Kinematyka lekcja ze wspomaganiem komputerowym

Kinematyka – lekcja ze

wspomaganiem komputerowym

P R A C A D Y P L O M O W A I N Y N I E R S K A

Piotr Majewski

Opiekun:

hab.

in .

W odzimierz

Salejda,

prof.

nadzw.

PWr

Wroc aw 2007

SPIS TRE CI

Wprowadzenie ................................................................................................................3

1.1.

Cel i uk ad pracy .....................................................................................................3

Wykorzystane technologie ..............................................................................................4

2.1.

J zyk HTML...........................................................................................................4

2.1.1.

Czym jest HTML ?..........................................................................................4

2.1.2.

Historia ...........................................................................................................4

2.1.3.

Przysz

HTML ...........................................................................................5

2.1.4.

Wygl d pliku HTML.......................................................................................5

2.2.

Kaskadowe arkusze stylów CSS..............................................................................6

2.2.1.

Czym jest CSS ?..............................................................................................6

2.2.2.

G ówne zalety CSS..........................................................................................7

2.3.

Macromedia Flash...................................................................................................9

2.3.1.

Opis, historia ...................................................................................................9

Budowa witryny ...........................................................................................................10

3.1.

Menu g ówne ........................................................................................................10

3.2.

Nawigacja .............................................................................................................11

3.3.

Rozdzia y i podrozdzia y strony ............................................................................12

Zawarto witryny ........................................................................................................15

4.1.

Wiadomo ci podstawowe......................................................................................15

4.1.1.

Wektory i skalary ..........................................................................................15

4.1.2.

Dzia ania na wektorach .................................................................................16

4.1.3.

Opis animacji ................................................................................................20

4.1.4.

Instrukcje do animacji ...................................................................................24

4.2.

Ruch jednowymiarowy .........................................................................................26

4.2.1.

Pr dko ........................................................................................................26

4.2.2.

Przyspieszenie ...............................................................................................28

4.2.3.

Ruch jednostajny...........................................................................................29

4.2.4.

Ruch jednostajnie zmienny............................................................................30

4.2.5.

Ruch po okr gu .............................................................................................32

4.2.6.

Drgania harmoniczne.....................................................................................36

4.2.7.

Opis animacji ................................................................................................36

4.2.8.

Instrukcje do animacji ...................................................................................37

4.3.

Rzuty ....................................................................................................................39

4.3.1.

Spadek swobodny..........................................................................................39

4.3.2.

Rzut pionowy ................................................................................................40

4.3.3.

Rzut poziomy ................................................................................................44

4.3.4.

Rzut uko ny ..................................................................................................46

4.3.5.

Opis animacji ................................................................................................49

4.3.6.

Instrukcje do animacji ...................................................................................53

4.4.

Dodatki .................................................................................................................58

Podsumowanie..............................................................................................................59

Literatura i odno niki do stron ......................................................................................60

Spis rysunków ..............................................................................................................61

1. Wprowadzenie

1.1. Cel i uk ad pracy

ównym celem pracy dyplomowej by o opracowanie lekcji ze wspomaganiem

komputerowym z dzia u fizyki zajmuj cej si ruchem kinematyki. Zosta a ona
wykonana w formie witryny internetowej, na której znalaz y si animacje typowych

zjawisk fizycznych z zakresu kinematyki. Stron stworzono w darmowym edytorze
WWW ezHTML w j zyku HTML z wykorzystaniem arkuszy stylów CSS. Animacje

wykonano w technologii Flash w programie Macromedia Flash 8.

Opracowana lekcja umo liwi czytelnikom atwiejsze zrozumienie zjawisk

kinematycznych, a przygotowane animacje pozwol na samodzielne przeprowadzanie

eksperymentów i jeszcze lepsze zrozumienie omawianego tematu.

Praca zosta a podzielona na 4 g ówne dzia y. Pierwszy to niniejsze

wprowadzenie, drugi zawiera krótki opis technologii, z których skorzystano

przygotowuj c witryn internetow . W trzecim rozdziale opisano budow i wygl d

strony oraz przedstawiono jak si po niej porusza . Nast pny dzia to szczegó owy
opis zawarto ci witryny, od wiadomo ci wst pnych poprzez ruch jednowymiarowy,

rzuty do dodatków. Na ko cu pracy zamieszczono literatur wraz z odno nikami do

stron internetowych, które by y pomocne przy pisaniu pracy oraz spis wszystkich
rysunków.

Rozdzia

2. Wykorzystane technologie

2.1.

zyk HTML

2.1.1. Czym jest HTML ?

HTML to j zyk hipertekstowego znakowania (Hypertext Markup Language),

który okre la ustanowion przez konsorcjum World Wide Web Consortium (W3C)
specyfikacj definiuj

posta dokumentów prezentowanych w Internecie.

HTML pozwala:

Publikowa dokumenty zawieraj ce nag ówki, tekst, tabele, listy, zdj cia,

formularze itp.

Pobiera za po rednictwem po cze hipertekstowych informacje z Internetu
(mówi c w skrócie polega to na klikaniu po cze , co uaktywnia pobieranie

danych).

Projektowa formularze pozwalaj ce na korzystanie ze zdalnych us ug, takich jak
na przyk ad: wyszukiwanie informacji, dokonywanie rezerwacji oraz zamawianie

produktów.

Umieszcza w dokumentach arkusze kalkulacyjne, klipy wideo oraz inne aplikacje

[1].

2.1.2. Historia

Twórc j zyka HTML jest Tim Berners-Lee. J zyk pomy lany jako

narz dzie u atwiaj ce komunikowanie si naukowców w sieci szybko zyska ogromn

popularno . Przyniós on w latach 90-tych szalony rozwój Internetu. Wraz z
rozwojem sieci globalnej zmienia si te sam j zyk. W 1995 roku zatwierdzono

specyfikacj HTML 2, natomiast specyfikacja HTML 3, tak e z tego roku, nie

doczeka a si rekomendacji. W 1996 roku powsta a specyfikacja HTML 3.2, która
uzyska a rekomendacj w 1997 roku [1]. Aby j stworzy , do W3C do czy o kilka

firm programistycznych, w tym: IBM, Microsoft, Netscape Communications

Corporation, Novell, SoftQuad, Spyglass oraz Sun Microsystems. Nowo ci
wprowadzone w j zyku HTML 3.2 obejmowa y przede wszystkim: tabele, aplety oraz

otaczanie obrazów tekstem. J zyk ten by w pe ni zgodny z wcze niejszym

standardem HTML 2.0 [2]

W kolejnych specyfikacjach wprowadzano zmiany, których zadaniem by o

poprawi przeno no dokumentów HTML mi dzy ró nymi platformami i
przegl darkami. Zdano sobie bowiem spraw , e jedynie pe na kompatybilno

zagwarantuje prawid owy rozwój Internetu, a jej brak b dzie oznacza lawin

formatów, która utrudni lub wr cz uniemo liwi powszechne wykorzystanie sieci.

Rozdzia

Wprowadzane modyfikacje rozszerza y potencja j zyka nie naruszaj c jego
dotychczasowych mo liwo ci. Chodzi o o to, aby ju utworzone strony by y nadal

dost pne. Inne wa ne kwestie, które zadecydowa y o kierunku rozwoju to potrzeba

umo liwienia korzystania z informacji sieciowych za pomoc ró nych urz dze , takich
jak telefony komórkowe czy komputerowe urz dzenia s

ce do komunikacji

osowej, oraz uniezale nienia si od konfiguracji sprz towej (a wi c na przyk ad od

ustawie takich jak rozdzielczo czy g boko barw) i parametrów czy sieciowych.
Wersja 4 (z 1998 r.) rozszerzy a mo liwo ci j zyka HTML o arkusze stylów, skrypty,

ramki i osadzanie obiektów. Poprawiono obs ug tekstu, rozbudowano opcje tabel i

formularzy wprowadzaj c u atwienia dla osób niepe nosprawnych. W wersji 4.01,
wprowadzonej w 1999 roku, poprawiono b dy i wprowadzono drobne zmiany [1].

2.1.3. Przysz

HTML

Korzystanie z Internetu nie jest ju ograniczone mo liwo ciami

sprz towymi i oprogramowaniem komputera. atwy dost p do Internetu za pomoc

WebTV zach ca do sp dzania wielu godzin przed ekranem telewizora. Programy

zarz dzaj ce informacj osobist (Personal Information Managers) i palmtopy
umo liwiaj u ytkowanie Internetu w czasie podró y. Odpowiedni sprz t

komputerowy umo liwia tak e korzystanie z sieci osobom niepe nosprawnym. W

nowym tysi cleciu Internet sta si efektywnym, powszechnie dost pnym sposobem
komunikacji i edukacji.

Wiele nowszych technologii, opracowanych dla urz dze przeno nych, nie jest

w stanie w pe ni wspó pracowa ze starszymi specyfikacjami j zyka HTML.
Urz dzenia te nie maj takich mocy przetwarzania danych jak komputery

stacjonarne, wi c s znacznie mniej pob

liwe dla nieefektywnego kodu programu.

Twórcy specyfikacji HTML starali si przystosowa do post puj cych zmian, lecz

ograniczenia, jakim HTML podlega, stawa y si coraz bardziej widoczne. Poniewa

obecna specyfikacja HTML wykracza ju daleko poza jej mo liwo ci, prawdopodobnie
nie powstanie ju w przysz

ci specyfikacja HTML 5.0.

Rozwój Internetu domaga si j zyka znaczników bardziej elastycznego ni

HTML. Zmiany pod aj w kierunku XML (skrót od Extensible Markup Languge
elastyczny j zyk znaczników), sk adnika SGML, umo liwiaj cego wykorzystanie

indywidualnie definiowanych znaczników. I w tym momencie na scen wkracza

XHTML 1.1.

XHTML 1.0, napisany w XML, jest standardem stworzonym z my o

przysz

ci. Technicznie j zyki XHTML 1.0 i HTML 4.01 s bardzo podobne do siebie.

Znaczniki i atrybuty w nich u yte s praktycznie takie same, wi c przystosowanie si
do specyfikacji XHTML 1.0 wymaga spe nienia jedynie kilku prostych zasad [2].

2.1.4. Wygl d pliku HTML

Strony, stworzone w HTML-u to zwyk e pliki tekstowe (ASCII), co

oznacza, e nie zawieraj one adnych informacji w

ciwych dla konkretnej

platformy systemowej czy programowej. Mog by odczytywane praktycznie przez

ka dy edytor tekstów. Plik HTML zawiera nast puj ce elementy:

ciwy tekst strony,

znaczniki HTML, okre laj ce elementy strony, jej struktur , sposoby

formatowania i hiper cza do innych stron lub informacji innego rodzaju
[2].

Rozszerzenia dokumenty HTML maja posta

.htm

lub

.html

i mog by

zapisane w dowolnym edytorze tekstowym, np. Notatnik-u czy Wordpad-zie.

Stron przygotowa em w darmowym polskim edytorze ezHTML.

Rys. 1. 1. Wygl d strony w edytorze HTML.

