Rachunek macierzy
1. Macierze
Macierz o wymiarach m
×
n to prostokątna tablica liczb złoŜona z m wierszy i n kolumn.
Przykład
A =
−
−
5
4
2
0
0
3
1
2
1
, B =
−
−
4
4
1
3
2
0
1
0
Tutaj A jest macierzą o wymiarze 3
×
3, a B o wymiarach 2
×
4 (dwa wiersze i 4 kolumny).
Piszemy równieŜ
A
33
= [A
33
] =
−
−
5
4
2
0
0
3
1
2
1
, B
24
= [B
24
] =
−
−
4
4
1
3
2
0
1
0
Wyrazy oznaczmy pisząc we wskaźniku numer wiersza i kolumny, a
i k
; na przykład wyraz
a
32
= 4 (4 jest w trzecim wierszu i drugiej kolumnie) , b
14
= -2 (pierwszym wierszu i czwartej
kolumnie).
Kiedy operuje się na macierzach, waŜne jest, Ŝeby nie mylić, co jest macierzą, a co liczbą,
chociaŜ oznaczenia nie zawsze w tym pomagają.
Na przykład macierz zerowa, dowolnych wymiarów, zawsze jest oznaczana przez 0.
Piszemy więc
0 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
, 0 =
0
0
0
0
0
0
0
0
i
czytelnik musi wywnioskować z kontekstu, czy 0 jest liczbą zero, czy macierzą zerową (a
jeśli macierzą, to jakich wymiarów).
W celu uwypuklenia róŜnic między macierzami i liczbami, o tych ostatnich będziemy
mówić jako o skalarach. W naszych rozwaŜaniach skalary będą liczbami
rzeczywistymi.
ś
eby macierze stały się obiektem rozwaŜań algebraicznych, musimy zdefiniować
dodawanie i inne operacje na macierzach.
__________________________________________________________
Ujęcie ogólne
Definicje
Macierzą o wymiarze m
××××
n, gdzie m, n
∈
N, nazywamy prostokątną tablicę złoŜoną z m
⋅
n
liczb ustawionych w m wierszach i n kolumnach.
A
m
×
n
=
mn
mj
m
m
in
ij
i
i
n
j
n
j
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
Macierze oznaczamy duŜymi literami alfabetu, np. A
m
××××
n
, B
2
××××
3
.
Element macierzy A stojący w i – tym wierszu oraz w j – tej komunie oznaczamy przez a
ij
.
Liczby i, j nazywamy wskaźnikami elementu a.
Macierze zapisujemy takŜe następująco [a
ij
]
n
××××
m
.
i
w
= [a
i1
, a
i2
, … , a
in
], to wektor i - tego wiersza, dla 1
≤
i
≤
m;
j
k
= [a
j1
, a
j2
, … , a
jm
], to wektor j –tej kolumny, dla 1
≤
j
≤
n.
Macierz A moŜemy zapisać:
A
m
××××
n
= [ k
1
, k
2
, … , k
n
] =
m
w
w
w
...
2
1
.
Definicja
Macierze A i B są równe, gdy mają ten sam wymiar oraz dla wszystkich i, j jest a
ij
= b
ij
Definicja
Macierz wymiaru m
××××
n, której wszystkie elementy są 0 nazywamy macierzą zerową
wymiaru m
××××
n ;
0
m
××××
n
= [0]
m
××××
n
=
0
...
0
0
...
...
...
...
0
...
0
0
.
Definicja
Macierz, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy macierzą
kwadratową, czyli A
n
××××
n
.
Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej.
Definicja
Elementy macierzy kwadratowej, które mają ten sam numer wiersza, co kolumny
tworzą główną przekątną macierzy; czyli elementy a
i i
, dla 1
≤
i
≤
n.
Definicja
Macierz kwadratową, której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, zaś
pozostałe elementy równe 0 nazywamy macierzą jednostkową.
I
n
=
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
1
0
0
0
...
0
1
0
0
...
0
0
1
.
Definicja
Macierzą transponowaną do macierzy A = [a
i j
]
m
××××
n
nazywamy macierz A
T
= [a
j i
]
n
××××
m
.
