1
4. MIARY ROZPROSZENIA
ROZSTEP, ODCHYLENIE STANDARDOWE, PRZECIETNE I CWIARTKOWE
METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA
ZJAZD II i III
10.10.2009
17.10.2009
Miary rozproszenia, czyli miary dyspersji lub zmienności mówią o tym, jak grupa jest do siebie
podobna. Są cztery mierniki rozproszenia cechy: rozstęp, odchylenie standardowe, odchylenie
przeciętne, odchylenie ćwiartkowe.
1. R O Z S T E P - R
Miara ta obrazuje różnice między wartością największą a najmniejszą w badanej zbiorowości, wy-
znaczamy więc jej wartość odejmując od najwyższej, najniższą wartość cechy:
𝑹 = 𝒙
𝒎𝒂𝒙
− 𝒙
𝒎𝒊𝒏
np.
R
1
– Radio Maryja: 1, 1, 4, 6, 8
R
2
– Radio Szatan: 4, 4, 4, 4, 4
R
3
– Radio ZET: 2, 2, 4, 6, 6
R
1
= 8 – 1 = 7 najbardziej zróżnicowane
R
2
= 4 – 4 = 0 niezróżnicowane
R
3
= 6 – 2 = 4 średniozróżnicowane
Określa największą rozbieżność, jaką zaobserwowano wśród wartości badanej cechy. Miara ta
określa zróżnicowanie jednostek na podstawie oceny wartości skrajnych cechy statystycznej. War-
tościom tym mogą odpowiadać niewielkie lub wręcz znikome liczebności. Dlatego też nie jest to
precyzyjna miara zróżnicowania i służy jedynie wstępnej ocenie zmienności zjawiska. Informuje
ona jak bardzo różnią się wartości cechy statystycznej w ogóle.
Rozstęp można również policzyć dla danych pogrupowanych.
2.
O D C H Y L E N I E S T A N D A R D O W E
- s
2
, q
2
Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji.
Wariancja – suma podniesionych do kwadratu odchyleń poszczególnych wyników od średniej,
która to suma podzielona jest przez liczbę elementów zbioru.
wzór dla wariancji w próbie:
𝒔
𝟐
=
∑
𝒊=𝟏
𝒏
∗ (𝒙
𝒊
− 𝒙 )
𝟐
𝑵 − 𝟏
2
4. MIARY ROZPROSZENIA
ROZSTEP, ODCHYLENIE STANDARDOWE, PRZECIETNE I CWIARTKOWE
METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA
ZJAZD II i III
10.10.2009
17.10.2009
wzór dla wariancji w populacji:
𝜹
𝟐
=
∑
𝒊=𝟏
𝒖
∗ (𝒙
𝒊
− 𝒖
)
𝟐
𝑵
Odchylenie standardowe natomiast zapisujemy bez kwadratu, pod pierwiastkiem:
𝒔 =
∑
𝒊=𝟏
𝒏
∗ (𝒙
𝒊
− 𝒙 )
𝟐
𝑵 − 𝟏
𝜹 =
∑
𝒊=𝟏
𝒖
∗ (𝒙
𝒊
− 𝒖
)
𝟐
𝑵
np. w próbie:
𝑠
2
=
(1 − 4)
2
+ (1 − 4)
2
+ (4 − 4)
2
+ (6 − 4)
2
+ (8 − 4)
2
5 − 1
=
38
4
= 9,5
𝑠 = 9,5 = 3,08
Odchylenie jest miarą która podobnie jak odchylenie przeciętne, charakteryzuje przeciętny poziom
odchyleń faktycznych wartości cechy od średniej arytmetycznej. Jest to miara bardziej precyzyjna
niż odchylenie przeciętne.
Współczynnik zmienności V - stosunek bezwzględnej miary odchylenia do średniej arytmetycz-
nej, wyrażony w procentach. Jeżeli współczynnik jest mały to dane są mniej zróżnicowane.
𝑽 =
𝒔
𝒙
𝒍𝒖𝒃 𝑽 =
𝜹
𝒙
s – odchylenie standardowe
x – średnia
W przypadku konieczności porównania rozproszenia dwóch różnych zjawisk należy posłużyć się
współczynnikiem zmienności. Współczynnik zmienności to iloraz odchylenia standardowego i
średniej w danym rozkładzie V=(s/Xsr). Im wyższy jest ten procent, tym większe jest względne
zróżnicowane cechy w rozkładzie. o iloraz odchylenia standardowego i średniej w danym rozkła-
dzie V=(s/Xsr). Współczynnik zmienności wyraża się często procentowo, aby określić, jaki procent
poziomu średniej stano i odchylenia standardowe w rozkładzie. Tego typu badania są szczególnie
przydatne w porównywaniu zróżnicowania takich wielkości jak dochody, wydajność pracy, ab-
sencja w pracy w różnych przedsiębiorstwach lub działach jednego przedsiębiorstwa.
