Hydrostatyka i hydrodynamika

Spis Tre

1. W

PROWADZENIE

.......................................................................................................................................4

1.1. Cel i układ pracy..........................................................................................................................4

YKORZYSTANE TECHNOLOGIE

................................................................................................................5

2.1. HTML..........................................................................................................................................5

2.1.1. Co to jest HTML?.........................................................................................................5

2.1.2. Historia HTML.............................................................................................................5

2.1.3. Wygląd strony HTML..................................................................................................6

2.1.4. Przyszłość HTML........….............................................................................................7

2.2. Flash.............................................…............................................................................................7

2.2.1. Opis..............................................................................................................................7

2.2.2. ActionScript.................................................................................................................8

2.3. Nawigacja....................................................................................................................................9

2.3.1. Menu nawigacyjne.......................................................................................................9

IOGRAFIE

................................................................................................................................................10

3.1. Archimedes.................................................................................................................................10

3.2. Bernoulli.........................................................….......................................................................11

3.3. Pascal.........................................................................…………................................................12

3.4. Reynolds........….............................…........................................………..................................13

3.5. Stokes........................................................................................................................................14

YDROSTATYKA

.......................................................................................................................................15

4.1. Gęstość......................................................................................................................................15

4.2. Ciśnienie....................................................................................................................................18
4.3. Prawo Pascala............................................................................................................................20

4.4. Prawo Archimedesa...................................................................................................................22

4.5. Napięcie powierzchniowe.........................................................................................................25
4.6. Włoskowatość, zjawisko kapilarne...........................................................................................28

YDRODYNAMIKA

...................................................................................................................................29

5.1. Przepływy.................................................................................................................................29

5.2. Lepkość.....................................................................................................................................31

5.3. Liczba Reynoldsa......................................................................................................................33
5.4. Prawo Stokesa...........................................................................................................................35

5.5. Równanie ciągłości....................................................................................................................36

5.6. Równanie Bernoulliego.............................................................................................................37

5.7. Efekt Magnusa..........................................................................................................................41

5.8. Kawitacja..................................................................................................................................44

ODSUMOWANIE

......................................................................................................................................47

IBLIOGRAFIA

..........................................................................................................................................48

WPROWADZENIE

Cel i układ pracy

Celem pracy dyplomowej było opracowanie lekcji ze wspomaganiem komputerowym

obejmującej zagadnienia z hydrostatyki i hydrodynamiki. Została zrealizowana w formie strony (witryny)
internetowej,  w  której  znalazły  się  definicje,  wzory  a  takŜe  wybrane  filmy  ilustrujące  opisywane
zjawiska.  PosłuŜono  się  darmowym  edytorem  „Edytor  Znaczników  HTML”  (  [15],  [17]  ),  natomiast
menu  nawigacyjne  wykonano  w  programie  „Macromedia  Flash  MX”  (wersja  próbna  30

−

dniowa) przy

uŜyciu języka ActionScrypt. ( [13], [14], [16], [18] )

Opracowana e

−

lekcja pozwala uŜytkownikom łatwo przyswajać stosowne definicje, poznać

podstawowe pojęcia i wielkości fizyczne z zakresu hydrodynamiki. Zaimplementowane filmy wybranych
zjawisk i efektów, moŜliwe do przeprowadzenia w domu, pozwalają w pełni zrozumieć fizykę
prezentowanych zjawisk i praw.

Całość pracy jest podzielona na 7 części. Część I to niniejszy wstęp; część II to opis programów i

sposobów ich wykorzystania do wykonania poszczególnych elementów witryny, a takŜe wyjaśnienie
sposobu nawigacji po stronie; część III to krótkie biografie osób, które wniosły istotny wkład do rozwoju
hydrostatyki i hydrodynamiki; część IV dotyczy hydrostatyki i zawiera podstawowe definicje i pojęcia;
część V jest poświecona hydrodynamice; część VI to podsumowanie całości; część VII to spis literatury.

Rozdział

WYKORZYSTANE TECHNOLOGIE

2.1. HTML

    2.1.1 Co to jest HTML?

HTML  (ang.  HyperText  Markup  Language,  pol.  hipertekstowy  język  znaczników)  –  dominujący  język
wykorzystywany  do  tworzenia  stron  internetowych.  Pozwala  opisać  strukturę  informacji  zawartych
w dokumencie nadając znaczenie poszczególnym fragmentom tekstu (formując linki, nagłówki,  akapity,
listy,  itp.)  oraz  osadzić  w  tekście  dodatkowe  obiekty  np.  statyczne  grafiki,  interaktywne  formularze,
dynamiczne  animacje.  W  składni  języka  HTML  wykorzystuje  się  znaczniki  opatrzone  z  obu  stron
nawiasami ostrokątnymi.

WaŜną cechą języka, która wyraźnie przyczyniła się do rozwoju i upowszechnienia sieci WWW,

jest niezaleŜność od systemu operacyjnego oraz parametrów sprzętowych komputera, na którym strony te
będą przeglądane.

2.1.2 Historia HTML

Pierwsza, publicznie dostępna, specyfikacja języka HTML, nazwana HTML Tags, została

zamieszczona w Internecie przez Bernersa

−

Lee w 1991 r. Zawierała 22 znaczniki, tworzące początkowy,

prosty szkielet HTML. Trzynaście z tych elementów istnieje do tej pory w specyfikacji HTML 4.

HTML został napisany w oparciu o język SGML. W połowie 1993 r., organizacja IETF

opublikowała pierwszą propozycję specyfikacji języka HTML autorstwa Bernersa

−

Lee i Dana Connolly

−

Hypertext Markup Language (HTML) Internet

−

Draft (pol. szkic)

−

zawierającą opis gramatyki w

postaci SGML Document Type Definition (pol. definicja typu dokumentu). Mając ten dokument, twórcy
przeglądarek eksperymentowali z HTML

−

em modyfikując atrybuty istniejących juŜ znaczników oraz

dodając nowe.

Po wygaśnięciu szkiców HTML i HTML+ (1994 r.), organizacja IETF wydzieliła HTML

Working Group, która w 1995 r. stworzyła HTML 2.0

−

pierwszą oficjalną specyfikację języka HTML,

traktowaną jako standard i podstawę przyszłych implementacji kolejnych wersji HTML. Specyfikacja
HTML 2.0, opublikowana w 1996 r. jako Request for Comments, zawierała pomysły zarówno ze szkicu
HTML jak i HTML+. HTML 1.0 jako taki nigdy nie istniał. Oznaczenie 2.0 zostało nadane w celu
odróŜnienia nowej specyfikacji od wcześniejszych szkiców.

Dalszy rozwój HTML

−

a pod pieczą IETF przeciągał się ze względu na konflikt interesów. Od

1996 r. specyfikacje HTML rozwijane były z udziałem komercyjnych producentów oprogramowania
przez organizację World Wide Web Consortium (W3C). W 2000 r. HTML stał się międzynarodowym
standardem. Ostatnia specyfikacja języka HTML to opublikowana w 1999 przez W3C

−

HTML 4.01. Jej

błędy zostały poprawione przez erratę opublikowaną w 2001 r.

22 stycznia 2008 został podany do wiadomości publicznej HTML 5, opublikowany przez W3C

jako szkic ("Working Draft").

Rozdział

2.1.3. Wygląd strony HTML.

Strony HTML, to zwykłe pliki tekstowe. Dzięki temu, Ŝe nie zawierają w sobie Ŝadnych

predyspozycji platformowych lub systemowych, mogą być odczytane na kaŜdej platformie i w kaŜdym
edytorze.

KaŜdy plik HTML zawiera następujące elementy:

•

znaczniki HTML, określające elementy strony, jej strukturę, sposoby formatowania i hiperłącza
do innych stron lub informacji innego rodzaju,

•

właściwy tekst strony.

Rozszerzenia dokumenty HTML maja postać .htm

lub .html

i mogą być zapisane w dowolnym edytorze

tekstowym, np. Notatnik

−

u. Aby obejrzeć rezultat napisanego kodu, potrzebna jest przeglądarka

internetowa, która go zinterpretuje. Do najpopularniejszych przeglądarek naleŜą: MS Internet Explorer®,
Mozilla Firefox®, Opera®, Safari® i Netscape®. Wszystkie są darmowe, największe udziały w rynku ma
MS IE.

Rys. 2.1.3. Przykładowa wyedytowana w standardowym edytorze strona HTML

2.1.4. Przyszłość HTML

Rozwój sprzętu i oprogramowania sprawił, Ŝe surfowanie po Internecie nie stanowi juŜ problemu.

Stał się potęŜnym źródłem informacji, zabawy, umoŜliwia pracę i naukę nie ruszając się z domu albo
podróŜując.

