SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 7, 2010-11-18

Twierdzenie: Niech dana będzie funkcja f : (a, b) → R różniczkowalna na (a, b) taka, że
f

0

(x) = 0 ∀x ∈ (a, b). Wtedy funkcja f jest stała: f (x) = C , ∀x ∈ (a, b) .

Uwaga 1: Twierdzenie odwrotne jest oczywiste: ( C

0

= 0).

Uwaga 2: Twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego przedziału. W końcach przedziału wy-
starczy założyć ciągłość. Jeżeli dziedzina nie jest przedziałem twierdzenie nie jest prawdziwe.
Na przykład funkcja o dziedzinie D = (−1, 0) ∪ (0, 1) zdefiniowana:

f (x) =

(

1

dla x ∈ (0, 1)

−1 dla x ∈ (−1, 0)

Ma w każdym punkcie dziedziny pochodną równą zero, a nie jest to funkcja stała.

Przykład: Pokazać, że: arc sin x + arc cos x =

π

2

Niech f (x) = arc sin x + arc cos x
Dziedzina funkcji D =< −1 , 1 > , funkcja jest ciągła.
Obliczamy pochodną:

f

0

(x) =

1

√

1 − x

2

+

−1

√

1 − x

2

= 0

dla x ∈ (−1 , 1)

Wynika stąd, że f jest stała na przedziale < −1 , 1 >
f (x) = C
Obliczamy stałą:

C = f (0) = arc sin 0 + arc cos 0 = 0 +

π

2

=

π

2

Stąd:

f (x) =

π

2

dla x ∈< −1 , 1 >

Definicja: Funkcja f : D → R jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy:
(∀x

1

, x

2

∈ D) x

2

> x

1

=⇒ f (x

2

) > f (x

1

)

Definicja: Funkcja f : D → R jest słaborosnąca (lub niemalejąca) wtedy i tylko wtedy, gdy:
(∀x

1

, x

2

∈ D) x

2

> x

1

=⇒ f (x

2

) ­ f (x

1

)

Uwaga 1: Analogicznie definiujemy funkcję malejącą i słabomalejącą (nierosnącą)
Uwaga 2: Funkcje rosnące i malejące nazywamy funkcjami monotonicznymi. Funkcje sła-
borosnące i słabomalejące nazywmamy funkcjami słabomonotonicznymi.

Twierdzenie: Badanie monotoniczności
Niech dana będzie funkcja f :< a, b >→ R ciągła na < a, b > i różniczkowalna na (a, b) taka,
że f

0

(x) > 0 ∀x ∈ (a, b). Wtedy funkcja f jest rosnąca na < a, b >.

Dowód: Weźmy dowolone x

1

, x

2

∈< a, b > takie, że x

1

< x

2

. Z twierdzenia Lagrange’a na

przedziale < x

1

, x

2

> mamy:

f (x

2

) − f (x

1

) = f

0

(c)(x

2

− x

1

) dla pewnego c ∈< x

1

, x

2

>

Widać, że prawa strona jest dodatnia. Wynika stąd:
f (x

2

) > f (x

1

)

Wobec dowolności x

1

, x

2

oznacza to, że funkcja f jest rosnąca na < a, b >

Uwaga 1: Jeżeli warunek f

0

(x) > 0 zastąpimy warunkiem f

0

(x) ­ 0 to funcja f będzie

słaborosnąca. Ale jeżeli zbiór punktów zerowych pochodnej nie będzie zawierał żadnego
przedziału to funkcja f będzie rosnąca.
Uwaga 2: Twierdzenie odwrotne jest oczywiste. Jeśli funkcja jest słaborosnąca to f

0

(x) ­ 0.

Uwaga 3: Bardzo ważnym założeniem jest to, że dziedzina funkcji jest przedziałem. Dla
innych dziedzin teza nie musi być prawdziwa.
Uwaga 4: Analogiczne twierdzenie można sformułować dla f

0

(x) < 0 . Wtedy funkcja jest

malejaca.

