Temat ćwiczenia: Analiza drgań harmonicznych struny
Wstęp teoretyczny
Fala stojąca to fala, której pozycja w przestrzeni nie zmienia się, są to właściwie drgania ośrodka, a
idealna fala stojąca tak naprawdę nie jest falą - drgania się nie propagują. W przypadku struny
zamocowanej na dwóch końcach fala stojąca jest wynikiem interferencji fali biegnącej w kierunku
zamocowania z falą odbitą.
Dyspersja fal jest to zjawisko rozchodzenia się fali w ośrodku z prędkością fazową zależną od ich
częstotliwości. Prawdziwe dla ośrodków, których właściwości zależą od częstotliwości. W takich
ośrodkach fale o różnych częstotliwościach rozchodzą się z różną prędkością.
Opis stanowiska
Stanowisko pomiarowe przystosowane do badań drgań harmonicznych struny złożone z:
1. naprężonej struny o regulowanej długości;
2. linijki do określenia długości struny;
3. komputera ze wzmacniaczem sterującym elektromagnesem, podłączonym w miejscu głośnika,
przetwarzającym sygnał elektryczny na siłę mechaniczną działającą na strunę;
4. oscyloskopu z podłączonym do struny przetwornikiem piezoelektrycznym.
Przebieg doświadczenia
1. Odpowiednio dobrać skale na obu osiach oscyloskopu: poziomej (czas) i pionowej (napięcie).
2. Ustawić elektromagnes na środku struny.
3. Znaleźć częstotliwość podstawową drgań zwiększając powoli częstotliwość i jednocześnie
obserwować strunę oraz ekran oscyloskopu.
4. Odszukać kolejne harmoniczne drgań struny.
Opracowanie wyników pomiarów
Tabela 1
N
1
68
2
136
3
205
4
273
5
342
6
410
7
478
8
547
9
619
10
687
11
759
12
828
13
890
14
966
15
1042
ν
N
, Hz
W Tabeli 1 zebrano zaobserwowane częstotliwości harmonicznych i ich numery.
Długość struny ustawiono na L=0,85m.
Przy braku dyspersji zachodziłaby zależność:
ν
N '=
N ν
1
, a wartości kolejnych harmonicznych
przedstawiałyby się jak w Tabeli 2.
Tabela 2
Na Wykresie 1 przedstawiono zależność rejestrowanych częstotliwości harmonicznych
ν
N
od ich
kolejnego numeru N. Na tym samym wykresie zaznaczono przebieg funkcji
ν
N '=
N ν
1
, która zakłada
liniową zależność między częstotliwością
ν
N '
wyższych harmonicznych a częstotliwością podstawową
ν
1
.
N
1
68
2
136
3
204
4
272
5
340
6
408
7
476
8
544
9
612
10
680
11
748
12
816
13
884
14
952
15
1020
ν
N
'=Nν
1
, Hz
Niepewność pomiaru długości dla struny:
u(L)=1mm=0,001m
Czyli:
L=0,850(1)m
Założona niepewność:
u(
ν
N
)=2Hz
Prędkość rozchodzenia się fali wyznaczona jest ze wzoru:
v
=2L
ν
N
/N
Niepewność prędkości wyznaczona jest na podstawie prawa propagacji niepewności:
u v=
[
2L
N
u ν
N
]
2
[
2ν
N
N
u L]
2
Tabela 3 przedstawia uzyskane wyniki obliczeń.
Tabela 3
Wykres 2 przedstawia zależność prędkości fali od częstotliwości wraz z niepewnościami.
Wnioski
Wykres zmierzonych kolejnych częstotliwości harmonicznych nie pokrywa się z wykresem
teoretycznym. Im większa harmoniczna tym bardziej częstotliwość zmierzona odbiega od teoretycznej.
Wykres prędkości rozchodzenia się fali od częstotliwości pokazuje, że im wyższa częstotliwość tym
większa jest prędkość fali, a ewentualne odstępstwa od tego mogły być wynikiem niedokładności
pomiaru długości struny, ustawienia elektromagnesu lub odczytu z oscyloskopu. Dowodzi to istnienia
zjawiska dyspersji fali czyli istnienia zależności prędkości fali od częstotliwości.
N
v, m/s
u(v)
1
68
68
115.6 3.4027189129
2
136
136
115.6 1.7054313237
3
205
204 116.16666667 1.141543789
4
273
272
116.025 0.8608903821
5
342
340
116.28 0.6936239904
6
410
408 116.16666667 0.5829141351
7
478
476 116.08571429 0.5045494252
8
547
544
116.2375 0.4464589147
9
619
612 116.92222222 0.4020417643
10
687
680
116.79 0.3667134576
11
759
748
117.3 0.3384984344
12
828
816
117.3 0.3151535781
13
890
884 116.38461538 0.2952122895
14
966
952
117.3 0.2793270338
15
1042
1020 118.09333333 0.2658575726
ν
N
, Hz
ν
N
'=Nν
1
, Hz