Tu pojawia się problem. Coraz nowszy sprzęt i technologie sprawiają, Ŝe językowi HTML coraz

trudniej jest się dostosować do wymagań uŜytkowników. Aby nadąŜyć na rozwojem, stworzono język
XHTML (ang. Extensible HyperText Markup Language, rozszerzony hipertekstowy język znaczników).
Reformuje on znane zasady języka HTML 4 w taki sposób, aby były zgodne z XML (Extensible Markup
Language

−

Rozszerzony Język Znaczników). XML czerpie swoją moc i elastyczność z języka SGML

(Standard Generalized Markup Language

−

Standardowy Uogólniony Język Znaczników). Mając te

zalety, XML pomija wiele bardziej skomplikowanych cech języka SGML, które stwarzały  utrudnienia i
powodowały  podroŜenie  procesu  projektowania.  Przystosowanie  HTML  4.0  do  XHTML  1.1  (i  vice
versa) jest bezproblemowe.
Obecnie  nowe  przeglądarki,  takie  jak  Firefox  czy  Opera,  praktycznie  w  pełni  obsługują  XHTML,  lecz
przeglądarka  mająca  ciągle  największy  udział  w  rynku  –  Internet  Explorer  –  w  ogóle  nie  obsługuje
XHTML

−

owego typu zawartości. Zmusza to webmasterów do przerabiania XHTML

−

u do zwykłego

HTML

−

u, pod warunkiem oczywiście, Ŝe nie ma tam elementów niekompatybilnych z HTML

−

em.

2.2. Flash

2.2.1. Opis

Menu wykonano za pomocą programu Macromedia Flash MX 2004 Professional (wersja testowa

−

dniowa). To rewelacyjne narzędzie umoŜliwiające tworzenie animacji i interaktywnych elementów

oraz grafiki wektorowej do wykorzystania na stronach WWW. Daje moŜliwość połączenia róŜnorodnych
elementów takich, jak : dźwięk, grafika bitmapowa, wektorowa czy cyfrowe wideo w atrakcyjną,
interaktywną całość.

Podstawową zaletą plików tworzonych przez Flasha są niewielkie rozmiary, dzięki czemu proces

ich ładowania i otwieranie w przeglądarkach odbywa się bardzo szybko, nawet przy połączeniach
poprzez modem. UmoŜliwia tworzenie animacji poklatkowo albo określając tylko klatkę początkową i
końcową – program obliczy środek.

Dzięki językowi Action Script moŜna tworzyć interaktywne elementy, które reagują na

zachowanie uŜytkownika.

2.2.1. Flash MX

PowyŜej jest podstawowe okno programu Flash MX. Na górze znajduje się główne narzędzie, czyli tzw.
linia czasowa. Po prawej są narzędzia słuŜące do rysowania. Po prawej mikser kolorów, a poniŜej niego
lista gotowych komponentów moŜliwych do uŜycia. NA dole znajdują się opcje pozwalające ustalić
sposób opublikowania gotowej pracy.

2.2.2. Action Script

ActionScript (AS) jest specjalnym językiem zaprojektowanym do kontroli animacji, dobrym

narzędziem do tworzenia zaawansowanych prezentacji multimedialnych

−

jak pokazy slajdów, oraz

interaktywnych aplikacji

−

takich jak gry, quizy czy kursy, albo nawet całe strony internetowe.

ActionScript jest więc potęŜnym językiem dającym spore moŜliwości, ale i zarazem nie tak trudnym do
nauczenia się. ActionScript jest językiem zbliŜonym do JavaScriptu, w swojej pierwszym wydaniu.
W wersji ActionScript 2.0

−

dostępnej od wersji Flash MX 2004

−

została wprowadzona moŜliwość

programowania obiektowego (OOP

−

Object Oriented Programming). Najnowsza wersja ActionScript 3.0

−

wypuszczana wraz z Flash CS3, jest zorientowana obiektowo rozwijając szereg dotychczasowych

moŜliwości.

BIOGRAFIE

1. Archimedes

Archimedes z Syrakuz (ok. 287

−

212 p.n.e.) – wybitny

grecki  fizyk  i  matematyk,  urodzony  i  zmarły  w
Syrakuzach;  wykształcenie  zdobył  w  Aleksandrii.  Był
synem  astronoma  Fidiasza  i  prawdopodobnie  krewnym
lub powinowatym władcy Syrakuz Hierona II.
Autor  traktatu  o  kwadraturze  odcinka  paraboli,  twórca
hydrostatyki

statyki,

prekursor

rachunku

nieskończonościowego  (infinitezymalnego).  Od  jego
imienia  jedną  ze  spiral  nazwano  spiralą  Archimedesa.
Stworzył  podstawy  rachunku  róŜniczkowego.  W  dziele
Elementy  mechaniki  wyłoŜył  podstawy  mechaniki
teoretycznej.  Zajmował  się  równieŜ  astronomią  –
zbudował  globus  i  planetarium.  Wyznaczył  przybliŜoną
wartość liczby π jako

Anegdota  głosi,  Ŝe  pochłonięty  rozwiązywaniem  zadań
matematycznych  Archimedes  przestał  się  myć,  w
wyniku czego zaczął śmierdzieć. Gdy siłą nasmarowano
go  oliwą  i  ciągnięto  by  go  wykąpać  kreślił  na  swoim
ciele koła kontynuując swoje rozwaŜania.
W  czasie  drugiej  wojny  punickiej  kierował  pracami
inŜynieryjnymi  przy  obronie  Syrakuz.  Rzymianie
myśleli, Ŝe sami bogowie bronią miasta, gdyŜ za murami

3.1. Archimedes

schowane  machiny  oblęŜnicze  jego  konstrukcji  ciskały  pociski  w  ich  stronę.  Archimedes  został  zabity
przez  Ŝołnierzy  rzymskich  po  zdobyciu  miasta,  mimo  wyraźnego  rozkazu  dowódcy,  Marcellusa,  by  go
ująć  Ŝywego.  Później  gorzko  Ŝałowano  tego.  Na  Ŝyczenie  Archimedesa  na  jego  nagrobku  wyryto  kulę,
stoŜek i walec (odkrył Ŝe stosunek objętości kuli do opisanego na niej walca wyraŜa się stosunkiem liczb
2 i 3)
Zachowane prace Archimedesa: O ciałach pływających, Elementy mechaniki, O kuli i walcu, O figurach
obrotowych,  O  kwadraturze  odcinka  paraboli,  O  metodzie,  O  ślimacznicach,  Liczba  ziarnek  piasku
(przedstawił  tu  moŜliwość  tworzenia  dowolnie  wielkich  liczb  na  przykładzie  wypełnienia  piaskiem
wszechświata jako wydrąŜonej kuli).

Na podstawie:

http://www.matmaserwis.scholaris.pl/starozyt/archim.htm i

http://www.pl.wikipedia.org/wiki/Archimedes

Rozdział

BIOGRAFIE

2. Bernoulli

Daniel Bernoulli ur. 8 lutego 1700 Groningen

−

Holandia zm. 17 marca 1782

−

Bazylea

−

Szwajcaria

Urodził  sie  w  Groningen  ,  gdzie  jego  ojciec  Jan  pracował  do  roku
1705.  Daniel  uczył  się  matematyki  u  ojca  i  u  starszego  brata
Mikołaja  II  (1695

−

1726). Jednocześnie studiował medycynę i w

roku 1721 złoŜył w Bazylei przepisane egzaminy i obronił rozprawę
na  temat  oddychania.  Pewien  czas  spędził  we  Włoszech,  celem
doskonalenia  się  w  praktyce  lekarskiej  i  tamŜe  w  roku  1724  wydał
Studia  matematyczne,  które  przyniosły  mu  rozgłos.  Wkrótce
powołany  został  z  bratem  Mikołajem  do  Petersburskiej  Akademii
Nauk,  w  której  czynny  był  od  jesieni  1725  r.  około  ośmiu  lat.
Zgodnie z umową  Daniel Bernoulli miał obowiązek zajmowania się
fizjologią i zastosowaniem do niej metod matematycznych; badania
w  tym  kierunku,  przede  wszystkim  nad  mechaniką  ruchu  zwierząt,
zapoczątkował  Włoch  G.  Borelli  (1608

−

1679). Fizjologią D.

Bernoulli  zajmował  się  zresztą  tylko  przez  krótki  czas,  na  ogół
interesował  się  mechaniką,  fizyką  i  matematyką.  W  roku  1728
oficjalnie  przeszedł  ze  stanowiska  profesora  akademickiego
fizjologii na stanowisko profesora matematyki. Jako matematyk
zdefiniował liczbę "e".  Wróciwszy w r. 1733 do Bazylei, otrzymał

3.2. Daniel Bernoulli

na tamtejszym uniwersytecie katedrę anatomii i botaniki i dopiero
od r. 1750 objął katedrę fizyki. Jako fizyk rozwiązał problem struny drgającej.

Akademia  Petersburska  utrzymała  w  mocy,  po  wyjeździe  D.  Bernoulliego,  jego  prawo  do  godności
członka  honorowego  (zagranicznego)  i  doŜywotniej  pensji;  do  końca  Ŝycia  pozostawał  w  związkach
naukowych z nią, publikując w jej wydawnictwach większą część swych prac.

W  Petersburgu  D.  Bernoulli  przygotował  większą  pracę  z  hydrodynamiki,  zawierającą  opis  wielu
doświadczeń  i  badanie  teoretyczne  wielu  problemów.  W  ostatecznej  redakcji  to  klasyczne  dzieło,  w
którym  mechanika  cieczy  i  gazów  po  raz  pierwszy  potraktowane  zostały  jako  oddzielna  dyscyplina,
wyszło  w  Strasburgu  w  r.  1738  pod  tytułem  Hydrodynamika,  czyli  studia  nad  siłami  i  ruchami  cieczy
(Hydrodynamica sive de viribus et motibus fluidorum commentarii). Podane było w nim, między innymi,
równanie Bernoulliego.

