7. Konwersja AC i CA.doc, 1/20

PRZETWORNIK ANALOGOWO-CYFROWY

1

• schemat funkcjonalny układu przetwornika analogowo-cyfrowego

• operacja próbkowania dostarcza informacji o wartości chwilowej sygnału w momentach

próbkowania

• w ogólnym przypadku znajomość próbek sygnału nie wystarcza do odtworzenia postaci

analogowej sygnału

• odtworzenie z pełną dokładnością sygnału analogowego z próbek wymaga spełnienia

pewnych warunków ograniczających dotyczących struktury widmowej sygnału oraz
częstotliwości próbkowania

próbkowaniu bez strat poddawane mogą być jedynie sygnały
należące do klasy sygnałów o ograniczonej szerokości widma

1

opracowano na podstawie [1-3], wersja z dnia 02.10.2014

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi

jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład

0

t

x(t)

x(nT

s

)

x(nT

s

)

sygnał

dyskretny

sygnał

analogowy

Próbkowanie

Kwantowanie

Kodowanie

x(nT

s

)

sygnał

cyfrowy

sygnał

binarny

x(t)

~

x(nT

s

)

7. Konwersja AC i CA.doc, 2/20

ROZWINIĘCIE SYGNAŁÓW

W SZEREG KOTIELNIKOWA-SHANNONA

• dowolny sygnał

( )

t

x

, można rozwinąć w uogólniony szereg Fouriera postaci

( )

( )

∑

∞

=

=

0

i

i

i

t

u

a

t

x

gdzie:

( )

t

u

i

- wybrany układ funkcji ortogonalnych (funkcje bazowe)

i

a

- współczynniki rozwinięcia

• można wykazać, że zbiór funkcji próbkujących

Sa

( )

{

}

(

)

...

,

2

,

1

,

0

,

Sa

±

±

=













−

π

=

i

iT

t

T

t

u

s

s

i

tworzy w przestrzeni sygnałów o ograniczonej energii i ograniczonym do

s

m

T

π

=

ω

paśmie układ ortogonalny zupełny w przedziale

(

)

∞

∞

− ,

7. Konwersja AC i CA.doc, 3/20

ROZWINIĘCIE SYGNAŁÓW

W SZEREG KOTIELNIKOWA-SHANNONA (cd)

• graficzne przedstawienie kilku funkcji ze zbioru funkcji próbkujących

Sa

• zatem dowolny sygnał

( )

t

x

można rozwinąć w przedziale

(

)

∞

∞

− ,

w szereg względem

funkcji próbkujących

Sa

(szereg Kotielnikowa-Shannona) postaci

( )

(

)

∑

∞

−∞

=

−

π

=

i

s

s

i

iT

t

T

a

t

x

Sa

i=3

i=0

1

u

i

(t)

t

0

T

s

=1/(2f

m

)

T

s

2T

s

3T

s

4T

s

5T

s

6T

s

7

T

s

-T

s

-2T

s

-3T

s

-4T

s

-

5T

s

-6T

s

-7

T

s

i=1

i=2

i=-1

i=-2

i=-3

7. Konwersja AC i CA.doc, 4/20

ROZWINIĘCIE SYGNAŁÓW

W SZEREG KOTIELNIKOWA-SHANNONA (cd)

• współczynniki rozwinięcia uogólnionego szeregu Fouriera dla układu ortogonalnych

funkcji próbkujących

Sa

wyznacza się z następujących wzorów

( ) ( )

( )

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

=

dt

t

u

dt

t

u

t

x

a

i

i

i

2

• można wykazać, że współczynniki rozwinięcia

i

a

równe są wartościom (próbkom)

sygnału

( )

t

x

w chwilach

s

iT

( )

s

i

iT

x

a =

• zatem

( )

( )

(

)

( )

(

)

∑

∑

∞

−∞

=

∞

−∞

=

−

ω

=

−

π

=

i

s

m

s

i

s

s

s

iT

t

iT

x

iT

t

T

iT

x

t

x

Sa

Sa

7. Konwersja AC i CA.doc, 5/20

TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU

• twierdzenie:

