J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
1
P
rzykłady analizy płyt –
pasmo płytowe, płyty prostokątne
Ćwiczenie 11
PASMO
PŁYTOWE
Równanie różniczkowe ugięcia płyty
(
)
1
2
,
w x x :
(
)
4
4
4
1
2
4
2
2
4
1
1
2
2
,
2
q x x
w
w
w
x
x x
x
D
∂
∂
∂
+ ⋅
+
=
∂
∂ ∂
∂
,
gdzie:
(
)
3
2
12 1
E h
D
ν
⋅
=
⋅ −
← sztywność płytowa
Przyjmujemy, że obciążenie jest funkcją jednej zmiennej –
( )
1
q x ,
a
płyta jest nieograniczona w kierunku osi
2
x .
Jest to więc przypadek symetrii translacyjnej!
Zakładamy, że szerokość pasma
a
jest
stała →
a
const
=
!
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
2
Wynika stąd równanie pasma płytowego:
( )
4
1
4
1
w
D
q x
x
∂
⋅
=
∂
Można więc stosować symbol pochodnej zwyczajnej i całkować
bezpośrednio funkcje jednej zmiennej:
( )
3
1
1
1
3
1
d w
D
q x dx
C
dx
⋅
=
+
∫
itd.
z powyższych założeń wynika,
że dla każdego
2
x
linie ugięcia są takie same,
zatem:
2
0
w
x
∂
=
∂
( )
1
q x
1
x
(
)
2
x
→ ±∞
w
, ,
E
h
ν
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
3
Przypadek szczególny:
( )
( )
4
1
1
4
1
d w x
D
q x
q
dx
⋅
=
=
P
asmo swobodnie podparte, obciążone
równomiernie
Równanie pasma płytowego:
Dalej:
( )
3
1
1
1
1
1
3
1
d w x
D
qdx
C
qx
C
dx
⋅
=
+
=
+
∫
( )
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1 1
2
2
1
2
d w x
x
D
qx
C dx
q
C x
C
dx
⋅
=
+
=
+
+
∫
( )
2
3
2
1
1
1
1
1 1
2
1
1
2 1
3
1
2
6
2
dw x
x
x
x
D
q
C x
C
dx
q
C
C x
C
dx
⋅
=
+
+
=
+
+
+
∫
( )
3
2
4
3
2
1
1
1
1
1
1
1
2 1
3
1
1
2
3 1
4
6
2
24
6
2
x
x
x
x
x
D w x
q
C
C x
C dx
q
C
C
C x
C
⋅
=
+
+
+
=
+
+
+
+
∫
q
const
=
h
const
=
a
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
4
Warunki brzegowe:
1°
1
0
0
x
w
=
=
; 2°
1
0
x
a
w
=
=
3°
1
2
2
1
0
0
x
w
x
=
∂
=
∂
; 4°
1
2
2
1
0
x
a
w
x
=
∂
=
∂
Realizując warunki brzegowe dla:
( )
4
3
2
1
1
1
2
1
1
3
1
4
24
6
2
q x
C x
C
x
D w x
C
x
C
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
+
+
⋅ +
, mamy:
z 1°
→
1
2
3
4
0
0
0
0
0
24
6
2
C
C
q
C
C
⋅
⋅
⋅
=
+
+
+
⋅ +
→
4
0
C
=
z 3°
→
1
2
0
0
0
2
q
C
C
⋅
=
+
⋅ +
→
2
0
C
=
z 4°
→
2
1
0
0
2
q a
C a
⋅
=
+
⋅ + →
1
2
q a
C
⋅
= −
z 2°
→
4
3
2
3
0
0
0
24
2
6
2
q a
q a
a
a
C a
⋅
⋅
⋅
=
+ −
⋅
+
+
⋅ + →
3
3
24
q a
C
⋅
=
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
5
Zatem:
( )
4
3
2
1
1
1
2
1
1
3
1
4
24
6
2
q x
C x
C
x
D w x
C
x
C
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
+
+
⋅ +
więc:
( )
4
3
3
1
1
1
1
24
12
24
q x
qa x
qa
x
D w x
⋅
⋅
⋅
⋅
=
−
+
Lub, w innej postaci:
( )
4
3
4
1
1
1
1
2
24
x
x
x
qa
w x
D
a
a
a
=
⋅
− ⋅
+
⋅
Zauważmy, że:
4
3
4
1
1
1
1
2
2
24
2
2
2
a
qa
a
a
a
w x
D
a
a
a
=
=
⋅
⋅
− ⋅
⋅
+
⋅
⋅
4
3
4
1
1
1
2
2
24
2
2
2
a
qa
w
D
=
⋅
− ⋅
+
⋅
4
1
1
1
2
24
16
8
2
qa
D
=
⋅
− ⋅ +
⋅
Tak więc:
4
5
2
384
a
qa
w
D
=
⋅
;
(
)
4
2
3
5
1
2
32
a
qa
w
E h
ν
= ⋅
⋅ −
⋅
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
6
Momenty w paśmie płytowym:
2
11
2
1
w
M
D
x
∂
= − ⋅
∂
2
2
1
1
12
12
24
x
x
qa
a
a
= −
⋅
⋅
− ⋅
2
2
1
1
2
x
x
qa
a
a
= −
⋅
−
2
22
11
2
1
w
M
D
M
x
ν
ν
∂
= − ⋅ ⋅
= ⋅
∂
(
)
2
12
1
2
1
0
w
M
D
x x
ν
∂
= − ⋅ −
⋅
=
∂ ∂
Wykresy:
2
8
qa
2
8
qa
ν
⋅
1
x
(
)
2
x
→ ±∞
w
(
)
11
2
M
x
const
=
(
)
22
1
2
a
M
x
=
2
a
2
a
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
7
/
Dyskusja!
