J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG
1
Zastosowanie szeregów Fouriera do rozwiązywania tarcz
Ćwiczenie 8
Przypomnienie z teorii szeregów Fouriera:
Jeżeli
( )
f x
– to dowolna funkcja s
pełniająca warunki Dirichleta
w przedziale
( ; )
l l
−
→
( )
0
1
1
cos
sin
2
n
n
n
n x
n x
f x
a
a
b
l
l
π
π
∞
=
=
+
+
∑
to
w każdym przedziale ciągłości funkcji
( )
f x
zachodzi:
0
1
( )
l
l
a
f x dx
l
−
= ⋅
∫
1
( ) cos
l
n
l
n x
a
f x
dx
l
l
π
−
= ⋅
⋅
∫
;
1
( ) sin
l
n
l
n x
b
f x
dx
l
l
π
−
= ⋅
⋅
∫
x
2l
2l
l
l
( )
f x
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG
2
Jeżeli funkcja
( )
f x
jest parzysta, to zachodzi
0
n
b
= , natomiast
jeżeli
( )
f x
jest nieparzysta, to zachodzi
0
0
n
a
a
=
= .
Ze względu na periodyczność
( )
sin
funkcji
i
( )
cos
dla dowolnych
wartości x otrzymujemy powtarzanie się wartości funkcji
( )
f x
,
jak
pokazano to na powyższym rysunku.
( )
f x
Uwagi:
1.
Mówimy, że funkcja
spełnia warunek Dirichleta
w pewnym
przedziale, jeżeli przedział ten można rozłożyć
na
skończoną liczbę podprzedziałów, w taki sposób, że w każdym
podprzedziale funkcja ta jest monotoniczna i ograniczona.
2.
Ważną zaletą szeregów Fouriera jest to, że mogą reprezentować
funkcje nieciągłe (szeregi Taylora reprezentują tylko funkcje, które
posiadają pochodne wszystkich rzędów
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG
3
3.
W punktach nieciągłości funkcji
( )
f x
jej szereg Fouriera jest
zbieżny do wartości
(
)
(
)
1
0
0
2
f x
f x
⋅
+
+
−
(patrz: rysunek)
4.
Motywacja współczynnika
1
2
przy
0
a : dla
0
n
= wzór na
n
a
pokrywa się ze wzorem na
0
a (
regularność notacji)
Przykład:
Rozwinięcie obciążenia odcinkowego stałego w szereg
Fouriera
(częsty przypadek w praktyce inżynierskiej)
2l
2c
2c
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG
4
Zadanie:
Rozwinąć funkcję odcinkowo stałą w szereg Fouriera.
(jest to
częsty przypadek w zagadnieniach obciążeń tarcz)
tarcza
2l
2c
2c
g
×
podpory
o szerokości
2c
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG
5
Model obciążenia:
( )
p x
– funkcja
nieciągła, spełnia warunki Dirichleta w
( ; )
l l
−
Rozwiązanie zadania:
Z warunku równowagi rzutów na oś poziomą wynika:
1
l
c
p
p
c
−
= ⋅
( )
p x
l
c
−
c
c
c
c
l
c
−
l
l
x
p
const
=
1
p
const
=
1
p
const
=
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG
6
Zauwa
żmy, iż
( )
p x
jest funkcją parzystą, a zatem:
0
n
b
= !
Rozw
ija się w szereg cosinusowy:
( )
0
1
cos
2
n
n
a
n x
p x
a
l
π
∞
=
+
∑
,
gdzie:
0
1
( )
0
l
l
a
p x dx
l
−
= ⋅
=
∫
oraz:
1
( ) cos
l
n
l
n x
a
p x
dx
l
l
π
−
= ⋅
⋅
∫
Przekształcając, mamy:
1
( ) cos
l
n
l
n x
a
p x
dx
l
l
π
−
= ⋅
⋅
∫
0
2
( ) cos
l
n
n x
a
p x
dx
l
l
π
→
= ⋅
⋅
∫
Rozbijając na odpowiednie składniki, otrzymujemy:
0
2
cos
cos
l c
l
n
l c
n x
l
c
n x
a
p
dx
p
dx
l
l
c
l
π
π
−
−
−
= ⋅
⋅
− ⋅
⋅
∫
∫
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG
7
Rozwiązując całki, otrzymujemy:
0
2
cos
cos
l c
l
n
l c
n x
l
c
n x
a
p
dx
p
dx
l
l
c
l
π
π
−
−
−
= ⋅
⋅
− ⋅
⋅
∫
∫
2
(
)
(
)
sin
sin
n
l
n
l
c
l
c
l
n
l
c
a
p
p
l
n
l
c
n
l
π
π
π
π
−
−
−
= ⋅
⋅
⋅
+ ⋅
⋅
⋅
2
(
)
sin
1
n
l
n
l
c
l
c
a
p
l
n
l
c
π
π
−
−
= ⋅ ⋅
⋅
⋅ +
2
(
)
sin
n
l
n
l
c
l
a
p
l
n
l
c
π
π
−
= ⋅ ⋅
⋅
⋅
2
(
)
sin
n
pl
n
l
c
a
n c
l
π
π
−
=
⋅
2
sin
pl
n c
n
n c
l
π
π
π
=
⋅
−
Jeżeli: sin(
)
sin
cos
cos
sin
α β
α
β
α
β
−
=
⋅
−
⋅
, to:
2
sin
cos
cos
sin
n
pl
n c
n c
a
n
n
n c
l
l
π
π
π
π
π
=
⋅
⋅
−
⋅
2
cos
sin
pl
n c
n
n c
l
π
π
π
=
⋅ −
⋅
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG
8
Zauważmy, iż:
( )
cos
1
n
n
π
= −
, więc:
( )
2
1
sin
n
n
pl
n c
a
n c
l
π
π
= − −
⋅
⋅
Podstawiając, otrzymujemy zatem:
( )
( )
1
1
2
sin
cos
n
n
pl
n c
n x
p x
c
n
l
l
π
π
π
∞
=
−
= −
⋅
⋅
⋅
∑
Pierwszy wyraz szeregu, (dla
1
n
= ):
( )
(1)
2
sin
cos
pl
c
x
p
x
c
l
l
π
π
π
=
⋅
⋅
l
l
2
sin
pl
c
c
l
π
π
⋅
4
2
l
p
dla c
równe
l
=