Na podstawie

http://www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.php?str=bernoullidaniel

pl.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli

BIOGRAFIE

3. Pascal

Blaise

Pascal

(ur.

czerwca

1623

Clermont

−

Ferrand, zm. 19 sierpnia 1662 w

ParyŜu). Jego matka Antoinette Begon, zmarła gdy
miał trzy lata, ojciec Étienne Pascal (1588

−

1651)

przeprowadził się z rodziną do ParyŜa. Blaise miał
dwie  siostry:  Jacqueline  Pascal  i  Gilberte  Pascal.
Był słabowity, dlatego ojciec sprowadzał do swego
domu  prywatnych  nauczycieli.  Młody  naukowiec
przebywał  w  towarzystwie  wybitnych  osobistości,
takich  jak:  Marin  Mersenne,  Pierre  de  Fermat,
Gilles  de  Roberval,  Gérard  Desargues,  Claude
Mydorge,  Pierre  Gassendi  i  Descartes,  kształcąc
się i rozwijając swe zainteresowania. Blaise Pascal
odznaczał  się  nieprzeciętnymi  zdolnościami  juŜ  w
wieku  młodzieńczym.  W  wieku  16  lat  napisał
krótką  rozprawę  o  przecięciach  stoŜkowych  oraz
odkrył twierdzenie Pascala. W wieku 24 lat odkrył
prawo  ciśnienia  w  cieczach  tzw.  Prawo  Pascala
oraz  rachunek  prawdopodobieństwa.  Wymyślił
Trójkąt  Pascala  i  maszynę  liczącą

−

pascalinę, by

pomóc swemu ojcu, poborcy podatkowemu.
Wybudował

1662

roku

pierwszą

linię

komunikacji

miejskiej,

której

kursował

omnibus projektu Blaise Pascala.

3.3 Blaise Pascal

Poświęcił się początkowo studiom matematycznym i fizycznym (pierwszy uŜył barometru do oznaczenia
wzniesienia  nad  poziom  morza).  W  roku  1640  rodzina  Pascalów  przeniosła  się  do  Rouen,  gdzie  Blaise
pomagał  swemu  ojcu  w  prowadzeniu  księgowości.  Wskutek  nieszczęśliwego  wypadku,  którego  padł
ofiarą  na  moście  Neuilly,  skierował  swój  umysł  w  stronę  zagadnień  filozoficzno

−

religijnych. W roku

1656 zerwał z paryskim Ŝyciem towarzyskim i osiedlił się w pobliŜu Port

−

Royal, zbliŜył się do

jansenistów i oddał studiom religijno

−

filozoficznym. Zaczął utrzymywać bliskie kontakty z klasztorem

Port

−

Royal w ParyŜu, jednym z największych centrów jansenizmu. Zmarł wyczerpany chorobami w

ParyŜu.

Na podstawie:

http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/node4.htm

http://pl.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Pascal.html

BIOGRAFIE

4. Reynolds

Osborne Reynolds (urodzony 23 sierpnia 1842 w Belfaście (Irlandia)

−

zmarł 21 lutego 1912 w Watchet, w hrabstwie Somerset (Anglia),

irlandzki inŜynier.

Naukę rozpoczął w szkole w Collegiate Schooll, gdzie jego ojciec był
dyrektorem.  Odbywał  praktykę  w  firmie  Edward  Hayes  w  1861.
Studiował  matematykę  na  Uniwersytecie  w  Cambridge,  którą
ukończył w 1867.
W  1868  został  (pierwszym  w  Manchesterze,  a  drugim  w  Anglii)
profesorem  inŜynierii  na  Uniwersytecie  w  Manchesterze  (wtedy
Owen's  College).  Od  1877  członek  Royal  Society,  a  11  lat  później
zdobył Royal Medal. W 1884 został mu nadany stopień honorowy na
Uniwersytecie w Glasgow.

Od 1873 zajął się głównie dynamiką płynów, która wtedy była witalna
dla światowej nauki.

3.4. Osborne Reynolds

Zasłynął swoimi pracami z dziedziny hydrodynamiki,
zwłaszcza  dotyczącymi  podobieństwa  dynamicznego  przepływów  płynów  w  przewodach  oraz  teorii
smarowania. W 1883 podał warunek przejścia przepływu laminarnego w przepływ turbulentny.

Sformułował  prawo  które  mówi,  Ŝe  dwa  zjawiska  są  podobne  jeŜeli  obliczona  dla  nich  liczba  (Liczba
Reynoldsa) jest taka sama. Prawo to jest do dziś stosowane w inŜynierii.

Na początku roku 1900 stan jego zdrowia, zarówno fizycznego jak i psychicznego  zaczął się pogarszać.
Reynolds zaczął wycofywać się z Ŝycia zawodowego, by ostatecznie porzucić je w 1905.

Na podstawie

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Reynolds.html i

http://pl.wikipedia.org/wiki/Osborne_Reynolds

BIOGRAFIE

5. Stokes

Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet (ur. 13
sierpnia 1819, zm. 1 lutego 1903)

−

irlandzki

matematyk  i  fizyk,  powiązany  z  Uniwersytetem
Cambridge,  syn  Clergymana,  rektora  Skreen  w
hrabstwie Sligo, w  Irlandii, pochodził z angielskiej, od
dawna oddanej studiom naukowym, rodziny.
Od  roku  1849  zajmował  w  Cambridge  katedrę
matematyki,  tzw.  Lucasian  Chair,  opromienioną
blaskiem imienia Newtona. Prosty i skromny, spokojny
i  opanowany,  przysłowiowo  małomówny,  w  sobie
zamknięty,  skupiony,  Stokes  był  wzorem  badacza,
myśliciela i mędrca.
Członek  Royal  Society  (od  1851).    Był  równieŜ
prezesem  Instytutu  Victoria  od  1886  aŜ  do  śmierci  w
1903  roku.  Prace  nad  hydrodynamiką,  nad  teorią
spręŜystości,  zwłaszcza  nad  optyką  zapisały  imię
Stokesa w dziejach fizyki w XIX stuleciu.
Około  roku  1850  Stokes  rozumiał  juŜ  jasno  zasady
spektralnej  analizy;  lordowi  Kelvin  (z  którym  przez
długie  lata  Ŝył  w  niezamąconej  przyjaźni)  doniósł  o
wielkim odkryciu; lecz będąc badaczem nadzwyczajnie
oględnym,

ostroŜnym,

rozwaŜnym,

nie

chciał

zawiadomić o nim publicznie; aŜ wreszcie w roku 1859
Kirchhoff i Bunsen ogłosili światu o wspaniałym
postępie, niezrównanym w następstwach.
W 1854 Stokes teoretycznie wyjaśnił linie Fraunhofera
w widmie słonecznym.
Autor

znaczących

prac

dziedziny

fizyki

matematycznej (twiedzenie Stokesa),

3.5. Sir George Gabriel Stokes

hydrodynamiki (prawo Stokesa) i optyki (reguła Stokesa).

Stokes był zaangaŜowany w kilka dochodzeń w sprawie wypadków kolejowych, zwłaszcza w katastrofie
mostu Dee, w maju 1847, oraz pełnił funkcję członka  Royal do wykorzystania Ŝeliwa w  kolejnictwie.
Brał  udział  w  charakterze    biegłego  w  sprawie  klęski  Tay  Bridge  (28  grudnia  1879),  gdzie  udowodnił
wpływ wiatru na most (sekcja środkowa została całkowicie zniszczona podczas burzy, co spowodowało
ś

mierć 75 osób). Dzięki temu został członkiem Komisji Królewskiej ds. skutków wpływu wiatru na

budowle (w tym czasie skutki wiatrów były zaniedbywane przy projektowaniu).

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Stokes.html i

http://pl.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes

HYDROSTATYKA

1. Gęstość

Gęstość jest wielkością słuŜącą do porównywania róŜnych materiałów. Wiadomo, Ŝe ołów jest cięŜszy
aluminium, Ŝe styropian jest bardzo lekki, a rtęć cięŜka. Aby jednak powiedzieć dokładnie jak cięŜki,
trzeba podać jego gęstość. W przypadku ciał stałych jest to stosunek masy do objętości. Matematycznie
wygląda to tak:

[ ]









W przypadku cieczy i gazów, które nie mają określonego kształtu, gęstość zaleŜy od punktu substancji i
określana wówczas jest jako granica stosunku masy do objętości, gdy objętość obejmuje coraz mniejsze
objętości obejmujące punkt:

Gęstość ciał stałych moŜna wyznaczyć przez waŜenie próbek o znanej objętości, przy wyznaczaniu
gęstości cieczy stosuje się areometry. Przy wyznaczaniu gęstości gazów stosuje się metody waŜenia
naczyń z gazem o róŜnym ciśnieniu gazu.

