4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 1/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ

1

• widmowe podejście do opisu właściwości sygnału:

szereg Fouriera, przekształcenie Fouriera

• czasowe podejście do opisu właściwości sygnału:

funkcja korelacji sygnału

• funkcje korelacyjne - miary podobieństwa sygnałów

• różnice w definicjach dla różnych klas sygnałów


Sygnały o ograniczonej energii

• w praktyce zachodzi potrzeba porównywania analizowanego sygnału z innym

(w szczególnym przypadku ze swoją własną, przesuniętą w czasie kopią), potrzeba
ilościowego określenia stopnia ich podobieństwa (odmienności)

• miarą tego podobieństwa jest funkcja autokorelacji (korelacji wzajemnej) określonej

w oparciu o definicję iloczynu skalarnego sygnałów

1

opracowano na podstawie [1-4], wersja z dnia 02.10.2014

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi

jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 2/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• iloczyn skalarny zespolonego sygnału odpowiednio

( )

t

x

i jego przesuniętej o

τ

kopii

(

)

( )

t

x

t

x

τ

≡

τ

−

oraz

( )

n

x

i jego przesuniętej o

m

kopii

(

)

( )

n

x

m

n

x

m

≡

−

(

)

( ) (

)

∫

∞

∞

−

τ

τ

−

=

dt

t

x

t

x

x

x

*

,

(

)

( ) (

)

∑

∞

−∞

=

−

=

n

m

m

n

x

n

x

x

x

*

,

• funkcją autokorelacji odpowiednio

( )

τ

ϕ

x

oraz

( )

m

x

ϕ

, zespolonego sygnału

o ograniczonej energii

( )

t

x

i jego przesuniętej kopii

(

)

τ

−

t

x

oraz

( )

n

x

i jego

przesuniętej kopii

(

)

m

n

x

−

nazywamy zależność ich iloczynów skalarnych od

przesunięcia

τ

oraz

m

( )

( ) (

)

∫

∞

∞

−

τ

−

=

τ

ϕ

dt

t

x

t

x

x

*

( )

( ) (

)

∑

∞

−∞

=

−

=

ϕ

n

x

m

n

x

n

x

m

*

funkcja autokorelacji sygnału zespolonego jest zespolona, rzeczywistego-rzeczywista

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 3/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• właściwości funkcji autokorelacji

- funkcja autokorelacji sygnału jest funkcją hermitowską

( )

( )

τ

−

ϕ

=

τ

ϕ

*

x

x

( )

(

)

m

m

x

x

−

ϕ

=

ϕ

*

(dla sygnałów rzeczywistych jest funkcją rzeczywistą i parzystą)

- wartość funkcji autokorelacji przy

0

=

τ

(

0

=

m

) jest rzeczywista i równa energii

sygnału

( )

( ) ( )

( )

x

x

E

dt

t

x

dt

t

x

t

x

=

=

=

ϕ

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

2

*

0

( )

( ) ( )

( )

x

n

n

x

E

n

x

n

x

n

x

=

=

=

ϕ

∑

∑

∞

−∞

=

∞

−∞

=

2

*

0

- dla każdej wartości przesunięcia

τ

(

m

) moduł funkcji autokorelacji nie przekracza co

do modułu wartości energii sygnału

( )

( )

x

x

x

E

=

ϕ

≤

τ

ϕ

0

( )

( )

x

x

x

E

m

=

ϕ

≤

ϕ

0

(funkcja autokorelacji ma dla

0

=

τ

(

0

=

m

) dodatnie maksimum)

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 4/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

- jeśli dla pewnego przesunięcia

0

τ

funkcja autokorelacji

( )

0

0

=

τ

ϕ

x

to sygnały

( )

t

x

i

(

)

0

τ

−

t

x

są ortogonalne (dla sygnałów dyskretnych - jeśli dla pewnego przesunięcia

0

m

funkcja autokorelacji

( )

0

0

=

ϕ m

x

to sygnały

( )

n

x

i

(

)

0

m

n

x

−

są ortogonalne)

- funkcja autokorelacji jest niezmiennicza względem przesunięcia, tzn. funkcja

autokorelacji sygnału

( )

t

x

równa jest funkcji autokorelacji sygnału

(

)

0

t

t

x −

dla

dowolnej wartości przesunięcia

0

t

(dla sygnałów dyskretnych - funkcja autokorelacji

sygnału

( )

n

x

równa jest funkcji autokorelacji sygnału

(

)

0

n

n

x

−

dla dowolnej wartości

przesunięcia

0

n

)

- funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej energii jest funkcją o ograniczonej energii

(

F

-transormowalną)

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 5/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• przykłady funkcji autokorelacji sygnałów rzeczywistych

