J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

1

Związki między składowymi stanu naprężeń

Ćwiczenie 6

w układzie prostokątnym i biegunowym – c.d.

Zagadnienie:

Tarcza sprężysta w postaci klina nieograniczonego

Obliczyć składowe stanu naprężenia w układzie biegunowym.

( )

,

sin

F r

C r

ϕ

ϕ

ϕ

= ⋅ ⋅ ⋅

Przewidujemy funkcję naprężeń w postaci:

, gdzie:

C

const

=

(prosta postać funkcji, podobnie jak wielomiany niższych stopni w

przypadku układu ortokartezjańskiego)

2

x

1

P

1

x

g

×

r

ϕ

α

α

,

r

ϕ

–

współrzędne

biegunowe

2

α

–

kąt wierzchołkowy

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

2

Sprawdzamy równanie biharmoniczne:

( )

,

sin

F

F r

C r

ϕ

ϕ

ϕ

=

= ⋅ ⋅ ⋅

– funkcja nap

rężeń

( )

( )

4

2

2

,

,

0

F r

F r

ϕ

ϕ





∇

= ∇ ∇

=





( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,

,

,

1

1

1

1

0

F r

F r

F r

r

r

r

r

r

r

r

r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ







∂

∂

∂

∂

∂

∂

+ ⋅

+ ⋅

+ ⋅

+ ⋅

=







∂

∂

∂

∂

∂

∂













Obliczamy:

(

)

2

2

2

2

( , )

sin

0

F r

C r

r

r

ϕ

ϕ

ϕ

∂

∂

→

=

⋅ ⋅ ⋅

=

∂

∂

(

)

1

( , )

1

1

sin

sin

F r

C r

C

r

r

r

r

r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∂

∂

→ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

∂

∂

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

1

( , )

1

1

sin

sin

cos

F r

C r

C r

C r

r

r

r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∂

∂

∂

→ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅

∂

∂

∂

(

)

(

)

2

1

cos

cos

sin

2 cos

sin

C

C r

C r

C r

r

r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

=

⋅

⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

− ⋅

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

3

Operator Laplace’a we współrzędnych biegunowych:

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

,

,

,

1

1

,

F r

F r

F r

F r

r

r

r

r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∂

∂

∂

∇

=

+ ⋅

+

⋅

∂

∂

∂

(

)

1

0

sin

2 cos

sin

C

C

r

r

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

= + ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅

− ⋅

=

2

cos

C

r

ϕ

⋅

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,

,

,

1

1

1

1

F r

F r

F r

r

r

r

r

r

r

r

r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ







∂

∂

∂

∂

∂

∂

+ ⋅

+ ⋅

+ ⋅

+ ⋅

=







∂

∂

∂

∂

∂

∂













Równanie biharmoniczne:

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

1

1

2

cos

C

r

r

r

r

r

ϕ

ϕ





∂

∂

∂





+ ⋅

+

⋅

⋅

=







∂

∂

∂















2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

cos

cos

cos

C

C

C

r

r

r

r

r

r

r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∂

∂

∂













=

⋅

+ ⋅

⋅

+

⋅

⋅

=













∂

∂

∂













3

3

3

4

2

2

cos

cos

cos

0

C

C

C

r

r

r

ϕ

ϕ

ϕ

=

⋅

−

⋅

−

⋅

=

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

4

2

2

2

1

1

rr

F

F

r

r

r

σ

ϕ

∂

∂

= ⋅

+

⋅

∂

∂

Składowe stanu naprężeń:

(

)

1

sin

2 cos

sin

C

C

r

r

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

= ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅

− ⋅

=

2

cos

C

r

ϕ

⋅

2

2

F

r

ϕϕ

σ

∂

=

=

∂

0

1

r

F

r r

ϕ

σ

ϕ





∂

∂

= −

⋅





∂

∂





(

)

1

sin

C r

r r

ϕ

ϕ

ϕ





∂

∂

= −

⋅

⋅ ⋅ ⋅





∂

∂





(

)

(

)

1

sin

cos

sin

cos

C r

C r

C

r r

r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

∂

∂





= −

⋅

⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅

+ ⋅

=





∂

∂





0

Zatem:

d

ϕ

ϕ

α

α

2

x

1

P

1

x

g

×

rr

σ

r d

ϕ

⋅

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

5

Stałą

C

wyznaczamy z warunku równowagi względem osi

1

x

„wyciętego” fragmentu klina:

1

0

x

P

=

∑

1

0

2

cos

rr

g r d

P

α

σ

ϕ

ϕ

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅

=

∫

, gdzie: g r d

element powierzchni

ϕ

⋅ ⋅

→

zatem:

1

0

2

2

cos

cos

C

g r d

P

r

α

ϕ

ϕ

ϕ





⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅

=









∫

(

)