Areometr

−

przyrząd słuŜący do wyznaczania gęstości cieczy. Areometr po

zanurzeniu  w  cieczy  pływa  po  jej  powierzchni  w  pozycji  pionowej  (dzięki
obciąŜeniu  np.  ołowianymi  kulkami).  Głębokość,  na  jaką  się  zanurza  dolna
część  areometru  wynika  z  róŜnicy  między  cięŜarem  areometru  a  cięŜarem
wypartej  przez  areometr  cieczy.  Znając  masę  i  objętość  areometru,  na
podstawie głębokości, na jaką się zanurzył i w oparciu o prawo Archimedesa
moŜna w przybliŜeniu obliczyć gęstość analizowanej cieczy.

4.1.1.Areometr

Rozdział

sto

ść

ró

nych cieczy w temperaturze pokojowej

sto

ść

ró

nych gazów w temperaturze pokojowej

Ciecz

ρ [kg/m

] w 22

aceton

790

alkohol etylowy

790

alkohol metylowy

790

benzen

880

benzyna

700

eter etylowy

716

krew ludzka

1050

kwas azotowy

1410

kwas octowy

1050

kwas siarkowy

1840

kwas solny

1190

mleko

1030

nafta

810

oliwa

920

olej rycynowy

950

rtęć

13546

toluen

870

Gaz

ρ [kg/m

] w 20

acetylen

1,16

amoniak

0,76

argon

1,78 0

azot

1,25

butan

2,70 3

chlor

3,21

chlorowodór

1,64

deuter

0,18 8

dwutlenek azotu

2,05

dwutlenek siarki

2,83

dwutlenek węgla

1,96

etan

1,32

fluor

1,69

hel

0,17 8

metan

0,71

powietrze

1,29

propan

2,01 9

siarkowodór

1,52 9

tlen

1,43

tlenek węgla

1,25

wodór

0,08 989

HYDROSTATYKA

2. Ciśnienie

Ciśnienie płynu (określenie dla cieczy i gazów) moŜna scharakteryzować wielkością sił działających na
siebie  poszczególnych  warstw  płynu  lub  na  stykające  się  z  nimi  ciała  (np.  ścianki  naczynia).  JeŜeli
rozdzielimy objętość płynu płaszczyzną, to dwie części oddziałują na siebie określonymi siłami (tzw. siły
parcia).  I  właśnie  stosunek  siły  parcia  na  dowolną  powierzchnię  w  płynie  do  wielkości  tej  powierzchni
nazywamy ciśnieniem.

Stosunek ten ilościowo określa wzór:









Jednostką ciśnienia jest paskal (Pa)

−

siła 1 niutona wywierana na powierzchnię 1m

Ciśnienie hydrostatyczne (dla powietrza – aerostatyczne) to ciśnienie wywierane przez ciecz na dno
naczynia

gdzie ρ to gęstość cieczy









, h

−

wysokość słupa cieczy

Patrząc na powyŜszy wzór moŜna dojść do ciekawego wniosku. Ciśnienie na dnie naczynia nie zaleŜy od
kształtu naczynia, a jedynie od wysokości słupa cieczy (im większe zanurzenie, tym większe ciśnienie).
Jest to tzw. paradoks hydrostatyczny.

4.2a

4.2b

4.2a) Doświadczenie Pascala pokazujące jak niewielka ilość cieczy, ale za to "wysoka" potrafi rozsadzić
beczkę.
4.2b) Paradoks hydrostatyczny

−

ciśnienie na dnie w kaŜdym naczyniu jest takie samo.

Im wyŜszy słup płynu, typ większy nacisk.  Np. na Ziemi ciśnienie w wodzie (ciśnienie hydrostatyczne)
zwiększa się co 10 m o jedną atmosferę.
Inny  wniosek z tego faktu wynikający to fakt, Ŝe cięŜar słupa powietrza  nad nami jest  równy  cięŜarowi
słupa  wody  o  wysokości  10m  (a  jest  to  nie  byle  co,  bo  10  ton  wody  na  kaŜdy  metr  kwadratowy!).  A
wewnątrz ciała musimy wytworzyć takie samo ciśnienie by móc normalnie funkcjonować!

Na  podstawie  średniej  wielkości  ciśnienia  atmosferycznego  na  Ziemi  na  poziomie  morza  wprowadzono
jednostkę ciśnienia – atmosferę – równą 1013,25 hPa.

Ciśnienie na wysokości 0 n.p.m., p(0), wynosi ok. 10

Pa (101325 Pa), stąd dla wysokości h otrzymamy:

)

(

−

⋅

≈

Przykładowo, ciśnienie na wierzchołku Mount Everest (8848 m n.p.m.) wynosi ok. 280 hPa, czyli jest w
przybliŜeniu 3,5 razy mniejsze niŜ na poziomie morza. Natomiast połowa ciśnienia z poziomu morza,
czyli 500 hPa, występuje na wysokości ok. 4800 m n.p.m. Ciśnienie rzeczywiste przeliczone do
wysokości poziomu morza nazywa się ciśnieniem znormalizowanym.

Polskie rekordy ciśnienia:

−

1054 hPa 16 grudnia 1997,

−

1051,1 hPa 22 stycznia 2006 roku,

−

1050 hPa 3 stycznia 1993 roku,

−

1048 hPa 10 grudnia 1991 roku.

NajniŜsze zaś (965,2 hPa) notowano 26 lutego 1989 w Szczecinie i Łodzi, w Białymstoku 1 marca 2008
roku

−

962 hPa.

JeŜeli  chodzi  o  rekordy  globalne  to  najwyŜsze  zarejestrowano  19  grudnia  roku  2001  w  miejscowości
Tosontsengel  w  Mongolii  –  wyniosło  wtedy  1086  hPa.  Natomiast  najniŜsze  znormalizowane  ciśnienie
atmosferyczne,  wynoszące  870  hPa,  spowodowane  przejściem  tajfunu  Tip,  zarejestrowano  12
października roku 1979 na Północnym Pacyfiku. Dla Oceanu Atlantyckiego rekord padł 19 października
2005 roku. W oku huraganu Wilma, który potem spustoszył Florydę, zanotowano ciśnienie 882 hPa.

HYDROSTATYKA

3. Prawo Pascala

Prawo Pascala (patrz 3.3) moŜna sformułować następująco:
Ciśnienie zewnętrzne wywierane na płyn (ciecz lub gaz) jest przenoszone wewnątrz płynu we wszystkich
kierunkach jednakowo.

4.3.1 Prawo Pascala

Jest to wersja stara; w nowej wersji naleŜy jeszcze uwzględnić siłę grawitacji. Naturalne jest, Ŝe na płyn
w dolnej części działa większe ciśnienie, bo naleŜy dodać ciśnienie wywierane przez ciecz nad miejscem
pomiaru właściwego ciśnienia.

Ciśnienie w płynie na tym samym poziomie jest jednakowe. RóŜnicę ciśnień między
dwiema wysokościami opisuje wzór

)

(

−

gdzie ρ to gęstość płynu, g to przyspieszenie ziemskie, a h

, h

to wysokości. Intuicyjna interpretacja tej

prawidłowości to: ciśnienie na danej głębokości wywołuje cięŜar słupa płynu o jednostkowym przekroju,
który jest nad danym punktem.

Czyli np. w szklance wody, ciśnienie nie jest jednakowe wszędzie. Wysokość wody podzielimy na
cienkie poziome warstwy, to w takiej warstwie ciśnienie jest jednakowe. PoniŜej jest większe, a powyŜej
mniejsze.

Jakie zastosowania ma prawo Pascala? Mamy z nim do czynienia nawet tego nie wiedząc. Gdy
dmuchamy materac lub dętkę w rowerze, gdy naciskamy pedał hamulca w samochodzie. Odrębna grupą
są zastosowania czysto techniczne

−

prasy i podnośniki hydrauliczne, młot pneumatyczny.

HYDROSTATYKA

4. Prawo Archimedesa

Eureka (gr. heureka

−

znalazłem), z tym słowem nierozłącznie kojarzy się prawo Archimedesa:

Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu, skierowana do góru i równa co do
wartości cieczy wypartej przez to ciało.

Według legendy Król Syrakuz zwrócił się do Archimedesa (parz 3.1), aby ten zbadał, czy korona, którą
wykonał  dla  Hierona  II  pewien  złotnik,  zawiera  tylko  złoto,  czy  jest  to  jedynie  pozłacane  srebro.
Archimedes długo nad tym rozmyślał, aŜ wreszcie pewnego razu w czasie kąpieli w wannie poczuł jak w
miarę  zanurzania  się  w  wodzie  cięŜar  jego  ciała  się  zmniejsza.  Oszołomiony  swoim  odkryciem,
wyskoczył  z  wanny  i  z  okrzykiem  Eureka!  nago  wybiegł  na  ulicę  i  udał  się  do  króla.  Po  otrzymaniu
odpowiedniej  wartości  dla  cięŜaru  właściwego  korony  Archimedes  porównał  ją  z  cięŜarem  właściwym
czystego złota.

Wyprowadzanie wzoru na siłę wyporu

Na boczne ścianki działają siły, które się równowaŜą, a na dna cylindra siły proporcjonalne do głębokości

)

(

−

siła działająca na górne dno,

)

(

−

siła działająca na dolne dno.