2.2. Kaskadowe arkusze stylów CSS

2.2.1. Czym jest CSS ?

Kaskadowe arkusze stylów CSS (Cascading Style Sheets) s

definiowania sposobu wy wietlania elementów HTML. Pozwalaj okre la rozmiar i

kolor czcionki, definiowa odst py i rozmieszczenie tekstu oraz obrazów na stronie,
zaawansowanego pozycjonowania i wielu innych rzeczy. Znaczniki HTML zosta y

pierwotnie zaprojektowane jako narz dzia definiowania zawarto ci dokumentu. I tak

znacznik nag ówka okre la : To jest nag ówek , znacznik akapitu stwierdza : To jest
akapit tekstu , znacznik tabeli informowa : To jest tabela , a o uk adzie strony

decydowa a przegl darka. Wraz z rozbudow mo liwo ci przegl darek zacz y

pojawia si coraz to nowe znaczniki i atrybuty.
Tworzenie stron WWW, których zawarto by aby dobrze odseparowana od uk adu

dokumentu, stawa o si coraz trudniejsze. Z tego w

nie powodu konsorcjum W3C

powo o do ycia kaskadowe arkusze stylów wprowadzono je do specyfikacji

HTML 4.0 [1]. Obecnie s one standardem i nieskorzystanie z nich jest du ym
minusem dla ka dego profesjonalnego webmastera.

Arkusze stylów daj wiele mo liwo ci stosowania stylów. Definicja stylu mo e

pojawi si w konkretnym elemencie HTML wówczas mówimy o stylu wpisanym , w

obr bie elementu head strony HTML (to znaczy mi dzy znacznikami <head>

</head>) takie arkusze stylów nazywa si osadzonymi, lub mo e zosta pobrana z
pliku zewn trznego jest to wtedy zewn trzny lub czony arkusz stylów. Wszystkie

typy arkuszy CSS wpisane, osadzone i zewn trzne mo na stosowa jednocze nie.

czone arkusze stylów s przechowywane w zewn trznym pliku o rozszerzeniu

nazwy .css. Sk adnia takiego arkusza jest podobna jak w przypadku arkusza

osadzonego, a sformatowanie strony wymaga jedynie umieszczenia po czenia do

pliku zawieraj cego definicj stylu.

Posta arkusza stylu CSS zale y od typu arkusza. I tak w przypadku stylu

wpisanego a wi c umieszczonego w konkretnym znaczniku ma ona tak oto
posta :

<znacznik style=

ciwo : warto

Ogólna posta osadzonego arkusza CSS jest nast puj ca:

<!--
selektor {w

ciwo : warto ;}

-->

</style>

Zawarta w obr bie elementu style definicja nast puj

sk adni :

selektor{w

ciwo : warto }

Selektorem nazywa si znacznik czy te element, który chcesz zdefiniowa ,

ciwo to jego atrybut, który zmieniasz przypisuj c mu now warto [1].

2.2.2.

ówne zalety CSS

Podstawowe zalety stylów CSS to mo liwo szybkiej i prostej

modyfikacji stylu oraz b yskawiczna wr cz aktualizacja postaci dokumentu w

przypadku takich zmian. Inne korzy ci p yn ce ze stosowania CSS:

Kilka typowych korzy ci CSS:

•

kontrola uk adu graficznego wielu dokumentów z poziomu jednego arkusza
stylów,

•

bardziej precyzyjna kontrola uk adu graficznego,

•

stosowanie ró nych uk adów graficznych zale nie od typu medium (ekran,
drukarka, itd.),

•

niezliczone zaawansowane i wyszukane techniki [3].

Zdecydowano si na stosowanie stylów w przygotowanej przeze mnie stronie,

gdy pozwoli o to na ujednolicenie wszystkich dokumentów, atwiejsz modyfikacje
wygl du strony poprzez zmienianie tylko arkusza stylów a nie oddzielnie ka dego

dokumentu html. Dla pokazania jak wiele daj style CSS i dlaczego warto je stosowa

zamieszczono dwa zrzuty ekranu tej samej strony. W pierwszym przypadku widzimy
stron bez u ytych stylów CSS a w drugim z u ytymi stylami:

Rys. 1. 2. Witryna bez u ycia stylów.

Rys. 1. 3. Strona, na której u yto arkusza stylów CSS.

2.3. Macromedia Flash

2.3.1. Opis, historia

W 1996 roku ameryka ska firma FutureWave wprowadzi a na rynek now

aplikacj Future Splash Animator. Aplikacja wykorzystywa a grafik wektorow do

prezentacji danych w sieci. Narz dzie do projektowania witryn internetowych, które

pozwala o rozwija proste animacje cechowa a dobra jako generowanych obrazów
przy ma ym rozmiarze plików zawieraj cych te obrazy. Od tego si wszystko zacz o.

Firmy zajmuj ce si oprogramowaniem zacz y prze ciga si w coraz to
doskonalszych programach do tworzenia animacji FLASH. Firma MACROMEDIA

szybko zrozumia a, e jest to dobry produkt, który ma przed sob przysz

. Kupi a

FutureWave i sta a si w

cicielem programu Future Splash Animator. Na pocz tek

Macromedia zmieni a nazw z Future Splash Animator na Macromedia FLASH. O

sukcesie FLASHa zdecydowa y jego mo liwo ci w dziedzinie projektowania grafiki

ytkowej i doskonale skonstruowany interaktywny samouczek do czony do

programu, który pozwala w szybki i prosty sposób opanowa podstawy obs ugi

rodowiska programistycznego oraz szybko opanowa tajniki j zyka ActionScript

nieroz cznie zwi zanego z technologi FLASH [4].

3. Budowa witryny

3.1. Menu g ówne

Menu g ówne zosta o umieszczone po lewej stronie witryny. Jego wygl d w

formie zwini tej mo emy zobaczy na rysunku 1.4. Sk ada si z 4 g ównych
rozdzia ów: Wiadomo ci wst pne, ruch jednowymiarowy, rzuty i dodatki oraz 16

podrozdzia ów.

Rys. 1. 4 Menu g ówne strony.

Po klikni ciu, na który z rozdzia ów menu rozwinie si i b dziemy mogli wybra

interesuj cy nas temat (Rys.1.5.) Wówczas po klikni ciu na wybrany podrozdzia z

prawej strony witryny pojawi si wybrany temat. Ponowne klikni cie na rozwini tym
rozdziale spowoduje zwini cie si go do pocz tkowej formy.

Rozdzia

Rys. 1. 5. Rozwini te menu g ówne.

3.2. Nawigacja

Na przygotowanej witrynie mo na znale prosty system nawigacyjny, który

pozwala u ytkownikowi swobodnie porusza si po kolejnych dzia ach witryny.

Nawigacja umieszczona jest na ko cu ka dej strony witryny w formie dwóch strza ek

(Rys.1.6).

Rys. 1. 6 Prosty system nawigacyjny.

Po najechaniu myszk , na któr ze strza ek pojawi si opis dok d dana

strza ka prowadzi. Dla przyk adu we my temat z drugiego rozdzia u zatytu owany

Pr dko

. Na ko cu znajduj si dwie strza ki i po najechaniu na strza

zwrócona

w lewo zostanie ona pod wietlona na zielono i zobaczymy opis taki jak przedstawia
rysunek 1.7:

Rys. 1. 7 Lewa strza ka nawigacyjna.

Klikniecie na pod wietlon strza

spowoduje przeniesienie u ytkownika na

poprzednia stron , na której opisany zosta temat dzia

na wektorach. Je li strza ki

przenosz nas pomi dzy g ównymi rozdzia ami, to jest to uwzgl dnione i zaznaczone

w takiej formie jak na rysunku 1.7, tzn. na pocz tku zamieszczona jest informacja o

tym czy przeniesieni zostaniemy na poprzedni czy na nast pn stron , potem
wy wietlany jest temat g ównego rozdzia u a po dwukropku temat podrozdzia u.

Natomiast je li przenoszeni jeste my w obr bie jednego rozdzia u, to opis pod

strza

ma posta pokazan na rysunku 1.8.

Rys. 1. 8 Prawa strza ka nawigacyjna.

3.3. Rozdzia y i podrozdzia y strony

Opracowana witryna, jak ju wspomniano, posiada 4 g ówne rozdzia y oraz 16

podrozdzia ów. Postaram si je teraz krótko scharakteryzowa .

Rozdzia 1: Wiadomo ci podstawowe

Znajduj si tutaj wiadomo ci podstawowe zwi zane z wektorami i dzia aniami

na wektorach. W pierwszym podrozdziale zosta y wyja nione poj cia skalara,

wektora, d ugo ci wektora, wektora zerowego oraz zosta y opisane 4 g ówne
cechy wektorów: kierunek, zwrot, warto i punkt przy

enia. Dodatkowo

znajduje si tutaj animacja rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych . W drugim

podrozdziale opisane zosta y dzia ania na wektorach: dodawanie, odejmowanie,
mno enie przez liczb , mno enie skalarne i wektorowe oraz iloczyn mieszany.

Do czone animacje:

Dodawanie wektorów:

•

o zgodnych zwrotach,

•

o przeciwnych zwrotach,

•

metod trójk ta,

•

metod równoleg oboku,

Odejmowanie wektorów:

•

metod trójk ta,

Iloczyn:

•

skalarny,

•

wektorowy,

•

mieszany.

Rozdzia 2: Ruch jednowymiarowy

W tym dziale znajduje si 6 podrozdzia ów. Dwa pierwsze opisuj poj cia

pr dko ci i przyspieszenia a nast pne konkretne ruchy: ruch jednostajny,
jednostajnie zmienny przyspieszony i opó niony, ruch po okr gu oraz drgania

harmoniczne.

W podrozdzia ach zwi zanych z ruchem jednostajnym i jednostajnie zmiennym

opisano czym s te ruchy, kiedy mamy z nimi do czynienia oraz przedstawiono

wykresy pr dko ci, przyspieszenia i drogi.

W podrozdziale zwi zanym z ruchem po okr gu przedstawione zosta y

równania opisuj ce ten ruch, poj cia pr dko ci linowe, k towej oraz przyspieszenia

liniowego i k towego. Na ko cu znajduje si tabelka, w której zosta y zestawione
wielko ci liniowe i k towe charakteryzuj ce ruch po okr gu. Ostatni podrozdzia

po wi cony zosta drganiom harmonicznym. Zawiera równanie opisuj ce ruch

drgaj cy, informacje oraz wzory na temat pr dko ci i przyspieszenia chwilowego
(rzeczywistego).

Do czone animacje to:

Ruch po okr gu.

Drgania harmoniczne.

Rozdzia 3: Rzuty

W rozdziale 3 zaj to si rzutami cia a. Na pocz tku przedstawiono spadek

swobodny, pó niej rzut pionowy zarówno w gór jak i w dó , rzut poziomy i rzut
uko ny. Wi kszo podrozdzia ów zawiera informacje dotycz ce danego rzutu, wzory

na parametryczne równania toru, pr dko i czas trwania rzutu. Podrozdzia y na

temat rzutu poziomego oraz uko nego zawieraj dodatkowo informacje i wzory na
temat zasi g rzutu, toru ruchu oraz wyst puj cego przyspieszenia.