( )

( ) (

)

∫

∞

∞

−

τ

−

=

τ

ϕ

dt

t

x

t

x

x

( )

( ) (

)

∑

∞

−∞

=

−

=

ϕ

n

x

m

n

x

n

x

m

τ

1

t

i

τ

1

-t

i

ϕ

x

(

τ

1

)

E

x

t

i

+

τ

1

x(t-τ

1

)

t

i

x(t)

t

i

τ

1

-t

i

ϕ

x

(

τ

1

)

t

i

x(t)x(t-τ

1

)

t

i

+

τ

1

τ

x(t)

E

x

0

0

0

τ

1

0

t

i

ϕ

x

(

τ)

x(t-τ

1

)

t

0

τ

1

0

t

i

0

τ

1

0

ϕ

x

(

τ)

x(t)x(t-τ

1

)

τ

t

t

t

t

t

m

1

-N+1

x(n)x(n-m

1

)

N-1+m

1

N-1

0

x(n)

N-1

m

1

m

1

ϕ

x

(m

1

)

E

x

0

0

0

ϕ

x

(m)

x(n-m

1

)

n

n

n

n

N-1

1

1

1

5

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 6/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• związek funkcji autokorelacji z widmem energii sygnału

( )

ω

Φ

x

można wykazać, że pomiędzy funkcją autokorelacji sygnału a widmem gęstości energii
istnieje związek:

( )

( )

∫

∞

∞

−

ωτ

−

τ

τ

ϕ

=

ω

Φ

d

e

j

x

x

( )

( )

∫

∞

∞

−

ωτ

ω

ω

Φ

π

=

τ

ϕ

d

e

j

x

x

2

1

zakładając w wyrażeniu na odwrotną transformatę Fouriera

0

=

τ

otrzymamy

( )

( )

∫

∞

∞

−

ω

ω

Φ

π

=

ϕ

=

d

E

x

x

x

2

1

0

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 7/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

- podsumowując, energię sygnału można wyznaczyć na trzy sposoby
w dziedzinie czasu

( )

∫

∞

∞

−

=

dt

t

x

E

x

2

w dziedzinie korelacyjnej

( )

0

x

x

E

ϕ

=

w dziedzinie częstotliwości

( )

∫

∞

∞

−

ω

ω

Φ

π

=

d

E

x

x

2

1

- widmo energii jest nieujemną, rzeczywistą funkcją

ω

- funkcja autokorelacji sygnału rzeczywistego jest funkcją rzeczywistą i parzystą, zatem widmo

energii sygnału rzeczywistego też jest funkcją parzystą, wobec czego

( )

∫

∞

ω

ω

Φ

π

=

0

1

d

E

x

x

energia zawarta w skończonym przedziale pulsacji

(

)

( )

∫

ω

ω

ω

ω

Φ

π

=

ω

ω

2

1

1

,

2

1

d

E

x

x

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 8/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

- charakterystyczną cechą widmowej reprezentacji energii sygnału jest jej prostota,

polegająca na tym, że energie odpowiadające różnym przedziałom pulsacji sumują się
jako liczby rzeczywiste, podczas gdy opis widmowy za pomocą transformaty Fouriera
sygnału polega na sumowaniu amplitud zespolonych, opisujących wkłady
poszczególnych małych przedziałów pulsacji; amplitudy te sumują się jako liczby
zespolone

- opis sygnału przy pomocy funkcji autokorelacji (widma energii) powoduje utratę

informacji zawartej w fazowych charakterystykach sygnału

- na podstawie znajomości funkcji autokorelacji (widma energii) nie można odtworzyć

czasowej postaci sygnału

- wszystkie sygnały o jednakowym kształcie, różniące się jedynie położeniem na osi

czasu, są w ujęciu energetycznym utożsamiane i tym samym nierozróżnialne

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 9/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• funkcja korelacji wzajemnej sygnałów

- w odróżnieniu od funkcji autokorelacji, określającej związek pomiędzy danym sygnałem

i jego przesuniętą kopią funkcja korelacji wzajemnej określa związki pomiędzy dwoma
różnymi sygnałami (np. na wejściu i na wyjściu układu)

- dla sygnałów o ograniczonej energii odpowiednio

( )

t

x

i

( )

t

y

oraz

( )

n

x

i

( )

n

y

funkcje korelacji wzajemnej między sygnałami

( )

t

x

a

( )

t

y

oraz

( )

n

x

a

( )

n

y

określają wyrażenia

( )

( ) (

)

∫

∞

∞

−

τ

−

=

τ

ϕ

dt

t

y

t

x

xy

*

( )

( ) (

)