2

1

0

4

cos

C g

d

P

α

ϕ

ϕ

→

⋅ ⋅

=

∫

Pomocnicze obliczenie całki:

(

)

2

2

cos

sin

d

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

+

⋅

=

∫

(

)

2

2

1

cos

sin

sin 2

2

d

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

⋅

=

∫

dodając stronami:

2

1

1

1

cos

sin 2

2

4

d

C

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

⋅

=

+

+

∫

odejmując stronami:

2

1

1

1

sin

sin 2

2

4

d

C

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

⋅

=

−

+

∫

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

6

Podstawiając wynik obliczeń pomocniczych:

(

)

2

1

0

4

cos

C g

d

P

α

ϕ

ϕ

⋅ ⋅

=

∫

1

0

1

1

4

sin 2

2

4

C g

P

α

ϕ

ϕ





⋅ ⋅

+

=









1

1

1

4

sin 2

2

4

C g

P

α

α





⋅ ⋅

+

=









(

)

1

2

sin 2

C g

P

α

α

⋅ ⋅

+

=

(

)

1

2

sin 2

P

C

g

α

α

→ =

⋅

+

2

2

2

1

1

rr

F

F

r

r

r

σ

ϕ

∂

∂

= ⋅

+

⋅

∂

∂

S

tąd:

2

cos

C

r

ϕ

=

⋅

(

)

1

2

cos

2

sin 2

P

r

g

ϕ

α

α





= ⋅

⋅





⋅

+





(

)

1

2

cos

2

sin 2

rr

P

g

r

ϕ

σ

α

α

⋅

=

⋅

⋅

+

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

7

Analogia:

Podobnie postępujemy dla obciążenia tarcza sprężystej

siłą pionową

:

( )

,

cos

F r

C r

ϕ

ϕ

ϕ

= ⋅ ⋅ ⋅

Przewidujemy funkcję naprężeń w postaci:

, gdzie:

C

const

=

(prosta postać funkcji, podobnie jak wielomiany niższych stopni w

przypadku układu ortokartezjańskiego)

Równanie biharmoniczne:
dla

( )

,

cos

F

F r

C r

ϕ

ϕ

ϕ

=

= ⋅ ⋅ ⋅

–

funkcja naprężeń

( )

( )

4

2

2

,

,

0

F r

F r

ϕ

ϕ





∇

= ∇ ∇

=





→ równanie jest spełnione!

,

r

ϕ

–

współrzędne

biegunowe

2

α

–

kąt wierzchołkowy

r

ϕ

α

α

g

×

1

x

2

P

2

x

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

8

2

2

2

1

1

rr

F

F

r

r

r

σ

ϕ

∂

∂

= ⋅

+

⋅

=

∂

∂

Składowe stanu naprężeń:

2

sin

C

r

ϕ

−

⋅

2

2

F

r

ϕϕ

σ

∂

=

=

∂

0

1

r

F

r r

ϕ

σ

ϕ





∂

∂

= −

⋅





∂

∂





(

)

1

cos

C r

r r

ϕ

ϕ

ϕ





∂

∂

= −

⋅

⋅ ⋅ ⋅





∂

∂





(

)

(

)

1

cos

sin

cos

sin

C r

C r

C

r r

r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

∂

∂





= −

⋅

⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅

+ ⋅

=





∂

∂





0

Zatem:

d

ϕ

ϕ

α

α

g

×

rr

σ

r d

ϕ

⋅

1

x

2

x

2

P

+

−

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

9

Stałą

C

wyznaczamy z warunku równowagi:

2

0

2

sin

rr

g r d

P

α

σ

ϕ

ϕ

− ⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅

=

∫

, gdzie: g r d

element powierzchni

ϕ

⋅ ⋅

→

zatem:

2

0

2

2

sin

sin

C

g r d

P

r

α

ϕ

ϕ

ϕ





− ⋅ −

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅

=









∫

(

)

2

2

0

2

sin

C g

d

P

α

ϕ

ϕ

→

⋅ ⋅

=

∫

Podstawiając wynik obliczeń pomocniczych:

2

0

1

1

4

sin 2

2

4

C g

P

α

ϕ

ϕ





⋅ ⋅

−

=









2

1

1

4

sin 2

2

4

C g

P

α

α





→

⋅ ⋅

−

=









(

)

2

2

sin 2

C g

P

α

α

⋅ ⋅

−

=

(

)

2

2

sin 2

P

C

g

α

α

→ =

⋅

−

S

tąd:

rr

σ

=

(

)

2

2

sin

2

sin 2

P

r

g

ϕ

α

α





− ⋅

⋅





⋅

−





(

)

2

2

sin

2

sin 2

rr

P

g

r

ϕ

σ

α

α

⋅

= −

⋅

⋅

−

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

10

Przypadek szczególny:

tarcza półnieskończona, obciążona siłą

skupioną na brzegu (tzw. zagadnienie Flamanta):

