J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG

1

Zastosowanie szeregów Fouriera do rozwiązywania tarcz

Ćwiczenie 8

Przypomnienie z teorii szeregów Fouriera:

Jeżeli

( )

f x

– to dowolna funkcja s

pełniająca warunki Dirichleta

w przedziale

( ; )

l l

−

→

( )

0

1

1

cos

sin

2

n

n

n

n x

n x

f x

a

a

b

l

l

π

π

∞

=





=

+

+









∑

to

w każdym przedziale ciągłości funkcji

( )

f x

zachodzi:

0

1

( )

l

l

a

f x dx

l

−

= ⋅

∫

1

( ) cos

l

n

l

n x

a

f x

dx

l

l

π

−

= ⋅

⋅

∫

;

1

( ) sin

l

n

l

n x

b

f x

dx

l

l

π

−

= ⋅

⋅

∫

x

2l

2l

l

l

( )

f x

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG

2

Jeżeli funkcja

( )

f x

jest parzysta, to zachodzi

0

n

b

= , natomiast

jeżeli

( )

f x

jest nieparzysta, to zachodzi

0

0

n

a

a

=

= .

Ze względu na periodyczność

( )

sin



funkcji

i

( )

cos



dla dowolnych

wartości x otrzymujemy powtarzanie się wartości funkcji

( )

f x

,

jak

pokazano to na powyższym rysunku.

( )

f x

Uwagi:

1.

Mówimy, że funkcja

spełnia warunek Dirichleta

w pewnym

przedziale, jeżeli przedział ten można rozłożyć

na

skończoną liczbę podprzedziałów, w taki sposób, że w każdym

podprzedziale funkcja ta jest monotoniczna i ograniczona.

2.

Ważną zaletą szeregów Fouriera jest to, że mogą reprezentować

funkcje nieciągłe (szeregi Taylora reprezentują tylko funkcje, które

posiadają pochodne wszystkich rzędów

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG

3

3.

W punktach nieciągłości funkcji

( )

f x

jej szereg Fouriera jest

zbieżny do wartości

(

)

(

)

1

0

0

2

f x

f x

⋅

+

+

−









(patrz: rysunek)

4.

Motywacja współczynnika

1

2

przy

0

a : dla

0

n

= wzór na

n

a

pokrywa się ze wzorem na

0

a (

regularność notacji)

Przykład:

Rozwinięcie obciążenia odcinkowego stałego w szereg

Fouriera

(częsty przypadek w praktyce inżynierskiej)

2l

2c

2c

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG

4

Zadanie:

Rozwinąć funkcję odcinkowo stałą w szereg Fouriera.

(jest to

częsty przypadek w zagadnieniach obciążeń tarcz)

tarcza

2l

2c

2c

g

×

podpory

o szerokości

2c

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG

5

Model obciążenia:

( )

p x

– funkcja

nieciągła, spełnia warunki Dirichleta w

( ; )

l l

−

Rozwiązanie zadania:

Z warunku równowagi rzutów na oś poziomą wynika:

1

l

c

p

p

c

−

= ⋅

( )

p x

l

c

−

c

c

c

c

l

c

−

l

l

x

p

const

=

1

p

const

=

1

p

const

=

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG

6

Zauwa

żmy, iż

( )

p x

jest funkcją parzystą, a zatem:

0

n

b

= !

Rozw

ija się w szereg cosinusowy:

( )

0

1

cos

2

n

n

a

n x

p x

a

l

π

∞

=

+

∑



,

gdzie:

0

1

( )

0

l

l

a

p x dx

l

−

= ⋅

=

∫

oraz:

1

( ) cos

l

n

l

n x

a

p x

dx

l

l

π

−

= ⋅

⋅

∫

Przekształcając, mamy:

1

( ) cos

l

n

l

n x

a

p x

dx

l

l

π

−

= ⋅

⋅

∫

0

2

( ) cos

l

n

n x

a

p x

dx

l

l

π

→

= ⋅

⋅

∫

Rozbijając na odpowiednie składniki, otrzymujemy:

0

2

cos

cos

l c

l

n

l c

n x

l

c

n x

a

p

dx

p

dx

l

l

c

l

π

π

−

−





−

= ⋅

⋅

− ⋅

⋅









∫

∫

J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG

7

Rozwiązując całki, otrzymujemy:

0

2

cos

cos

l c

l

n

l c

n x

l

c

n x

a

p

dx

p

dx

l

l

c

l

π

π

−

−





−

= ⋅

⋅

− ⋅

⋅









∫

∫

2

(

)

(

)

sin

sin

n

l

n

l

c

l

c

l

n

l

c

a

p

p

l

n

l

c

n

l

π

π

π

π

−

−

−





= ⋅

⋅

⋅

+ ⋅

⋅

⋅









2

(

)

sin

1

n

l

n

l

c

l

c

a

p

l

n

l

c

π

π

−

−





= ⋅ ⋅

⋅

⋅ +









2

(

)

sin

n

l

n

l

c

l

a

p

l

n

l

c

π

π

−

= ⋅ ⋅

⋅

⋅

2

(

)

sin

n

pl

n

l

c

a

n c

l

π

π

−

=

⋅

2

sin

pl

n c

n

n c

l

π

π

π









=

⋅

−

















Jeżeli: sin(

)

sin

cos

cos

sin

α β

α

β

α

β

−

=

⋅

−

⋅

, to:

2

sin

cos

cos

sin

n

pl

n c

n c

a

n

n

n c

l

l

π

π

π

π

π





=

⋅

⋅

−

⋅









2

cos

sin

pl

n c

n

n c

l

π

π

π





=

⋅ −

⋅









J. Górski, M. Skowronek,

M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 8 • KMBiM WILiŚ PG

8

Zauważmy, iż:

( )

cos

1

n

n

π

= −

, więc:

( )

2

1

sin

n

n

pl

n c

a

n c

l

π

π

= − −

⋅

⋅

Podstawiając, otrzymujemy zatem:

( )

( )

1

1

2

sin

cos

n

n

pl

n c

n x

p x

c

n

l

l

π

π

π

∞

=

−

= −

⋅

⋅

⋅

∑

Pierwszy wyraz szeregu, (dla

1

n

= ):

( )

(1)

2

sin

cos

pl

c

x

p

x

c

l

l

π

π

π

=

⋅

⋅

l

l

2

sin

pl

c

c

l

π

π

⋅

4

2

l

p

dla c

równe

l





=







