10. Przekształcenie Z.doc, 1/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

1

• przekształcenie

Z

jest efektywnym narzędziem do analizy i syntezy sygnałów i układów

czasu dyskretnego i jest odpowiednikiem przekształcenia Laplace’a dla układów czasu
ciągłego

• transformatą

Z

ciągu (funkcji argumentu całkowitego)

( )

{

}

n

x

jest funkcja zespolona

zmiennej zespolonej

z

zdefiniowana równaniem

( )

( )

∑

∞

−∞

=

−

=

n

n

z

n

x

z

X

gdzie:

( )

z

X

- transformata

Z

ciągu

( )

{

}

n

x

, inaczej

( )

( )

{ }

n

x

z

X

Z

=

z

- zmienna zespolona

• powyższa transformata nazywana jest transformatą dwustronną
• transformata

Z

jednostronna określona jest wyrażeniem

( )

( )

∑

∞

=

−

=

0

n

n

z

n

x

z

X

• dla ciągów przyczynowych obie transformaty są równoważne

1

opracowano na podstawie [1-5], wersja z dnia 02.10.2014

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi

jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład

10. Przekształcenie Z.doc, 2/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

• przekształcenie

Z

nie jest zbieżne dla wszystkich wartości zmiennej

z

, niezbędne staje

się zbadanie warunków zbieżności

• zbiór wartości

z

, dla których transformata

Z

danego ciągu jest zbieżna (osiąga

skończoną wartość) nazywa się obszarem zbieżności, oznaczanym jako ROC (ang.
Region of Convergence)

przykład 1

1.

( )













=

↑

3

,

0

,

4

,

3

,

1

n

x

( )

4

2

1

3

4

3

1

−

−

−

+

+

+

=

⇒

z

z

z

z

X

, ROC:

0

>

z

2.

( )













=

↑

3

,

0

,

4

,

3

,

1

n

x

( )

2

2

3

4

3

−

+

+

+

=

⇒

z

z

z

z

X

, ROC:

∞

<

< z

0

3.

( ) ( )

n

n

x

δ

=

( )

1

=

⇒

z

X

, ROC:

0

≥

z

z przytoczonych przykładów można zauważyć, że transformata

Z

jest prostym,

alternatywnym przedstawieniem sygnału, w którym współczynnik przy zmiennej
zespolonej

z

stanowi wartość próbki sygnału a wykładnik zmiennej zespolonej

z

zawiera informację o położeniu próbki w czasie

10. Przekształcenie Z.doc, 3/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

przykład 2

( )

( )

n

n

x

n

1













=

2

1

( )

































































=

...

,

2

1

...,

,

2

1

,

2

1

,

2

1

,

1

3

2

n

n

x

( )

∑

∞

=

−

−

−

−













=

+













+

+













+

+

=

0

1

2

2

1

2

1

...

2

1

...

2

1

2

1

1

n

n

n

n

z

z

z

z

z

X

wyznaczając sumę nieskończonego szeregu geometrycznego otrzymujemy

( )

1

2

1

1

1

−

−

=

z

z

X

, ROC:

2

1

>

z

z przytoczonego przykładu można zauważyć, że transformata

Z

umożliwia uzyskanie

alternatywnej, znacznie bardziej zwartej reprezentacji sygnału

10. Przekształcenie Z.doc, 4/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

• jeśli zmienną zespoloną

z

przedstawimy w postaci wykładniczej

z

j

e

z

z

arg

=

wówczas można udowodnić, że transformata

Z

danego ciągu jest zbieżna w pierścieniu

płaszczyzny zmiennej

z

2

1

r

z

r

<

<

gdzie:

1

r

może osiągać wartość zero, natomiast

2

r

może dążyć do nieskończoności

• określenie obszaru zbieżności jest bardzo istotne; istnieją funkcje posiadające identyczne

transformaty

Z

, różniące się jedynie obszarem zbieżności; zatem transformata

Z

jest

wzajemnie jednoznaczna po uwzględnieniu obszaru zbieżności

r

2

r

2

Im

z

Re

z

r

1

Im

z

Re

z

Im

z

Re

z

r

1

10. Przekształcenie Z.doc, 5/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

przykład 3

wyznaczyć transformatę

Z

sygnałów

( )