4.4.1. Proste wyprowadzenie wzoru na sił

wyporu

Siła wypadkowa

( p

gh )S

( p

gh )S

gV ,

−

gdzie V =

)

(

−

– objętość.

Wynika stąd Ŝe siła wypierająca jest równa cięŜarowi cieczy wypartej i nie zaleŜy od kształtu.

Siłę wyporu da się zatem zapisać wzorem

wyporu

plynu

zanurzona

g V

⋅ ⋅

płynu

−

gęstość płynu (cieczy, gazu) w którym zanurzone jest ciało

−

[w układzie SI w kg/m

], V

zanurzona

–

objętość tej części ciała, która jest zanurzona w płynie (w układzie SI w m

), g – przyspieszenie ziemskie

[w układzie SI w m/s

]

Pływanie ciał

Na ciało zanurzone działa siła wyporu

⋅

i siła cięŜkości Q=ρgV.

Ich róŜnica to siła wypadkowa

)

(

−

....

MoŜliwe są 3 przypadki:

>ρ

−

ciało gęstsze niŜ ciecz R<0

−

ciało tonie,

II.

=ρ

−

R=0

−

ciało w równowadze z cieczą na dowolnej głębokości.

III.

>ρ

−

ciecz gęstsza niŜ ciało R<0

−

ciało pływa częściowo zanurzone.

Ilustruje to rysunek poniŜej

4.4.2. Pływanie ciał.

HYDROSTATYKA

5. Napięcie powierzchniowe

Napięcie  powierzchniowe  –  zjawisko  fizyczne  występujące  na  styku  powierzchni  cieczy  z  ciałem
stałym, gazowym lub inną cieczą. Polega na powstawaniu dodatkowych sił działających na powierzchnię
cieczy  w  sposób  kurczący  ją  (dla  powierzchni  wypukłej  przyciągający  do  wnętrza  cieczy,  dla  wklęsłej
odwrotnie). Zjawisko to ma swoje źródło w siłach przyciągania pomiędzy molekułami cieczy. Występuje
ono zawsze na granicy faz termodynamicznych, dlatego zwane jest teŜ napięciem międzyfazowym .

Jest  to  naturalna  skłonność  powierzchni  do  kurczenia  się  spowodowana  siłami  wciągającymi  cząsteczki
powierzchniowe  do  wnętrza.  W  wyniku  działania  napięcia  powierzchniowego  wszędzie,  gdzie
powierzchnia jest zakrzywiona, ciśnienie po stronie wklęsłości jest większe niŜ po stronie wypukłości.

Ilościowo  napięcie  powierzchniowe  jest  równe  pracy  potrzebnej  do  powiększenia  powierzchni  o  1  m

co moŜna wyrazić wzorem:









∆

gdzie:
γ

−

napięcie powierzchniowe, W

−

praca potrzebna do utworzenia powierzchni

∆

Zgodnie  z  ogólnym  prawem  przyrody  kaŜdy  układ  cząsteczek  dąŜy  do  znalezienia  się  w  stanie
o minimalnej  energii.  Skoro  energia  cząsteczek  przy  powierzchni  jest  duŜa  to  w  nieobecności  sił
zewnętrznych  ciecz  dąŜy  do  przybrania  takiego  kształtu,  dla  którego  przy  określonej  objętości
powierzchnia jest jak najmniejsza. Z geometrii wiadomo, Ŝe taki kształt ma kula. Dlatego krople deszczu
mają  kształt  kulisty  i  w  stanie  niewaŜkości  kaŜda  ciecz  przyjmuje  kształt  kuli.  UmoŜliwia  to  takŜe
powstawanie baniek mydlanych.

Gdy  ciecz  jest  w  naczyniu,  w  pobliŜu  ścianek  oprócz  sił  spójności  działają  siły  oddziaływania  między
cząsteczkami cieczy i cząsteczkami ciała stałego nazwane siłami przylegania.

JeŜeli  siły  spójności  są  większe  niŜ  siły  przylegania,  to  tworzy  się  menisk  wklęsły,  jak  w  przypadku
wylanej  rtęci.  MoŜna  to  równieŜ  zaobserwować  jeśli  naczynie  szklane  natłuścimy  i  wlejemy  wodę,
bowiem  siły  przylegania  między  cząsteczkami  wody  i  tłuszczu  są  znacznie  mniejsze  od  sił  spójności
między  cząsteczkami  wody.  W  przeciwnym  razie  (siły  spójności  <  siły  przylegania)  powstaje  menisk
wypukły.

4.5.1. Menisk wkl

sły 4.5.2. Menisk wypukły

Własność  tą  wykorzystują  kaczki  i  inne  ptaki  wodne.  Pióra  są  nasiąknięte  tłuszczem  i  woda  nie  dostaje
się pomiędzy pióra. Podobnie woda nie moŜe zwilŜać owadów wodnych ślizgających się po powierzchni
stawów,  więc  pokryte  są  substancją,  której  siły  przylegania  z  wodą  są  małe.  Parasole  i  ubrania
przeciwdeszczowe wykonujemy z takich materiałów aby woda spływała. Z tego powodu pastujemy buty.

Substancje  zmniejszające  napięcie  powierzchniowe  zwane  są  detergentami.  Dzięki  temu  moŜemy
tworzyć bańki mydlane a takŜe prać ubrania, bo wtedy woda moŜe wnikać głębiej w materiał.

Jak powstają bańki mydlane?

Skoro bańki mydlane tworzymy z detergentów, a wiadomo Ŝe detergenty obniŜają napięcie
powierzchniowe, to dlaczego bańki się nie rozpadają?

Zwykle woda chce przybrać formę kropli. Detergenty umoŜliwiają wodzie „rozciągnięcie się”. Napięcie
powierzchniowe nie znika jednak zupełnie. Zostaje go na tyle, Ŝe tęczowa bańka moŜe powstać.

4.5.3. Ba

ka mydlana

No właśnie

−

dlaczego tęczowa?

Bańka  to  naprawdę  dwie  warstwy  rozdzielone  wodą.    Kolor  to  obraz  interferencyjny,  który  powstaje  z
nakładania  się  fal.  Część  zwykłego  białego  światła  padającego  na  bańkę  przechodzi  przez  nią,  część
odbija  się  od    zewnętrznej,  a  część  od  jej  wewnętrznej  powierzchni.  Wiązka  światła  odbita  od
wewnętrznej  części  ścianki  nakłada  się  na  wiązkę  światła  odbitą  od    ścianki  zewnętrznej  i  powstaje
barwny  obraz,  zaleŜny  od  grubości  bańki.  Bańka  z  czasem  staje  się  coraz  mniejsza,  poniewaŜ
wyparowuje z niej woda,  wówczas barwne plamy zmieniają się i stają  mniej wyraźne.

4.5.4. Dyfrakcja

wiatła na ba

ce mydlanej

Napięcia powierzchniowe róŜnych substancji

Ciecz

nap. pow. [mN/m

]

Eter dietylowy

17,0

Alkohol etylowy

22,3

Alkohol metylowy

22,6

Aceton

23,7

Czterochlorek węgla

26,9

Toluen

28,4

Benzen

28,9

Olej rycynowy

36,0

Nitrobenzen

41,8

Anilina

42,9

Gliceryna

63,4

Woda destylowana

72,75

Szkło sodowo

−

wapniowe (1000

300,0

Rtęć

475,0

ZaleŜność od temperatury

Napięcie powierzchniowe silnie zaleŜy od temperatury cieczy zmniejszając się wraz ze wzrostem
temperatury i ginąc (osiągając zero) w temperaturze krytycznej lub kilka stopni poniŜej niej. Istnieją
wzory określające zaleŜność napięcia powierzchniowego od temperatury:

(

)

−

gdzie V to objętość molowa substancji, T

to temperatura krytyczna, k współczynnik zaleŜny od

substancji (dla wody k = 1.03 erg/°C, V= 18 ml/mol a T

= 374°C).

Ciśnienie wytarzane prze napięcie powierzchniowe

Zakrzywiona powierzchnia cieczy wytwarza ciśnienie określone wzorem zwanym wzorem Laplace'a

∆

gdzie dA zmiana powierzchni cieczy, wywołana dV zmianą objętości.

Dla płaskiej powierzchni

−

Dla kuli lub sfery (np. kropla deszczu)

−

Dla bańki mydlanej zamiast 2 naleŜy wstawić 4, gdyŜ bańka ma dwie warstwy.

HYDROSTATYKA

6. Włoskowatość, zjawisko kapilarne

Zjawisko włoskowatości zachodzi tylko i wyłącznie w kapilarach. Kapilara (łac. capillus

−

włos) to

cienka rurka, której średnica jest tak mała, Ŝe ciecz w niej jest całkowicie w polu oddziaływania sił
przylegania. Wytworzone jest ciśnienie powierzchniowe które unosi ciecz powyŜej poziomu cieczy
swobodnej na zewnątrz (rys A). Na rys B jest sytuacja gdy kapilara jest posmarowana tłuszczem

−

wtedy

sytuacja jest odwrotna.

rys B

4.6a,b Zjawisko włoskowate

Zjawiska włoskowate często spotykamy w przyrodzie. Występowanie ich tłumaczy

higroskopijność szeregu ciał, tzn. ich zdolność do pochłaniania wilgoci. Substancją higroskopijna jest
wata, tkaniny, gleba, beton. Te substancje składają się z mikroskopijnych naczyń i są one zwilŜane przez
wodę, czyli siły przylegania są większe niŜ spójności.

