J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
1
P
rzykłady rozwiązań płyt
Ćwiczenie 13
w zagadnieniach obrotowosymetrycznych
Z wykładu przywołamy sobie równanie płyty w układzie
biegunowym:
( )
2
2
1
1
q r
w
w
r
r
r
r
r r
r
r
D
∂
∂
∂
∂
∇ ∇
= ⋅
⋅
⋅
⋅
=
∂
∂
∂
∂
Równanie to rozwiązujemy przez bezpośrednie całkowanie.
Po obustronnym wymnożeniu przez
r
i scałkowaniu otrzymujemy:
( )
1
1
1
w
r
r
r q r
dr
C
r r
r
r
D
∂
∂
∂
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
∂
∂
∂
∫
Dzielimy przez
r
i ponownie całkujemy:
( )
2
1
2
1
1
1
ln
w
r
r q r
dr
C
r
C
r
r
r
D
r
∂
∂
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
∂
∂
∫ ∫
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
2
Mnożymy przez
r
i ponownie całkujemy:
( )
(
)
2
2
3
1
2
3
1
1
2ln
1
4
2
w
r
r
r
r
r q r
dr
C
r
C
C
r
D
r
∂
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
− +
⋅
+
∂
∫ ∫ ∫
Dzielimy przez
r
i ponownie całkujemy:
( )
( )
(
)
2
2
4
1
2
3
4
1
1
1
ln
1
ln
4
4
r
r
w r
r
r q r dr
C
r
C
C
r C
D
r
r
= ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
+ ⋅
− + ⋅ + ⋅
+
∫ ∫ ∫ ∫
Ponieważ stałe całkowania są dowolne, możemy zapisać:
( )
( )
4
2
2
1
2
3
4
1
1
1
ln
ln
w r
r
r q r
dr
C r
r C r
C
r C
D
r
r
= ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
+ ⋅ ⋅
+
⋅ +
⋅
+
∫ ∫ ∫ ∫
Przykładowo: Całka szczególna dla
( )
q r
const
q
=
≡
( )
4
1
1
1
s
w
r
r q r
dr
D
r
r
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
∫ ∫ ∫ ∫
4
1
1
q
r
r dr
D
r
r
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
∫ ∫ ∫ ∫
3
1
2
s
q
w
r
rdr
D
r
=
⋅
⋅
⋅
∫ ∫ ∫
3
2
1
4
q
r dr
D
r
=
⋅
⋅
∫ ∫
3
16
q
r dr
D
=
⋅
=
∫
4
64
qr
D
s
w
–
całka szczególna równ. niejednorodnego
o
w
–
całka ogólna równ. jednorodnego
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
3
Przykład:
( )
q r
const
q
=
≡
Płyta kolista, swobodnie podparta, obciążona
równomiernie na
całej powierzchni,
(
)
0
w r
a
=
=
Warunki brzegowe i warunki ograniczające dla środka płyty:
1°
2°
(
)
0
rr
M
r
a
=
=
3°
(
)
0
w r
=
→
jest skończone
4°
(
)
0
rr
M
r
=
→
jest skończone
Równanie płyty:
( )
s
o
w r
w
w
=
+
a
( )
q r
r
, ,
E
h
ν
q
const
=
h
2a
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
4
Równanie płyty:
( )
s
o
w r
w
w
=
+
Całka szczególna dla
( )
q r
const
q
=
≡ :
( )
4
4
1
1
1
64
s
qr
w
r
r q r
dr
D
r
r
D
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
∫ ∫ ∫ ∫
zatem:
( )
4
2
2
1
2
3
4
ln
ln
64
qr
w r
C r
r
C
r
C
r
C
D
=
+
⋅ ⋅
+
⋅ +
⋅
+
Różniczkując:
( )
(
)
3
1
2
3
1
1 2ln
2
16
w r
qr
r C
r
C
r
C
r
D
r
∂
=
+ ⋅ ⋅ +
+
⋅
+
⋅
∂
Różniczkując ponownie:
( )
(
)
2
2
1
2
3
2
2
3
1
3 2ln
2
16
w r
qr
C
r
C
C
r
D
r
∂
⋅
=
+
⋅ +
+
⋅ −
⋅
∂
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
5
Momenty radialne w płycie obrotowosymetrycznej:
