SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 2, 2010-10-14
Granica ciągu
Twierdzenie: Jeżeli ciąg (a
n
)
n∈N
ma granicę to granica ta jest tylko jedna. (Ciąg nie może
mieć dwóch lub więcej różnych granic).
Definicja podciągu: Niech dany będzie ciąg (a
n
)
n∈N
, a
n
∈ R oraz rosnący ciąg (n
k
)
k∈N
liczb naturalnych n
k
∈ N . Wtedy ciąg (b
k
)
k∈N
zdefiniwany następująco: b
k
= a
n
k
nazywamy
podciągiem ciagu (a
n
)
n∈N
.
Uwaga: Podciąg otrzymujemy z ciągu wyjściwego usuwając część wyrazów, pozostać jednak
musi nieskończenie wiele wyrazów.
Przkład: Podciągami ciągu a
n
=
1
n
są : b
k
=
1
k + 5
, c
k
=
1
2k − 1
, d
k
=
1
2k
2
+ 4
.
Twierdzenie: Jeżeli ciąg ma granicę to każdy jego podciąg ma tę samą granicę.
Przkład 1: lim
n→∞
1
2n
2
+ 4
= 0 ponieważ b
n
=
1
2n
2
+ 4
jest podciągiem ciągu a
n
=
1
n
który
jest zbieżny do 0.
Przykład 2: Pokazać, ze ciąg a
n
= (−1)
n
nie ma granicy.
Dowód nie wprost. Gdyby ciąg (a
n
)
n∈N
miał granicę, to kazdy jego podciąg miałby tę samą
granicę. Znajdziemy dwa podciągi mające różne granice.
Podciąg pierwszy: b
k
= a
2k
= (−1)
2k
= 1
lim
k→∞
b
k
= lim
k→∞
1 = 1
Podciąg drugi: c
k
= a
2k+1
= (−1)
2k+1
= −1
lim
k→∞
c
n
= lim
k→∞
−1 = −1
Widzimy, że lim
k→∞
b
k
6= lim
k→∞
c
k
a więc ciąg a
n
nie ma granicy.
Uwaga: Dla każdego ciągu rozbieżnego istnieją dwa podciągi mające różne granice (skoń-
czone lub nieskończone).
Dla dowolnego ciągu zachodzi jeden z poniższych warunków:
1. ciąg ma granicę skończoną
2. ciąg ma granicę +∞
3. ciąg ma granicę −∞
4. ciąg nie ma granicy, czyli dla dowolnie dużych n wyrazy ciągu ’oscylują’ .
Symbol
1
0
Jeżeli a
n
6= 0 , lim
n→∞
a
n
= 0 to granica ciągu lim
n→∞
1
a
n
jest nioznaczona. Aby znaleźć tę granicę
wystarczy sprawdzić znak a
n
:
Jeśli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciagu są dodatnie: (∃n
0
)(∀n > n
0
)
a
n
> 0 to
lim
n→∞
1
a
n
= ∞ (oznaczenie:
1
0
+
= +∞)
Jeśli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciagu są ujemne: (∃n
0
)(∀n > n
0
)
a
n
< 0 to
lim
n→∞
1
a
n
= −∞ (oznaczenie:
1
0
−
= −∞)
Jeśli dla dowolnei dużych n wyrazy ciagu zmieniają znak: (∀n
0
)(∃n > n
0
)
a
n
> 0 oraz
(∀n
0
)(∃n > n
0
)
a
n
< 0 to ciąg (a
n
) nie ma granicy.
Uwaga: W większości twierdzeń dotyczących granic ciągów zamiast warunku dla wszystkich
n : ∀n wystarczy warunek dla dostatecznie dużych n : (∃n
0
)(∀n n
0
)
1
Przykład : Obliczyć lim
n→∞
1
q
1 +
1
n
− 1
lim
n→∞
q
1 +
1
n
− 1 = 0
Mamy więc symbol
1
0
.
Sprawdzamy, czy
q
1 +
1
n
− 1 > 0
q
1 +
1
n
> 1 - nierówność prawdziwa. Stąd:
lim
n→∞
1
q
1 +
1
n
− 1
=
1
0
+
= ∞
Twierdzenie: Dane są dwa ciągi: (a
n
) , (b
n
) mające granice. Jeśli (∀n)a
n
¬ b
n
to lim
n→∞
a
n
¬
lim
n→∞
b
n
Uwaga 1: Granice ciągów mogą być skończone lub nieskończone.
