Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

Sprawozdanie z

ć

wiczenia nr 45

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej .

I. Zagadnienia teoretyczne:

1) Dyfrakcja i interferencja

ś

wiatła .

Zjawisko dyfrakcji (ugi

ę

cia) odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu si

ę

promieni

ś

wietlnych przechodz

ą

cych w pobli

ż

u przeszkody (np. brzeg szczeliny). Dyfrakcji

ulega

ś

wiatło tylkona takich przeszkodach (szczelinach), których rozmiary s

ą

porownywalne z długo

ś

ci

ą

fali

ś

wietlnej.

Gdy

d

≫ λ

– dyfrakcja nie wyst

ę

puje.

Jasne pr

ąż

ki (maksima) powstaj

ą

w miejscach, dla których spełniony jest warunek:

∆r

=nλ

lub w innej postaci:

d

・

sinα

=nλ (n=0,1, 2... – rząd widma)

gdzie:

d

– stała siatki (odległość między dwoma sąsiednimi

szczelinami).

Ciemne pr

ąż

ki (minima) powstaj

ą

w miejscach, dla których spełniony jest warunek:

d

⋅sin

α

=(2n1)

λ

2

(n=0, 1, 2, ...)

Je

ż

eli na siatk

ę

pada

ś

wiatło białe, to jasnymi pr

ąż

kami staj

ą

si

ę

pełne widma

ś

wiatła białego (w

ą

skie t

ę

cze), co zostało przedstawione na rys. 01.

Rys. 01. - Dyfrakcja światła białego.

1/9

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

Interferencja jest to zjawisko nakładania si

ę

fal prowadz

ą

ce do zwi

ę

kszania lub

zmniejszania amplitudy fali wypadkowej. Interferencja zachodzi dla wszystkich rodzajów
fal, we wszystkich o

ś

rodkach, w których mog

ą

rozchodzi

ć

si

ę

dane fale.

Siatka dyfrakcyjna to układ równoległych i równo oddalonych od siebie szczelin

(lub otworów), przepuszczaj

ą

cych

ś

wiatło. Je

ż

eli na siatk

ę

pada monochromatyczna fala

ś

wietlna, to na ekranie, po drugiej stronie siatki, otrzymujemy obraz dyfrakcyjny w postaci

jasnych i ciemnych pr

ąż

ków.

Rys. 02. - Siatka dyfrakcyjna.

Je

ż

eli

ś

wiatło o długo

ś

ci fali l pada prostopadle na siatk

ę

dyfrakcyjn

ą

o stałej d to

pod okre

ś

lonymi k

ą

tami obserwowa

ć

b

ę

dziemy pr

ąż

ki interferencyjne. K

ą

ty a pod którymi

mo

ż

na obserwowa

ć

wzmocnienia spełniaj

ą

zale

ż

no

ść

:

dsin

α

=k

λ

Rys. 03. - Światło padające na siatkę dyfrakcyjną, tworzące prążki interferencyjne,

gdzie k jest rzędem wzmocnienia.

2/9

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

Dodatnie warto

ś

ci k odpowiadaj

ą

pr

ąż

kom widocznym po prawej a ujemne po lewej

stronie od pr

ąż

ka zerowego, który ma barw

ę

ś

wiatła białego. K

ą

t a musi spełnia

ć

zale

ż

no

ść

:



π

2

< a

k

<

π

2

czyli

k

λ

d

< 1

Oznacza to,

ż

e istnieje maksymalne k

max

, które musi spełnia

ć

zale

ż

no

ść

:

k

max

<

d

λ

Nie jest mo

ż

liwe uzyskanie na ekranie niesko

ń

czonej ilo

ś

ci pr

ąż

ków.

Obliczmy ile pr

ąż

ków zobaczymy na ekranie je

ś

li stała siatki 2*10 -3 a długo

ść

fali

ś

wiatła,

którym o

ś

wietlili

ś

my siatk

ę

wynosi 400 nm

→

k

max

< 5. Zatem zaobserwujemy 5 pr

ąż

ków z

prawej, 5 z lewej strony i jeden zerowy w

ś

rodku > razem 11 pr

ąż

ków.

2) Dyfrakcja typu Fraunhofera na szczelinie .