2. Działania na macierzach
2.1. Dodawanie macierzy
Dwie macierze moŜna dodać wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same wymiary. Po prostu
dodaje się odpowiadające sobie wyrazy. Na przykład
A + B =
−
0
1
1
4
3
2
+
5
4
3
7
6
5
=
+
+
−
+
+
+
+
5
0
4
1
3
1
7
4
6
3
5
2
=
5
3
4
11
9
7
C + 0 = 0 + C =
f
e
d
c
b
a
+
0
0
0
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
+
f
e
d
c
b
a
=
f
e
d
c
b
a
ZauwaŜmy, Ŝe w przypadku dodawania C + 0 przyjęliśmy takie wymiary macierzy zerowej,
które czynią dodawanie sensownym.
Takie wyraŜenie, jak
A + D =
−
0
1
1
4
3
2
+
−
−
4
4
1
3
2
0
1
0
jest pozbawione sensu, bo macierze A i D mają róŜne wymiary.
_________________________________________________________________________________
Ujęcie ogólne
Definicja
Sumą macierzy A = [a
ij
]
m
××××
n
i B = [b
ij
]
m
××××
n
nazywamy macierz C
m
××××
n
= [c
i j
]
m
××××
n
,
gdzie c
i j
= a
i j
+ b
i j
.
Piszemy C = A + B lub [c
ij
]
m
××××
n
= [a
ij
]
m
××××
n
+ [b
ij
]
m
××××
n
lub [a
ij
+ b
ij
]
m
××××
n
= [a
ij
]
m
××××
n
+ [b
ij
]
m
××××
n
.
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
+
mn
m
m
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
mn
mn
m
m
m
m
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
...
...
...
...
...
...
...
2
2
1
1
2
2
22
22
21
21
1
1
12
12
11
11
.
Definicja
Macierzą przeciwną do A = [a
i j
]
m
××××
n
nazywamy macierz: –A = [ –a
i j
]
m
××××
n
.
Definicja
RóŜnicą A – B macierzy A, B nazywamy macierz C = A + (–B).
2.2. MnoŜenie przez liczbę (scalar)
KaŜdą macierz moŜna pomnoŜyć przez dowolny skalar (liczbę). Trzeba tylko
pomnoŜyć kaŜdy wyraz macierzy przez ten skalar. Na przykład
3
⋅
A = 3
⋅
−
0
1
1
4
3
2
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
0
3
)
1
(
3
1
3
4
3
3
3
2
3
=
−
0
3
3
12
9
6
Jest 0 A = A 0 = 0.
liczba 0 macierz zerowa
C
−
D =
6
5
4
3
2
1
+ (-1)
−
−
3
1
0
1
2
3
=
6
5
4
3
2
1
+
−
−
−
3
1
0
1
2
3
=
−
9
6
4
2
0
2
Ostatni przykład pokazuje, w jaki sposób odejmujemy macierze (oczywiście tego
samego wymiaru), a mianowicie: X – Y = X + (-1) Y.
_____________________________________________________________
Ujęcie ogólne
Definicja
Iloczynem macierzy A = [a
i j
]
m
××××
n
przez liczbę rzeczywistą
β
nazywamy macierz
C = [c
i j
]
m
××××
n
= [
β
a
i j
]
m
××××
n
Piszemy C =
β
A lub [c
i j
]
m
××××
n
=
β
[a
i j
]
m
××××
n
=
[
β
a
i j
]
m
××××
n
.
β
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
β
β
β
β
β
β
β
β
β
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
.
Twierdzenie
JeŜeli A, B, [0] są macierzami tego samego wymiaru,
α
,
β
liczbami rzeczywistymi, to:
a)
α
(A + B) =
α
A +
α
B
b) (
α
+
β
) A =
α
A +
β
A
c) 1
⋅
A = A
d) 0
⋅
A = [0]
Przykład
RozwiąŜ równanie -3(A + X) + 5(2X + B) = A – B o niewiadomej X, gdy
A =
−
−
4
1
2
3
0
2
1
1
, B =
−
3
1
2
0
1
2
0
2
.
ZauwaŜmy Ŝe X musi być macierzą wymiaru 2
×
4 (w przeciwnym przypadku nie moŜna
byłoby dodać jej do A).
Zadanie moŜna rozwiązać w róŜny sposób, np.
1.
Oznaczyć poszczególne wyrazy literami i po podstawieniu danych macierzy w miejsce A i B
wykonać obliczenia.