2

cos

rr

P

g

r

ϕ

σ

π

⋅

= −

⋅

⋅

0

r

ϕ

σ

=

0

ϕϕ

σ

=

Punkt osobliwy rozwiązania teorii sprężystości

0

rr

r

σ

→ ⇒

→ ∞

:

Uwaga:

Przez zmianę modelu ciała na model sprężysto–plastyczny

unikamy tej

osobliwości!

r

ϕ

rr

σ

1

x

P

2

x

g

×

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

11

Interpretacja rozkładu naprężeń:

Kon

struujemy rodzinę okręgów stycznych do krawędzi tarczy,

wszystkie o promieniach

R

.

stąd:

cos

2

r

R

ϕ

=

Wzór na naprężenia normalne:

2

cos

rr

P

g

r

ϕ

σ

π

⋅

= −

⋅

=

⋅

P

g R

π

−

⋅ ⋅

ϕ

rr

σ

r

1

x

P

2

x

g

×

2R

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

12

Mamy:

rr

P

g R

σ

π

= −

⋅ ⋅

Wniosek:
N

aprężenie radialne jest stałe

R

na każdym okręgu o promieniu !

Ponieważ

(1)

0

ϕϕ

σ

σ

=

=

oraz

(2)

rr

σ

σ

=

są naprężeniami głównymi

(gdyż:

0

r

ϕ

σ

= ), to

największą wartość naprężenia stycznego

(1)

(2)

max

2

2

P

const

g R

σ

σ

τ

π

−

=

=

=

⋅ ⋅

w punkcie otrzymamy ze wzoru:

na okręgu o promieniu

R

(do porównania z Wytrzymałością Materiałów)

Linie te

można wyznaczyć eksperymentalnie, za pomocą

elastooptyki (fotosprężystości)!

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

13

Naprężenia w układzie ortokartezjańskim:

Na podstawie wzorów odwrotnych

2

11

cos

rr

σ

σ

ϕ

=

⋅

otrzymamy:

2

2

cos

cos

P

g

r

ϕ

ϕ

π





⋅

= −

⋅

⋅





⋅





3

2

cos

P

g

r

ϕ

π

⋅

= −

⋅

⋅

zatem:

3

1

11

4

2

x

P

g

r

σ

π

⋅

= −

⋅

⋅

, gdzie:

(

)

2

2

2

4

2

2

1

2

1

2

r

x

x

r

x

x

=

+

⇒

=

+

przy czym:

1

0

x

≥

!

2

2

1 2

22

4

2

sin

x x

P

g

r

ϕϕ

σ

σ

ϕ

π

⋅

=

⋅

= −

⋅

⋅

Analogicznie:

oraz:

2

1

2

12

21

4

2

sin

cos

r

x x

P

g

r

ϕ

σ

σ

σ

ϕ

ϕ

π

⋅

=

=

⋅

⋅

= −

⋅

⋅

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

14

Wykresy

11

σ

oraz

12

σ

dla

1

x

const

=

:

Praktycznie: wykresy te opisuj

ą zagadnienie „rozchodzenia się”

siły skupionej w ośrodku izotropowym, jednorodnym.

Poza trójkątem równoramiennym, zakreślanym przez proste

nachylone pod kątem 45°, dla celów inżynierskich

0, 208

można przyjąć

naprężenia jako równe zeru!

1

x

R

P

2

x

R

R

−

2R

−

2R

+

R

+

0, 637

0, 318

0,159

0, 080

11

σ

12

σ

P

g R

×

⋅

−

−

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

15

Dyskusja!

1) Przybliżenia rozkładów naprężeń

a)

rozkład trójkątny:

(

przybliżenie po stronie bezpiecznej)

1

x

R

P

2

x

R

R

−

2R

−

2R

+

R

+

1, 0

0, 5

P

g R

×

⋅

2R

4R

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

16

b)

rozkład równomierny:

(

przybliżenie po stronie niebezpiecznej, ale z użytecznym wynikiem)

1

x

R

P

2

x

R

R

−

2R

−

2R

+

R

+

0, 5

0, 25

P

g R

×

⋅

2R

4R

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 6 • KMBiM WILiŚ PG

17

2) Superpozycja stanów

naprężenia, przykładowo:

3) Zastosowania praktyczne:

→ otwory montażowe w ścianie (poza strefą naprężeń)

→ można obliczyć wysokość, od której w ścianie obciążonej siłami

skupionymi użyty materiał może być słabszy

Uwaga: Wzory na

naprężenia dla tarcz obciążonych siłami

skupionymi (PSN) są słuszne również dla PSO!

R

R

P

P

3R

0, 5

0, 5

1, 0

P

g R

×

⋅