Jeżeli sygnał

( )

t

x

jest sygnałem o widmie skończonym, określonym w paśmie

podstawowym w przedziale pulsacji

m

m

ω

≤

ω

≤

ω

−

lub częstotliwości

m

m

f

f

f

≤

≤

−

, gdzie stałe

0

>

ω

m

oraz

0

>

m

f

są najwyższymi niezerowymi

składowymi w pulsacji i w częstotliwości sygnału

( )

t

x

, wówczas sygnał

( )

t

x

jest równoważny zbiorowi swoich próbek odległych o stały przedział (okres)

m

s

s

T

ω

π

≤

ω

π

=

2

lub

m

s

s

f

f

T

2

1

1 ≤

=

inaczej

m

s

ω

≥

ω

2

lub

m

s

f

f

2

≥

m

m

sg

f

T

2

1

=

ω

π

=

- graniczny okres próbkowania, okres Nyquista

0

-ω

m

|X(ω)|

ω

m

ω

|X( f )|

f

-f

m

f

m

7. Konwersja AC i CA.doc, 6/20

TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU (cd)

• twierdzenie o próbkowaniu stanowi teoretyczną podstawę operacji przekształcania

sygnału ciągłego w równoważny mu sygnał dyskretny a następnie cyfrowy

• operację próbkowania możemy zdefiniować jako efekt mnożenia sygnału próbkowanego

przez dystrybucję grzebieniową

• sygnał analogowy

( )

t

x

o ograniczonej energii lub ograniczonej mocy średniej poddajemy

operacji pobierania jego wartości równomiernie w odstępach czasu

s

T

; otrzymany zbiór

próbek

( )

t

x

s

reprezentować będziemy ciągiem impulsów Diraca położonych w punktach

s

nT

i o wagach równych wartości sygnału

( )

s

nT

x

w tych punktach

( )

( )

( ) (

)

∑

∞

−∞

=

−

δ

=













ΙΙΙ

=

n

s

s

s

s

s

nT

t

nT

x

T

t

T

t

x

t

x

1

i nazywać sygnałem spróbkowanym, przyporządkowanym sygnałowi

( )

t

x

x

s

(t)

z(t)=x(t)

x(t)

h(t)

H( j

ω)

y(t)=1/T

s

III(t/T

s

)

H( j

ω)=Π(ω/ω

s

)

h(t)=1/T

s

Sa

[(ω

s

t)/2)

]

7. Konwersja AC i CA.doc, 7/20

0

ω

m

0

0 ω

m

H( jω)

X

s

(ω)

-ω

m

x

s

(t)

z(t)

h(t)

Y(ω)

0

x(t)

0

-ω

m

0

ω

s

T

s

0

T

s

0

0

ω

s

=2ω

m

1

ω

m

y(t)

0

-ω

m

t

X(ω)

Z(ω)

T

s

=π/ω

m

ω

*

*

x

x

ω

ω

ω

ω

t

t

t

t

7. Konwersja AC i CA.doc, 8/20

TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU (cd)

• w przypadku, gdy przedział próbkowania odbiega od jego wartości granicznej

m

sg

T

ω

π

=

, wówczas, w zależności od relacji

sg

s

T

T >

oraz

sg

s

T

T <

widmo

sygnału spróbkowanego przyjmie postać jak na rysunku

przypadek, w którym

sg

s

T

T >

wywołuje efekt nakładania się sąsiednich kopii widma

zwany aliasingiem

ω

X

s

(ω)

T

s

< T

sg

ω

X

s

(ω)

T

s

> T

sg

0

0

7. Konwersja AC i CA.doc, 9/20

TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU (cd)

Widmo sygnału spróbkowanego idealnie

• operacja próbkowania idealnego przebiega w układzie modulatora iloczynowego

• sygnał spróbkowany

( )

( ) ( )

t

y

t

x

t

x

s

=

• jego widmo

( )

( ) ( )

[

]

( ) ( )

[

]

ω

∗

ω

π

=

=

ω

Y

X

t

y

t

x

X

s

2

1

F

• po przekształceniach można wykazać, że

( )

(

)

∑

∞

−∞

=

ω

−

ω

=

ω

n

s

s

s

n

X

T

X

1

x

s

(t)

x(t)

y(t)=1/T

s

III(t/T

s

)

7. Konwersja AC i CA.doc, 10/20

KWANTOWANIE

• kwantowanie jest operacją przetwarzania sygnału dyskretnego w czasie i ciągłego

w wartościach w sygnał dyskretny w czasie i dyskretny w wartościach

• istota kwantowania sprowadza się do podziału zakresu zmian przetwarzanej wielkości na

skończoną liczbę

M

przedziałów kwantyzacji i określeniu (przybliżeniu) chwilowych

wartości próbek liczbą tych przedziałów

• na ogół przedziały kwantowania, nazywane kwantem lub krokiem kwantowania, mają

stałą szerokość, oznaczaną przez

q

• liczba przedziałów kwantowania najczęściej jest naturalną potęgą liczby 2

• z formalnego punktu widzenia operację kwantowania można opisać wyrażeniem

( )