∑

∞

−∞

=

−

=

ϕ

n

xy

m

n

y

n

x

m

*

podobnie funkcja korelacji wzajemnej między sygnałami

( )

t

y

a

( )

t

x

oraz

( )

n

y

a

( )

n

x

( )

( ) (

)

∫

∞

∞

−

τ

−

=

τ

ϕ

dt

t

x

t

y

yx

*

( )

( ) (

)

∑

∞

−∞

=

−

=

ϕ

n

yx

m

n

x

n

y

m

*

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 10/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

analogicznie do funkcji autokorelacji wartość funkcji korelacji wzajemnej dla

0

=

τ

i odpowiednio

0

=

m

nazywana jest energią wzajemną

( )

( ) ( )

∫

∞

∞

−

=

=

ϕ

dt

t

y

t

x

E

xy

xy

*

0

oraz

( )

( ) ( )

∫

∞

∞

−

=

=

ϕ

dt

t

x

t

y

E

yx

yx

*

0

( )

( ) ( )

∑

∞

−∞

=

=

=

ϕ

n

xy

xy

n

y

n

x

E

*

0

oraz

( )

( ) ( )

∑

∞

−∞

=

=

ϕ

n

yx

n

x

n

y

*

0

• właściwości funkcji korelacji wzajemnej

- w przeciwieństwie do funkcji autokorelacji

( )

( )

τ

ϕ

≠

τ

ϕ

yx

xy

, można wykazać, że

( )

( )

τ

−

ϕ

=

τ

ϕ

*

yx

xy

- funkcje korelacji wzajemnej sygnałów rzeczywistych nie są funkcjami parzystymi

zmiennej

τ

oraz nie muszą przybierać wartości maksymalnych dla

0

=

τ

- wartości funkcji korelacji wzajemnej nie przekraczają co do modułu pierwiastka

z iloczynu energii obydwu sygnałów

( )

y

x

xy

E

E

≤

τ

ϕ

oraz

( )

y

x

yx

E

E

≤

τ

ϕ

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 11/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

- jeśli

( )

0

0

=

τ

ϕ

xy

to sygnały

( )

t

x

i

(

)

0

τ

−

t

y

są ortogonalne

- funkcje korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii są całkowalne

w kwadracie, a więc

F-transformowalne

- właściwości funkcji korelacji wzajemnej sygnałów dyskretnych są analogiczne do

właściwości funkcji korelacji wzajemnej sygnałów analogowych

• widma energii wzajemnej sygnałów ciągłych

( )

( ) ( )

ω

ω

=

ω

Φ

*

Y

X

xy

( )

( ) ( )

ω

ω

=

ω

Φ

*

X

Y

yx

• związek widma energii wzajemnej z funkcjami korelacji wzajemnej

( )

( )

∫

∞

∞

−

ωτ

−

τ

τ

ϕ

=

ω

Φ

d

e

j

xy

xy

oraz

( )

( )

∫

∞

∞

−

ωτ

−

τ

τ

ϕ

=

ω

Φ

d

e

j

yx

yx

( )

( )

∫

∞

∞

−

ωτ

ω

ω

Φ

π

=

τ

ϕ

d

e

j

xy

xy

2

1

oraz

( )

( )

∫

∞

∞

−

ωτ

ω

ω

Φ

π

=

τ

ϕ

d

e

j

yx

yx

2

1

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 12/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

Sygnały analogowe o ograniczonej mocy średniej

• dla sygnałów o ograniczonej mocy średniej całka definiująca funkcję autokorelacji

( )

( ) (

)

∫

∞

∞

−

τ

−

=

τ

ϕ

dt

t

x

t

x

x

*

jest rozbieżna, zatem definicja funkcji autokorelacji dla tej klasy sygnałów wymaga
modyfikacji

• funkcją autokorelacji

( )

τ

ψ

x

sygnału

( )

t

x

o ograniczonej mocy średniej nazywamy

wielkość graniczną

( )

( ) (

)

∫

−

∞

→

τ

−

=

τ

ψ

T

T

T

x

dt

t

x

t

x

T

*

2

1

lim

dla sygnałów okresowych

( )

( ) (

)

∫

+

τ

−

=

τ

ψ

0

0

0

*

0

1

T

t

t

x

dt

t

x

t

x

T

gdzie

0

t

wartość dowolna

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 13/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• właściwości funkcji autokorelacji

- wartość funkcji autokorelacji

( )

τ

ψ

x

przy

0

=

τ

jest rzeczywista i równa mocy sygnału

( )

( ) ( )

( )

x

T

T

T

T

T

T

x

P

dt

t

x

T

dt

t

x

t

x

T

=

=

=

τ

ψ

∫

∫

−

∞

→

−

∞

→

2

*

2

1

lim

2

1

lim

- funkcja autokorelacji sygnału

( )

