Wyrównanie parametryczne - metoda macierzowa

Z układu równań poprawek dla n spostrzeżeń i u niewiadomych:

można wyodrębnić następujące macierze o wymiarach:

1. Macierz współczynników równań poprawek:

2. Macierz niewiadomych: 3. Macierz wyrazów wolnych równań poprawek: 4. Macierz poprawek:

;
;
.

5. Macierz wag (dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych)

Po wprowadzeniu powyższych oznaczeń zapis macierzowy układu równań po­prawek przedstawia wzór:

Po uwzględnieniu warunku najmniejszej sumy kwadratów poprawek, czyli:

[vv] = minimum

dla spostrzeżeń pośredniczących jednakowo dokładnych lub

[pvv] = minimum

dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych, zostaje utworzony układ równań normalnych:

Dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych Dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych

,

Układy te otrzymujemy w wyniku następujących operacji macierzowych:

• dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych:

• dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych:

Macierz N powstająca z iloczynu
lub
jest symetryczną macierzą współczynników układu równań normalnych:

;

Z iloczynu
lub
powstaje natomiast jednokolumnowa macierz L wyrazów wol­nych równań normalnych odpowiednio dla spostrzeżeń jednakowo i niejednakowo dokładnych.

;

Uwzględniając powyższe oznaczenia macierzowe możemy zapisać równania normalne jako:

Formalne rozwiązanie (metoda Gaussa, Banachiewicza itp.) tego układu można zapisać w postaci:

Znak minus, który pojawił się w powyższym wzorze wynika stąd, że wyrazy wol­ne równań normalnych występują po ich lewej stronie.

Po obliczeniu niewiadomych i ich podstawieniu do wzoru

określimy po­prawki v, a następnie spostrzeżenia wyrównane L+v.

Obliczamy także ostateczne wartości niewiadomych:

;

Po obliczeniu poprawek v należy dokonać tzw. kontroli ogólnej, sprawdzając spełnienie równości:

lub

Kontrola ostateczna (generalna) polega na podstawieniu niewiadomych do rów­nań obserwacyjnych i sprawdzeniu ich spełnienia.

Ostatni etap wyrównania stanowi ocena dokładności. Obejmuje ona obliczenie średniego błędu pojedynczego spostrzeżenia
oraz średnich błędów niewiadomych:
,
,
,... . Średni błąd typowego spostrzeżenia jest określony wzorem:

Symetryczna macierz
, wykorzystywana do obliczenia niewiadomych, jest za­razem macierzą tzw. współczynników wagowych Q potrzebnych do obliczenia średnich błędów niewiadomych (po wyrównaniu) na podstawie następujących wzorów:

Współczynniki Q są elementami przekątnymi macierzy
:

.

.

1

---