RACHUNEK MACIERZOWY
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr III
rok akademicki 2010/2011
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Adam Wosatko
Ewa Pabisek
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Czym jest macierz?
Definicja
Macierzą A nazywamy funkcję dwóch zmiennych,
która parze (i , j ) przyporządkowuje dokładnie jeden element a
ij
,
przy czym i = 1, 2, . . . , m, natomiast j = 1, 2, . . . , n.
Tworzy się w ten sposób
zbiór m ·n elementów
umieszczonych w tablicy o
m wierszach i n kolumnach.
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1j
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2j
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
· · ·
..
.
a
i 1
a
i 2
· · ·
a
ij
· · ·
a
in
..
.
..
.
· · ·
..
.
. .
.
..
.
a
m1
a
m2
· · ·
a
mj
· · ·
a
mn
Ogólnie dany element macierzy a
ij
może być np. liczbą rzeczywistą,
liczbą zespoloną, operatorem (np. różniczkowania, całkowania),
wielomianem lub wektorem.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Czym jest macierz?
Inny zapis
A = [a
ij
] , gdzie: i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n
A = [a
ij
]
[m×n]
= A
[m×n]
[m × n] - wymiary macierzy (liczba wierszy, liczba kolumn)
i - indeks numeracji wierszy
j - indeks numeracji kolumn
Dalsze rozważania ograniczymy wyłącznie do
macierzy rzeczywistych
,
tzn. dla których element a
ij
jest liczbą rzeczywistą.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Różne typy macierzy
Macierz kwadratowa, diagonalna, jednostkowa
Jeśli
m 6= n
to macierz A nazywamy
prostokątną
.
Jeśli
m = n = N
to macierz A nazywamy
kwadratową
(stopnia N).
Przekątna główna macierzy kwadratowej A
[n×n]
składa się z elementów
a
ii
, gdzie i = 1, 2, . . . , n. Macierz kwadratowa A
[n×n]
, w której wszystkie
elementy poza przekątną główną są zerowe, nazywa się macierzą
diagonalną
(oznaczoną D).
Jeśli wszystkie elementy macierzy diagonalnej mają wartość 1, to taka
macierz stanowi macierz
jednostkową
(oznaczoną I).
D
[n×n]
=
a
11
0
· · ·
0
0
a
22
· · ·
0
..
.
..
.
. .
.
..
.
0
0
· · ·
a
nn
I
[n×n]
=
1
0
· · ·
0
0
1
· · ·
0
..
.
..
.
. .
.
..
.
0
0
· · ·
1
D = diag(a
ii
)
I = [δ
ij
]
[n×n]
,
gdzie δ
ij
=
0
dla
i 6= j
1
dla
i = j
δ
ij
– symbol Kroneckera
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Różne typy macierzy
Macierz transponowana
Macierz A
T
jest
transponowana
względem macierzy A, jeśli a
ij
= a
T
ji
(wiersze zamieniamy z kolumnami).
A
[m×n]
=
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
a
m1
a
m2
· · ·
a
mn
A
T
[n×m]
=
a
11
a
21
· · ·
a
m1
a
12
a
22
· · ·
a
m2
..
.
..
.
. .
.
..
.
a
1n
a
2n
· · ·
a
mn
Właściwości macierzy transponowanej:
1
A
T
T
= A
2
(αA)
T
= αA
T
, α – liczba rzeczywista
3
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
4
(A B)
T
= B
T
A
T
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Różne typy macierzy
Macierz symetryczna i antysymetryczna
Jeśli dla macierzy kwadratowej A
[n×n]
zachodzi związek A = A
T
to
macierz A jest
symetryczna
.
Jeśli dla macierzy kwadratowej A
[n×n]
zachodzi związek A = −A
T
to
macierz A jest
antysymetryczna
(skośnie symetryczna).
Przykład:
4
3
2
3
−1
1
2
1
5
0
−4
2
4
0
−5
−2
5
0
Macierz symetryczna
i
antysymetryczna.
Jeśli A jest macierzą kwadratową to:
1
A + A
T
jest macierzą symetryczną,
2
A − A
T
jest macierzą antysymetryczną.
Jeśli A jest dowolną macierzą prostokątną i S = A A
T
,
to S jest macierzą symetryczną.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Różne typy macierzy
Macierz trójkątna
Macierzą
trójkątną
nazywamy macierz o postaci:
L =
l
11
0
· · ·
0
l
21
l
22
· · ·
0
..
.
..
.
. .
.
..
.
l
n1
l
n2
· · ·
l
nn
U =
u
11
u
21
· · ·
u
1n
0
u
22
· · ·
u
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
0
0
· · ·
u
nn
L jest macierzą
dolnotrójkątną
(trójkątną lewą).
U jest macierzą
górnotrójkątną
(trójkątną prawą).