( )
2
2
rr
w
w
M
r
D
r
r
r
ν
∂
∂
= − ⋅
+ ⋅
∂
∂
Realizując warunki brzegowe:
z 3°
(
)
0
w r
=
→
jest skończone S
=
mamy:
(
)
4
2
1
2
3
4
0
0
0
0
ln 0
64
q
w r
C
C
C
C
S
D
⋅
=
=
+
⋅ +
⋅
+
⋅
+
=
,
biorąc pod uwagę, fakt, iż:
(
)
2
2
0
0
0
0
2
3
1
ln
lim
ln
lim
lim
lim
0
1
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
→
→
→
→
⋅
=
=
=
−
=
−
Zatem:
3
4
ln 0
C
C
S
⋅
+
=
( )
3
4
C
C
S
→
⋅ −∞ +
=
Równość będzie skończona tylko wówczas, gdy:
3
0
C
=
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
6
z 4°
(
)
0
rr
M
r
=
→
jest skończone S
=
mamy:
( )
2
2
rr
w
w
M
r
D
r
r
r
ν
∂
∂
= − ⋅
+ ⋅
∂
∂
podstawiając obliczone wyżej pochodne i upraszczając, dostajemy:
( )
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
3
2ln
2
1 2ln
2
rr
M
r
D
C
r
C
C
r
C
ν
ν
= − ⋅
⋅ +
+ ⋅
+ ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅
zatem:
( )
( )
(
)
1
2
1
2
2
2
D
C
C
C
C
S
ν
ν
− ⋅
⋅ −∞ + ⋅
+ ⋅ ⋅ −∞ + ⋅ ⋅
=
Równość będzie skończona tylko wówczas, gdy:
1
0
C
=
z 2°
(
)
0
rr
M
r
a
=
=
mamy:
2
2
2
2
3
3
0
2
2
16
16
qa
qa
D
C
C
D
D
ν
ν
⋅
⋅
= − ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅ ⋅
zatem:
2
2
3
32
1
qa
C
D
ν
ν
+
= −
⋅
+
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
7
z 1°
(
)
0
w r
a
=
=
mamy:
4
2
2
4
0
64
qa
C
a
C
D
=
+
⋅
+
, zatem:
4
4
5
64
1
qa
C
D
ν
ν
+
=
⋅
+
( )
4
2
2
1
2
3
4
ln
ln
64
qr
w r
C r
r
C
r
C
r
C
D
=
+
⋅ ⋅
+
⋅ +
⋅
+
Zbierając wyniki, otrzymujemy:
( )
4
2
4
2
3
5
64
32
1
64
1
qr
qa
qa
w r
r
D
D
D
ν
ν
ν
ν
+
+
=
−
⋅
⋅ +
⋅
+
+
( )
4
4
2
4
2
3
5
1
2
1
64
1
1
qa
r
r
w r
D
a
a
ν
ν
ν
ν
+
+
=
⋅ ⋅
− ⋅
⋅
+
⋅
+
+
lub równoważnie:
( )
(
)
2
2
2
2
5
64
1
q
w r
a
r
a
r
D
ν
ν
+
=
⋅
−
⋅
⋅
−
+
Ugięcie w środku płyty:
(
)
max
0
w
w r
=
=
=
4
5
1
64
qa
D
ν
ν
+
⋅
+
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
8
Z powyższych wzorów zapisać można, iż:
( )
2
2
rr
w
w
M
r
D
r
r r
ν
∂
∂
= −
+
→
∂
∂
Momenty zginające:
( )
(
)
2
2
3
1
16
rr
qa
r
M
r
a
ν
=
⋅ +
⋅ −
( )
2
2
1 w
w
M
r
D
r r
r
ϕϕ
ν
∂
∂
= −
+
→
∂
∂
( )
(
)
2
2
1 3
3
1
16
3
qa
r
M
r
a
ϕϕ
ν
ν
ν
+
=
⋅ +
⋅ −
⋅
+
W środku płyty
(
)
0
r
=
:
( )
( )
(
)
2
0
0
3
16
rr
qa
M
M
ϕϕ
ν
=
=
⋅ +
Na brzegu płyty
(
)
r
a
=
:
( )
0
rr
M
a
= ;
( )
(
)
2
1
8
qa
M
a
ϕϕ
ν
=
⋅ −
Wykresy:
rr
M
(
)
2
3
16
qa
ν
⋅ +
M
ϕϕ
(
)
2
3
16
qa
ν
⋅ +
(
)
2
1
8
qa
ν
⋅ −
(
)
2
1
8
qa
ν
⋅ −
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
9
( )
2
2
1
r
w
w
Q r
D
r
r
r r
∂ ∂
∂
= − ⋅
+
→
∂
∂
∂
Siła tnąca:
( )
2
2
1
4
r
qa
r
Q r
r
a
∂
= −
−
∂
Zatem:
( )
2
r
qr
Q r
=
Na
brzegu płyty
(
)
r
a
=
:
( )
2
r
qa
Q r
=
Kąt nachylenia stycznej do powierzchni środkowej:
( )
w
r
r
ϕ
∂
=
∂
Dla
(
)
r
a
=
:
(
)
(
)
3
8
1
qa
r
a
D
ϕ
ν
=
= −
⋅ +
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
10
Dyskusja!