2.
Wykonać działania i na końcu podstawić dane macierze.
Postąpimy wg drugiego sposobu, wykorzystując powyŜsze twierdzenie.
-3(A + X) + 5(2X + B) = A – B
-3A – 3X + 10X + 5B = A – B
-3A + 7X + 5B = A – B
3A –3A + 7X + 5B = 3A + A – B
7X + 5B = 3A + A – B
7X + 5B = 4A – B
7X = 4A – B – 5B
7X = 4A – 6B
X =
7
4
A–
7
6
B.
Wystarczy obliczyć
7
4
A,
7
6
B.
7
4
A -
7
6
B i otrzymamy macierz X.
7
4
A =
7
4
−
−
4
1
2
3
0
2
1
1
=
−
−
7
16
7
4
7
8
7
12
0
7
8
7
4
7
4
,
7
6
B =
7
6
−
3
1
2
0
1
2
0
2
=
−
7
18
7
6
7
12
0
7
6
7
12
0
7
12
,
7
4
A –
7
6
B =
−
−
7
16
7
4
7
8
7
12
0
7
8
7
4
7
4
–
−
7
18
7
6
7
12
0
7
6
7
12
0
7
12
=
−
−
−
−
−
−
7
2
7
10
7
4
7
12
7
6
7
20
7
4
7
8
.
Zatem X =
−
−
−
−
−
−
7
2
7
10
7
4
7
12
7
6
7
20
7
4
7
8
.
2.3. Transpozycja macierzy
Macierzą transportowaną macierzy M jest macierz M
T
otrzymana z M przez
utworzenie wierszy z kolumn, a kolumn z wierszy, więc
M =
6
5
4
3
2
1
, M
T
=
T
6
5
4
3
2
1
=
6
4
2
5
3
1
Jest oczywiste, Ŝe transponowanie transpozycji powoduje powrót macierzy do jej
poprzedniej postaci, to znaczy (M
T
)
T
= M.
2.4. MnoŜenie macierzy
JeŜeli macierz R ma tyle samo kolumn, ile macierz S ma wierszy , to iloczyn macierzy
RS
ma sens, ale tylko w tym przypadku. Często więc iloczyn RS ma sens, a SR nie ma
sensu. JeŜeli nawet obie macierze, RS i SR, mają sens, to zwykle nie są sobie równe.
JeŜeli R jest macierzą o wymiarach m
×
n, a S jest macierzą o wymiarach n
×
p,
to RS jest
macierzą o wymiarach m
×
p.
PokaŜemy, jak obliczać wyrazy iloczynu na przykładzie macierzy A o wymiarach 2
×
3 oraz
macierzy D o wymiarach 3
×
2. Macierz AD ma wówczas wymiary 2
×
2. Mamy
R
⋅
S =
6
5
4
3
2
1
⋅
−
−
−
4
0
2
5
0
1
=
−
−
34
21
16
9
Wyrazy macierzy RS policzono jak następuje:
a
11
= 9 = 1
⋅
(-1) + 2
⋅
5 + 3
⋅
0,
a
12
= -16 = 1
⋅
0 + 2(-2) + 3 (-4)
a
21
= 21 = 4(-1) + 5
⋅
5 + 6
⋅
0,
a
22
= -34 = 4
⋅
0 + 5(-2) + 6(-4).
Na przykład wyraz -16.
LeŜy on w pierwszym wierszu i w drugiej kolumnie macierzy. Powstał więc z pierwszego
wiersza
macierzy R i drugiej kolumny macierzy S
Pierwszy wiesz R druga kolumna S Pierwszy wiersz
i druga kolumna RS
*
*
*
3
2
1
−
−
4
*
2
*
0
*
−
*
*
16
*
ś
eby otrzymać —16 z pierwszego wiersza macierzy A i drugiej kolumny macierzy D,
mnoŜymy odpowiadające sobie wyrazy i dodajemy iloczyny, a
więc
Aby pomnoŜyć macierze wygodnie je pisać w następujący sposób:
−
−
−
4
0
2
5
0
1
6
5
4
3
2
1
−
−
34
21
16
9
Strzałki podpowiadają z którego wiersza i której kolumny otrzymujemy dany wyraz.