( )

n

n

x

n

1

α

=

oraz

( )

(

)

1

−

−

α

−

=

n

n

y

n

1

,

1

0

<

α

<

ad

( )

( )

n

n

x

n

1

α

=

( )

( )

1

0

1

0

1

1

−

∞

=

−

∞

=

−

α

−

=

α

=

α

=

∑

∑

z

z

z

z

X

n

n

n

n

n

ROC:

α

>

z

Im

z

Re

z

α

1

0

3

2

1

n

x(n)

10. Przekształcenie Z.doc, 6/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

przykład 3 (cd)

ad

( )

(

)

1

−

−

α

−

=

n

n

y

n

1

( )

( )

( )

1

1

1

1

1

1

−

∞

=

−

−

−∞

=

−

α

−

=

α

−

=

−

=

=

α

−

=

∑

∑

z

z

n

k

z

z

Y

k

k

n

n

n

:

podst.

ROC:

α

<

z

Im

z

Re

z

α

-1

-2

-3

-1

0

3

2

1

n

y(n)

10. Przekształcenie Z.doc, 7/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

• obszarem zbieżności dla ciągu ograniczonego, czyli o elementach niezerowych dla

2

1

n

n

n

≤

≤

, jest cała płaszczyzna zmiennej zespolonej

z

oprócz

∞

=

z

, jeśli

0

1

<

n

oraz oprócz

0

=

z

, jeśli

0

2

>

n

• obszarem zbieżności dla ciągu prawostronnego, czyli o elementach niezerowych dla

1

n

n ≥

, jest obszar na zewnątrz koła oprócz

∞

=

z

, jeśli

0

1

<

n

; jeśli ciąg jest

przyczynowy, tzn. jeśli

0

1

≥

n

, to obszar zbieżności jest zewnętrze koła z włączeniem

punktu w nieskończoności

• obszarem zbieżności dla ciągu lewostronnego, czyli o elementach niezerowych dla

2

n

n ≤

, jest obszar wewnątrz koła oprócz

0

=

z

, jeśli

0

2

>

n

; jeśli ciąg niezerowy dla

0

<

n

to obszar zbieżności obejmuje punkt

0

=

z

• obszarem zbieżności dla ciągu nieograniczonego (dwustronnego), czyli o elementach

niezerowych dla

∞

<

<

∞

−

n

, jest obszar wewnątrz pierścienia (lub transformata nie jest

zbieżna)

• obszarem zbieżności przyczynowego sygnału stabilnego jest obszar na zewnętrz koła

o promieniu co najmniej

1

≥

z

10. Przekształcenie Z.doc, 8/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

• ważną klasą transformat

Z

są transformaty będące funkcjami wymiernymi, tzn. będące

stosunkami wielomianów zmiennej

z

• pierwiastkami wielomianu licznika są te wartości zmiennej

z

, dla których

( )

0

=

z

X

,

nazywa się je zerami funkcji

( )

z

X

• wartości zmiennej

z

, dla których

( )

z

X

dąży do nieskończoności nazywa się biegunami

funkcji

( )

z

X

, dodatkowo bieguny mogą występować dla

0

=

z

lub

∞

=

z

• bieguny transformaty

( )

z

X

nie mogą występować w obszarze zbieżności, ponieważ

transformata

Z

nie jest zbieżna w biegunie

• bieguny transformaty

Z

sygnału (układu) stabilnego mieszczą się wewnątrz koła

jednostkowego

Im

z

Re

z

r

1

1

j

10. Przekształcenie Z.doc, 9/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

• odwrotne przekształcenie

Z

określone jest wyrażeniem

( )

( )