1) Różnica sztywności między belką, a pasmem płytowym
Sztywność belki o szerokości b=1m, w stosunku do sztywności
pasma płytowego ( EJ / D ):
(
)
2
3
2
3
1
1
12
EJ
E h
D
E h
ν
ν
−
= ⋅ ⋅
= −
⋅ ⋅
więc:
(
)
2
1
pasma
belki
w
w
ν
= −
⋅
(przy tej samej szerokości
a
i obciążeniu)
Uzasadnienie fizyczne:
2
x
2
h
2
h
deformacja dla
0
ν
≠
← klinowanie się pasków
rozciąganie
(zwężenie przekroju)
ściskanie (rozszerzenie przekroju)
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
8
2)
Pasmo żelbetowe
Przyjmuje się, iż dla pasma żelbetowego
1
5
ν
≈
.
a
zbrojenie na moment
22
M
(
)
1
20%
:
5
odpowiada
ν
→
=
zbrojenie na moment
11
M
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
9
PŁYTA PROSTOKĄTNA
Płyta swobodnie podparta , obciążenie podwójnie sinusoidalne:
(
)
3
2
12 1
E h
D
ν
⋅
=
⋅ −
← sztywność płytowa
(
)
1
2
1
2
0
,
sin
cos
x
x
q x x
q
a
b
π
π
=
⋅
⋅
← funkcja obciążenia
4
1
2
0
1
sin
cos
x
x
w
q
D
a
b
π
π
∇
=
⋅ ⋅
⋅
← równanie płytowe
a
b
2
x
1
x
, ,
E
h
ν
0
q
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
10
Warunki brzegowe (pary warunków brzegowych):
1°
(
)
1
2
0 ;
0
w x
x
=
= ;
(
)
1
2
;
0
w x
a x
=
=
2°
(
)
1
2
;
0
0
w x x
=
= ;
(
)
1
2
;
0
w x x
b
=
=
3°
(
)
,11
1
2
0 ;
0
w
x
x
=
= ;
(
)
,11
1
2
;
0
w
x
a x
=
=
4°
(
)
,22
1
2
;
0
0
w
x x
=
= ;
(
)
,22
1
2
;
0
w
x x
b
=
=
Przyjmujemy rozwiązanie równania płyty w postaci:
(
)
1
2
1
2
,
sin
cos
x
x
w x x
C
a
b
π
π
= ⋅
⋅
Rozwiązanie to spełnia wszystkie
(
)
1
2
,
w x x
warunki brzegowe!
Różniczkowanie funkcji
i porównanie wyrazów przy tych
samych funkcjach trygonometrycznych:
2
4
4
4
4
0
4
2
2
4
2
2
2
1
1
q
C
C
a
a b
b
a
b
D
π
π
π
π
⋅
+
+
=
⋅
+
=
→
0
2
4
2
2
1
1
q
C
D
a
b
π
=
⋅
+
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
11
(
)
11
,11
,22
M
D
w
w
ν
= − ⋅
+ ⋅
Momenty w paśmie płytowym:
0
1
2
11
2
2
2
2
2
2
1
1
sin
sin
1
1
q
x
x
M
a
b
a
b
a
b
π
π
ν
π
=
⋅
+ ⋅
⋅
⋅
⋅
+
(
)
22
,22
,11
M
D
w
w
ν
= − ⋅
+ ⋅
0
1
2
22
2
2
2
2
2
2
1
1
sin
sin
1
1
q
x
x
M
a
b
a
b
a
b
π
π
ν
π
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
(
)
12
12
1
M
D
w
ν
= − ⋅ −
⋅
(
)
0
1
2
12
2
2
2
2
1
cos
cos
1
1
q
x
x
M
a
b
a b
a
b
ν
π
π
π
⋅ −
=
⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
+
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 11 • KMBiM WILiŚ PG
12
Przypadek szczególny:
płyta kwadratowa, a b
=
Maksymalne ugięcie płyty:
4
0
2
max
4
q
a
w
D
π
⋅
=
⋅
4
0
0,00257
q
a
D
⋅
≈
⋅
Maksymalne moment
y zginające w płycie:
(
)
2
0
11
22
2
max
max
1
4
q
a
M
M
ν
π
⋅
=
= +
⋅
0
q
1
x
2
x
b
a
, ,
E
h
ν
dla:
1
2
a
x
=
Document Outline