−
−
−
4
0
2
5
0
1
6
5
4
3
2
1
−
−
34
21
16
9
Zachodzą ogólne twierdzenia
a)
MnoŜenie macierzy nie jest przemienne.
b)
MnoŜenie macierzy jest łączne (A B) C = A (B C), czyli moŜna najpierw mnoŜyć A
przez B i wynik przez C bądź mnoŜyć A przez wynik mnoŜenia macierzy B i C;
wszystko pod warunkiem, Ŝe te mnoŜenia są wykonalne.
c)
Transpozycja zmienia porządek iloczynu, to znaczy, Ŝe (AB)
T
= B
T
A
T
Macierz zerowa działa dokładnie tak, jak moŜna by oczekiwać: wynik mnoŜenia
czegokolwiek przez macierz zerową jest macierzą zerową.
Jest teŜ macierz jednostkowa ze spodziewanymi własnościami. Macierz jednostkowa
zawsze jest macierzą kwadratową, ale - podobnie jak w przypadku macierzy zerowej - jej
dokładne wymiary powinny być wywnioskowane z kontekstu. Macierzą jednostkową o
wymiarach 3 x 3 jest
I
3
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
, I
2
=
1
0
0
1
W macierzy jednostkowej na głównej przekątnej są jedynki, a poza tą przekątną zera.
__________________________________________________________________
Ujęcie ogólne
Definicja
Niech A
m
××××
t
= [a
i j
]
m
××××
t
, B
t
××××
n
= [b
i j
]
t
××××
n
.
Iloczynem AB macierzy A i B nazywamy
macierz C
m
××××
n
= [c
ij
]
m
××××
n
gdzie c
i j
=
j
i
k
w o
=
∑
=
t
s
s
s
k
w
1
.
Przyjmując, Ŝe A =
m
w
w
w
...
2
1
, B = [
1
k
,
2
k
, … ,
n
k
], wtedy
AB =
m
w
w
w
...
2
1
⋅
[
1
k
,
2
k
, … ,
n
k
]=
n
m
m
m
n
n
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
k
w
o
o
o
o
o
o
o
o
o
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
.
Twierdzenie
Niech A, B, C, I , [0] będą takimi macierzami, dla których podane działania są wykonalne. Wtedy:
a) A (B + C) = A B + A C
b) (A + B) C = A C + B C
c) A (
α
B) = (
α
A) B =
α
(A B)
d) A (B C) = (A B) C
e) A I = I A = A
f) [0] A = A [0] = [0].
3. Przekształcenia elementarne macierzy
Przekształceniem elementarnym lub operacją elementarną na macierzy (elementary
operation) nazywamy:
1.
Zamianę miejscami (przestawienie) dwóch dowolnych wierszy albo dwóch
dowolnych kolumn.
2.
MnoŜenie przez liczbę róŜną od zera wszystkich elementów dowolnego wiersza
(kolumny).
3.
Dodawanie do wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) odpowiadających im
(stojących na tych samych miejscach) elementów innego wiersza (kolumny) pomnoŜonych przez
tę samą liczbę róŜną od zera.
Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez operacje elementarne to mówimy, Ŝe A i B są
macierzami równowaŜnymi i zapisujemy A ~ B.
Przykład
Macierz M =
−
−
3
0
1
2
1
4
5
3
2
1
7
4
przekształcamy następująco:
Zamieniamy miejscami wiersz drugi i wiersz trzeci, otrzymujemy (nowe wiersze
zaznaczamy ‘)
−
−
1
4
5
3
3
0
1
2
2
1
7
4
, piszemy w
2
’
= w
3
, w
3
’
= w
2
,
mnoŜymy wiersz pierwszy przez -3, piszemy w
1
’ = -3w
1
, otrzymujemy
−
−
−
−
1
4
5
3
3
0
1
2
6
3
21
12
.
Do wiersza drugiego dodamy wiersz trzeci pomnoŜony przez 5 (zapis w
2
’= w
2
+5w
3
):
−
−
−
1
4
5
3
8
20
24
17
6
3
21
12
.
Podobne operacje moŜna wykonywać na komunach macierzy.
Operacje elementarne stosujemy, by doprowadzić daną macierz do równowaŜnej jej
macierzy schodkowej lub macierzy zero- jedynkowej.