Gdy dyfrakcji ulega fala płaska, a wynik obserwujemy w niesko

ń

czono

ś

ci jest to tzw.

dyfrakcja Fraunhofera (por. interferencja dalekiego pola).

Rys. 04. - dyfrakcja Fraunhofera

Dzielimy nasz

ą

szczelin

ę

o szeroko

ś

ci a na n niesko

ń

czenie małych odcinków o

długo

ś

ci

a

∆

. Dodajemy przyczynki pochodz

ą

ce od ka

ż

dej fali składowej. Poniewa

ż

3/9

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

obserwacja zachodzi w niesko

ń

czono

ś

ci, traktujemy fale składowe jako płaskie (dalekie

pole), o takiej samej fazie pocz

ą

tkowej (płaska fala padaj

ą

ca), dla uproszczenia równej

zeru.
Znajdziemy sum

ę

interferencyjn

ą

:

(

)

∑









∆

+

−

∆

=

j

j

l

l

t

E

E

0

2

cos

λ

π

ω

gdzie

0

l

oznacza drog

ę

(optyczn

ą

) przebyt

ą

przez pierwsz

ą

, skrajn

ą

fal

ę

. Ka

ż

da kolejna

fala przebywa drog

ę

dłu

ż

sz

ą

o wielko

ść

:

( )

α

sin

a

j

l

j

l

j

∆

=

∆

=

∆

Wypadkow

ą

fal

ę

mo

ż

emy znale

źć

korzystaj

ą

c z wzorów na (niesko

ń

czone...) szeregi

funkcji trygonometrycznych albo stosuj

ą

c metod

ę

wykresu wskazowego.

Jak wida

ć

,

ś

wiatło rozchodzi si

ę

za szczelin

ą

nie tylko wzdłu

ż

osi OZ, ale tak

ż

e

ugina si

ę

na boki – lepiej wida

ć

to w biegunowym układzie współrz

ę

dnych:

Rys. 05. - Rozchodzenie się światła za szczeliną, w biegunowym układzie współrzędnych.

4/9

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

Zamiast wi

ą

zki równoległej otrzymujemy wi

ą

zk

ę

rozbie

ż

n

ą

– jej rozwarto

ść

k

ą

towa

mo

ż

e by

ć

okre

ś

lona jako kierunek, pod którym wida

ć

pierwsze minimum dyfrakcyjne:

( )

π

λ

π

=

Θ

1

sin

a

Dla niewielkich k

ą

tów obserwacji maksima i minima dyfrakcyjne widziane s

ą

pod k

ą

tami:

a

m

m

λ

=

Θ

II. Metodologia pomiarów:

Układ pomiarowy składa się z ławy optycznej, na której zamocowane są: laser – dający

skolimowaną wiązkę światła monochromatycznego (

nm

632

=

λ

), siatka dyfrakcyjna S, soczewka

skupiająca L o ogniskowej f oraz ekran E.

Obraz wytworzony przez siatk

ę

dyfrakcyjn

ą

obserwujemy na ekranie umieszczonym

w tylnej płaszczy

ź

nie ogniskowej soczewki L . Spełniony jest wi

ę

c warunek:

b

k

f

x

x

k

k

k

λ

ϕ

=

=

+

sin

2

2

.

Z tej równo

ś

ci otrzymujemy warto

ść

stałej siatki b równ

ą

:

k

k

x

f

x

k

b

2

2

+

⋅

=

λ

W obrazie powstaj

ą

cym w tylnej płaszczy

ź

nie ogniskowej soczewki L policzy

ć

ile

maksimów głównych (n) mie

ś

ci si

ę

w głównym maksimum obrazu dyfrakcyjnego. Z

zale

ż

no

ś

ci:

5/9

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

n

a

b

=

−

1

2

0

wyliczy

ć

przybli

ż

on

ą

szeroko

ść

szczelin a

0

siatki dyfrakcyjnej.

Gdyby w miejsce soczewki sferycznej u

ż

y

ć

soczewki cylindrycznej na ekranie E

zamiast punktów uzyskaliby

ś

my odcinki o wysoko

ś

ci równej długo

ś

ci rys siatki

dyfrakcyjnej.

Tabela pomiarów

k

x

k

f

n

[cm]

[cm]

[-]

1.
2.
3.