Higroskopijność betonu musi być uwzględniona w praktyce budowlanej. Pomiędzy fundament

budynku i ściany wkłada się warstwę papy, smoły czy teŜ jakiejkolwiek innej substancji, która zapobiega
przenikaniu wilgoci poprzez ściany do mieszkań.

Zjawisko włoskowatości jest podstawą Ŝycia na naszej planecie. Dzięki niemu rośliny są w stanie

pobierać wodę z gleby i transportować ją do górnych partii. Naczynia włoskowate w organizmach
Ŝ

ywych mogą dzięki temu transportować krew nawet do najdalszych komórek.

Spotkać je moŜna takŜe w pieluchach (hasło ekstra chłonne jest jak najbardziej prawdziwe właśnie

dzięki kapilarnej strukturze), ubraniach z tzw. goretexu, a nawet w świecach (knot zasysa płynny wosk z
dolnych partii świecy).

HYDRODYNAMIKA

1. Przepływy

Ruch płynów nazywamy przepływem, a uporządkowany ruch cząstek płynów poruszających się w
jednym kierunku nazywamy strumieniem (strugą).

Przepływy dzielą się na 3 kategorie:

−

ustalony

−

jeŜeli w danym punkcie prędkość przepływu nie zaleŜy od czasu (dla małych prędkości),

−

laminarny

−

jeŜeli płynącą ciecz da się podzielić na warstwy i w kaŜdej warstwie ciecz ma stałą

prędkość,

−

turbulentny

−

występuje mieszanie się warstw.

a) przepływ ustalony b) przepływ laminarny c) przepływ turbulentny

−−−−

prędkość w warstwach jest taka sama

5.1a,b,c Przepływy

Oczywiście to nie są jedyne kryteria podziału. Biorąc pod uwagę inne własności, moŜna wyróŜnić

inne koncepcje, kilka z nich jest omówionych poniŜej.

Przepływ moŜe być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest wirowy jeśli w jakimś punkcie

przestrzeni element płynu ma niezerową wypadkową prędkość kątową . Dla ilustracji tych pojęć
wyobraźmy sobie kółko z łopatkami zanurzone w poruszającym się płynie. Jeśli kółko nie obraca się
podczas ruchu mamy do czynienia z przepływem bezwirowym.

Rozdział

HYDRODYNAMIKA

2. Lepkość

Lepkość

−

najprościej rzecz ujmując, jest to tarcie wewnętrzne występujące w gazach i cieczach, które

stawia opór płynięciu.

Występuje między warstwami płynu o róŜnych prędkościach, a nie na granicy płyn

−

naczynie. Gdy dwie

warstwy  mają  róŜne  prędkości,  to  wolniejsza  warstwa  zostaje  przyspieszona,  a  ta  o  większej  prędkości
zostaje  zwolniona  (następuje  przekazywanie  pędu).  Na  granicy  powstają  siły  ścinające  prostopadłe  do
powierzchni  stykających  się.  Taki  model  warstwowy  działa  tylko  właśnie  przy  warstwach,  ale  przy
turbulencjach zawodzi.

Lepkość podzielić moŜna na 2 kategorie, z czego ta druga jest bardzo rzadko uŜywana:

−−−−

lepkość dynamiczna

−

stosunek napręŜeń ścinających do prędkości ścinania

]

[

⋅

•

W układzie SI jednostką jest paskal * sekunda

−

Pa*s

W układzie CGS jednostką lepkości dynamicznej jest puaz (P)

dyn s

cm s

Pa s

⋅

⋅ =

−−−−

lepkość kinetyczna

−

lepkość dynamiczna do gęstości cieczy w danej temperaturze

[ ]

Współczynnik lepkości dynamicznej dla rozrzedzonych gazów doskonałych jest proporcjonalny do
pierwiastka z temperatury (nie zaleŜy od ciśnienia), dla cieczy współczynnik ten jest odwrotnie
proporcjonalny do temperatury, a rośnie wraz ze wzrostem ciśnienia.

HYDRODYNAMIKA

3. Liczba Reynoldsa

OtóŜ by rozróŜnić z jakim przypadkiem mamy do czynienia, naleŜy wyznaczyć dla danej cieczy jej tzw.
liczbę Reynoldsa (patrz 3.4), którą zaproponował irlandzki inŜynier w XIX w.

Osborne Reynolds rozwaŜał jaka jest siła oporu F ośrodka ciągłego o lepkości

i gęstości ρ na

poruszającą się w nim kulę o promieniu r i prędkości v. Wziął pod uwagę następujące wielkości oraz ich
wymiary:

N s

[ ]

m s

⋅

Chciał z tych parametrów otrzymać wielkość bezwymiarową. Najpierw podzielił lepkość przez gęstość,
potem prędkość przez to co otzrymał, a na koniec wynik pomnoŜył przez r. W rezultacie otrzymał
liczbę bezwymiarową

[/]

ZauwaŜmy, Ŝe ostatni wzór moŜna wyprowadzić posługując się analizą wymiarową zapisując wyraŜenie
na liczbę Reynoldsa w postaci

v r

Znając wymiary wielkości stojących po prawej stronie ostatniego wyraŜenia oraz Ŝądając aby było ono
bezwymiarowe otrzymujemy

( )

m s



 









 







⋅



 







Warunek bezwymiarowości prowadzi do układu czterech równań algebraicznych na trzy niewiadome,
którymi są nieznane wartości wykładników a, b, c, d,

+ =

−

+ + − =

− − =

z którego otrzymujemy równości

d .

= = = −

Najprostszym z moŜliwych rozwiązań jest przyjęcie wartości jeden dla wykładnika a, co prowadzi do
poprawnego wzoru na liczbę Reynoldsa.

Szukana siła oporu (wymiar

kg m

[N]

⋅













) będąca z załoŜenia iloczynem gęstości płynu,

prędkości, promienia i bezwymiarowej liczby Reynoldsa powinna mieć postać

oporu

r .

⋅

⋅ ⋅

MoŜemy zastosować elementarną analizę wymiarową Ŝądając, aby obie strony ostatniej równości

miały takie same jednostki (a tym samym wymiary), co prowadzi do warunku

( )

kg m

⋅



 





 





 



z którego wynika układ równań

, b

−

+ + =

Rozwiązanie jest tym razem jednoznacznie określone i ma postać

, b

, c

Tak więc

oporu

jest kombinacją ρv

i liczby Reynoldsa.

Jak w praktyce stosować liczbę Rynoldsa? OtóŜ są wartości Re, powyŜej których przepływ z

laminarnego staje się turbulentnym. Nie jest to jednak kryterium uniwersalne. Dla róŜnych cieczy i
przekrojów rur liczby graniczne są róŜne, nie mniej jednak dla podobnych warunków jest to bardzo
uŜyteczne narzędzie.

Ogólnie przyjmuje się, Ŝe dla Re<2100

−

przepływ jest laminarny; przy Re>3000

−

przepływ jest

turbulentny.

Nie jest to doskonały sposób określania turbulentności, ale jak dotąd nie wymyślono niczego

lepszego.

ZaleŜność liczby Reynoldsa od przekroju (1cal=25,4 mm) i wielkości przepływającej wody w

litrach i galonach (1 galon = 3,79 litra) na minutę.

HYDRODYNAMIKA

4. Prawo Stokesa

Odkryte w 1851 r. przez Sir George'a Stokesa (patrz 3.5), odnosi się do ciała poruszającego się w płynie i
określa wartość siły oporu działającej na ruchomą kulę, gdy opływ jest laminarny

Drugi wzór to uogólniona wersja pierwszego. Wg obliczeń teoretycznych dla kuli const = 6π .

Wzór ten jest prawdziwy dla małych wartości (około 10) liczby Reynoldsa.

Kulka o gęstości większej od gęstości cieczy wrzucona do tej cieczy porusza się w niej ruchem

przyspieszonym, aŜ osiągnie stałą prędkość graniczną, kiedy to siła oporu ośrodka F osiągnie wartość
równą sile cięŜkości kulki zmniejszonej o siłę wyporu.

Wzór na prędkość graniczną jest następujący:

(

)

r g

ρ ρ

−

prędkość graniczna, g

−

przyspieszenie ziemskie, ρ

−

gęstość kulki, ρ

−

gęstość płynu.

Dla kulki spadającej w powietrzu, jego gęstość moŜna pominąć (wynosi około 1,2 kg/m

) i wzór

przyjmuje postać

Wzór ten jest prawdziwy dla kropel deszczu o
ś

rednicy poniŜej 0,3 mm. Dla większych występują

za  duŜe  zaburzenia  przepływu  powietrza  wokół
kropli             i stosuje się wzory aproksymujące dane
eksperymentalne  lub  wynikające  z  rozwiązania
pełnego równania Naviera

−

Stokesa.