τ

ψ

x

jest funkcją hermitowską

( )

( )

τ

−

ψ

=

τ

ψ

*

x

x

(dla sygnałów rzeczywistych jest funkcją rzeczywistą parzystą)

- dla każdej wartości przesunięcia

τ

moduł funkcji autokorelacji

( )

τ

ψ

x

nie przekracza

co do modułu wartości mocy sygnału

( )

( )

x

x

x

P

=

ψ

≤

τ

ψ

0

(funkcja autokorelacji ma zawsze dla

0

=

τ

dodatnie maksimum)

- jeśli dla pewnego przesunięcia

0

τ

funkcja autokorelacji

( )

0

0

=

τ

ψ

x

to sygnały

( )

t

x

i

(

)

0

τ

−

t

x

są ortogonalne

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 14/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

- funkcja autokorelacji

( )

τ

ψ

x

jest niezmiennicza względem przesunięcia, tzn. funkcja

autokorelacji sygnału

( )

t

x

równa jest funkcji autokorelacji sygnału

(

)

0

t

t

x −

dla

dowolnej wartości przesunięcia

0

t

- funkcja autokorelacji

( )

τ

ψ

x

sygnału o ograniczonej mocy średniej jest

F

-transformowalna w sensie granicznym

- funkcja autokorelacji

( )

τ

ψ

x

sygnału okresowego o okresie

0

T

jest również funkcją

okresową o okresie

0

T

0

ψ

x

(

τ)

0

x(t)

t

T

0

2T

0

3T

0

-T

0

-2T

0

-3T

0

T

0

τ

2T

0

3T

0

-T

0

-2T

0

-3T

0

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 15/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• związek funkcji autokorelacji z widmem mocy sygnału

właściwości energetyczne sygnałów o ograniczonej energii opisuje w dziedzinie pulsacji

widmo energii

właściwości energetyczne sygnałów o ograniczonej mocy średniej opisuje w dziedzinie

pulsacji widmo mocy

- widmem mocy sygnału o ograniczonej mocy średniej

( )

t

x

nazywamy granicę

( )

( )

ω

Φ

=

ω

Ψ

∞

→

T

T

x

T

1

lim

gdzie

( )

ω

Φ

T

jest widmem energii wycinka sygnału

( )

t

x

T

o długości

T

można wykazać, że funkcja autokorelacji

( )

τ

ψ

x

sygnału

( )

t

x

i jego widmo mocy

( )

ω

Ψ

x

stanowią parę transformat Fouriera (w sensie granicznym)

( )

( )

∫

∞

∞

−

ωτ

−

τ

τ

ψ

=

ω

Ψ

d

e

j

x

x

( )

( )

∫

∞

∞

−

ωτ

ω

ω

Ψ

π

=

τ

ψ

d

e

j

x

x

2

1

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 16/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

- dla

0

=

τ

( )

( )

x

x

x

P

d =

ω

ω

Ψ

π

=

ψ

∫

∞

∞

−

2

1

0

- widmo mocy również nie zawiera informacji o strukturze fazowej sygnału

• funkcje korelacji wzajemnej sygnałów

( )

t

x

i

( )

t

y

o ograniczonej mocy średniej

( )

( ) (

)

∫

−

∞

→

τ

−

=

τ

ψ

T

T

T

xy

dt

t

y

t

x

T

*

2

1

lim

( )

( ) (

)

∫

−

∞

→

τ

−

=

τ

ψ

T

T

T

yx

dt

t

x

t

y

T

*

2

1

lim

• dla sygnałów okresowych

( )

( ) (

)

∫

+

τ

−

=

τ

ψ

0

0

0

*

0

1

T

t

t

xy

dt

t

y

t

x

T

( )

( ) (

)

∫

+

τ

−

=

τ

ψ

0

0

0

*

0

1

T

t

t

yx

dt

t

x

t

y

T

właściwości funkcji korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej mocy średniej są

analogiczne do właściwości funkcji korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 17/17

BIBLIOGRAFIA

1. Szabatin J.: Przetwarzanie sygnałów. Materiały dydaktyczne Politechniki Warszawskiej,

2003,

www.ise.pw.pl/~szabatin

.

2. Baskakow S.I.: Sygnały i układy radiotechniczne. Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa, 1991.

3. Gonorowskij I.S.: Radiotechniczeskije cepi i signały. Sowietskoje Radio, Mockva, 1977.

4. Proakis J.G., Manolakis D.G.: Digital signal processing. Principles, Algorithms, and

Applications. Third Edition. Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1996.