Suma, iloczyn i odwrotność macierzy dolnotrójkątnych (górnotrójkątnych)
tworzy ponownie macierz dolnotrójkątną (górnotrójkątną).
Wystarczy, gdy wszystkie elementy przekątnej głównej macierzy
trójkątnej są różne od 0 – wówczas macierz ta jest
nieosobliwa
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Równość, dodawanie, odejmowanie macierzy
Dwie macierze A
[m×n]
i B
[m×n]
są
równe
, jeśli odpowiednie elementy są
sobie równe, tzn. a
ij
= b
ij
dla i = 1, 2, . . . , m i j = 1, 2, . . . , n.
Sumą
lub
różnicą
dwóch macierzy A
[m×n]
i B
[m×n]
nazywamy macierz C
[m×n]
, gdzie c
ij
= a
ij
± b
ij
:
C = A ± B =
c
11
c
12
· · ·
c
1n
c
21
c
22
· · ·
c
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
c
m1
c
m2
· · ·
c
mn
=
a
11
± b
11
a
12
± b
12
· · ·
a
1n
± b
1n
a
21
± b
21
a
22
± b
22
· · ·
a
2n
± b
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
a
m1
± b
m1
a
m2
± b
m2
· · ·
a
mn
± b
mn
1
Przemienność dodawania: A + B = B + A.
2
Łączność dodawania i odejmowania: (A ± B) ± C = A ± (B ± C).
3
A + 0 = A.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn
(αA lub Aα) macierzy A i liczby α tworzy macierz:
αA = Aα = [αa
ij
] =
αa
11
αa
12
· · ·
αa
1n
αa
21
αa
22
· · ·
αa
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
αa
m1
αa
m2
· · ·
αa
mn
1
1 · A = A
2
0 · A = 0
3
α(βA) = (αβ)A
4
(α + β)A = αA + βA
5
α(A + B) = αA + αB
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Mnożenie macierzy przez macierz
Iloczyn
dwóch macierzy A
[m×n]
i B
[n×p]
tworzy macierz C
[m×p]
, gdzie:
c
ik
=
n
X
j =1
a
ij
b
jk
dla
i = 1, 2, . . . , m
i
k = 1, 2, . . . , p .
C
[m×p]
= A
[m×n]
· B
[n×p]
Przykład:
−1
4
2
−2
1
2
−3
0
−1
0
0
5
·
2
−1
1
3
−2
0
0
−4
=
−2
21
10
5
−2
−19
c
11
=
4
X
j =1
a
1j
b
j 1
= a
11
b
11
+ a
12
b
21
+ a
13
b
31
+ a
14
b
41
= (−1) · 2 + 4 · 1 + 2 · (−2) + (−2) · 0 = −2
(. . . )
c
32
=
4
X
j =1
a
3j
b
j 2
= a
31
b
12
+ a
32
b
22
+ a
33
b
32
+ a
34
b
42
= (−1) · (−1) + 0 · 3 + 0 · 0 + 5 · (−4) = −19
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Właściwości mnożenia macierzy
1
Mnożenie A B może być wykonalne, natomiast mnożenie B A może
być niewykonalne. Liczba wierszy pierwszej macierzy musi się
zgadzać z liczbą kolumn drugiej macierzy, tak aby zapewnić
prawidłowe sumowanie iloczynów.
2
Dla macierzy kwadratowych także zazwyczaj zachodzi A B 6= B A.
3
Mnożenie macierzy jest łączne: (A B) C = A (B C).
4
Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania
i odejmowania:
(A ± B) C = A C ± B C
C(A ± B) = C A ± C B.
5
Jeśli A B = 0, to nie oznacza, że koniecznie A = 0 lub B = 0.
6
Jeśli A B = A C, to B nie zawsze jest równe C, nawet gdy A 6= 0.
7
A I = I A = A
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Potęgowanie macierzy
Dla macierzy A obowiązują następujące reguły potęgowania:
A
0
= I
A
1
= A
A
2
= A A
A
3
= A A A
itd.
Właściwości potęgowania macierzy:
1
A
k
A
p
= A
k+p
2
(A
k
)
p
= A
k p
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Wyznacznik macierzy
Każdej macierzy kwadratowej A możemy przypisać wartość liczbową D,
nazywaną
wyznacznikiem
macierzy A stopnia N i oznaczoną jako det A.
det A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
= D
W literaturze można spotkać także oznaczenia:
det (A) = |A| = |a
ij
| = det |a
ij
|
Znane są różne sposoby obliczania wartości wyznacznika.
det
jest skrótem francuskiego słowa determinant czyli wyznacznik.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Wyznacznik macierzy
Rozwinięcie Laplace’a
Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnie
wybranego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne
det A =
n
X
j =1
a
ij
· A
ij
rozwinięcie względem i − tego wiersza
det A =
n
X
i =1
a
ij
· A
ij
rozwinięcie względem j − tej kolumny
gdzie: a
ij
– element w i -tym wierszu i j -tej kolumnie, A
ij
– dopełnienie
algebraiczne elementu a
ij
.