1

Przykład: Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji f (x) = x

3

− 3x

Dziedziną funkcji f jest D = (−∞, ∞)
Obliczamy pochodną f

0

(x) = 3x

2

− 3 . Pochodna istnieje na całej dziedzinie, czyli f jest

różniczkowalna.
Rozwiązujemy nierówność f

0

(x) > 0

3x

2

− 3 > 0

(x − 1)(x + 1) > 0
x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
Wniosek:
f jest rosnąca na przedziale: (−∞, −1 >
f jest rosnąca na przedziale: < 1, −∞)
Uwaga: Funkcja nie musi być (i zwykle nie jest) rosnąca na sumie tych przedziałów!
Nierówność f

0

(x) < 0 jest prawdziwa dla x ∈ (−1, 1) a więc funkcja jest malejąca na prze-

dziale < −1, 1 >

Ekstrema funkcji

Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x

0

∈ D minimum lokalne wtedy i tylko wtedy,

gdy istnieje otoczenie O punktu x

0

takie, że:

∀(x ∈ O ∩ D)

f (x) ­ f (x

0

)

Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x

0

∈ D minimum lokalne właściwe wtedy i

tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie O punktu x

0

takie, że:

∀(x ∈ O ∩ D)

x 6= x

0

=⇒ f (x) > f (x

0

)

Uwaga 1: Analogicznie definujemy maksimum lokalne i maksimum lokalne właściwe.
Uwaga 2: Ekstremum lokalne jest to minimum lokalne lub maksimum lokalne.

Twierdzenie - warunek konieczny istnienia ekstremum: Jeżeli funkcja f : D → R ma
w punkcie x

0

∈ int D ekstremum lokalne i istnieje f

0

(x

0

) to f

0

(x

0

) = 0 .

Twierdzenie - warunek dostateczny istnienia ekstremum 1: Jeżeli funkcja f : D → R
ma w punkcie x

0

∈ int D drugą pochodną oraz f

0

(x

0

) = 0 i f

00

(x

0

) > 0 to funkcja f ma w

x

0

minimum lokalne właściwe.

Jeśli f

0

(x

0

) = 0 i f

00

(x

0

) < 0 to funkcja f ma w x

0

maksimum lokalne właściwe.

Twierdzenie - warunek dostateczny istnienia ekstremum 2: Jeżeli funkcja f : D → R
jest ciągła w punkcie x

0

∈ int D oraz ma pochodną f

0

(t) dla t ∈ O \ {x

0

} dla pewnego

otoczenia O punktu x

0

oraz dla t ∈ O zachodzi

f

0

(t) < 0 dla t < x

0

oraz f

0

(t) > 0 dla t > x

0

to funkcja f ma w x

0

minimum lokalne

właściwe.
f

0

(t) > 0 dla t < x

0

oraz f

0

(t) < 0 dla t > x

0

to funkcja f ma w x

0

maksimum lokalne

właściwe.

Uwaga: Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z badania przedziałów monotoniczno-
ści funkcji.

Przykład 1: Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x) = x

3

− 3x

Z badania przedziałów monotonicznoście tej funkcji (przykład poprzedni) wynika, że funkcja
ta ma maksimum lokalne w punkcie x = −1 i minimum lokalne w punkcie x = 1.

Przykład 2: Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x) = xe

−2x

2

Dziedzina f : D = (−∞, ∞) jest zbiorem otwartym.
f

0

(x) = e

−2x

2

− 4x

2

e

−2x

2

= (1 − 4x

2

)e

−2x

2

2

Pochodna istnieje na całej dziedzinie.
Rozwiązujemy równanie f

0

(x) = 0

(1 − 4x

2

)e

−2x

2

= 0

x = ±

1

2

Z warunku koniecznego wynika, że dla x 6= ±

1

2

funkcja nie ma ekstremów. Badamy, czy

funkcja ma ekstremum w punkcie x =

1

2

korzystając z warunku dostatecznego. Obliczamy:

f

00

(x) = −8xe

−2x

2

− 4x(1 − 4x

2

)e

−2x

2

= −4x(3 − 4x

2

)e

−2x

2

druga pochodna istnieje na całej dziedzinie.

f

00

(

1

2

) = −2 · 2 · e

−

1
2

< 0

a więc funkcja f ma w punkcie x =

1

2

maksimum lokalne.

Badamy punkt x = −

1

2

f

00

(−

1

2

) = 2 · 2 · e

−

1
2

> 0

a więc funkcja f ma w punkcie x = −

1

2

minimum lokalne.

Przykład 3: Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x) = x

√

2 − x

2

Dziedzina f : D =< −

√

2,

√

2 >

f

0

(x) =

√

2 − x

2

+ x

−2x

2

√

2 − x

2

=

2(1 − x

2

)

√

2 − x

2

D = (−

√

2,

√

2)

W punktach x ∈ D \ D

0

= {−

√

2,

√

2} funkcja jest ciągła.

Badamy znak pierwszej pochodnej:
f

0

(x) > 0

2(1 − x

2

)

√

2 − x

2

> 0

1 − x

2

> 0

x ∈ (−1, 1)
Analogicznie: f

0

(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−

√

2, −1) ∪ (1,

√

2)

Stąd f jest:
malejąca na przedziale < −

√

2, −1 >

rosnaca na przedziale < −1, 1 >
malejąca na przedziale < 1,

√

2 >

Wniosek: f ma minimum lokalne w punktach x = −1 oraz x =

√

2, oraz maksimum lokalne

w punktach x = −

√

2 oraz x = 1

Ekstrema globalne funkcji

Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x

0

∈ D minimum globalne wtedy i tylko

wtedy, gdy:
∀(x ∈ D)

f (x) ­ f (x

0

) .