Uwaga 2: W twierdzeniu tym nie można zastąpić nierówności słabej nierównością ostrą,
Dowodzi tego poniższy przykład:
a
n
= 0 , b
n
=
1
n
.
Mamy a
n
= 0 <
1
n
= b
n
Oraz lim
n→∞
a
n
= 0 , lim
n→∞
b
n
= 0 czyli lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
Twierdzenie o trzech ciągach: Dane są trzy ciągi: (a
n
) , (b
n
) , (c
n
) takie, że (∀n)
b
n
¬
a
n
¬ c
n
. Jeżeli lim
n→∞
b
n
= lim
n→∞
c
n
= g ∈ R to ciąg (a
n
) jest zbieżny i ponadto lim
n→∞
a
n
= g
Uwaga 1: Podobne twierdzenie zachodzi dla granic nieskończonych; wystarczą wtedy tylko
dwa ciągi:
Jeśli lim
n→∞
b
n
= ∞ to lim
n→∞
a
n
= ∞
Jeśli lim
n→∞
c
n
= −∞ to lim
n→∞
a
n
= −∞
Uwaga 2: Wystarczy, żeby warunek b
n
¬ a
n
¬ c
n
zachodził dla dostatecznie duzych n .
Przykład: Obliczyć granicę lim
n→∞
(−1)
n
n
Zastosujemy twierdzenie o trzech ciągach. Weźmy b
n
= −
1
n
, c
n
=
1
n
. Wtedy mamy:
−
1
n
¬
(−1)
n
n
¬
1
n
oraz lim
n→∞
−
1
n
= 0 = lim
n→∞
1
n
. Z twierdzenia o trzch ciagach wynika więc, że lim
n→∞
(−1)
n
n
= 0
Twierdzenie: Dane są dwa ciągi: (a
n
) , (b
n
) . Jeżeli ciąg (b
n
) jest ograniczony, a lim
n→∞
a
n
= 0
to lim
n→∞
a
n
b
n
= 0
Przykład: Obliczyć granicę lim
n→∞
n
√
a dla a > 0
Mamy:
1 ¬
n
√
a ¬
n
√
n dla n a stąd: lim
n→∞
n
√
a = 1
Przykład 1: Obliczyć lim
n→∞
(
√
n
2
+ 4n − 5n)
Jest to granica typu ∞ − ∞. Przekształcamy a
n
lim
n→∞
(
√
n
2
+ 4n − 5n) = lim
n→∞
n(
q
1 +
4
n
− 5) = ∞ · (−4) = −∞
Przykład 2: Obliczyć lim
n→∞
(
√
n
2
+ 4n − n)
Jest to granica typu ∞ − ∞. Przekszatłcamy a
n
2
lim
n→∞
(
√
n
2
+ 4n − n) = lim
n→∞
(
√
n
2
+ 4n − n) · (
√
n
2
+ 4n + n)
√
n
2
+ 4n + n
= lim
n→∞
n
2
+ 4n − n
2
√
n
2
+ 4n + n
=
lim
n→∞
4n
n(
q
1 +
4
n
+ 1)
= lim
n→∞
4
q
1 +
4
n
+ 1
= 2
Przykład 3: Obliczyć lim
n→∞
2
n
n
3
+ 4
n
n
3
n
+ 2
2n
n
Jest to granica typu
∞
∞
. Przekszatłcamy a
n
lim
n→∞
2
n
n
3
+ 4
n
n
3
n
+ 2
2n
n
= lim
n→∞
4
n
n(
n
3
2
n
+ 1)
4
n
n
1
n(
4
3
)
n
+ 1
= lim
n→∞
n
3
2
n
+ 1
1
n(
4
3
)
n
+ 1
=
0 + 1
0 + 1
= 1
Uwaga : Częstym błędem przy obliczaniu granic jest przechodzenie do granicy z wybranymi
n w wyrażeniu a
n
. Ryzykujemy wtedy zgubienie symbolu nieoznaczonego i w konsekwencji
błędny wynik. Aby tego uniknąć należy przechodzić do granicy ze wszystkimi n jednocześnie.
