SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 10, 2010-12-9
Wzory rekurencyjne
Przy obliczaniu niektórych całek wygodnie jest czasem wyprowadzić pewien wzór rekuren-
cyjny.
Przykład: Obliczyć I
n
=
Z
1
(x
2
+ 1)
n
dx
Najpierw obliczymy:
Z
x
(x
2
+ 1)
n
dx =
(
t = x
2
+ 1
dt = 2xdx
)
=
Z
1
2t
n
dt =
−1
2(n − 1)t
n−1
+ C =
−1
2(n − 1)(x
2
+ 1)
n−1
+
C, n = 2, 3, 4, . . .
I
n
=
Z
1
(x
2
+ 1)
n
dx =
Z
1 + x
2
− x
2
(x
2
+ 1)
n
dx =
Z
1
(x
2
+ 1)
n−1
dx −
Z
x
2
(x
2
+ 1)
n
dx
Poniższą całkę obliczamy całkując przez części:
Z
x
2
(x
2
+ 1)
n
dx =
f (x) = x
g
0
(x) =
x
(x
2
+ 1)
n
f
0
(x) = 1 g(x) =
−1
2(n − 1)(x
2
+ 1)
n−1
=
−x
2(n − 1)(x
2
+ 1)
n−1
−
Z
−1
2(n − 1)(x
2
+ 1)
n−1
dx =
−x
2(n − 1)(x
2
+ 1)
n−1
+
1
2(n − 1)
Z
1
(x
2
+ 1)
n−1
dx =
−x
2(n − 1)(x
2
+ 1)
n−1
+
1
2(n − 1)
I
n−1
, n = 2, 3, 4, . . .
stąd:
I
n
= I
n−1
+
x
2(n − 1)(x
2
+ 1)
n−1
−
1
2(n − 1)
I
n−1
=
x
2(n − 1)(x
2
+ 1)
n−1
+
2n − 3
2n − 2
I
n−1
, n =
2, 3, 4, . . .
Obliczając jeszcze:
I
1
=
Z
1
(x
2
+ 1)
1
dx = arc tg x + C
Dostajemy wzór rekurencyjny:
I
1
= arc tg x + C
I
n
=
x
2(n − 1)(x
2
+ 1)
n−1
+
2n − 3
2n − 2
I
n−1
, n = 2, 3, 4, . . .
Korzystając z tego wzoru obliczamy:
Z
1
(x
2
+ 1)
3
dx = I
3
I
2
=
x
2(x
2
+ 1)
+
1
2
I
1
=
x
2(x
2
+ 1)
+
1
2
arc tg x + C
I
3
=
x
4(x
2
+ 1)
2
+
3
4
I
2
=
x
4(x
2
+ 1)
2
+
3x
8(x
2
+ 1)
+
3
8
arc tg x + C
Całkowanie funkcji wymiernej
Funkcja wymierna R(x) jest funkcją w postaci: R(x) =
P (x)
Q(x)
, gdzie P, Q są wielomianami.
Całki z prostych funkcji wymiernych:
Z
1
x − a
dx = {t = x − a} = ln |x − a| + C
Z
1
(x − a)
2
dx = {t = x − a} =
−1
x − a
+ C
1
Z
1
(x − a)
3
dx = {t = x − a} =
−1
2(x − a)
2
+ C
Z
1
x
2
+ 1
dx = arc tg x + C
Z
x
x
2
+ 1
dx =
(
t = x
2
+ 1
dt = 2xdx
)
=
Z
1
2t
dt =
1
2
ln |t| + C =
1
2
ln |x
2
+ 1| + C
Z
x
(x
2
+ 1)
2
dx =
(
t = x
2
+ 1
dt = 2xdx
)
=
Z
1
2t
2
dt =
−1
2t
+ C =
−1
2(x
2
+ 1)
+ C
Z
1
(x
2
+ 1)
2
dx - korzystamy ze wzoru rekurencyjnego
Z
1
x
2
− 6x + 13
dx =
Z
1
(x − 3)
2
+ 4
dx =
Z
1
4
(x − 3)
2
4
+ 1
dx =
1
4
Z
1
x − 3
2
2
+ 1
dx =
{t =
x − 3
2
} =
1
2
arc tg
x − 3
2
+ C
Całki z funkcji wymiernych:
Sposób obliczania całki z funkcji wymiernej na przykładzie całki:
Z
x
4
+ 1
x
3
− x
dx
1. Dzielimy licznik przez mianownik ( o ile st P st Q ) :
x
4
+ 1
x
3
− x
= x +
x
2
+ 1
x
3
− x
Obliczamy teraz całkę
Z
x
2
+ 1
x
3
− x
dx (stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika).
2. Sprawdzamy czy licznik jest pochodną mianownika pomnożona przez stałą:
(x
3
− x)
0
= 3x
2
− 1 6= a(x
2
+ 1)
3. Rozkładamy mianownik na czynniki:
x
3
− x = x(x − 1)(x + 1)
Uwaga: W rozkładzie tym występują tylko wielomiany stopnia pierwszego lub drugiego z
deltą ujemną.
4. Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:
x
2
+ 1
x(x − 1)(x + 1)
=
A
x
+
B
x − 1
+
C
x + 1
Uwaga: Każdemu czynnikowi w rozkładzie odpowiadają ułameki proste:
1. Czynnik stopnia pierwszego jednokrotny: (x − a) −→
A
x − a
2. Czynnik stopnia pierwszego wielokrotny: (x−a)
n
−→
A
1
x − a
+
A
2
(x − a)
2
+· · ·+
A
n
(x − a)
n
3. Czynnik stopnia drugiego jednokrotny: (x
2
+ ax + b) −→
Ax + B
x
2
+ ax + b
4. Czynnik stopnia drugiego wielokrotny: (x
2
+ax+b)
n
−→
A
1
x + B
1
x
2
+ ax + b
+
A
2
x + B
2
(x
2
+ ax + b)
2
+
. . .