1) Zastosowanie: Jest to bardzo dobry model
dla schematu
bardzo
sztywna płyta + podatne podparcie!
Uwaga!
We wzorach należy zmienić znak obciążenia
( )
q r !
2)
Kształt zbrojenia na momenty radialne
rr
M
i obwodowe
M
ϕϕ
:
h
const
=
q
const
=
2a
a
reakcje
w ściankach
budowli
cylindrycznych
zbrojenie
na momenty
ortogonalne
zbrojenie
na momenty
radialne
i obwodowe
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
11
Przykład:
( )
q r
const
q
=
≡
Płyta kolista, utwierdzona, obciążona równomiernie
na
całej powierzchni,
(
)
0
w r
a
=
=
Warunki brzegowe i warunki ograniczające dla środka płyty:
1°
2°
(
)
0
r
a
ϕ
=
=
3°
(
)
0
w r
=
→
jest skończone
4°
(
)
0
rr
M
r
=
→
jest skończone
Równanie płyty:
( )
s
o
w r
w
w
=
+
a
( )
q r
r
, ,
E
h
ν
q
const
=
h
2a
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
12
Z warunków 3° i 4°
wynika, jak w poprzednim przykładzie, iż:
1
0
C
= oraz
3
0
C
=
Po wyznaczeniu stałych
2
C i
4
C z warunków 1° i 2° otrzymamy
rozwiązanie:
( )
2
2
4
1
64
qa
r
w r
D
a
=
⋅ −
Ugięcie w środku płyty:
(
)
max
0
w
w r
=
=
=
4
64
qa
D
Uwaga:
0
ν
=
Przyjmując
otrzymujemy ugięcia płyty utwierdzonej
pięciokrotnie mniejsze od ugięcia płyty swobodnie podpartej!
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
13
Z ogólnych wzorów podanych powyżej zapisać można, iż:
( )
2
2
rr
w
w
M
r
D
r
r r
ν
∂
∂
= −
+
→
∂
∂
Momenty zginające:
( )
(
) (
)
2
2
1
3
16
rr
qa
r
M
r
a
ν
ν
=
⋅
+
− +
⋅
( )
2
2
1 w
w
M
r
D
r r
r
ϕϕ
ν
∂
∂
= −
+
→
∂
∂
( )
(
) (
)
2
2
1
1 3
16
qa
r
M
r
a
ϕϕ
ν
ν
=
⋅
+
− +
⋅
W środku płyty
(
)
0
r
=
:
( )
( )
(
)
2
0
0
1
16
rr
qa
M
M
ϕϕ
ν
=
=
⋅ +
Na brzegu płyty
(
)
r
a
=
:
( )
2
8
rr
qa
M
a
= −
;
( )
2
8
qa
M
a
ϕϕ
ν
= −
⋅
2
8
qa
ν
⋅
Wykresy:
2
8
qa
ν
⋅
(
)
2
1
16
qa
ν
⋅ +
rr
M
M
ϕϕ
2
8
qa
(
)
2
1
16
qa
ν
⋅ +
2
8
qa
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
14
Dyskusja!
Uwaga:
Powyższe zagadnienie można rozwiązać metodą sił
z
wykorzystaniem wyniku dla płyty swobodnie podpartej!
Równanie wg
metody sił:
Powyższe równanie jest równaniem z jedną niewiadomą
( )
0
M
.
Za
leca się dokonać rozwiązania zadania – jako zadanie domowe!
(
)
(
)
w
r
a
r
a
r
ϕ
∂
=
=
=
=
∂
+
0
=
kąt obrotu
od
obciążenia
q
kąt obrotu
od nieznanego
momentu
utwierdzenia
0
M
od
obciążenia momentem
0
M
(rozłożonym na obwodzie)
(
)
w
r
a
r
∂
=
∂
2a
h
0
M
0
M
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
25) TSiP 2010 11 ćw07
30) TSiP 2010 11 ćw09
35) TSiP 2010 11 ćw11
36) TSiP 2010 11 ćw12
24) TSiP 2010 11 ćw06
31) TSiP 2010 11 ćw10
29) TSiP 2010 11 ćw08
37) TSiP 2010 11 ćw14
25) TSiP 2010 11 ćw07
30) TSiP 2010 11 ćw09
więcej podobnych podstron