3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 1/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH

1

• sygnał okresowy

( )

t

x

, o okresie 0

T

można rozwinąć w przedziale nieskończonym

(

)

∞

∞

− ,

szereg trygonometryczny lub wykładniczy

• w praktyce analizie częstotliwościowej poddawane są sygnały ograniczone w czasie oraz na ogół

nieokresowe

• potrzeba stworzenia narzędzi analitycznych do badania dowolnych sygnałów, w tym

nieokresowych, o dowolnym czasie trwania

• rozpatrzmy dowolny ograniczony w czasie sygnał nieokresowy

( )

t

x

oraz jego okresowe

powielenie

( )

t

x

T

0

T

0

t

x(t)

x

T

(t)

t

0

1

opracowano na podstawie [1-4], wersja z dnia 02.10.2014

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi

jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 2/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

• przy założeniu, że okres

0

T

dąży do nieskończoności

( )

( )

t

x

t

x

T

T

=

∞

→

0

lim

• sygnał

( )

t

x

T

można zapisać w postaci

( )

(

)

∑

∞

−∞

=

+

=

n

T

nT

t

x

t

x

0

• ponieważ

( )

t

x

T

jest sygnałem okresowym można go rozwinąć w przedziale

nieograniczonym w wykładniczy szereg Fouriera

( )

∑

∞

−∞

=

ω

=

i

t

ji

i

T

e

a

t

x

0

, gdzie

0

0

2

T

π

=

ω

współczynniki rozwinięcia

( )

∫

+

ω

−

=

0

0

0

0

0

1

T

t

t

t

ji

T

i

dt

e

t

x

T

a

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 3/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

po podstawieniu otrzymamy

( )

( )

( )

∑ ∫

∑

∫

∞

−∞

=

ω

+

ω

−

∞

−∞

=

ω

+

ω

−

ω

















π

=

















=

i

t

ji

T

t

t

t

ji

T

i

t

ji

T

t

t

t

ji

T

T

e

dt

e

t

x

e

dt

e

t

x

T

t

x

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

1

jeśli

∞

→

0

T

wówczas okresowe powielenie

( )

t

x

T

staje się równoważne sygnałowi

( )

t

x

, pulsacja podstawowa

0

0

2

T

π

=

ω

dąży do nieskończenie małej wartości

ω

d

,

0

ω

i

(kolejna harmoniczna) przechodzi w ciągłą pulsację bieżącą

ω

zaś sumę dyskretną

można zastąpić sumą ciągłą (całką)

( )

( )

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

ω

−

ω

ω















π

=

d

dt

e

t

x

e

t

x

t

j

t

j

2

1

wielkość

( )

( )

∫

∞

∞

−

ω

−

=

ω

dt

e

t

x

X

t

j

nazywa się charakterystyką widmową sygnału

( )

t

x

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 4/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

ostatecznie

para całkowych przekształceń Fouriera:

( )

( )

∫

∞

∞

−

ω

ω

ω

π

=

d

e

X

t

x

t

j

2

1

( )

( )

∫

∞

∞

−

ω

−

=

ω

dt

e

t

x

X

t

j

Uwaga

przekształcenie całkowe Fouriera przedstawia sygnał w postaci nieskończonej sumy
nieskończenie małych składowych harmonicznych określonych na całej (ciągłej) osi
pulsacji

widmo

( )

ω

X

jest zespoloną funkcją pulsacji, niosącą informacje zarówno

o amplitudzie jak i fazie elementarnych składowych harmonicznych

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 5/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

• charakterystyką widmową sygnału

( )

t

x

(prostą transformatę Fouriera) można

przedstawić w postaci trygonometrycznej oraz wykładniczej

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ω

ϕ

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

ω

−

ω

=

ω

−

ω

=

=

ω

−

ω

=

=

ω

∫

∫

∫

j

t

j

e

X

jB

A

tdt

t

x

j

tdt

t

x

dt

e

t

x

X

sin

cos

gdzie:

( )

( )

( )

ω

+

ω

=

ω

2

2

B

A

X

( )

( )

( )

( )

ω

ω

−

=

ω

=

ω

ϕ

A

B

X

arctg

arg

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )











<

ω

=

ω

ω

π

≥

ω

=

ω

≠

ω

ω

=

ω

0

0

Im

sgn

0

0

Im

0

0

Im

arg

arg

X

X

X

X

X

X

X

i

i

moduł charakterystyki widmowej sygnału nazywa się charakterystyką
amplitudowo–częstotliwościową (

widmo amplitudowe

)

argument charakterystyki widmowej sygnału nazywa się charakterystyką
fazowo–częstotliwościową (

widmo fazowe

)