Do czone animacje:

Spadek swobodny,

Rzut pionowy:

•

w gór ,

•

w dó .

Rzut poziomy,

Rzut uko ny.

Rozdzia 4: Dodatki

W ostatnim rozdziale umieszczono legend , w której zawarto spis u ytych

symboli i oznacze na stronie internetowej, spis literatury, informacje o autorze oraz
dodatek a zawieraj cy jednostki uk adu SI.

4. Zawarto witryny

4.1. Wiadomo ci podstawowe

4.1.1. Wektory i skalary

W fizyce mamy najcz ciej do czynienia z dwoma rodzajami wielko ci

fizycznych:

Skalarami, które posiadaj jedynie warto , np.: masa, obj to , czas,

adunek, temperatura, praca.

Wektorami posiadaj cymi warto , kierunek, zwrot i punkt przy

enia, np.:

pr dko , przyspieszenie, si a.

Wektorem o pocz tku w punkcie A i ko cu w punkcie B nazywamy

uporz dkowan par punktów (A, B) i oznaczamy symbolem

uuur

lub

AB (Rys.1.1.).

Rys. 1. 9 Graficzna interpretacja wektora.

Odleg

mi dzy pocz tkiem i ko cem wektora nazywamy jego d ugo ci .

Wektor, którego pocz tkiem i ko cem jest ten sam punkt nazywamy wektorem

zerowym.

Ka dy wektor charakteryzuj 4 cechy, o których ju wspomnia em wcze niej:

kierunek, który okre la prosta poprowadzona przez pocz tek i koniec wektora:

Rys. 1. 10 Ilustracja kierunku wektora.

zwrot, czyli strona, w któr wektor jest zwrócony. Graficznie zwrot symbolizuje
strza ka na ko cu wektora:

Rozdzia

Rys. 1. 11 Ilustracja zwrotów wektora.

warto , czyli d ugo wektora, symbolizuje intensywno wielko ci, któr

okre la wektor, np.: du a warto wektora pr dko ci mówi nam, e cia o si

szybko b dzie si porusza .

punkt przy

enia, pocz tek wektora lub inaczej mo emy powiedzie , e jest

to punkt zaczepienia wektora.

4.1.2. Dzia ania na wektorach

Dodawanie wektorów

Na pocz tek zajmiemy si przypadkiem, gdy mamy dwa wektory o tym samym

kierunku. Na stronie znajduj si animacje dotycz ce dodawania wektorów:

a) o zgodnych zwrotach,

b) o przeciwnych zwrotach.

Nast pnie przedstawione zosta y animacje dodawania wektorów o ró nych
kierunkach:

a) metod trójk ta,

b) metod równoleg oboku.

Odejmowanie wektorów

Odejmowanie

wektorów a

i b

w rzeczywisto ci sprowadza si do dodania

wektorów a

i b

−

, czyli wektora o przeciwnym zwrocie w stosunku do wektora b

Mno enie wektorów przez liczb (skalar)

Iloczynem

wektora a

przez liczb x jest wektor b

o warto ci równej iloczynowi

warto ci liczbowej wektora a

oraz liczby x. Wynikowy wektor ma kierunek zgodny z

kierunkiem wektora wyj ciowego i zwrot zgodny je li mno ona liczba x > 0 i
przeciwny, gdy x < 0.

Mno enie wektorów

Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów a

i b

nazywamy skalar

równy iloczynowi warto ci bezwzgl dnych obu wektorów pomno ony

przez cosinus k ta mi dzy nimi.

Rys. 1. 12 Ilustracja definicji iloczynu skalarnego.

Iloczyn skalarny jest iloczynem

cos

, tj. d ugo ci wektora

i d ugo ci

wektora

cos

cego rzutem wektora

na wektor

(Rys.1.13).

Rys. 1. 13 Rzut wektora b

na wektor a

Iloczyn skalarny jest iloczynem

cos

, tj. d ugo ci wektora

i d ugo ci

wektora

cos

cego rzutem wektora

na wektor

(Rys.1.14).

Rys. 1. 14 Rzut wektora a

na wektor b

Je eli k t mi dzy wektorami oznaczymy przez

, a operacj mno enia

skalarnego przez a b

⋅

r r

, to otrzymamy:

cos

a b

⋅ =

r r

(1.1)

Funkcja cosinus jest funkcja parzyst , tzn. cos

= cos(-

α)

, w zwi zku z tym do

iloczynu skalarnego stosuje si prawo przemienno ci:

a b

b a

⋅ = ⋅

r r

(1.2)

Iloczyn skalarny podlega równie prawu rozdzielno ci mno enia skalarnego

wzgl dem dodawania:

(

)

a b

a c

⋅ + = ⋅ + ⋅

r r r

r r

(1.3)

Iloczyn skalarny mo e by równy zero, gdy:

•

Którykolwiek z wektorów wyj ciowych jest wektorem zerowym.

•

Wektory s do siebie prostopad e (

a b

⋅ =

r r

, gdy

⊥

)

Wektor pomno ony skalarnie przez siebie b dzie równy kwadratowi modu u:

cos 0

a a

⋅ =

r r

(1.4)

Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym a b

r r

dwóch wektorów a

i b

nazywamy

wektor c

prostopad y do p aszczyzny utworzonej przez te wektory,

którego d ugo jest równa iloczynowi d ugo ci tych wektorów
pomno onemu przez sinus k ta zawartego mi dzy nimi.

sin( , )

a b

× =

r r

(1.5)

Rys. 1. 15 Ilustracja iloczynu wektorowego.

Wektor c

jest prostopad y do p aszczyzny wyznaczonej przez wektory a

i b

Zwrot jego jest okre lony regu

ruby prawoskr tnej lub regu prawej r ki. Je eli

palce prawej r ki zginaj si w kierunku obrotu wektora a

na wektor b

, to kciuk

wskazuje kierunek wektora c a b

= ×

r r

Natomiast je li w iloczynie wektorowym wektory a

i b

zamienimy miejscami,

to aby otrzyma uk ad prawoskr tny, nale y przy

jak na rysunku 1.15b i

zmieni zwrot wektora c

na przeciwny, czyli

b a

− = ×

r r

Widzimy zatem, e do iloczynu wektorowego nie stosuje si prawo

przemienno ci:

a b

b a

× = − ×

r r

(1.6)

Iloczyn wektorowy natomiast podlega prawu rozdzielno ci mno enia

wektorowego wzgl dem dodawania:

( )

b d

a b a d

× +

= × + ×

r ur

r r r ur

(1.7)

Do iloczynu wektorowego mo na równie zastosowa prawo czno ci

mno enia przez dowolny skalar n:

(

)

(

)

(

)

n a b

× = ×

r r

(1.8)

Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym trzech wektorów a

, b

i c

nazywamy iloczyn

skalarny jednego z tych wektorów i wektora b

cego iloczynem

wektorowym dwóch pozosta ych:

(

)

a b c

× ⋅

r r r

(1.9)

Rys. 1. 16 Ilustracja iloczynu mieszanego.

(

) (

)

(

)

sin

cos

a b c

a b

× ⋅ =

⋅ ⋅

⋅

r r r

r r

(1.10)

W interpretacji geometrycznej iloczyn mieszany jest równy liczbowo obj to ci

równoleg

cianu zbudowanego na wektorach a

, b

i c

Je li wektory le w jednej p aszczy nie to iloczyn mieszany jest równy zeru.

Warto iloczynu mieszanego nie ulega zmianie, je eli w iloczynie tym

dziemy zmienia kolejno wyrazów:

(

)

(

)

(

)

a b c

b c a

c a b

× ⋅ = × ⋅ = ⋅ × ⋅

r r r

(1.11)

Inne w

ciwo ci iloczynu mieszanego:

(

)

(

)

(

)

(

)

a b c

b a c

a b c

a c b

× ⋅ = − × ⋅
× ⋅ = − × ⋅

r r r

(1.12)

Je eli

a i

a j

a k

b i

b j

b k

c i

c j

c k

(1.13)

to iloczyn mieszany mo na zapisa w postaci wyznacznika utworzonego ze

wspó rz dnych wektorów:

(

)

a b c

× ⋅ =

r r r

(1.14)

Podwójny iloczyn wektorowy trzech wektorów a

, b

i c

jest wektorem

powsta ym w wyniku wektorowego pomno enia wektora a przez iloczyn wektorowy
wektorów b

i c

(

)

(

)

(

)

b c

b a c

c a b

× × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

r r

r r r

(1.15)

4.1.3. Opis animacji

Wszystkie animacje zosta y wykonane w technologii flash w programie

Macromedia Flash 8.

Pierwsz animacj na jak natrafimy w rozdziale pierwszym jest animacja

rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych (Rys.1.18).

Rys. 1. 17 Wygl d animacji rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych.

Animacja przedstawia rzut wektora na uk ad wspó rz dnych, w której

ytkownik mo e za pomoc trzech suwaków ustawi wielko ci kolejnych

wspó rz dnych x, y, z wektora

W kolejnym podrozdziale dotycz cym dzia

na wektorach znajdziemy

animacje przedstawiaj ca dodawanie dwóch wektorów o tym samym kierunku:

o zgodnych zwrotach (Rys.1.18),

Rys. 1. 18 Wygl d animacji dodawania wektorów o zgodnych zwrotach.

o przeciwnych zwrotach (Rys.1.19).

Rys. 1. 19 Wygl d animacji dodawania wektorów o przeciwnych zwrotach.

Nast pnie mamy animacje przedstawiaj ce dodawanie wektorów o ró nych

kierunkach:

metod trójk ta (Rys.1.20),

Rys. 1. 20 Wygl d animacji przedstawiaj cej dodawanie wektorów metod trójk ta.

metod równoleg oboku (Rys. 1.21).

Rys. 1. 21 Wygl d animacji przedstawiaj cej dodawanie wektorów metod równoleg oboku.

Na rysunku 1.22 przedstawiona zosta a kolejna animacja dotycz ca

odejmowania wektorów.

Rys. 1. 22 Wygl d animacji odejmowania wektorów.

Nast pnie natrafimy na animacje ilustruj

iloczyn skalarny (Rys.1.23), w

której u ytkownik zmieniaj c k t za pomoc suwaka, zmienia k t miedzy dwoma
wektorami

tworz cymi iloczyn skalarny.

Rys. 1. 23 Wygl d animacji iloczynu skalarnego.

Kolejna animacja przedstawia nam iloczyn wektorowy (Rys.1.24), w której

ytkownik zmieniaj c k t za pomoc suwaka, zmienia k t miedzy dwoma wektorami

Rys. 1. 24 Wygl d animacji iloczynu wektorowego.

Na ko cu rozdzia u zosta a umieszczona animacja iloczynu mieszanego trzech

wektorów (Rys.1.25). Sprawdzana jest zale no :

(

)

(

)

a b c

× ⋅ = ⋅ ×

r r r

. Na ko cu

animacji u ytkownik mo e sam przekona si , czy to jest prawd , podaj c
wspó rz dne x, y, z ka dego z wektorów A

, B

, C

i odczytuj c obliczone warto ci

iloczynu mieszanego.