Przykład 1: Obliczyć lim
n→∞
1
n
· n
Obliczanie błędne: lim
n→∞
1
n
· n = lim
n→∞
0 · n = lim
n→∞
0 = 0
Błąd polega na przejściu do granicy tylko z wyrażeniem
1
n
pozostawiając n bez zmian.
Obliczanie poprawne:
lim
n→∞
1
n
· n
Dzielimy wyrażenie na dwie części
lim
n→∞
1
n
= 0
lim
n→∞
n = ∞
Teraz łączymy te części. Tym razem przechodzimy do granicy jednocześnie ze wszystkimi n:
lim
n→∞
1
n
·n = 0·∞ - symbol nieoznaczony: nie możemy liczyć granicy tym sposobem. Obliczymy
ją inaczej:
lim
n→∞
1
n
· n = lim
n→∞
1 = 1
Przykład 2: Obliczyć lim
n→∞
1 +
1
n
n
Obliczanie błędne: lim
n→∞
1 +
1
n
n
= lim
n→∞
1
n
= lim
n→∞
1 = 1
Błąd polega na przejściu do granicy tylko z wyrażeniem
1
n
pozostawiając n bez zmian.
Obliczanie poprawne:
Dzielimy wyrażenie na dwie części
lim
n→∞
(1 +
1
n
) = 1
lim
n→∞
n = ∞
lim
n→∞
1 +
1
n
n
= 1
∞
- symbol nieoznaczony: nie możemy liczyć granicy tym sposobem. Gra-
nica ta zostanie omówiona w dalszej częsci wykładu.
Twierdzenie: Jeżeli ciąg (a
n
) jest zbieżny to jest ograniczony.
Twierdzenie: Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę skończoną.
Uwaga 1: Istotnym założeniem w tym twierdzeniu jest to, że wyrazy ciągu i granica są
liczbami rzeczywistymi. Dla liczb wymiernych to twierdzenie nie zachodzi.
Uwaga 2: Jeżeli ciąg jest monotoniczny i nieograniczony to ma granicę nieskończoną: ro-
snący +∞ , malejący −∞
3
Ciąg a
n
= (1 +
1
n
)
n
Ciąg a
n
= (1 +
1
n
)
n
jest rosnący i ograniczony, ma więc granicę.
Dowód
a
n
= (1 +
1
n
)
n
= 1 +
n
1
1
n
+
n
2
!
1
n
2
+
n
3
!
1
n
3
+ · · · +
n
n
!
1
n
n
= 1 +
n
1
·
1
n
+
n(n − 1)
2!
·
1
n
2
+
n(n − 1)(n − 2)
3!
·
1
n
3
+ · · · +
n(n − 1)(n − 2) . . . 1
n!
·
1
n
n
= 2 +
1
2!
1 −
1
n
+
1
3!
1 −
1
n
·
1 −
2
n
+ · · · +
1
n!
1 −
1
n
·
1 −
2
n
· · ·
1 −
n − 1
n
Widać, że każde wyrażenie w nawiasach jest dodatnie i mniejsze od 1. Stąd
a
n
< 2 +
1
2!
+
1
3!
+ · · · +
1
n!
= 2 +
1
2
+
1
2 · 3
+ · · · +
1
2 · 3 · · · n
< 2 +
1
2
+
1
2
2
+ · · · +
1
2
n−1
<
2 +
1
2
+
1
2
2
+ · · · = 2 +
1
2
·
1
1 −
1
2
= 3
Mamy więc dowód, ze ciąg (a
n
) jest ograniczony od góry.
Widać, że ciąg jest rosnący. Jeśli zmienimy n na n + 1 to:
1. Dojdzie jeden wyraz dodatni:
n+1
n+1
1
(n + 1)
n+1
2. Każdy składnik sumy zwiększy się, np:
1
3!
1 −
1
n + 1
·
1 −
2
n + 1
>
1
3!
1 −
1
n
·
1 −
2
n
Granicę tego ciągu oznaczamy e
lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n
= e
Liczba e jest liczbą niewymierną. Nawywamy ją liczbą Eulera. Jej przybliżenie jest równe:
e = 2.71828182846 . . .
Uwaga 1: Liczba e często stosujemy jako podstawę funkcji wykładniczej e
x
oraz logarytmu
log
e
x . Logarytm przy podstawie e nazwyamy logarytmem naturalnym i oznaczamy:
ln x = log
e
x
Uwaga 2: Symbol log x oznacza zwykle logarytm przy podstawie 10 : log x = log
10
x .
Czasami jednak, może oznaczać logarytm naturalny.
Można pokazać, że ciąg b
n
= (1 +
1
n
)
n+1
jest malejący. Jego granica jest równa:
lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n+1
= lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n
· (1 +
1
n
) = e · 1 = e
Wynikają stąd następujące ważne nierówności:
a
n
< e < b
n
dla każdego n ∈ N
(1 +
1
n
)
n
< e < (1 +
1
n
)
n+1
Logarytmując nierówności:
n ln
1 +
1
n
< 1 < (n + 1) ln
1 +
1
n
Czyli
1
n + 1
< ln
1 +
1
n
<
1
n
Twierdzenie: Dany jest ciąg (a
n
) taki, że a
n
> −1 , a
n
6= 0 oraz lim
n→∞
a
n
= 0 Wtedy istnieje
granica:
lim
n→∞
1 + a
n
1
a
n
= e
4
Uwaga: Z twierdzenia tego korzystamy często obliczając granice typu 1
∞
Przykład: Obliczyć lim
n→∞
n
2
+ 4
n
2
+ 2
!
n
2
−1
Jest to granica typu 1
∞
. Przekształcamy wyraz ciągu taj, aby skorzystać z twierdzenia:
n
2
+ 4
n
2
+ 2
!
n
2
−1
=
1 +
2
n
2
+ 2
n
2
−1
Stosujemy twierdzenie biorąc a
n
=
2
n
2
+ 2
Widać, że lim
n→∞
2
n
2
+ 2
= 0
Przkształcamy wykładnik, aby uzyskać w nim
1
a
n
=
n
2
+ 2
2
1 +
2
n
2
+ 2
n
2
−1
=
1+
2
n
2
+ 2
n
2
+ 2
2
·
2
n
2
+ 2
· (n
2
− 1)
=
1 +
2
n
2
+ 2
n
2
+ 2
2
2
n
2
+ 2
· (n
2
− 1)
Obliczmy granice:
lim
n→∞
1 +
2
n
2
+ 2
n
2
+ 2
2
= e : korzystamy z twierdzenia
lim
n→∞
2
n
2
+ 2
· (n
2
− 1) = lim
n→∞
2n
2
− 2
n
2
+ 2
= lim
n→∞
n
2
(2 −
2
n
2
)
n
2
(1 +
2
n
2
)
= 2
Stąd:
lim
n→∞
n
2
+ 4
n
2
+ 2
!
n
2
−1
= e
2
5
Elementy topologii
Własności topologiczne zbiorów można analizować korzystając z pojęcia granicy ciągu lub z
otoczeń punktu. Są to podejścia równoważne.
Poniżej zakładamy, że zbiory A, B ⊂ R
Definicja: Niech x ∈ R będzie dowolnym punktem. Wtedy otoczeniem punktu x nazywamy
przedział O
ε
= (x − ε , x + ε) dla ε > 0
Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie O
ε
punktu x zawarte w A : O
ε
⊂ A
Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem zewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie O
ε
punktu x rozłączne z A : O
ε
∩ A = ∅
Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x nie jest ani punktem wewnętrznym zbioru A , ani punktem zewnętrznym zbioru A.
Uwaga: Punkt x ∈ R jest punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy każde
otoczenie punktu x zawiera punkty zbioru A oraz punkty nie należące do A.
Definicja: Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru
A. Wnętrzne A oznaczamy int A (interior).
Definicja: Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A.
Brzeg A oznaczamy ∂A .
Definicja: Domknięciem zbioru A nazywamy A = A ∪ ∂A .
Uwaga: Każdy zbiór A dzieli zbiór R na trzy rozłączne części: int A , ∂A i zbiór punktów
zewnętrznych.
Przykład 1: Dla A =< 0, 1 >
int A = (0, 1) , ∂A = {0, 1} , A =< 0, 1 >
Przykład 2: Dla A =< 0, 1)
int A = (0, 1) , ∂A = {0, 1} , A =< 0, 1 >
Przykład 3: Dla A =< 0, ∞)
int A = (0, ∞) , ∂A = {0} , A =< 0, ∞ >
Przykład 4: Dla A - zbiór liczb wymiernych
int A = ∅ , ∂A = R , A = R
Przykład 4: Dla A = {2, 3}
int A = ∅ , ∂A = {2, 3} , A = {2, 3}
Pewne własności: ( Oznaczamy: A
0
= R \ A)
int A ⊂ A ⊂
A
(int A)
0
= A
0
∂A = A \ int A
∂A = A ∩ A
0
Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A = int A
Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy A = A
Przykład 1: Poniższe zbiory są otwarte:
A = (0, 1) , A = R , A = ∅ , A = (1, 3) ∪ (5, 6) , A = (0, ∞)
Przykład 2: Poniższe zbiory są domknięte:
6
A =< 0, 1 > , A = R , A = ∅ , A =< 1, 3 > ∪ < 5, 6 > , A = N , A =< 0, ∞)
Przykład 3: Poniższe zbiory nie są otwarte ani domknięte:
A =< 0, 1) , A = (1, 3) ∪ < 5, 6 > , A = Q
Pewne własności:
Jeśli zbiory O
α
są otwarte to zbiór
S
α
O
α
jest otwarty
Jeśli zbiory D
α
są domknięte to zbiór
T
α
D
α
jest domknięty
Jeśli zbiory O
1
, O
2
są otwarte to zbiór O
1
∩ O
2
jest otwarty
Jeśli zbiory D
1
, D
2
są domknięte to zbiór D
1
∪ D
2
jest domknięty
Uwaga: Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest otwarta. Iloczyn dwóch zbiorów otwar-
tych jest otwarty. Wynika stąd, że iloczyn skończonej ilości zbiorów otwartych jest otwarty.
Dla nieskończonej ilości zbiorów otwrtych tak już być nie musi, o czym świadczy poniższy
przykład:
Przykład: O
n
= (−
1
n
,
1
n
) - zbiory otwarte. Zbiór
T
n∈N
O
n
= {0} nie jest otwarty
Definicja: Liczbę x ∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x ∈ A \ {x}
Definicja: Liczbę x ∈ A nazywamy punktem izolowanym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x /
∈ A \ {x}
Przykład 1: A = (0, 1)
Zbiór punktów skupienia A - < 0, 1 > ; zbiór punktów izolowanych A - ∅
Przykład 2: A = {
1
n
: n ∈ N}
Zbiór punktów skupienia A - {0} ; zbiór punktów izolowanych A - {
1
n
: n ∈ N}
Przykład 3: A = Q
Zbiór punktów skupienia A - R ; zbiór punktów izolowanych A - ∅
Przykład własności topologicznych opisywanych za pomocą granic ciągów:
Twierdzenie: x ∈ R jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg
x
n
n∈N
, x
n
∈ A , x
n
6= x taki, że lim
n→∞
x
n
= x
Granica funkcji
Definicja: Niech dana będzie funkcja f : D → R , D ⊂ R oraz punkt skupienia a zbioru D.
Mówimy, że b ∈ R jest granicą funkcji f w punkcie a (oznaczenie: lim
x→a
= b ) wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdego ciągu (x
n
) spełniającego warunki:
(∀n)x
n
∈ D
(∀n)x
n
6= a
lim
n→∞
x
n
= a
zachodzi lim
n→∞
f (x
n
) = b
Uwaga 1: Równoważną definicję granicy można sformułować używając otoczeń.
Uwaga 2: Warunek a jest punktem skupienia zbioru D oznacza, że istnieje przynajmniej
jeden ciąg x
n
spełniający żądane warunki.
Uwaga 3: Analogicznie definiujemy granicę dla a = ±∞ oraz b = ±∞ . Dla a = +∞
należy jedynie zastąpić warunek a jest punktem skupienia zbioru D warunkiem D nie jest
ograniczony od góry. Podobnie dla a = −∞.
7