-1.
-2.

4,3
9,3

15,0

4,3
9,3

27

5

III. Obliczenia:

1. Z podanego poniżej wzoru obliczam wartość stałej siatki:

b

k

=

k

λ

⋅

√

x

k

2

+ f

2

x

k

λ

= 632

µ

m = 0,0632 cm

Przykładowe obliczenia:
dla k=1
x

1

=4,3 cm

b

=

1

⋅0,0632 cm⋅

√

(4,3 cm)

2

+(27 cm)

2

4,3

b

=

0,0632 cm

⋅

√

18,49 cm

2

+729 cm

2

4,3 cm

b

=

0,0632 cm

⋅27,3403 cm

4,3 cm

b

=0,4018 cm

[4018

µ

m

]

6/9

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

k

λ

x

k

f

b

k

[-]

[cm]

[cm]

[cm]

[cm]

1
2
3

-1
-2

0,0632

4,3
9,3

15

4,3
9,3

27

0,4018
0,3881
0,3904
0,4018
0,3881

2. Wyliczam szeroko

ść

szczeliny a

0

oraz

b

a

0

, korzystaj

ą

c z wzoru:

2b

a

0

1=n

Z tej zale

ż

no

ś

ci wyprowadzam:

a

0

=

2b

n

+1

n = 5

Przykładowe obliczenia:
k=1
b=0,4018 cm

a

0

=

2

⋅0,4018 cm

5

+1

a

0

=0,1339 cm

b

a

0

=

0,4018

0,1339

b

a

0

≈3

k

n

b

k

a

0

b

a

0

[-]

[-]

[cm]

[cm]

[-]

1
2
3

-1
-2

5

0,4018
0,3881
0,3904
0,4018
0,3881

0,1339
0,1294
0,1301
0,1339
0,1294

3

7/9

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

3. Ze wzoru poni

ż

ej na niepewno

ść

standardow

ą

typu B obliczam u(x

k

)

u

(x

k

)=

∆

x

√

3

∆

x

=1 mm → 0,1 cm

u

(x

k

)=

0,1 cm

√

3

u

(x

k

)=0,05774

co po zaokr

ą

gleniu daje:

u

(x

k

)=0,058

4. Nast

ę

pnie ze wzoru na niepewno

ść

zło

ż

on

ą

, zapisanego poni

ż

ej, obliczam u(b):

u

(b)=

√

[

δ

b

δ

f

⋅u ( f )

]

2

+

[

δ

b

δ

x

k

⋅u (x

k

)

]

2

Obliczam poszczególne składowe:

b

=

k

λ

√

x

k

2

+ f

2

x

k

δ

b

δ

f

=

k

λ

x

k

⋅2f

√

x

k

2

+ f

2

δ

b

δ

x

k

=

k

λ

⋅(2f

2

)

x

k

3

⋅

√

1

+

f

2

x

k

2

k

x

k

f

δ

b

δ

f

δ

b

δ

x

k

u(b)

[-]

[cm]

[cm]

[cm]

[cm]

[cm]

1
2
3

-1
-2

4,3
9,3

15

4,3
9,3

27

0,02903
0,02570
0,02210
0,02903
0,02570

–0,1823

- 0,0746

-0,0398
-0,1823
-0,0746

0,011

0,005
0,003

0,011

0,005

8/9

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

Tabela pomiarów i wyników obliczeń:

k

x

k

f

b ± u(b)

n

b/a

0

a

0

[cm]

[cm]

[µm]

[-]

[-]

[µm]

1.
2.
3.

-1.
-2.

4,3
9,3

15

4,3
9,3

27

4018

± 110

3881

± 50

3904

± 30

4018

± 110

3881

± 50

5

3

1339
1294
1301
1339
1294

Wnioski:

Wyznaczona wartość stałej siatki dyfrakcyjnej b jest obarczona dosyć

małą niepewnością pomiarową , mieszczącą się w przedziale 1 – 3 %, więc
możemy stwierdzić, że ćwiczenie zostało wykonane dosyć dokładnie.

Średnia arytmetyczna wyznaczonej wartości stałej siatki dyfrakcyjnej i

błędu wynosi 3940,4

±70 µm. Jest to jedna z wielkości, charakteryzujących

użytą siatkę.

9/9