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 6/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

• widmo gęstości energii sygnału

( )

t

x

(dla sygnałów o ograniczonej energii)

( )

( )

2

ω

=

ω

Φ

X

x

dostarcza informacji o rozkładzie energii na poszczególne składowe częstotliwościowe

• energia całkowita (twierdzenieParsevala)

( )

( )

( )

∫

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

ω

ω

π

=

ω

ω

Φ

π

=

=

d

X

d

dt

t

x

E

x

x

2

2

2

1

2

1

• widmo gęstości mocy sygnału

( )

t

x

(dla sygnałów o ograniczonej mocy średniej)

( )

( )

ω

Φ

=

ω

Ψ

∞

→

T

T

x

T

1

lim

gdzie

( )

ω

Φ

T

jest widmem energii wycinka sygnału

( )

t

x

T

o długości

T

• moc średnia sygnału

( )

( )

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

→

ω

ω

Ψ

π

=

=

d

dt

t

x

T

P

x

T

x

2

1

1

lim

2

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 7/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

Warunki istnienia transformaty Fouriera

• przekształcenie Fouriera nie zawsze może być wyznaczone dla wszystkich sygnałów

( )

t

x

(np. nie są

F

-transformowalne w zwykłym sensie sygnały mocy, natomiast sygnały energii są

prawie zawsze

F

-transformowalne)

• w rozważaniach teoretycznych przekształcenie Fouriera w sensie zwykłym zapewnia spełnienie

warunków Dirichleta

warunek 1

sygnał

( )

t

x

jest bezwzględnie całkowalny (dostateczny, ale nie konieczny)

( )

∞

<

∫

∞

∞

−

dt

t

x

warunek 2

sygnał

( )

t

x

posiada skończoną liczbę ekstremów

warunek 3

sygnał

( )

t

x

posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości

• w celu rozszerzenia zakresu stosowalności analizy częstotliwościowej na sygnały nie posiadające

F

-tranformaty w sensie zwykłym (np. sygnał stały, skok jednostkowy, sygnały harmoniczne,

sygnały dystrybucyjne) wprowadzane są uogólnienia, np. przekształcenie Fouriera w sensie
granicznym

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 8/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

Wybrane właściwości transformaty Fouriera

• dane są pary transformat

( )

( )

ω

↔ X

t

x

oraz

( )

( )

ω

↔ Y

t

y

właściwości

twierdzenie o liniowości

( )

( )

( )

( )

ω

+

ω

↔

+

bY

aX

t

by

t

ax

twierdzenie o splocie w dziedzinie czasu

( ) ( )

( ) ( )

ω

ω

↔

∗

Y

X

t

y

t

x

twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości

( ) ( )

( ) ( )

ω

∗

ω

π

↔

Y

X

t

y

t

x

2

1

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 9/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu

(

)

( )

0

0

t

j

e

X

t

t

x

ω

−

ω

↔

−

twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości (o modulacji)

( )

(

)

0

0

ω

+

ω

↔

ω

−

X

e

t

x

t

j

( )

(

)

(

)

[

]

0

0

0

2

1

cos

ω

+

ω

+

ω

−

ω

↔

ω

X

X

t

t

x

( )

(

)

(

)

[

]

0

0

0

2

1

sin

ω

+

ω

−

ω

−

ω

↔

ω

X

X

j

t

t

x

uogólnione twierdzenie Rayleigha

( ) ( )

( ) ( )

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

ω

ω

ω

π

=

d

Y

X

dt

t

y

t

x

*

*

2

1

iloczyn skalarny sygnałów jest proporcjonalny do iloczynu skalarnego ich widm

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 10/11

ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW NIEOKRESOWYCH (cd)

twierdzenie o energii (Parsevala)

( )

( )

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

ω

ω

π

=

d

X

dt

t

x

2

2

2

1

twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie czasu

( )

( )

ω

ω

↔

X

j

dt

t

dx

3. Analiza widmowa sygnałów nieokresowych.doc, 11/11

BIBLIOGRAFIA

1. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów. Kompendium wiedzy na temat

sygnałów i metod ich przetwarzania, Helion, Gliwice, 2006

2. Szabatin J.: Podstawy teorii sygnałów. Wydawnictwa Komunikacji i Łączności,

Warszawa, 2003.

3. Baskakow S.I.: Sygnały i układy radiotechniczne. Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa, 1991.

4. Lathi B.P.: Systemy telekomunikacyjne. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne WNT,

Warszawa, 1972.