Rys. 1. 25 Wygl d animacji iloczynu mieszanego.

4.1.4. Instrukcje do animacji

Na pocz tek opisz animacj rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych, której

wygl d mo emy zobaczy na rysunku 1.17. U ytkownik ma mo liwo ustawienia

wielko ci ka dej ze wspó rz dnych A

, A

i A

wektora

. S

do tego trzy suwaki

(Rys.1.26). Aby zmieni po

enie suwaka naje

amy na niego myszka,

przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w gór albo w dó
zmieniamy warto konkretnej wspó rz dnej. Zmiany warto ci obserwujemy w

okienkach nad suwakami. W tym samym czasie z prawej strony animacji rysowany
jest w uk adzie wspó rz dnych wektor

i obliczana jest jego d ugo

uur

Rys. 1. 26 Wygl d suwaków w animacji rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych.

Przyjrzyjmy si teraz animacjom dotycz cym dodawania i odejmowania

wektorów (Rys. 1.18-22). U ytkownik uruchamia animacj poprzez klikni cie na
przycisk start

. W czasie trwania animacji mo liwe jest jej zatrzymanie poprzez

naci ni cie na przycisk pauza

, naci ni cie przycisku start

wznawia

animacje. Po zako czonej animacji pojawia si przycisk powrót

, którego

naci ni cie spowoduje powrót do pocz tku animacji.

W animacjach iloczynu skalarnego (Rys.1.23) i iloczynu wektorowego

(Rys.1.24) u ytkownik ma mo liwo ci za pomoc poziomego suwaka (Rys.1.27)
ustawi k t (od 0 do 360 stopni) mi dzy wektorami. Aby zmieni po

enie suwaka

naje

amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c

suwak w prawo albo w lewo zmieniamy warto k ta wy wietlana pod suwakiem.
Ka da zmiana k ta od razu ma wp yw na animacje i u ytkownik mo e obserwowa

zachowanie wektorów dla ró nych warto ci k ta.

Rys. 1. 27 Wygl d suwaka poziomego do ustawiania k ta.

Animacje iloczynu mieszanego (Rys. 1.25) uruchamiamy poprzez klikni cie na

przycisk start

. W czasie trwania animacji mo liwe jest jej zatrzymanie poprzez

naci ni cie na przycisk pauza

, naci ni cie przycisku start

wznawia

animacje. Po zako czonej animacji pojawia si przycisk powrót

, którego

naci ni cie spowoduje powrót do pocz tku animacji. Na ko cu równie u ytkownik

mo e sprawdzi czy powsta e figury s takie same i czy sprawdzany warunek

(

)

(

)

a b c

× ⋅ = ⋅ ×

r r r

jest prawdziwy. Do tabelki (Rys. 1.28) u ytkownik wprowadza

wspó rz dne x, y, z (zakres od -9 do 99) dla ka dego z wektorów A

, B

i C

Nast pnie klikni cie na przycisk Oblicz spowoduje obliczenie iloczynów
wektorowych

( )

A B

ur ur

(

)

B C

ur ur

oraz iloczynów mieszanych

( )

A B C

× ⋅

ur ur ur

(

)

A B C

⋅ ×

ur ur ur

Rys. 1. 28 Tabela obliczaj ca iloczyn mieszany.

4.2. Ruch jednowymiarowy

4.2.1. Pr dko

Pr dko

W dobie samochodów pr dko jest poj ciem, które poznajemy ju w

dzieci stwie. Pr dko ciomierz samochodu wskazuje wielko chwilowej pr dko ci w

kilometrach na godzin













lub w milach na godzin (mph od ang. miles per

hour).

Pr dko V definiujemy jako zmian po

enia cia a w jednostce

czasu. Jednostk pr dko ci w uk adzie SI jest

 

 

 

(metr na

sekund ).

Pr dko

rednia

Niech w pewnej chwili dane cia o znajduje si w punkcie A. Po up ywie czas

∆ = −

cia o przemie ci o si po swoim torze do punktu B (Rys.1.29).

Rys. 1. 29 Interpretacja graficzna pr dko ci.

Pr dko

redni z jak porusza o si cia o mo emy wyznaczy ze wzoru:

−

∆

−

(1.16)

V mo e przyjmowa warto wi ksz (mniejsz ) od zera lub równ zeru.

Tangens k ta nachylenia prostej AB na wykresie jest redni pr dko ci :

gdzie

jest wspó czynnikiem kierunkowym prostej AB.

Zapami taj:

Pr dko

rednia nie jest pr dko ci rzeczywist (chwilow );

Przesuni cie

∆ = −

nie jest d ugo ci drogi przebyta przez cia o; droga jest

zawsze nieujemna;

Pr dko

rednia jest równa

, gdzie

jest k tem nachylenia prostej ( cz cej

dwa punkty

(

, )

x t

i ( , )

x t

) wzgl dem osi czasu.

Pr dko rzeczywista (chwilowa)

Je li badaliby my pr dko cia a(przyspieszanie lub zwalnianie samochodu) w

ci gu bardzo krótkich przedzia ów czasu (powinni my wzi przedzia y czasu

niesko czenie bliskie zera), to wówczas mieliby my do czynienia z pr dko ci

rzeczywist (chwilow ).

( )

lim

dx t

∆ →

∆

⋅

∆

(1.17)

Warto

mo e by dodatnia, ujemna lub równa zeru.

Szybko ci V b dziemy dalej nazywali d ugo wektora V

( )

dx t

uur

(1.18)

4.2.2. Przyspieszenie

Przyspieszenie

Wszyscy w intuicyjny sposób rozumiemy co to jest przyspieszenie. Mo emy

wywo

przyspieszenie samochodu naciskaj c peda gazu. Im mocniej ten peda

wciskamy, tym wi ksze przyspieszenie osi gniemy. Gdy trwa przyspieszenie, to

pr dko ro nie. Natomiast naci ni cie na peda hamulca daje ten sam efekt, tyle

tylko, e teraz mamy przyspieszenie ujemne.

Przyspieszeniem a nazywamy tempo zmian pr dko ci. Jednostk

przyspieszenia w uk adzie SI jest

 

 

 

(metr na sekund kwadrat).

Przyspieszenie rednie

Niechaj w pewnej chwili dane cia o ma pr dko V

. Po up ywie czas

∆ = −

pr dko cia o wykonuj cego ruch prostoliniowy wynios a V

(Rys.1.30).

Rys. 1. 30 Interpretacja graficzna przyspieszenia.

Przyspieszenie rednie tego cia a w czasie

∆ = −

wyrazi mo emy wzorem:

−

∆

−

∆

(1.19)

Tangens k ta nachylenia prostej AB na wykresie z Rys. 1.30 jest rednim
przyspieszeniem:

, gdzie

jest k tem nachylenia prostej AB.

Przyspieszenie rzeczywiste (chwilowe)

Je eli przyspieszenie zmienia si w czasie, to powinni my mierzy zmian

pr dko ci

∆

w ci gu krótkich odst pów czasu

∆

. Wówczas przyspieszenie

rzeczywiste (chwilowe):

lim

∆ →

∆

(1.20)

oraz

( )

lim

( )

dV t

d x t

∆ →

∆

⋅

∆

(1.21)

gdzie a

d ugo wektora przyspieszenia; wektor mo e mie zwrot dodatni (ruch

przyspieszony) lub ujemny (ruch opó niony).

4.2.3. Ruch jednostajny

Ruch jednostajny prostoliniowy to taki, w którym pr dko ma sta warto :

( )

V t

const

(1.22)

Rys. 1. 31 Wykres pr dko ci od czasu w ruchu jednostajnie prostoliniowym.

Punkt materialny poruszaj cy si po torze prostoliniowym przebywa

jednakowe odcinki drogi

∆

w jednakowych odst pach czasu

∆

. Pr dko

rednia w

tym ruchu równa jest pr dko ci chwilowej. Droga w ruchu jednostajnie
prostoliniowym wyra amy wzorem:

( )

S t

V t

+ ⋅

(1.23)

Rys. 1. 32 Wykres drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Natomiast przyspieszenie wynosi

( )

a t

(1.24)

Rys. 1. 33 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

4.2.4. Ruch jednostajnie zmienny

Ruch, w którym przyspieszenie ma sta warto :

const

(1.25)

nazywamy ruchem jednostajnie zmiennym prostoliniowym.

Ruch jednostajnie zmienny mo e by ruchem:

Jednostajnie przyspieszonym, kiedy

Rys. 1. 34 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Jednostajnie opó nionym, gdy

Rys. 1. 35 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie opó nionym.

Pr dko w ruchu jednostajnie zmiennym ro nie lub maleje w sposób

jednostajny (tzn. zmienia si zawsze o tak sam warto w jednostce czasu).

Mo emy j wyznaczy korzystaj c ze wzoru:

( )

V t

= +

(1.26)

Rys. 1. 36 Pr dko w ruchu jednostajnie zmiennym a) przyspieszonym, b) opó nionym.

Drog w ruchu jednostajnie zmiennym wyznaczamy ze wzoru:

( )

S t

V t

a t

+ ⋅ + ⋅ ⋅

(1.27)

Rys. 1. 37 Wykres drogi w jednostce czasu w ruchu jednostajnie zmiennym a) przyspieszonym, b)

opó nionym.

4.2.5. Ruch po okr gu

Ruch po okr gu jest najprostszym rodzajem ruchu krzywoliniowego. Niech

punkt P(x,y) porusza si po okr gu o promieniu r i rodku O. Wygodnie jest przyj
uk ad wspó rz dnych x, y tak, aby pocz tek uk adu znajdowa si w rodku ko a

(rys.1.38)

Rys. 1. 38 Ilustracja ruchu po okr gu.

Do opisania ruchu punktu P po okr gu pos

ymy si równaniami:

[ ]

( )

cos

( )

x t

= ⋅

(1.28)

[ ]

( )

sin

( )

y t

= ⋅

(1.29)

Je li przez s oznaczymy drog przebyt przez cia o po okr gu w czasie, w którym

droga k towa wynosi a

to:

( )

s t

= ⋅

(1.30)

Pr dko liniowa i k towa

Ró niczkuj c obie strony równania (1.30) wzgl dem czasu otrzymamy

(1.31)

Wielko

jest pr dko ci liniow V cia a w ruchu po okr gu, natomiast wielko

b dziemy nazywa pr dko ci k towa i oznacza symbolem

.Jednostk

pr dko ci k towej jest rad

⋅

-1

. Zatem mamy teraz zale no

= ⋅

(1.32)

W ruchu jednostajnym po okr gu chwilowa pr dko k towa

const

oraz

(

)

( )

θ θ

ω ∆

+ ∆ −

∆

Zatem:

( )

θ ω

= + ⋅

gdzie

-k t pocz tkowy.

Równania opisuj ce ruch po okr gu przyjmuj teraz posta

( )

cos(

)

x t

= ⋅

⋅ +

(1.33)

( )

sin(

)

y t

= ⋅

⋅ +

(1.34)

Pr dko chwilowa

( ,

)

V V

sin(

)

sin(

)

= − ⋅ ⋅

⋅ +

= − ⋅

⋅ +

(1.35)

cos(

)

cos(

)

= ⋅ ⋅

⋅ +

= ⋅

⋅ +

(1.36)

gdzie

= ⋅

Rys. 1. 39 Ilustracja pr dko ci k towej.