Dopełnienie algebraiczne
A
ij
elementu a
ij
macierzy A stanowi minor |M
ij
|
pomnożony przez (−1)
i +j
.
Minorem
|M
ij
| macierzy A przynależnym elementowi a
ij
nazywamy
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i -tego
wiersza oraz j -tej kolumny.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Wyznacznik macierzy
Reguła Sarrusa dla macierzy stopnia 3
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
11
a
12
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
det A =
a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
− a
31
a
22
a
13
− a
32
a
23
a
11
− a
33
a
21
a
32
Powyższa reguła wykorzystuje definicję permutacyjną wyznacznika,
ale ma zastosowanie tylko dla macierzy stopnia 3.
Jeśli obliczamy wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3,
to można wykorzystać rozwinięcie Laplace’a i własności wyznaczników,
a po sprowadzeniu ich do stopnia 3 – zastosować regułę Sarrusa.
Wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3
można obliczyć także przy pomocy eliminacji Gaussa.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Właściwości wyznaczników
1
Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz)
złożoną z samych zer jest równy 0
2
Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przedstawimy
między sobą dwie kolumny (dwa wiersze)
3
Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe lub
proporcjonalne kolumny (dwa wiersze) jest równy 0
4
Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza)
macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten
można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy
5
Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej
kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej
kolumny (innego wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną
liczbę
6
Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe
7
Jeżeli det A = 0, to macierz jest
osobliwa
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Właściwości wyznaczników
5
det A = det(A
T
)
6
det(AB) = det A det B (twierdzenie Cauchy’ego)
7
det(A + B) 6= det A + det B
8
det(A
−1
) = (det A)
−1
9
Jeżeli macierz A jest
trójkątna
, to det A = a
11
a
22
. . . a
nn
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Macierz odwrotna
Jeśli macierz kwadratowa A jest nieosobliwa, to możemy otrzymać
macierz do niej
odwrotną
A
−1
.
Zachodzi zatem zależność:
A A
−1
= A
−1
A = I
Oznaczmy: C = A
−1
.
Element macierzy odwrotnej c
ij
obliczamy w następujący sposób:
c
ij
=
1
det A
(−1)
i +j
M
T
ij
gdzie
M
T
ij
jest minorem otrzymywanym z macierzy A
T
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Właściwości macierzy odwrotnych
1
Jeśli det A = 0 czyli macierz jest osobliwa,
to macierz odwrotna A
−1
nie istnieje
.
2
(A B)
−1
= B
−1
A
−1
3
A
T
−1
= A
−1
T
4
det A
−1
= (det A)
−1
5
A
−1
−1
= A
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Macierz odwrotna
Przykład:
Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A:
A =
1
3
2
4
−1
2
1
−1
0
−→ A
T
=
1
4
1
3
−1
−1
2
2
0
−→ det A = 2
c
11
=
1
det A
(−1)
2
M
T
11
=
1
2
−1
−1
2
0
= 1
(. . . )
c
33
=
1
det A
(−1)
6
M
T
33
=
1
2
1
4
3
−1
= −
13
2
C = A
−1
=
1.0
−1.0
4.0
1.0
−1.0
3.0
1.5
2.0
−6.5
−→ A · C = I
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Definicja normy macierzy
Normą macierzy
kwadratowej A nazywamy nieujemną liczbę
rzeczywistą kAk (nie należy mylić z wyznacznikiem!), która spełnia
następujące warunki:
1
kAk > 0, gdy A 6= 0 i k0k = 0
2
kαAk = |α| kAk, α jest liczbą
3
kA + Bk ¬ kAk + kBk
4
kA Bk ¬ kAk · kBk
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Normy macierzy
jednokolumnowej (jednowierszowej) i kwadratowej
Dla macierzy jednokolumnowej lub jednowierszowej X określamy
następujące normy:
suma modułów: kXk
1
=
P
n
i =1
|x
i
|
norma euklidesowa: kXk
2
=
q
P
n
j =1
|x
i
|
2
norma maksimum: kXk
∞
= max
i
|x
i
|
Dla macierzy kwadratowej A określamy następujące normy:
norma sumy kolumn: kAk
1
=
max
1 ¬ j , ¬ n
P
m
i =1
|a
ij
|
norma euklidesowa: kAk
2
=
q
P
m
i =1
P
n
j =1
|a
ij
|
2
norma sumy wierszy: kAk
∞
=
max
1 ¬ i ¬ m
P
n
j =1
|a
ij
|
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Zadanie domowe
Oblicz wyznacznik, macierz odwrotną i normy macierzy:
A =
2
4
2
1
4
−1
1
2
−1
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE