reliability  Engineering  and  System  Safety,  2001, 
Vol.73, pp.213-221. 

  [5]  YU  M.,  XU  G.,  Multiobjective  fuzzy  optimization  of  structures  based  on  generalized 

fuzzy decision-making, Computers and Structures, 1994, Vol.53, No.2, pp.411 -417. 

  [6]  SAAD  O.M.,  Stability  on  multiobjective  linear  programming  problems  with  fuzzy 

parameters, Fuzzy Sets and Systems, 1995, Vol.74, pp.207-215. 

  [7]  ORLOVSKI S., Multiobjective programming problems with fuzzy parameters,  Control 

Cybernetics, 1984, Vol.13, pp.175-183. 

  [8]  SAKAWA  M.,  YANO  H.,  Interactive  decision  making  for  multiobjective  nonlinear 

programming with fuzzy parameters, Fuzzy Sets and Systems, 1989, Vol29, pp.315-326. 

  [9]  HUSSEIN  M.L.,  MAATY  M.A.A.,  The  stability  notions  for  fuzzy  nonlinear 

programming problem, Fuzzy Sets and Systems, 1997, Vol.85, pp.319-323. 

[10]  NICZYJ J., Optymalne i niezawodne projektowanie kratownic z zastosowaniem zbioró w 

rozmytych, XL Konf. Naukowa KILiW PAN i KN PZITB, Krynica, 1999, T.1, s.127-134. 

 
 

RELIABILITY-BASED OPTIMIZATION OF PLANE TRUSSES 

BY FUZZY SETS 

 

Summary 

 
In  this  paper  an  optimum  design  procedure  for  minimizing  structural  mass  and  vertical 
deflections  of  loaded  joint  subject  to  reliability  constraints  is  discussed.  The  fuzzy 
optimization technique based on the principle of intersection of fuzzy decision used for the 
multiobjective fuzzy optimization of trusses. The 

a

-cut approach and 

l

-formulation are used 

to express the optimization in a parametric form.