Wektor pr dko ci k towej

jest prostopad y do p aszczyzny, w której

odbywa si ruch, w tym przypadku jest to okr g, a jego zwrot mo na wyznaczy przy
pomocy regu y ruby prawoskr tnej (Rys. 1.39) Z rysunku wida , e zachodzi

zale no :

= ×

ur r

(1.37)

Mo emy uzna , e wektor pr dko ci liniowej V

jest iloczynem wektorowym pr dko ci

towej

i promienia okr gu r.

Przyspieszenie liniowe i k towe

Przyspieszenie chwilowe w ruchu jednostajnym po okr gu:

(

cos(

)

sin(

)

a a

= − ⋅

⋅

⋅ +

= − ⋅

⋅

⋅ +

gdzie

(1.38)

Zatem:

cos(

)

sin(

)

a i





= ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅

⋅ +

⋅ + ⋅

⋅ +

⋅

= − ⋅





(1.39)

W ruchu jednostajnym po okr gu przyspieszenie ca kowite

jest skierowane do

rodka okr gu. Dlatego nazywane jest przyspieszeniem do rodkowym

. Warto

wektora przyspieszenia a

jest przyspieszeniem do rodkowym

i wynosi:

⋅ =

(1.40)

Warto przyspieszenia stycznego a

w ruchu jednostajnym po okr gu wynosi 0.

Je li b dziemy rozpatrywa ruch jednostajnie zmienny po okr gu i

zró niczkujemy równanie (1.37) po czasie otrzymamy:

⋅

= ⋅

(1.41)

Gdzie a

jest przyspieszeniem stycznym, a

jest przyspieszeniem k towym. W ruchu

jednostajnie zmiennym po okr gu przyspieszenie k towe wynosi:

(

)

( )

lim

const

∆ →

+ ∆ −

∆

(1.42)

Przyspieszenie do rodkowe b dzie wynosi :

(1.43)

Natomiast przyspieszenie ca kowite:

= =

(1.44)

Zestawienie wielko ci k towych i liniowych

Ruch jednostajny po okr gu

Ruch jednostajnie zmienny po okr gu

const

ω =

( )

ω ε

+ ⋅

ε =

const

ε =

( )

S t

= ⋅ ⋅ + ⋅

( )

S t

r t

= ⋅ ⋅ + ⋅ +

⋅ ⋅

( )

θ ω

= + ⋅

( )

r t

θ ω

= + ⋅ +

⋅ ⋅

= ⋅

≠

= − ⋅

Tab. 1Wielko ci liniowe i k towe w ruchu jednostajnym i zmiennym po okr gu.

4.2.6. Drgania harmoniczne

W tym rozdziale zajmiemy si ruchem, w którym cia a przemieszczaj si tam

i z powrotem sinusoidalnie w czasie (tzn. jak funkcja sinus lub cosinus czasu). Ruch

ten powtarza si w regularnych odst pach czasowych jest równie zwany ruchem

periodycznym (okresowym) . Z takim rodzajem ruchu mamy do czynienia wówczas,
gdy cia o wyprowadzone zostaje ze stanu równowagi trwa ej. Przyk ady ruchu

harmonicznego: kulka zawieszona na spr ynie, wahad o matematyczne, wahad o

fizyczne, uk ad LC.

Zale no po

enia cia a od czasu w ruchu harmonicznym

Ruch cia a w ruchu harmonicznym mo emy opisa równaniem:

( )

sin(

)

x t

= ⋅

⋅ +

(1.45)

Wielko A jest amplitud ruchu maksymalnym odchyleniem cia a od po

enia

równowagi, natomiast

stanowi cz sto ko owa drga , któr mo na wyrazi

wzorem:

⋅Π

(1.46)

T jest okresem w ruchu harmonicznym i wyra a si w jednostkach czasu, czyli np. w
sekundach. Sta a

to faza pocz tkowa naszego ruchu. Wraz z warto ci amplitudy

okre la ona wychylenie w chwili pocz tkowej tj. dla t=0.

Pr dko i przyspieszenie chwilowe(rzeczywiste)

Warto ci pr dko ci w ruchu drgaj cym mo emy wyznaczy ze wzoru:

max

( )

cos(

)

cos(

V t

= − ⋅ ⋅

⋅ +

= −

⋅

⋅ +

= ⋅ = ⋅

gdzie

(1.47)

Przyspieszenie natomiast wyznaczymy ze wzoru:

max

( )

sin(

)

sin(

d x

a t

= − ⋅

⋅

⋅ +

= −

⋅

⋅ +

⋅Π

= ⋅

gdzie

(1.48)

4.2.7. Opis animacji

Wszystkie animacje zosta y wykonane w technologii flash w programie

Macromedia Flash 8.

Pierwsz animacj na jak natrafimy w rozdziale drugim jest animacja ruchu

po okr gu (Rys.1.40). Animacja przedstawia ruch kulki po okr gu, w której

ytkownik ma mo liwo wyboru (za pomoc suwaków) pr dko ci pocz tkowej oraz

promienia okr gu, po którym b dzie porusza si cia o. W czasie trwania animacji
widoczny jest wektor pr dko ci pocz tkowej V

(zielony wektor) oraz sk adowe V

(pomara czowy wektor) i V

(niebieski wektor).

Rys. 1. 40 Wygl d animacji ruch po okr gu.

Drug animacj w tym rozdziale jest animacja drga harmonicznych

(Rys.1.41). Przedstawia ona kulk zawieszon na spr ynie, w której u ytkownik ma
mo liwo wyboru (za pomoc suwaków) amplitudy ruchu oraz okresu drga . W

czasie trwania animacji rysowany jest wykres y(t).

Rys. 1. 41 Wygl d animacji drgania harmoniczne.

4.2.8. Instrukcje do animacji

Na pocz tek animacja ruchu po okr gu, której wygl d mo emy zobaczy na

rysunku 1.40. U ytkownik ma mo liwo ustawienia pr dko ci pocz tkowej oraz
promienia okr gu, po którym b dzie porusza si cia o. Umo liwiaj to dwa suwaki

umieszczone w lewym górnym rogu animacji (Rys.1.42). Aby zmieni po

enie

suwaka naje

amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i

przesuwaj c suwak w gór albo w dó zmieniamy warto pr dko ci (z zakres od 0

do 100) lub promienia (0 do 100). Animacje uruchamiamy naciskaj c na przycisk

start

. Naci ni cie przycisku powrót

powoduje zatrzymanie i powrót

animacji do pozycji pocz tkowej

Rys. 1. 42 Wygl d suwaków w animacji ruchu po okr gu.

Drug animacj w tym rozdziale jest animacja drga harmonicznych

(Rys.1.41). Animacja przedstawia kulk zawieszon na spr ynie, w której

ytkownik ma mo liwo zmiany za pomoc dwóch suwaków (Rys.1.43): amplitudy

ruchu (od 0 do 100) oraz okresu drga (od 0 do 10). Aby zmieni po

enie suwaka

naje

amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c

suwak w prawo albo w lewo zmieniamy warto amplitudy ruchu lub okresu drga .

Równocze nie wraz z ruchem kulki na spr ynie rysowany jest wykres
zale no ci:

( )

sin(

)

y t

= ⋅

⋅ +

Rys. 1. 43 Wygl d suwaków w animacji drga harmonicznych.

Animacje uruchamiamy naciskaj c na przycisk

. Naci ni cie przycisku

powoduje zatrzymanie i powrót animacji do pozycji pocz tkowej

Przeprowad my teraz symulacje dla takich warto ci: amplituda

100

oraz

okres drga

8, 66

. Zobaczmy teraz na rysunku 1.44 jak wygl da wykres

( )

y t

oraz zako czona animacja.

Rys. 1. 44 Wygl d zako czonej animacji drga harmonicznych.

4.3. Rzuty

4.3.1. Spadek swobodny

Spadek swobodny traktujemy jako lot cia a upuszczonego swobodnie z

wysoko ci H

(bez pr dko ci pocz tkowej). Ruch ten jest ruchem jednostajnie

przyspieszonym. Na cia o dzia a si a grawitacji nadaj ca mu sta e przyspieszenie

9, 81

= =

Rys. 1. 45 Faza pocz tkowa spadku swobodnego

Wysoko w spadku swobodnym

W spadku swobodnym cia o porusza si ruchem jednostajnie przyspieszonym,

wi c do obliczenia wysoko ci jak przebywa mo emy pos

si wzorem (1.27),

uwzgl dniaj c, e pr dko pocz tkowa V

wynosi 0, przyspieszenie jest sta e

a = g

oraz drog traktujemy jako wysoko :

( )

g t

y t

⋅

−

(1.49)

Otrzymali my parametryczne równanie toru w spadku swobodnym.

Czas spadku

Na podstawie parametrycznego równania toru (1.49) mo emy wyznaczy czas

spadku (dla ( ) 0

y t

g t

⋅

−

⋅ = ⋅

(1.50)

2 H

⋅

(1.51)

Pr dko w spadku swobodnym

Zaczniemy od pr dko ci pocz tkowej V

, która w spadku swobodnym

przyjmuje warto 0. Pr dko pionowa V

w spadku swobodnym ro nie jednostajnie

(tzn. co sekund o tyle samo) i mo emy j wyrazi wzorem:

g t j

= − ⋅ ⋅

(1.52)

Pr dko jest ujemna, bo skierowana jest w dó , a przyj li my umownie e kierunek

w gór jest dodatni. Je li interesuje nas tylko warto pr dko ci a nie jej zwrot, to
mo emy pomin minus we wzorze.

Pr dko ko cow V

(tu przed uderzeniem o ziemi ) mo emy obliczy

wstawiaj c czas spadku t do równania (1.52):

⋅

= ⋅

⋅

(1.53)

i ostatecznie otrzymujemy:

g H

⋅ ⋅

(1.54)

4.3.2. Rzut pionowy

Rzut pionowy nale y rozbi na dwie mo liwo ci: rzut pionowy w gór oraz rzut

pionowy w dó .

Rzut pionowy w gór

W tym przypadku mamy do czynienia z rzutem cia a pionowo do góry z

pocz tkow pr dko ci V

skierowan w gór . Przez ca y czas trwania rzutu na cia o

dzia a przyspieszenie ziemskie

skierowane pionowo w dó .

Rys. 1. 46 Pr dko i przyspieszenie ziemskie w rzucie pionowym w gór

Parametryczne równanie toru

( )

g t

y t

V t

s t

⋅

+ ⋅ −

(1.55)

gdzie

( )

g t

s t

V t

⋅

−

jest drog w ruchu jednostajnie opó nionym.

Rys. 1. 47 Pr dko w rzucie pionowym w gór .

Pr dko V

po up ywie czasu t od wyrzucenia w gór obliczy mo na ze wzoru:

g t

= − ⋅

(1.56)

Rys. 1. 48 Wykres po

enia cia a od czasu.

W pocz tkowej fazie rzutu cia o wznosi si i porusza si ruchem jednostajnie

opó nionym z opó nieniem równym przyspieszeniu ziemskiemu g. Ruch w gór trwa

do momentu, a cia o osi gnie pr dko chwilow V

= 0 (cia o si zatrzyma). W tym

momencie cia o osi ga maksymalna wysoko wznoszenia H

max

Czas

wznoszenia

potrzebny do osi gni cia maksymalnej wysoko ci H

max

mo emy wyznaczy korzystaj c ze wspó rz dnej y-kowej pr dko ci cia a w dowolnej

chwili t:

( )

V t

g t

V t

g t

= − ⋅
=

− ⋅ =

(1.57)

zatem:

(1.58)

Natomiast warto H

max

wyznaczymy z równania 1.55, wstawiaj c za t warto z

równania 1.51 otrzymamy:

max

⋅

(1.59)

Druga faza rzutu to swobodny spadek cia a z wysoko ci H

max

przyspieszeniem równym g.

Czas

spadku

cia a wyznaczymy korzystaj c ze wzoru 1.51 i wstawiaj c w

miejsce H

nasz maksymalna wysoko

max

⋅

, zatem:

max

⋅

(1.60)

Widzimy, e czas spadania cia a t

jest taki sam jak czas wznoszenia t

Mo emy teraz obliczy ca kowity czas t

lotu cia a, który b dzie wynosi :

⋅

= + =

(1.61)

Rzut pionowy w dó

W tym rzucie podobnie jak w rzucie pionowym w gór wyst puje pr dko

pocz tkowa V

, lecz w tym przypadku jest ona skierowana w dó , tak samo jak

kierunek przyspieszenia ziemskiego g.

Rys. 1. 49 Faza pocz tkowa w rzucie pionowym w dó .

Rzut pionowy w dó mo emy rozpatrywa jako ruch jednostajnie

przyspieszony z przyspieszeniem równym g i pr dko ci pocz tkow ró

od 0, gdy

dla

mieliby my do czynienia ze spadkiem swobodnym.

Parametryczne równanie toru:

( )

g t

y t

V t

s t

⋅

− ⋅ −

−

(1.62)

gdzie

( )

g t

s t

V t

⋅

jest drog w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Pr dko w rzucie pionowym w dó

Pr dko

cia a w dowolnej chwili wyznaczamy korzystaj c ze wzoru:

g t

= + ⋅

(1.63)

Pr dko ko cow mo emy obliczy ze wzoru:

g H

+ ⋅ ⋅

(1.64)

4.3.3. Rzut poziomy

Rzut poziomy to ruch w polu grawitacyjnym Ziemi, w którym mamy do

czynienia z lotem cia a pocz tkowo umieszczonego na wysoko ci H

i rzuconego z

pocz tkow pr dko ci V

Rys. 1. 50 Faza pocz tkowa rzutu poziomego

Cia o wykonuje równocze nie ruch w kierunku poziomym oraz w kierunku

pionowym. Pocz tkowa pr dko V

zmienia po

enie cia a w kierunku poziomym a

si a grawitacji w kierunku pionowym.

Rzut poziomy mo na rozpatrywa jako z

eniem dwóch ruchów:

Jednostajnego w kierunku poziomym,

Jednostajnie przyspieszonego bez pr dko ci pocz tkowej (swobodnego spadku) w

kierunku pionowym.

Parametryczne równania toru:

( )

g t

y t

⋅

−

(1.65)

( )

x t

V t

= ⋅

(1.66)

Pr dko w rzucie poziomym

Je li wprowadzimy kartezja ski uk ad wspó rz dnych to:

•

Pr dko w kierunku osi OX b dzie si wyra

wzorem:

(1.67)

•

Natomiast pr dko w kierunku osi OY:

g t

= − ⋅

(1.68)

Warto pr dko ci chwilowej V w rzucie poziomym w dowolnej chwili t b dzie

wynosi :

⋅

(1.69)

Wspó rz dne rzuconego poziomo cia a w pewnej chwili t b dziemy wyra

wzorami:

V t

= ⋅

(1.70)

(droga przebyta ruchem jednostajnym poziomym)

g t

⋅ ⋅

(1.71)

(droga przebytej ruchem jednostajnie przyspieszonym pionowym)

Przyspieszenie

W rzucie poziomym mamy do czynienia z przyspieszeniem stycznym a

przyspieszeniem normalnym a

. Zgodnie z definicja:

⋅

(1.72)

Przyspieszenie normalne wyznaczymy wykorzystuj c zwi zek

, zatem:

g V

⋅

−

⋅

(1.73)

Czas trwania rzutu poziomego

Czas rzutu poziomego jest równy czasowi ka dego ruchu sk adowego.

Obliczymy go jako czas swobodnego spadku z wysoko ci H

(1.51), zatem:

2 H

⋅

(1.74)

Tor rzutu poziomego

Korzystaj c ze wzorów (1.65) i (1.66) mo na wyznaczy równanie toru rzutu.

Na pocz tku nale y wyeliminowa ze wspó rz dnych po

enia cia a czas t, zatem

przekszta camy równanie pierwsze do postaci

i wstawiamy do równania

(1.65). Otrzymujemy:

−

⋅

(1.75)

Jest to równanie paraboli, gdzie warto ci g i V

sta e dla danego ruchu. Zatem

mo na stwierdzi , e torem rzutu poziomego jest parabola.

Zasi g rzutu poziomego

Zasi g rzutu poziomego A jest równy drodze przebytej w kierunku poziomym

ruchem jednostajnym w czasie t:

2 h

A V t

⋅

= ⋅ = ⋅

(1.76)

4.3.4. Rzut uko ny

Rzut uko ny to ruch w polu grawitacyjnym Ziemi blisko jej powierzchni, w

którym nadaje si cia u pr dko pocz tkow skierowan do poziomu pod k tem

Je eli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa si ze sta ym przyspieszenie m

grawitacyjnym g. Przyspieszenie jest skierowane "w dó " to wygodnie jest wybra
uk ad wspó rz dnych tak, e x b dzie wspó rz dn poziom , a y pionow .

Rys. 1. 51 Ilustracja rzutu uko nego.

Zauwa my, e podobnie jak w rzucie poziomym, tak i w rzucie uko nym, cia o
wykonuje jednocze nie ruch w poziomie i w pionie. Rzut uko ny jest z

eniem

dwóch ruchów:

•

w kierunku poziomym ruch jednostajny z pr dko ci V

•

w kierunku pionowym ruch jest jednostajnie zmienny (do H

max

jednostajnie

opó niony (rzut pionowy do góry z pr dko ci V

), od H

max

jednostajnie

przyspieszony (swobodny spadek).

Parametryczne równanie toru:

( )

cos

x t

V t

= ⋅ = ⋅

⋅

(1.77)

( )

sin

g t

y t

V t

⋅

= ⋅ −

= ⋅

⋅ −

(1.78)

Pr dko w rzucie uko nym

Sk adowe

pr dko ci

pocz tkowej

wynosz odpowiednio:

cos

sin

= ⋅

(1.79)

Natomiast warto wektora pr dko ci chwilowej:

(

)

V V

⋅ +

⋅

uur uur

(1.80)

gdzie:

( )

cos

( )

sin

V t

g t

= ⋅

− ⋅

(1.81)

Warto V

jest sta a, gdy ruch wzd

osi OX jest ruchem jednostajnym ze sta

pr dko ci V

. W kierunku osi OY pr dko zale y od czasu jest to ruch

jednostajnie zmienny.

Przyspieszenie rzucie uko nym

Wektor

przyspieszenia

ca kowitego:

(

)

a a

⋅ +

⋅

= −

gdzie :

(1.82)

Przyspieszeni styczne:

( )

(

cos )

(

sin

)

a t

g t

⋅

− ⋅

(1.83)

Przyspieszenie normalne:

( )

a t

−

(1.84)

Czas trwania rzutu uko nego

Czas trwania rzutu uko nego jest równy sumie czasu wznoszenia si cia a na

maksymaln wysoko H

max

i czasu spadania cia a z wysoko ci H

max

Czas wznoszenia si t

( )

sin

V t

g t

⋅

− ⋅ =

Zatem:

sin

⋅

(1.85)

Wysoko H

max

jest maksymalna wysoko ci na jak wzniesie si cia o i

mo emy j obliczy korzystaj c z parametrycznego równania toru (1.78):

max

( )

sin

g t

y t

⋅

= ⋅

⋅ −

(1.86)

Wstawiaj c teraz za t

warto z równania (3.33) otrzymamy:

max

sin

⋅

(1.87)

Czas spadku z wysoko ci H

max

sin

⋅

(1.88)

Jak widzimy, czas wznoszenia równy jest czasowi spadku. Ca kowity czas ruchu

dziemy oblicza ze wzoru:

sin

⋅ ⋅

= + =

(1.89)

Zasi g rzutu

Do obliczenia zasi gu rzutu w rzucie uko nym, czyli drogi przebytej przez cia o

w kierunku poziomym, skorzystamy z parametrycznego równania toru (1.8):

max

( )

x t

V t

= ⋅

Wstawiaj c teraz odpowiednie wzory za V

i t

otrzymamy:

max

sin

sin 2

cos

α ⋅ ⋅

⋅

= ⋅

⋅

(1.90)

Równanie toru

Rys. 1. 52 Ilustracja toru rzutu uko nego.

Tor rzutu uko nego ma kszta t paraboli skierowanej ramionami w dó i mo na

go wyznaczy ze wzoru:

( )

g x

y x

⋅

⋅ −

⋅

(1.91)

4.3.5. Opis animacji

W rozdziale trzecim na pierwsz animacj na jak natrafimy jest animacja

spadku swobodnego, której wygl d mo emy zobaczy na rysunku 1.53. U ytkownik
ma mo liwo wyboru wysoko ci (za pomoc suwaka) z jakiej upuszczone zostaje

cia o. Opcje daj nam mo liwo prze ledzenia toru rzutu, obserwowania wektora

pr dko ci, w czenie/wy czenie siatki pomagaj cej obserwowa zmian po

enia

cia a oraz przyjrzeniu si symulacji dla kilku ró nych obiektów (kulka, samochód,
fortepian, rower i pi ka). W trakcie trwania animacji mo emy obserwowa czas

trwania animacji, warto wektora pr dko ci oraz rysowane s wykresy: pr dko ci z

jak porusza si spadaj ce cia o oraz drogi, któr to cia o przebywa. U ytkownik za
pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e sterowa animacj .

W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 53 Wygl d animacji spadku swobodnego.

Rys. 1. 54 Wygl d przycisków w animacji spadku swobodnego.

Nast pnymi animacjami w rozdziale trzecim s animacje rzutu pionowego w

gór (Rys.1.55) oraz rzutu pionowego w dó (Rys.1.56). U ytkownik ma mo liwo
wyboru (za pomoc suwaków) wysoko ci z jakiej zrzucane zostaje cia o oraz

pr dko ci pocz tkowej. Opcje daj nam mo liwo prze ledzenia toru rzutu,

obserwowania wektora pr dko ci oraz w czenie/wy czenie siatki pomagaj cej
obserwowa zmian po

enia cia a. Za pomoc przycisków "start", "pauza" i

"powrót" (Rys.1.54) mo na sterowa animacj . W czasie trwania animacji u ytkownik
mo e obserwowa chwilowe po

enie cia a, warto wektora pr dko ci oraz czas

trwania rzutu. W obu symulacjach nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 55 Wygl d animacji rzutu pionowego w gór .