A
n
x + B
n
(x
2
+ ax + b)
n
Obliczamy niewiadome współczynniki A, B, C :
x
2
+ 1 = A(x − 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1)
2
Wielomiany stopnia drugiego są sobie równe ∀x ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy są równe w 3
różnych punktach:
x = 0 : 1 = −A
x = 1 : 2 = 2B
x = −1 : 2 = 2C
stąd A = −1 , B = 1 , C = 1 :
x
2
+ 1
x(x − 1)(x + 1)
=
−1
x
+
1
x − 1
+
1
x + 1
5. Obliczamy całki:
Z
x
4
+ 1
x
3
− x
dx =
Z
xdx−
Z
1
x
dx+
Z
1
x − 1
dx+
Z
1
x + 1
dx =
1
2
x
2
−ln |x|+ln |x−1|+ln |x+1|+C
Przykład: Obliczyć całkę:
Z
2x − 3
x
4
+ x
2
dx
Stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika, nie dzielimy więc wielomianów.
Rozkład mianownika na czynniki:
x
4
+ x
2
= x
2
(x
2
+ 1)
Rozkład na ułamki proste:
2x − 3
x
2
(x
2
+ 1)
=
A
x
+
B
x
2
+
Cx + D
x
2
+ 1
2x − 3 = Ax(x
2
+ 1) + B(x
2
+ 1) + (Cx + D)x
2
Porównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach x:
A + C = 0 , B + D = 0 , A = 2 , B = −3
stąd: C = −2 , D = 3
mamy więc:
2x − 3
x
2
(x
2
+ 1)
=
2
x
+
−3
x
2
+
−2x + 3
x
2
+ 1
stąd:
Z
2x − 3
x
4
+ x
2
dx = 2
Z
1
x
dx − 3
Z
1
x
2
dx − 2
Z
x
x
2
+ 1
dx + 3
Z
1
x
2
+ 1
dx =
2 ln |x| +
3
x
− ln |x
2
+ 1| + 3 arc tg x + C
całkę
Z
x
x
2
+ 1
dx obliczyliśmy przez podstawienie: t = x
2
+ 1 , dt = 2xdx,
Z
x
x
2
+ 1
dx =
Z
1
2t
dt =
1
2
ln |t| + C =
1
2
ln |x
2
+ 1| + C
Przykład: Obliczyć całkę:
Z
4x
3
+ 6x + 1
x
4
+ 3x
2
+ x + 2
dx
Licznik jest pochodną mianownika, więcc podstawiamy t = x
4
+ 3x
2
+ x + 2 i dostajemy:
Z
4x
3
+ 6x + 1
x
4
+ 3x
2
+ x + 2
dx =
Z
1
t
dt = ln |t| + C = ln |x
4
+ 3x
2
+ x + 2| + C
Całki z funkcji:
Z
R
x,
n
s
ax + b
cx + d
dx
Całki takie sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej przez podstawienie:
ax + b
cx + d
= t
n
Przykład: Obliczyć całkę
Z
1
√
x +
3
√
x
dx
3
Podstawiamy: x = t
6
, dx = 6t
5
dt
Z
1
√
x +
3
√
x
dx =
Z
6t
5
dt
t
3
+ t
2
= 6
Z
t
3
dt
t + 1
= 6
Z
(t
2
−t+1−
1
t + 1
)dt = 2t
3
−3t
2
−6 ln |t+1|+C =
2
√
x − 3
3
√
x − 6 ln |
6
√
x + 1| + C
Przykład: Obliczyć całkę
Z
s
x − 1
x + 1
dx
Podstawiamy:
x − 1
x + 1
= t
2
, wtedy:
x − 1 = xt
2
+ t
2
x(t
2
− 1) = −1 − t
2
x =
−1 − t
2
t
2
− 1
dx =
−2t(t
2
− 1) + 2t(1 + t
2
)
(t
2
− 1)
2
dt =
4t
(t
2
− 1)
2
dt
Z
s
x − 1
x + 1
dx =
Z
t
4t
(t
2
− 1)
2
dt =
Z
4t
2
(t − 1)
2
(t + 1)
2
dt
Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:
4t
2
(t − 1)
2
(t + 1)
2
=
A
t − 1
+
B
(t − 1)
2
+
C
t + 1
+
D
(t + 1)
2
4t
2
= A(t − 1)(t + 1)
2
+ B(t + 1)
2
+ C(t − 1)
2
(t + 1) + D(t − 1)
2
Przyrównujemy wielomiany stopnia ¬ 3 w 4 różnych punktach:
dla t = 1 : 4 = 4B =⇒ B = 1
dla t = −1 : 4 = 4D =⇒ D = 1
dla t = 0 : 0 = −A + 1 + C + 1 =⇒ C − A = −2
dla t = 2 : 16 = 9A + 9 + 3C + 1 =⇒ 3A + C = 2
stąd:
A = 1 , C = −1
Z
4t
2
(t − 1)
2
(t + 1)
2
dt =
Z
1
t − 1
dt +
Z
1
(t − 1)
2
dt −
Z
1
t + 1
dt +
Z
1
(t + 1)
2
dt = ln |t − 1| −
1
t − 1
− ln |t + 1| −
1
t + 1
+ C
więc:
Z
s
x − 1
x + 1
dx = ln
s
x − 1
x + 1
− 1
−
1
q
x−1
x+1
− 1
− ln
s
x − 1
x + 1
+ 1
−
1
q
x−1
x+1
+ 1
+ C
4