( )

[

]

s

s

nT

x

Q

nT

x

=

~

gdzie

Q

jest operatorem przekształcenia - funkcją przyporządkowującą próbce

( )

s

nT

x

jej wartość skwantowaną

( )

s

nT

x

~

7. Konwersja AC i CA.doc, 11/20

KWANTOWANIE (cd)

• w zależności od sposobu cyfrowej reprezentacji liczb ujemnych stosowane są najczęściej

trzy podstawowe sposoby kwantowania

• błąd kwantyzacji

( )

( ) ( )

s

s

s

nT

x

nT

x

nT

−

=

ε

~

-3q

-2q

3q

q

x

ε

2q

-q

q 2q 3q

-2q

-3q

-q

0

-3q

-2q

3q

q

x

ε

2q

-q

q 2q 3q

-2q

-3q

0

0

-3q/2

3q/2

5q/2

-3q

-2q

3q

q

x

ε

2q

-q

-5q/2

-q

0

-q

-2q

-3q

2q

q

-3q

-2q

3q

q

x

~

x

2q

3q

obcinanie

0

-q

-2q

-3q

2q

q

-3q

-2q

3q

q

x

~

x

2q

-q

3q

obcinanie

0

-q

-q/2

-3q/2

q/2

3q/2

5q/2

-3q

-2q

3q

q

x

~

x

2q

-5q/2

zaokrąglanie

7. Konwersja AC i CA.doc, 12/20

KWANTOWANIE (cd)

• błąd kwantyzacji

( )

( ) ( )

s

s

s

nT

x

nT

x

nT

−

=

ε

~

błąd kwantyzacji ma charakter losowy i nazywany jest szumem kwantowania, do jego
analizy używa się metod probabilistycznych

• miarą zniekształceń spowodowanych kwantowaniem jest parametr jest stosunek sygnał-

szum kwantowania

[ ]

N

S

SQNR

log

10

=

dB

S

- moc przetwarzanego sygnału na wejściu przetwornika

N

- moc szumu kwantowania

• można wykazać (Dodatek 1), że

[ ]

76

,

1

02

,

6

+

⋅

≅

b

SQNR

dB

7. Konwersja AC i CA.doc, 13/20

ODTWARZANIE SYGNAŁU Z PRÓBEK

• sposób odtwarzania sygnału analogowego z ciągu próbek pobranych z okresem

s

T

teoretycznie określa postać szeregu Kotielnikowa-Shannona (dla

m

s

ω

=

ω

2

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

∑

∑

∞

−∞

=

∞

−∞

=

−

ω

=

−

π

=

i

s

m

s

i

s

s

s

iT

t

iT

x

iT

t

T

iT

x

t

x

Sa

Sa

znajomość wartości funkcji

Sa

pozwala numerycznie wyznaczyć wartość sygnału

( )

t

x

w dowolnej chwili czasu pomiędzy próbkami

ze względu na potrzebę nieskończonej liczby sumowań metoda nie ma znaczenia
praktycznego

• w praktyce operacja odtwarzania sygnału z próbek realizowana jest w sposób układowy

(przetwornik C/A plus filtr dolnoprzepustowy, lub w systemach impulsowych - filtr
dolnoprzepustowy)

• najprostszą metodą jest metoda schodkowa (ekstrapolacja zerowego rzędu) ale jest

obarczona stosunkowo dużym błędem, zależnym od okresu próbkowania

• mniejszym błędem (bardziej złożone układowo) obarczone są metody ekstrapolacji

pierwszego lub wyższych rzędów

7. Konwersja AC i CA.doc, 14/20

ODTWARZANIE SYGNAŁU Z PRÓBEK (cd)

• metoda schodkowa odtwarzania sygnału z próbek

• błąd odtwarzania metodą schodkową pociąga zniekształcenia widma sygnału

sygnał schodkowy

( )

t

x

~

stanowi sumę przesuniętych o

s

nT

impulsów prostokątnych

( )

t

p

o czasie trwania

s

T

i amplitudach równych wartościom kolejnych próbek sygnału

( )

s

nT

x

~

, zatem oznaczając

( )