Rys. 1. 56 Wygl d animacji rzutu pionowego w dó .

Kolejn animacj , z któr mo emy si zapozna w rozdziale trzecim jest

animacja rzutu poziomego (Rys.1.57). U ytkownik ma mo liwo wyboru (za

pomoc suwaków) wysoko ci z jakiej wystrzelone zostaje cia o oraz pr dko ci

pocz tkowej nadawanej cia u. W trakcie symulacji u ytkownik mo e obserwowa
wspó rz dne poruszaj cego si cia a, czas trwania rzutu, warto pr dko V

, V

i V

oraz przyspieszenia a

i a

. Dodatkowo istnieje mo liwo prze ledzenia toru rzutu,

obserwowania wektorów pr dko ci V, V

, V

, wektorów przyspieszenia a

, a

, g oraz

czenia/wy czenia siatki pomagaj cej ledzi po

enie poruszaj cego si cia a.

ytkownik za pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e

sterowa animacj . W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 57 Wygl d animacji rzutu poziomego.

Ostatnia animacj , z która znajduje si w rozdziale trzecim jest animacja rzutu

uko nego (Rys.1.58). U ytkownik ma mo liwo wyboru (za pomoc suwaków)

wysoko ci z jakiej wystrzelone zostaje cia o oraz k t, pod którym b dzie odbywa si

ruch cia a. W trakcie symulacji u ytkownik mo e obserwowa wspó rz dne
poruszaj cego si cia a, czas trwania rzutu, warto ci pr dko ci V

, V

i V oraz

przyspieszenia a

i a

. Dodatkowo istnieje mo liwo prze ledzenia toru rzutu,

obserwowaniu wektorów pr dko ci V, V

, V

, wektorów przyspieszenia a

, a

, g oraz

czenia/wy czenia siatki pomagaj cej ledzi po

enie poruszaj cego si cia a.

ytkownik za pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e

sterowa animacj . W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 58 Wygl d animacji rzutu uko nego.

4.3.6. Instrukcje do animacji

Na pocz tek animacja spadku swobodnego, której wygl d mo emy zobaczy

na rysunku 1.53. U ytkownik za pomoc suwaka ma mo liwo ustawienia wysoko ci
z której b dzie cia o upuszczane. Aby zmieni po

enie suwaka naje

amy na niego

myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w gór albo w dó

zmieniamy warto wysoko ci (z zakres od 0 do 100 m). U ytkownik mo e przed
rozpocz ciem symulacji wybra trzy opcje u atwiaj ce obserwowanie zachowania

cia a podczas spadku. Uaktywniamy je zaznaczaj c przy pomocy myszki bia ego

kwadratu obok nazwy opcji (Rys.1.59). Poka siatk wy wietla nam na ekranie
pomocnicz siatk , która pomaga w obserwowaniu lotu cia a. Opcja Pokaz tor

pokazuje nam toru ruch pocisku od pocz tku do ko ca animacji. Ostatnia opcja

Poka wektor wy wietla nam wektor pr dko ci zmieniaj cy si podczas spadku

cia a.

Rys. 1. 59 Opcje w animacji spadku swobodnego.

Dodatkowo istnieje mo liwo wybrania z rozwijanego menu (Rys.1.60) cia a, które

we mie udzia w symulacji. Do wyboru mamy kulk , samochód, fortepian, rower i

. Warto przetestowa animacj dla wszystkich obiektów i sprawdzi czy dla

ka dego b dzie si zachowywa tak samo. Aby uaktywni nowy obiekt klikamy na

menu a nast pnie wybieramy interesuj cy nas obiekt. Po najechaniu myszk na
niego zostaje pod wietlony na zielono i teraz klikni cie na nazwie spowoduje zmian

obiektu w animacji (Rys.1.61).

Rys. 1. 60 Menu rozwijane w spadku swobodnym.

Rys. 1. 61 Animacja spadku swobodnego z innym obiektem.

Po ustawieniu interesuj cej nas wysoko ci i wybraniu odpowiednich opcji

naciskamy przycisk start , aby uruchomi animacj . W czasie jej trwania jest
mo liwo zatrzymania animacji poprzez naci ni cie przycisku pauza ; animacj

wznawiamy poprzez ponowne naci ni cie przycisku start . Przycisk powrót s

do powrotu animacji do pocz tku. Wygl d przycisków mo emy zobaczy na rysunku
1.54. Na rysunku 1.62 widzimy przeprowadzon animacj dla roweru upuszczonego z

wysoko ci pocz tkowej

z zaznaczonymi wszystkimi 3 opcjami, tzn. poka

siatk , poka tor oraz poka wektor. Czas trwania spadku wynosi

4, 47

pr dko ko cowa

44, 72

. Czerwone kropki oznaczaj tor ruchu roweru.

Rys. 1. 62 Zako czona animacja spadku swobodnego.

Poni ej krótka instrukcja obs ugi animacji rzutu pionowego w gór (Rys.1.55) i

w dó (Rys.1.56). U ytkownik za pomoc suwaków (Rys.1.63) ma mo liwo

ustawienia wysoko ci (z zakresu od 0 do 100 m), z której b dziemy zrzuca cia o

oraz pr dko ci pocz tkowej (od 0 do 10 m/s). Aby zmieni po

enie suwaka

naje

amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c

suwak w gór albo w dó zmieniamy odpowiednio warto . U ytkownik mo e przed

rozpocz ciem symulacji wybra trzy opcje u atwiaj ce obserwowanie zachowania
cia a podczas spadku. Uaktywniamy je zaznaczaj c przy pomocy myszki bia ego

kwadratu obok nazwy opcji (Rys.1.59). Poka siatk wy wietla nam na ekranie

pomocnicz siatk , która pomaga w obserwowaniu lotu cia a. Opcja Pokaz tor
pokazuje nam toru ruch pocisku od pocz tku do ko ca animacji. Ostatnia opcja

Poka wektor wy wietla nam wektor pr dko ci zmieniaj cy si podczas rzutu cia a.

W prawym górnym rogu animacji wy wietlane s warto ci po

enia cia a, pr dko ci

oraz czasu trwania rzutu.

Rys. 1. 63 Suwaki w animacji rzutu pionowego.

Po ustawieniu interesuj cej nas wysoko ci, pr dko ci pocz tkowej i wybraniu

odpowiednich opcji naciskamy przycisk start , aby uruchomi animacj . W czasie jej

trwania jest mo liwo zatrzymania animacji poprzez naci ni cie przycisku pauza ,
animacje wznawiamy poprzez ponowne naci ni cie przycisku start . Przycisk

powrót s

y do powrotu animacji do pocz tku. Wygl d przycisków mo emy

zobaczy na rysunku 1.54.

Na koniec zajmiemy si animacjami rzutu poziomego (Rys.1.57) i rzutu

uko nego (Rys.1.58). W obu symulacjach u ytkownik za pomoc suwaków

(Rys.1.64) ma mo liwo ustawienia pr dko ci pocz tkowej, z jak b dziemy

wystrzeliwa cia o oraz w rzucie poziomy wysoko ci (z zakresu 0 100 m) a w rzucie
uko nym k ta (od 0 do 90

), pod którym b dzie si porusza cia o. Aby zmieni

enie suwaka naje

amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy

i przesuwaj c suwak w prawo albo w lewo zmieniaj c odpowiednio warto .

ytkownik mo e przed rozpocz ciem symulacji wybra trzy opcje u atwiaj ce

obserwowanie zachowania cia a podczas spadku. Uaktywniamy je zaznaczaj c przy

pomocy myszki bia ego kwadratu obok nazwy opcji (Rys.1.59). Poka siatk
wy wietla nam na ekranie pomocnicz siatk , która pomaga w obserwowaniu lotu

cia a. Opcja Pokaz tor pokazuje nam toru ruch pocisku od pocz tku do ko ca

animacji. Ostatnia opcja Poka wektor wy wietla nam wektor pr dko ci V, V

, V

przyspieszenia a

, a

, g lub pomocnicze linie wspó rz dnych x, y.

Rys. 1. 64 Wygl d suwaków w rzucie poziomym i rzucie uko nym.

Dodatkowo istnieje mo liwo wybrania z rozwijanego menu (Rys.1.65)

wielko ci, które chcemy obserwowa w czasie trwania animacji. Do wyboru mamy

wspó rz dne, pr dko i przyspieszenie. Aby uaktywni nowa warto klikamy na
menu a nast pni wybieramy interesuj cy nas obiekt. Po najechaniu myszk na niego

zostaje pod wietlony na zielono i teraz klikni cie na nazwie spowoduje zmian

obserwowanych warto ci (Rys.1.61).

Rys. 1. 65 Rozwijane menu w rzucie poziomym i uko nym.

Po ustawieniu interesuj cej nas parametrów i wybraniu odpowiednich opcji

naciskamy przycisk start , aby uruchomi animacj . W czasie jej trwania jest
mo liwo zatrzymania animacji poprzez naci ni cie przycisku pauza , animacje

wznawiamy poprzez ponowne naci ni cie przycisku start . Przycisk powrót s

do powrotu animacji do pocz tku. Wygl d przycisków mo emy zobaczy na rysunku

1.54.

Przeprowad my teraz symulacj rzutu uko nego dla pr dko ci pocz tkowej

, k ta

α =

, z zaznaczonymi wszystkimi trzema opcjami, tzn. Poka

wektor , Pokaz tor oraz Poka siatk . Dodatkowo b dziemy obserwowa wektory

pr dko ci. Faz przej ciow mo emy zobaczy na rysunku 1.66, gdzie widzimy

wektory pr dko ci V, V

, V

oraz obliczane warto ci pr dko ci. Ko cowe stadium

animacji obserwujemy na rysunku 1.67, gdzie widzimy ca y tor ruchu cia a (czerwone

kropki) , obliczone warto ci Czasu rzutu , Zasi gu rzutu , Maksymalnej wysoko ci

jak osi gnie cia

oraz warto ci ustawione przed animacja: Pr dko ci

pocz tkowej oraz

ta nachylenia .

Rys. 1. 66 Faza przej ciowa w rzucie uko nym.

Rys. 1. 67 Faza ko cowa w rzucie uko nym.

4.4. Dodatki

W ostatnim rozdziale zamykaj cym stron znajduj si 4 podrozdzia y:

Autor informacje o autorze: Imi , nazwisko, e-mail oraz prosty formularz,

który umo liwia wys anie to twórcy strony e-maila.

Legenda zawieraj ca opis i znaczenie u ytych oznacze na stronie.

Dodatek A zawieraj cy podstawowe i rozszerzone jednostki uk adu S.,

Literatura spis ksi ek i odno ników do stron internetowych, które

wykorzystano przy realizacji praca dyplomowej.