Wartość f (x

0

) nazywamy wartością najmniejszą funkcji f na D

Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x

0

∈ D maksimum globalne wtedy i tylko

wtedy, gdy:
∀(x ∈ D)

f (x) ¬ f (x

0

) .

Wartość f (x

0

) nazywamy wartością największą funkcji f na D

3

Uwaga: Jeżeli istnieje maksimum globalne, to odpowiadająca mu wartość największa jest
tylko jedna, natomiast moża być kilka punktów x ∈ D , w których funkcja osiąga tę wartość.

Twierdzenie: Jeżeli x

0

∈ D jest ekstremum globalnym funkcji f : D → R to jest też

ekstremum lokalnym tej funkcji.

Przykład 1: Znależć ekstrema globalne f (x) = x

2

, x ∈< −1, 2 >

Funkcja f jest ciągła, dziedzina D =< −1, 2 > jest zbiorem domkniętym i ograniczonym,
więc istnieją oba ekstrema globalne. Funkcja jest różniczkowalna we wnętrzu D. Jeżeli eks-
tremum jest we wnętrzu D, to ponieważ jest jednocześnie ekstremum lokalnym musi spełniać
warunek konieczny f

0

(x) = 0.

f

0

(x) = 2x = 0

x

1

= 0

Brzeg składa się z dwóch punktów: x

2

= −1, x

3

= 2.

Obliczamy:
f (x

1

) = 0

f (x

2

) = 1

f (x

3

) = 4

Najmniejsza z tych wartości 0 jest w punkcie x

1

= 0 - jest to minimum globalne.

Największa z tych wartości 4 jest w punkcie x

3

= 4 - jest to maksimum globalne.

Przykład 2: Znależć ekstrema globalne f (x) = x +

1

x

na D =<

1
2

, 3)

Funkcja f jest ciągła, ale dziedzina D nie jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc nie
muszą istnieć ekstrema globalne. Funkcja jest różniczkowalna na D. Obliczamy

f

0

(x) = 1 −

1

x

2

Badamy znak f

0

f

0

(x) > 0

1 −

1

x

2

> 0

x > 1
f jest malejąca na <

1
2

, 1 > i rosnąca na < 1, 3)

Obliczamy wartości (granice):

f (

1
2

) =

5

2

f (1) = 2

lim

x→3

−

f (x) =

10

3

Szkicujemy wykres funkcji.
Wnioski:
Istnieje minimum globalne w punkcie x = 1 , o wartości f (1) = 2.
Nie istnieje maksimum globalne.

Uwaga 1: Jeżeli f jest ciągła to obrazem przedziału jest przedział. W tym przykładzie
f (<

1
2

, 3)) =< 2,

10

3

)

Uwaga 2: Jeżeli f nie ma wartości największej to nie znaczy, że może osiągać dowolnie duże
wartości. W naszym przykładzie wartości funkcji mogą być dowolnie blisko wartości

10

3

) , ale

zawsze są mniejsze.
Kresem górnym funkcji nazywamy kres górny zbioru wartości funkcji:
sup

x∈D

f (x) = sup f (D)

Analogicznie definiuje się kres dolny: inf

x∈D

f (x)

W tym przykładzie:
sup

x∈D

f (x) =

10

3

4

inf

x∈D

f (x) = 2

Uwaga: Jeżeli f : D → R to ekstrema lokalne (a więc i globalne) mogą (ale nie muszą) być
tylko w punktach:

1. x ∈ intD , f

0

(x) = 0

2. x ∈ intD , pochodna f

0

(x) nie istnieje

3. x ∈ ∂D - punkty brzegowe

Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji określonej na skończonej sumie przedziałów, ciągłej
na każdym z tych przedziałów i różniczkowalnej z wyjątkiem być może skończonej liczby
punktów, wystarczy obliczyć:

• wartości (lub granice) na końcach przedziałów,

• wartości w punktach stacjonarnych: f

0

(x) = 0 ,

• wartości w punktach nieróżniczkowalności f .

Wartość największa z tej listy jest maksimum globalnym jeśli jest osiągana w punkcie x ∈ D.
Jeżeli wartość największa z tej listy jest granicą funcji na końcu przedziału, to maksimum
globalne nie istnieje, ale wartość ta jest kresem górnym funkcji. Podobnie jest z minimum
globalnym.

5