W macierzy schodkowej jest tak wiele zer z lewej strony kaŜdego wiersza jak to tylko
moŜliwe, zaczynając od dolnego wiersza i posuwając się w górę.
W macierzy zero- jedynkowej jest tyle zer jak to tylko moŜliwe.
Macierz schodkowa równowaŜna macierzy M z poprzedniego przykładu jest na
przykład następująca (moŜe być takŜe inna):
108
0
0
0
0
0
1
0
23
1
0
0
Macierz zero – jedynkowa jest następująca:
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
;
moŜna ją doprowadzić do postaci (przestawiając kolumny ):
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
.
W niej mnoŜna dostrzec macierz jednostkową I
3
oraz macierz utworzoną z samych zer
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
; zaznaczyłem to pionową kreską.
Przekształcenia elementarne są potrzebne do tego, aby wyznaczać rząd macierzy.
4. Rząd macierzy
Rząd macierzy to ilość (liczba )niezerowych wierszy w jej postaci schodkowej. Na
przykład rząd macierzy M (z poprzedniego przykładu) wynosi 3.
Rząd moŜe być 0 (macierz zerowa) lub liczbą naturalną dodatnią.
Macierz schodkową danej macierzy moŜna otrzymać przekształcając same wiersze,
same kolumny a takŜe jednocześnie wiersze i kolumny. Nie ma znaczenia jak będziemy
przekształcać zawsze otrzymamy ten sam rząd macierzy.
Pojęcie rzędu macierzy jest waŜnym pojęciem wykorzystywanym przy rozwiązywaniu
układów równań liniowych.
Ćwiczenia
1. Napisz macierz A = [a
i j
]
m x n
, gdy:
a) a
i j
= (–1)
i
(2i – 3j), m = 3, n = 2 , b) a
i j
=
(2 – j)
i
, m = 2, n = 4.
2. Dane są macierze:
A
2 x 3
=
−
−
−
5
3
2
4
2
1
, B
2 x 2
=
−
−
1
5
,
0
0
2
, C
3 x 2
=
2
1
6
3
4
2
, D
2 x 3
=
−
1
0
1
0
5
2
.
Wyznacz (o ile to moŜliwe) macierz:
a) A + 2B , b) 2A – 2B , c) (A – B)
⋅
C , d) C
⋅
D, e) D
⋅
C,
f) A
⋅
C, g) C
T
⋅
A, h) (D
T
– 2 C)
⋅
B, i) B
2
, j) A
2
,
k) C
T
– A, l) (B – C)
⋅
A, ł) B
2
⋅
D, m) C
⋅
B
2
⋅
D, n) (2D + A)
⋅
C
2
,
o) D
⋅
C
⋅
B, p) 2A
⋅
3D, q) C
⋅
D
⋅
A
T
, r) A
⋅
B, s) C
⋅
B.
3. Oblicz:
2
0
1
1
2
−
+
2
1
1
3
2
−
−
.
4. Podaj warunki , przy których AX = B, gdy
A =
−
−
1
2
1
0
1
1
3
2
1
, B =
0
3
1
, X =
z
y
x
5. RozwiąŜ równania i układy równań:
a) 3 A –
−
0
1
5
2
= 5A –
−
1
0
1
2
, b) 2
b
a
–
−
2
1
+ 4
b
a
=
1
2
,
c) (2A)
T
=
−
0
3
5
2
, d) [a 2 1]
⋅
1
0
0
2
1
0
3
2
1
⋅
0
2
a
= [0] ,
e)
2
1
A + 4
−
1
0
2
1
= -
−
−
2
1
5
2
, f)
−
=
+
−
=
−
1
4
1
2
2
3
2
1
0
2
Y
X
Y
X
.
6. Oblicz wartość wyraŜenia f(X) = X
2
– 4X + 5 I, gdy X =
−
1
1
3
2
, I =
1
0
0
1
.
7. Doprowadź do postaci schodkowej, do postaci zero - jedynkowej macierz:
a) A =
−
1
3
4
2
1
1
3
1
1
, B =
−
−
−
5
3
2
3
1
5
, C =
−
−
−
−
−
−
3
2
4
4
8
4
2
1
3
2
1
3
1
2
1
.
8. Określ rząd kaŜdej macierzy z zadania 7.