5. Podsumowanie

ównym celem niniejszej pracy dyplomowej by o opracowanie lekcji

kinematyki ze wspomaganiem komputerowym. Zrealizowano go poprzez stworzenie
witryny, na której znalaz y si animacje typowych zjawisk kinematycznych. Uwa am,

e przygotowany materia sprawdzi yby si , jako dydaktyczna pomoc, na lekcjach

fizyki, poniewa oprócz teoretycznych informacji uczniowie mogliby wykonywa
eksperymenty komputerowe pos uguj c si zawartymi w pracy programami do

symulacji podstawowych rodzajów ruchów. Nie w ka dej szkole uczniowie i

nauczyciele maj dost p do odpowiednio wyposa onego laboratorium i niekiedy
lekcje fizyki opieraj si na samej teorii i szeregu wzorów bez mo liwo ci przyjrzenia

si bli ej omawianym zagadnieniom szczegó owym. Ponadto niektóre w

ciwo ci

zjawisk dotycz cych ruchu cia s bardzo trudne do zaobserwowania bez
zastosowania drogiej aparatury. Dzi ki opracowanym i zaprogramowanym

animacjom, które zamie ci em na stronie, ka dy zainteresowany ucze i nauczyciel

dzie móg przeanalizowa zachowanie si pocisku wystrzelonego z pistoletu pod

ró nymi k tami, obserwowa jak zmienia si pr dko pionowa, pozioma albo te jak

zachowuj si wektory przyspieszenia stycznego, normalnego czy te ca kowitego.

Uwa am, e po zapoznaniu si z teori oraz po przetestowaniu animacji, np.

spadku swobodnego dla kilku ró nych cia , ka dy b dzie wiedzia , e pi ka i rower

upuszczone z tej samej wysoko ci uderz o ziemie równocze nie (o ile tylko nie
uwzgl dniamy oporów powietrza). Opracowana strona b dzie równie pomocna przy

rozwi zywaniu zada przez uczniów, poniewa o wiele atwiej b

oni mogli

rozwi za zadanie z kinematyki, je li oprócz koniecznego wyobra enia sobie zjawiska
ruchu b

mieli mo liwo

zobaczenia analizowanego ruchu i dodatkowego jego

testowania dla ró nych danych pocz tkowych. W tym sensie opracowane animacje

pozwalaj na rozwi zywanie typowych zada z kinematyki ruchu jednowymiarowego
i dwuwymiarowego. Dla niektórych uczniów oka e si to niezwykle pomocne i

pozwoli na jeszcze lepsze rozumienie podstaw kinematyki.

Rozdzia

6. Literatura i odno niki do stron

[1] Maria Sokó , ABC j zyka HTML , Wydawnictwo Helion, Gliwice, 2002;

[2] Laura Lemay, HTML 4.Vademecum profesjonalisty , Wydawnictwo Helion,

Gliwice,

1998;

[3] http://pl.html.net/tutorials/css/lesson1.asp

[4] Jay Oread, Fizyka Tom 1, WNT, Warszawa 1998;
[5] Krzysztof Jezierski, Bogumi Ko odka, Kazimierz Siera ski, Fizyka: Wzory i

prawa z obja nieniami , Oficyna wydawnicza scripta, Wroc aw, 1997;

[6] Krzysztof Jezierski, Kazimierz Siera ski, Izabela Szlufarska, Fizyka:

Repetytorium zadania z rozwi zaniami , Oficyna wydawnicza scripta,

Wroc aw,

1997;

[7] Hugh D. Young, Roger A. Freedman, University Physic , Addison Wesley

Longman,

2000;

[8] http://www.ftj.agh.edu.pl/~kakol/efizyka/;

[9] Wyk ady prof. W. Salejdy;
[10] http://daktik.rubikon.pl

[11] http://fizzyka.webpark.pl;
[12] http://www.superfizyka.za.pl;

[13] http://fizyka.org;

[14] Brian Underadhl, Flash MX : programowanie w j zyku ActionScript ,

Wydawnictwo Helion,

Gliwice, 2002;

[15] Brian Underdahl, Flash MX: od podstaw , Wydawnictwo Helion, Gliwice,

2002;
[16] Katherine Ulrich, Flash MX 2004 , Wydawnictwo Helion, Gliwce, 2004;

[17] Daniel Bargie , Flash MX 2004 : ActionScript : wiczenia praktyczne ,

Wydawnictwo

Helion,

Gliwice,

2005;

[18] Sham Bhangal, Jen deHaan, Flash MX2004: Same konkrety , Wydawnictwo

MIKOM,

Warszawa,

2004;

[19] Derek Franklin, Brookes Patron, Flash 5: Sztuka tworzenia , Wydawnictwo

Helion,

Gliwice,

2001;

[20] Eric E. Dolecki, Flash: Super samuraj , Wydawnictwo Helion, Gliwice, 2002;

[21] http://pl.wikipedia.org;
[22] http://fizyka.kopernik.mielec.pl;

[23] http://members.shaw.ca/mathematica/ahabTutorials/index.html;
[24] http://www.pixel2life.com/tutorials/macromedia_flash/;

[25] http://www.math.tamu.edu/~dallen/physics/index.htm

[26] http://pl.html.net/
[27] http://sindirela3.webpark.pl/

Rozdzia

7. Spis rysunków

Rys. 1. 1. Wygl d strony w edytorze HTML...........................................................................6
Rys. 1. 2. Witryna bez u ycia stylów. .....................................................................................8
Rys. 1. 3. Strona, na której u yto arkusza stylów CSS.............................................................8
Rys. 1. 4 Menu g ówne strony. .............................................................................................10
Rys. 1. 5. Rozwini te menu g ówne. .....................................................................................11
Rys. 1. 6 Prosty system nawigacyjny. ...................................................................................11
Rys. 1. 7 Lewa strza ka nawigacyjna. ...................................................................................12
Rys. 1. 8 Prawa strza ka nawigacyjna. ..................................................................................12
Rys. 1. 9 Graficzna interpretacja wektora..............................................................................15
Rys. 1. 10 Ilustracja kierunku wektora. .................................................................................15
Rys. 1. 11 Ilustracja zwrotów wektora. .................................................................................16
Rys. 1. 12 Ilustracja definicji iloczynu skalarnego. ...............................................................17
Rys. 1. 13 Rzut wektora

na wektor

.................................................................................17

Rys. 1. 14 Rzut wektora

na wektor

.................................................................................18

Rys. 1. 15 Ilustracja iloczynu wektorowego. .........................................................................19
Rys. 1. 16 Ilustracja iloczynu mieszanego.............................................................................20
Rys. 1. 17 Wygl d animacji rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych. ....................................21
Rys. 1. 18 Wygl d animacji dodawania wektorów o zgodnych zwrotach. .............................21
Rys. 1. 19 Wygl d animacji dodawania wektorów o przeciwnych zwrotach. ........................22
Rys. 1. 20 Wygl d animacji przedstawiaj cej dodawanie wektorów metod trójk ta. ...........22
Rys. 1. 21 Wygl d animacji przedstawiaj cej dodawanie wektorów metod równoleg oboku.

.............................................................................................................................................22

Rys. 1. 22 Wygl d animacji odejmowania wektorów. ...........................................................23
Rys. 1. 23 Wygl d animacji iloczynu skalarnego. .................................................................23
Rys. 1. 24 Wygl d animacji iloczynu wektorowego..............................................................24
Rys. 1. 25 Wygl d animacji iloczynu mieszanego.................................................................24
Rys. 1. 26 Wygl d suwaków w animacji rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych. .................25
Rys. 1. 27 Wygl d suwaka poziomego do ustawiania k ta. ...................................................25
Rys. 1. 28 Tabela obliczaj ca iloczyn mieszany. ...................................................................26
Rys. 1. 29 Interpretacja graficzna pr dko ci..........................................................................27
Rys. 1. 30 Interpretacja graficzna przyspieszenia. .................................................................28
Rys. 1. 31 Wykres pr dko ci od czasu w ruchu jednostajnie prostoliniowym. .......................29
Rys. 1. 32 Wykres drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym ............................30
Rys. 1. 33 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym. ............30
Rys. 1. 34 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym................31
Rys. 1. 35 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie opó nionym. ....................31
Rys. 1. 36 Pr dko w ruchu jednostajnie zmiennym a) przyspieszonym, b) opó nionym. ....32
Rys. 1. 37 Wykres drogi w jednostce czasu w ruchu jednostajnie zmiennym a)
przyspieszonym, b) opó nionym...........................................................................................32
Rys. 1. 38 Ilustracja ruchu po okr gu....................................................................................33

Rozdzia

Rys. 1. 39 Ilustracja pr dko ci k towej. ................................................................................34
Rys. 1. 40 Wygl d animacji ruch po okr gu..........................................................................37
Rys. 1. 41 Wygl d animacji drgania harmoniczne.................................................................37
Rys. 1. 42 Wygl d suwaków w animacji ruchu po okr gu.....................................................38
Rys. 1. 43 Wygl d suwaków w animacji drga harmonicznych. ...........................................38
Rys. 1. 44 Wygl d zako czonej animacji drga harmonicznych. ..........................................39
Rys. 1. 45 Faza pocz tkowa spadku swobodnego .................................................................39
Rys. 1. 46 Pr dko i przyspieszenie ziemskie w rzucie pionowym w gór ...........................41
Rys. 1. 47 Pr dko w rzucie pionowym w gór . ..................................................................42
Rys. 1. 48 Wykres po

enia cia a od czasu. .........................................................................42

Rys. 1. 49 Faza pocz tkowa w rzucie pionowym w dó .........................................................44
Rys. 1. 50 Faza pocz tkowa rzutu poziomego.......................................................................45
Rys. 1. 51 Ilustracja rzutu uko nego. ....................................................................................47
Rys. 1. 52 Ilustracja toru rzutu uko nego. .............................................................................49
Rys. 1. 53 Wygl d animacji spadku swobodnego..................................................................50
Rys. 1. 54 Wygl d przycisków w animacji spadku swobodnego. ..........................................50
Rys. 1. 55 Wygl d animacji rzutu pionowego w gór ............................................................51
Rys. 1. 56 Wygl d animacji rzutu pionowego w dó . ............................................................51
Rys. 1. 57 Wygl d animacji rzutu poziomego. ......................................................................52
Rys. 1. 58 Wygl d animacji rzutu uko nego. ........................................................................53
Rys. 1. 59 Opcje w animacji spadku swobodnego. ................................................................53
Rys. 1. 60 Menu rozwijane w spadku swobodnym. ...............................................................54
Rys. 1. 61 Animacja spadku swobodnego z innym obiektem. ...............................................54
Rys. 1. 62 Zako czona animacja spadku swobodnego. .........................................................55
Rys. 1. 63 Suwaki w animacji rzutu pionowego. ...................................................................55
Rys. 1. 64 Wygl d suwaków w rzucie poziomym i rzucie uko nym......................................56
Rys. 1. 65 Rozwijane menu w rzucie poziomym i uko nym..................................................57
Rys. 1. 66 Faza przej ciowa w rzucie uko nym.....................................................................57
Rys. 1. 67 Faza ko cowa w rzucie uko nym. ........................................................................58