5.4.1 Turbulencje wokół kropli

HYDRODYNAMIKA

5. Równanie ciągłości

Wyobraźmy sobie stacjonarny przepływ strugi cieczy, który rozdzielimy dwoma płaszczyznami 1 i 2
prostopadłymi do płaszczyzny prędkości V1 i V2. Przekroje strug wynoszą odpowiednie S1 i S2.

5.5.1 Wyprowadzanie równania ci

gło

JeŜeli ciecz jest nieściśliwa, to przez obie te powierzchnie powinny przepłynąć w jednostce czasu te same
masy (objętości) cieczy, zatem

lub

Otrzymany związek nosi nazwę

równania ciągłości

, z którego wynika, Ŝe

prędkości cieczy w strudze są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów strugi.

HYDRODYNAMIKA

6. Równanie Bernoulliego

W celu znalezienia ogólnych zaleŜności opisujących zachowanie płynącej cieczy, rozpatrzmy przepływ
ustalony doskonałej cieczy, jak na rysunku poniŜej.

5.6.1 Wyprowadzanie równania Bernoulliego.

Ciecz płynie od przekroju S

do S

. Na górną powierzchnię działa siła parcia F

, a na dolną F

W elementarnym przedziale czasu dt struga cieczy przemieści się w prawo

−

powierzchnia S

o odcinek

w połoŜenie S'

, a powierzchnia S

o odcinek v

w połoŜenie S'

. Siły działające na ciecz w tym

czasie wykonają pracę

(1)

gdzie V

−

objętość rozpatrywanej cieczy.

Parcie na ściany boczne równowaŜą się, więc moŜna je pominąć. Praca sił lepkości jest równa

zero (bo jest to ciecz doskonała). Dlatego praca sił parcia na drodze od S

do S'

i od S

do S'

będzie

równa zmianom energii kinetycznej i potencjalnej cieczy. Wynoszą one odpowiednio:

mgh

mgh ,

(2)

gdzie h

i h

to odpowiednie wysokości (rysunek).

Porównując pracę (1) z przyrostem energii (2) otrzymujemy wyraŜenie

( p

p )V

mgh

mgh ,





−









(3)

oraz równanie

1 1

F v dt

p S v dt

( p

p )V ,

−

mgh

p V

mgh

p V .

(4)

PoniewaŜ rozwaŜaliśmy dwa dowolne odcinki strugi cieczy, moŜemy równanie (4) uogólnić do

postaci

mgh

const ,

(5)

które jest

równaniem Bernoulliego

(patrz 3.2).

Dzieląc je stronami przez V i wstawiając zamiast m/V gęstość cieczy ρ mamy jeszcze inną postać
równania Bernoulliego

const

(6)

Na podstawie równań (5) i (6) moŜna słownie sformułować

prawo Bernoulliego

Suma energii kinetycznej, potencjalnej i ci

nienia jednostki masy (lub jednostki obj

ci)

ustalonego przepływu cieczy doskonałej jest wielko

stał

To nie wszystko. Najczęściej mamy do czynienia z cieczą na jednej wysokości (kanalizacja, rzeki), więc
człon ρgh moŜna pominąć (a dokładnie włączyć do const) i równanie przyjmuje jeszcze inną postać:

const

(7)

−

ciśnienie statyczne, qv

−

ciśnienie dynamiczne.

RozwaŜmy równanie (4), w którym pomijamy róŜne wysokości (co oznacza, Ŝe struga cieczy płynie
poziomo). Wtedy

(8)

PoniewaŜ obie strony są sobie równe, to zmniejszenie jednego parametru po lewej musi skutkować
zwiększeniem innego parametru po prawej (oprócz masy oczywiście). Stąd da się wyciągnąć dwa
wnioski:

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku gdzie

przekrój jest mniejszy.

5.6.2. Rurka Venturiego obrazuj

ca prawo Bernoulliego

Podana wyŜej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoullego

(patrz 3.2) i nie potrafiono jej wytłumaczyć. Stwierdzenie to kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu
ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoksu hydrodynamicznego.

Ten efekt obecny jest równieŜ w organizmach Ŝywych. Przejawia się pod postacią migotania

tętnicy. Krew płynie przez tętnice, w stanie równowagi ciśnienie wewnątrz jak i na zewnątrz nich są takie
same. Ale złogi cholesterolowe mogą powodować zmniejszenie średnicy tętnicy dostępnej do przepływu
krwi. PoniewaŜ krew musi krąŜyć, to w tym miejscu zaczyna przyspieszać, a w rezultacie maleje
ciśnienie wewnątrz takiej tętnicy. Zaczynają na nią napierać siły zewnętrzne, co jeszcze zmniejsza
ś

rednicę tętnicy. Dochodzi do chwilowego zatoru, a potem (wskutek ciśnienia – krew cały czas napływa!)

szybkiego rozszerzenia tejŜe tętnicy. Sytuacja powtarza się. Człowiek doznaje działania efektu migotania
tętnicy. Gdy mamy do czynienia z drugorzędną tętnicą, to ryzyko jest małe, ale gdy jest to jedna z tętnic
sercowych, grozi to atakiem serca.

Dobry przykładem na zobrazowanie paradoksu hydrodynamicznego jest zwykły kran w domu. W

początkowej fazie tuŜ przy kranie strumień wypływającej wody jest szeroki . Nieco poniŜej zauwaŜalnie
zwęŜa się, bo woda opadając w dół przyspiesza.

5.6.3. Paradoks hydrodynamiczny

−−−−

ksza pr

dko

ść

przy takiej samej obj

ci skutkuje mniejszym przekrojem.

HYDRODYNAMIKA

7. Efekt Magnusa

Zgodnie  z  równaniem  Bernoulliego  wiemy,  Ŝe  przy  większej  prędkości  ciśnienie  maleje.  Kiedy
popatrzymy na obracającą się wokół osi poziomej piłkę w locie, to zobaczymy, Ŝe u góry piłki prędkość
cząsteczek  powietrza  jest  większa  niŜ  u  dołu.  Jest  to  wynik  lepkości  powietrza,  która  powoduje
zwiększenie  prędkości  powietrza  nad  górna  powierzchnią  piłki  (ruch  obrotowy  piłki  przyczynia  się  do
wzrostu prędkości opływu piłki przez cząsteczki powietrza; prędkość powietrza jest w przybliŜeniu sumą
prędkości  ruchu  postępowego  i  obrotowego  piłki,  które  się  dodają;  patrz  rysunek).  TakŜe  lepkość  jest
przyczyną  tego,  Ŝe  prędkość  powietrza  u  dołu  piłki  jest  mniejsza,  poniewaŜ  w  przybliŜeniu  jest  ona
wypadkową  prędkości  ruchu  postępowego  i  obrotowego  piłki,  które  się  odejmują;  patrz  rysunek.  Na
podstawie  wzoru  (7)  wnioskujemy,  Ŝe  ciśnienie  w  strumieniu  opływającego  powietrza  z  góry  piłkę  jest
mniejsze  od  jej  ciśnienia  u  dołu  piłki.  W  efekcie  pojawia  się  siła  powodująca  wznoszenie  się  piłki  do
góry.  Jest to tzw. efekt Magnusa.

5.7.1. Efekt Magnusa

Do samodzielnej analizy pozostawiamy przypadek, w którym piłka obraca się w kierunku

przeciwnym do pokazanego na rysunku.

Interesującym jest równieŜ lot i siły działające na piłkę (np. futbolową), która lecąc w powietrzu

wiruje  wokół  osi  pionowej  (poprzednio  wirowała  wokół  osi  poziomej).  Z  takim  zjawiskiem  mamy  do
czynienie  wówczas,  gdy  piłkarz  uderza  nogą  w  piłkę  futbolową  nadając  jej  ruch  postępowo-obrotowy
(noga nie uderza w piłkę centralnie). Piłka nie wykonuje wówczas lotu po krzywej balistycznej połoŜonej
w  jednej  pionowej  płaszczyźnie  (tak,  jak  to  obserwujemy  przy  rzucaniu  w  powietrzu  kamieniem  lub
kulką  metalową).    Jeśli  wyobrazimy  sobie,  Ŝe  rysunek  5.7.1  przedstawia  widok  z  góry  piłki  futbolowej
wirującej  wokół  osi  pionowej  (zgodnie  z  ruchem  wskazówek  zegara),  to  analogiczne  rozumowanie  do
przeprowadzonego powyŜej, prowadzi do wniosku, Ŝe piłka zbacza w kierunku obszaru zaznaczonego na
rysunku słowem podciśnienie.

Jaki będzie lot piłki, która wirowałaby w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara?

Zjawisko Magnusa odkryto w czasie prób celności pocisków armatnich wystrzeliwanych

z gwintowanych luf nadających pociskom ruch wirowy.