3
4. MIARY ROZPROSZENIA
ROZSTEP, ODCHYLENIE STANDARDOWE, PRZECIETNE I CWIARTKOWE
METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA
ZJAZD II i III
10.10.2009
17.10.2009
3.
O D C H Y L E N I E P R Z E C I E T N E
- O P
Odchylenie przeciętne (dewiata) jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości (modułów)
odchyleń wartości faktycznych szeregu od średniej arytmetycznej.
𝑶𝑷 =
∑
𝒊=𝟏
𝒏
∗ 𝒙
𝒊
− 𝒙
𝑵
np. 1, 4, 7, 10, 13
N = 5, 𝑥 = 7
𝑂𝑃 =
1 − 7 + 4 − 7 + 7 − 7 + 10 − 7 + 13 − 7
5
=
6 + 3 + 0 + 3 + 6
5
=
18
5
= 3,6
4 .
O D C H Y L E N I E C W I A R T K O W E
- Q
𝑸 =
𝑸
𝟑
− 𝑸
𝟏
𝟐
Q – kwarty
𝑸 = 𝑸
𝟑
− 𝑸
𝟏
Etapy prowadzenia obliczeń dla odchylenia ćwiartkowego:
znaleźć medianę dla obserwacji,
mediana dzieli obserwację na pół,
obliczyć medianę dla 1 i 2 połówki.
np. mediana parzysta: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
1 punkt:
𝑁
2
=
8
2
= 4
obserwacja
2 punkt:
𝑁
2
+ 1 =
8
2
+ 1 = 5
obserwacja
𝑀
𝑒
=
1 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 + 2 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡
2
=
4 + 5
2
= 4,5
1, 2, 3, 4
1 punkt:
𝑁
2
=
4
2
= 2
obserwacja
4
4. MIARY ROZPROSZENIA
ROZSTEP, ODCHYLENIE STANDARDOWE, PRZECIETNE I CWIARTKOWE
METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA
ZJAZD II i III
10.10.2009
17.10.2009
2 punkt:
𝑁
2
+ 1 =
4
2
+ 1 = 3
obserwacja
𝑀
𝑒
=
1 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 + 2 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡
2
=
2 + 3
2
= 2,5 = 𝑄
1
5, 6, 7, 8
𝑀
𝑒
=
1 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 + 2 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡
2
=
6 + 7
2
= 6,5 = 𝑄
3
𝑄 = 𝑄
3
− 𝑄
1
= 6,5 − 2,5 = 4,0
np. mediana nieparzysta: 1, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 8, 10, 11
𝑀
𝑒
= 7
1, 1, 2, 3, 4, 6
𝑀
𝑒
=
2 + 3
2
= 2,5 = 𝑄
1
6, 7, 8, 8, 10, 11
𝑀
𝑒
=
8 + 8
2
= 8 = 𝑄
3
𝑄 = 𝑄
3
− 𝑄
1
= 8 − 2,5 = 5,5
WYZNACZANIE Q
1
I Q
3
– ĆWICZENIA
np. pozycja Polski: 63, 23, 3, 2, 16, 17, 42
porządkujemy dane: 2 (I), 3 (II), 16 (III), 17 (IV), 23 (V), 42 (VI), 63 (VII) – zbiór nieparzysty
wyznaczamy medianę: 𝑋
𝑒
=
𝑁+1
2
=
7+1
2
= 4 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑤𝑎𝑐𝑗𝑎 czyli 17
dzielimy dane na dwa zbiory: 2, 3, 16, 17 i 17, 23, 42, 63 – zbiory parzyste
wyznaczamy medianę dla obu zbiorów:
1 punkt:
𝑁
2
, 2 punkt:
𝑁
2
+ 1
,
1 punkt:
𝑁
2
=
4
2
= 2
obserwacja czyli 3 i 23
2 punkt:
𝑁
2
+ 1 =
4
2
+ 1 = 3 czyli 16 i 42
wyznaczamy Q
1
i Q
3
: 𝑄 =
1 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 +2 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡
2
𝑄
1
=
3+16
2
= 9,5 𝑎 𝑄
2
=
23+42
2
= 32,5
obliczamy rozstęp: 𝑄 = 32,5 − 9,5 = 23