∫

−

π

=

dz

z

X

z

j

n

x

n 1

2

1

gdzie operacja całkowania odbywa się po konturze zamkniętym, obejmującym początek

płaszczyzny zespolonej, leżącym całkowicie wewnątrz obszaru zbieżności funkcji

( )

z

X

• stosowane są najczęściej trzy metody wyznaczania odwrotnej transformaty

Z

- bezpośrednie obliczenie powyższej całki po konturze zamkniętym, ze względu na

trudności w całkowaniu zazwyczaj korzysta się z twierdzenia Cauchy’ego o residuach

- rozwijanie transformaty

Z

w szereg potęgowy względem

1

−

z

(dzielenie wielomianów)

- rozkład transformaty

Z

na ułamki (przedstawienie transformaty w postaci liniowej

kombinacji składników, których odwrotne transformaty

Z

mogą być łatwo obliczone lub

odczytane z tablic)

10. Przekształcenie Z.doc, 10/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

Właściwości przekształcenia

Z

• obszar zbieżności wymiernej transformaty

Z

nie może zawierać żadnych biegunów,

jest on zatem ograniczony przez bieguny, przez zero, lub nieskończoność
(transformata

Z

nie jest zbieżna w biegunie)

• twierdzenia graniczne

suma wszystkich próbek sygnału równa jest transformacie

Z

tego sygnału dla

1

=

z

( )

( )

1

X

n

x

n

=

∑

∞

−∞

=

jeśli

( )

n

x

jest przyczynowe to

( )

( )

0

x

z

X

z

=

∞

→

lim

10. Przekształcenie Z.doc, 11/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

Właściwości przekształcenia

Z

(cd)

• dane są pary transformat

( )

( )

z

X

n

x

↔

oraz

( )

( )

z

Y

n

y

↔

właściwości

twierdzenie o liniowości

( )

( )

( )

( )

z

bY

z

aX

n

by

n

ax

+

↔

+

twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie czasu

(

)

( )

z

X

z

n

n

x

n

0

0

−

↔

−

(stąd

1

−

z

- operator opóźnienia jednostkowego)

twierdzenie o mnożeniu przez ciąg wykładniczy (zespolony)

( )

( )

z

a

X

a

n

x

n

1

−

↔

y(n)=x(n-1)

x(n)

z

-1

10. Przekształcenie Z.doc, 12/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

twierdzenie o splocie w dziedzinie czasu

( ) ( )

( ) ( )

z

Y

z

X

n

y

n

x

↔

∗

twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości

( ) ( )

( )

( )

z

Y

z

X

j

n

y

n

x

⊗

π

↔

2

1

(splot kołowy w dziedzinie transformaty)

twierdzenie o różniczkowaniu w dziedzinie transformaty

( )

( )

dz

z

dX

z

n

nx

−

↔

10. Przekształcenie Z.doc, 13/14

PRZEKSZTAŁCENIE

Z

(cd)

• związek transformaty

Z

z transformatą Fouriera sygnału dyskretnego

przyjmując

θ

=

j

e

z

(

θ

- unormowana pulsacja) otrzymujemy

( )

( )

( )

( )

( )

( )

θ

∞

−∞

=

θ

−

∞

−∞

=

−

θ

=

∞

−∞

=

−

=

=

=

=

∑

∑

∑

θ

j

n

n

j

n

n

j

e

z

n

n

e

X

e

n

x

e

n

x

z

n

x

z

X

j

(przekształcenie

Z

jest uogólnieniem przekształcenia Fouriera sygnału dyskretnego)

transformata Fouriera jest równoważna transformacie

Z

dla wszystkich

z

należących

do okręgu jednostkowego

θ

θ

e

jθ

j

Im

z

Re

z

1

|X(e

jθ

)|

π

2π

10. Przekształcenie Z.doc, 14/14

BIBLIOGRAFIA

1. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów. Kompendium wiedzy na temat

sygnałów i metod ich przetwarzania. Helion, Gliwice, 2006.

2. Zieliński T.P.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań. WKŁ,

Warszawa 2005.

3. Papoulis A.: Obwody i układy. WKŁ, Warszawa, 1988.

4. Oppenheim A.V.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. WKŁ, Warszawa, 1979.

5. Proakis J.G., Manolakis D.G.: Digital Signal Processing. Principles, Algorithms, and

Applications. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1996.