 −

Π

=

s

s

T

T

t

t

p

2

0

0

t

~

x(nT

s

)

t

~

x(t)

T

s

T

s

7. Konwersja AC i CA.doc, 15/20

ODTWARZANIE SYGNAŁU Z PRÓBEK (cd)

otrzymamy wyrażenie na sygnał schodkowy

( )

( ) (

)

∑

∞

−∞

=

−

=

n

s

s

nT

t

p

nT

x

t

x

~

widmo tego sygnału określone jest wyrażeniem

( )

(

)

(

)

∑

∞

−∞

=

ω

−

ω

−

ω

ω

=

ω

n

s

T

j

s

n

X

e

T

Sa

X

s

2

2

~

7. Konwersja AC i CA.doc, 16/20

ODTWARZANIE SYGNAŁU Z PRÓBEK (cd)

z wyrażenia wynika, że widmo amplitudowe sygnału schodkowego jest zniekształcone obwiednią

funkcji typu

Sa

, wielkość zniekształceń można zmniejszyć stosując większą częstotliwość

próbkowania (krótsze schodki) lub stosując specjalny dolnoprzepustowy filtr korekcyjny (filtr

wygładzający) o charakterystyce

( )

ω

j

H

H

( jω)

Sa(ωT

s

/2)

-ω

s

ω

X(ω)

~

X (ω)

X

s

(ω)

ω

m

-ω

m

ω

s

ω

m

-ω

m

ω

s

-ω

s

0

0

0

0

ω

ω

ω

7. Konwersja AC i CA.doc, 17/20

Dodatek 1

Wyprowadzenie wyrażenia na SQNR

• miarą zniekształceń spowodowanych kwantowaniem jest parametr jest stosunek sygnał-

szum kwantowania

[ ]

N

S

SQNR

log

10

=

dB

S

- moc przetwarzanego sygnału na wejściu przetwornika

N

- moc szumu kwantowania

dla bipolarnego przetwornika

b

-bitowego o zakresie przetwarzania

m

m

X

X ,

−

wartość kwantu wynosi

b

m

X

q

2

2

=

czyli

2

2

b

m

q

X

=

a średnią miarę mocy sygnału wejściowego

S

stanowi moc wzorcowego sygnału

harmonicznego o amplitudzie

m

X

8

2

2

2

2

2

2

2

b

m

m

q

X

X

S

=

=













=

7. Konwersja AC i CA.doc, 18/20

Wyprowadzenie wyrażenia na SQNR (cd)

wartość błędu kwantyzacji, w zależności od przyjętej techniki kwantyzacji może

przyjmować wartości z przedziału

2

,

2 q

q

−

,

0

,

q

−

lub

q

,

0

dla przykładu rozpatrzymy technikę kwantowania z zaokrągleniem, dla którego

2

,

2 q

q

−

∈

ε

, każda wartość błędu kwantyzacji z tego zakresu jest jednakowo

prawdopodobna, zatem posiada w powyższym przedziale rozkład równomierny

wartość mocy sygnału błędu (szumu kwantowania) (na obciążeniu jednostkowym) równa
jest jego wartości średniokwadratowej (dla sygnału o zerowej wartości średniej równa jest
jego wariancji)

[ ]

( )

12

1

2

2

2

2

2

2

2

q

d

q

d

p

E

N

q

q

=

ε

ε

=

ε

ε

ε

=

σ

=

ε

=

∫

∫

−

∞

∞

−

ε

ε

0

p (ε)

1
q

q/2

-q/2

7. Konwersja AC i CA.doc, 19/20

Wyprowadzenie wyrażenia na SQNR (cd)

zatem

[ ]

(

)

76

,

1

02

,

6

2

3

log

10

12

8

2

log

10

log

10

1

2

2

2

2

dB

+

⋅

≅

⋅

=

=

=

−

b

q

q

N

S

SQNR

b

b

[ ]

76

,

1

02

,

6

+

⋅

≅

b

SQNR

dB

7. Konwersja AC i CA.doc, 20/20

BIBLIOGRAFIA

1. Szabatin J.: Podstawy teorii sygnałów. WKŁ, Warszawa, 2003.

2. Szabatin J.: Przetwarzanie sygnałów. Materiały dydaktyczne Politechniki Warszawskiej,

2003,

www.ise.pw.pl/~szabatin

.

3. Gregg W.D.: Podstawy telekomunikacji analogowej i cyfrowej. WNT, Warszawa, 1983