Wykorzystywany w sportach (piłka noŜna, siatkówka, baseball, windsurfing) ale takŜe do budowy

elektrowni  wiatrowych.  Elektrownia  taka  ma  zamiast  tradycyjnych  skrzydeł  rolki,  które  obracają  się  w
porywach wiatru, a potem całość obraca się pod wpływem siły Magnusa. Ich zaletą  jest to, Ŝe znacznie
zmniejszają  ryzyko wpadnięcia ptaka w taki wiatrak niŜ w tradycyjny, a takŜe brak infradźwięków, które
generują tradycyjne wiatraki (ilustracje poniŜej)

5.7.2. Elektrownia wyk. 5.7.3. Pojedynczy wałek z takiej elektrowni
efekt Magnusa

Efekt Magnusa moŜna teŜ zaobserwować wokół ciał asymetrycznych, gdy ta asymetria jest

wzdłuŜ kierunku ruchu. ZaleŜność tę wykorzystuje się w locie samolotów i śmigłowców, w działaniu
ś

rub napędowych statków, a takŜe spoilerów samochodowych, co widoczne jest w konstrukcji przednich

i tylnych elementów bolidów biorących udział w wyścigach formuły F-1.

Powietrze opływając laminarnie skrzydło samolotu od góry pokonuje dłuŜszą drogę, a więc ma

większą prędkość od powietrza opływającego skrzydło od dołu (patrz rysunek poniŜej). RóŜnica ciśnień
w tym przypadku jest skierowana w górę (w spoilerach sytuacja jest odwrotna

−

tam chodzi o dociśnięcie

samochodu/bolidu do drogi).

5.7.4 Opływ powietrza wokół skrzydła 5.7.5.K

t natarcia - taki k

t aby

stosunek F

do F

był jak najmniejszy

Wartości sił zamieszczonych na rysunku wynoszą

C S v ,

gdzie v

−

prędkość, S

−

największa powierzchnia przekroju ciała względem ruchu, C

, C

−

eksperymentalnie dobrane współczynniki oporu i siły parcia, ρ

−

gęstość.

Jakość skrzydła określa się współczynnikiem

. Im mniejszy tym lepiej – samolot ma

lepsze własności lotne.

Jednak aby kilkudziesięciotonowy samolot uniósł się w powietrze, samo zjawisko Bernoulliego

nie wystarczy. Aby róŜnice prędkości były odpowiednio duŜe skrzydło musiałoby mieć mniej więcej
kształt pokazany na poniŜszym rysunku, który jest absurdalny z punktu widzenia konstrukcji płatowca
samolotu.

5.7.6. ”Skrzydło Bernoulliego”

Samolot wznosi i utrzymuje się w powietrzu dzięki III zasadzie dynamiki Newtona. Skrzydła

samolotu są ukośnie nachylone do poziomu. Powoduje to, Ŝe w czasie poruszania się, gigantyczne masy
powietrza  są  wpychane  w  dół  (są  dociskane  do  ziemi;  w  ciągu  sekundy  jest  to  kilka  mas  samolotu).
Zgodnie  z  III  zasadą  dynamiki  Newtona,  powietrze  z  taką  samą  siłą  działa  na  skrzydła  samolotu
wypychając go ku górze. Dopiero wtedy (tj. po zsumowaniu sił wynikających z róŜnicy ciśnień i parcia
mas powietrza) moŜliwe jest oderwanie się samolotu od ziemi.

PoniŜej pokazano jak powietrze jest spychane w dół przez samolot.

5.7.7. Efekt „downwash”

(

ródło http://www.av8n.com/irro/gallery.html)

HYDRODYNAMIKA

8. Kawitacja

Czym jest kawitacja (ang. cavity = dziura, ubytek)? Zostało powiedziane, Ŝe większa prędkość zmniejsza
ciśnienie. Ale to nie wszystko. Mniejsze ciśnienie to równieŜ niŜsza temperatura wrzenia cieczy (chcąc
zaparzyć wodę na herbatę na Mount Evereście (8848 m n.p.m.) potrzeba tylko 65

C). Przy odpowiednio

duŜych prędkościach obiektu poruszającego się w cieczy mogą powstać bąbelki gazu w obrębie cieczy
(ciecz lokalnie gotuje się i intensywnie paruje). Jest to efekt krótkotrwały

−

po chwili bąbelki implodują.

Implozje są źródłem hałasu (problem na łodziach podwodnych) ale teŜ niszczą sprzęt (róŜnice ciśnień
sięgają kilku rzędów wielkości).

5.8.1. Kawitacja za

rub

motorow

5.8.2. Zniszczenia kawitacyjne

Kawitację moŜna wykorzystać. Jeden ze sposobów to pompa kawitacyjna, gdzie woda jest

podgrzewana dzięki kawitacji, a drugim (choć na razie jeszcze raczej teoretycznym)

−

torpedy

kawitacyjne.  W  załoŜeniu  ma  to  działać  tak:  na  dziobie  torpedy  montujemy  urządzenie  kawitacyjne  i
odpalamy. Bąble z kawitacji zaczynają otaczać torpedę i po  chwili mamy  pocisk, który juŜ nie płynie a
leci  w  parze  cieczy  (tj.  w  parze  powietrza)  z  prędkością  bliską  prędkości  dźwięku  (ok.  1200  km/h)!
Niektórzy  twierdzą,  Ŝe  pierwsze  próby  z  taką  torpedą  (nazwa  "Szkwał")  przeprowadzili  Rosjanie
(podobno Kursk testował takie torpedy w 2000 r. co było przyczyną jego zatonięcia i niechęci Federacji
Rosyjskiej do przyjęcia obcej pomocy w misji ratunkowej i wydobywaniu wraku).

5.8.3. Torpeda kawitacyjna „Szkwał”

W niektórych salonach kosmetycznych jest dostępny ultradźwiękowy peeling kawitacyjny pomagający
usunąć z organizmu zrogowaciały naskórek, oczyścić pory.

PODSUMOWANIE

Celem mojej pracy było opracowanie e-lekcji, która byłaby kompendium podstawowej wiedzy

z zakresu hydrostatyki i hydrodynamiki wymaganej od uczniów szkół ponadgimnazjalnych.

Zrealizowana została w postaci pisemnej i witryny internetowej, na której zamieszczone zostały

definicje i wzory, oraz eksperymenty i doświadczenia, które (z racji specyfiki mojego tematu)

z powodzeniem moŜna przeprowadzić samodzielnie.

Opracowując materiał, starałem się znaleźć ciekawe wiadomości oraz interesujące zjawiska

i efekty. Nie chciałem zanudzać czytelnika, ale sprowokować go do samodzielnego drąŜenia tematu

i prób podejmowania pogłębiania wiedzy fizycznej dotyczącej płynów.

Za szczególnie istotne i ciekawe uwaŜam rozdziały poświęcone napięciu powierzchniowemu

(4.5), włoskowatości (4.6), efektowi Magnusona (5.7) oraz kawitacji (5.8).

W tym kontekście warto odnotować, Ŝe w wielu podręcznikach niesłusznie twierdzi się, Ŝe

samolot unosi się tylko dzięki róŜnicy ciśnień strug powietrza opływających z dołu i góry skrzydła.

W rzeczywistości najistotniejszą rolę odgrywa oddziaływanie mas powietrza napływających na skrzydła

(patrz rozdział 5.7), co jest znakomitym przykładem działania III zasady dynamiki.

ywy kontakt z nauką i podstawową wiedzą fizyczną jest moim zdaniem najlepszym z moŜliwych

sposobów uczenia się. Pozwala na bieŜąco sprawdzać prawa fizyczne i obserwować je w działaniu

podczas prób samodzielnego rozumienia ich przebiegu.

Do pracy dołączony jest CD zawierający tekst pracy w plikach Hydrostatyka i hydrodynamika.doc

i HiH.pdf oraz witrynę z e-lekcją standardowo uruchamianą z pliku index.html

Rozdział

BIBLIOGRAFIA

[1] Czesław Bobrowski,

−

Fizyka

−

krótki kurs; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa

wydanie 4; rok wydania 2004

[2] Young and Friedman

−

University Physics, 10th Edition; wyd. Addison-Wesley

[3]     W. Salejda, notatki do wykładów

[4]      http://www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.php?str=bernoullidaniel

[5]      http://www.ftj.agh.edu.pl/~Lenda/bern/BERN_ENT.pdf

[6]      http://pl.wikipedia.org/wiki/Kropla

[7]      http://www.fizykon.org/statyka_osr_ciagle/osr_c_sila_wyporu.htm

[8]      http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Pascal.html

[9]      http://mpancz.webpark.pl/fizarchi

[10]

wwwnt.if.pwr.wroc.pl/kwazar/ mtk2/fizycy/126784/liczba

[11]

wwwnt.if.pwr.wroc.pl/kwazar/ mtk2/fizycy/126179/default

[12]

http://www.elektrownie-wiatrowe.org.pl/t_magnus

[13]

http://www.myzlab.pl/ciekawostki/kawitacja/

[14]

http://www.scholaris.edu.pl/cms/index.php/resources/5647

[15]

http://www.fizyka.net.pl (cz

ęść

o napi

ciu powierzchniowym)

[16]

Daniel Bargieł Flash MX 2004 Action Script :

wiczenia praktyczne /. Gliwice : "Helion",

cop. 2005 poprawi

[17]

Shane Rebenschied, Lynda Weinman; [tł. Jakub Thiele-Wieczorek, Marcin Samodulski]

−

Macromedia Flash MX 2004 :sztuka projektowania; wyd. Helion, Gliwice 2005

[18]

Maria Sokół

−

Tworzenie stron WWW ; wyd. Helion, Gliwice 2006

Rozdział