8.4. Wybrane typy równań róŜniczkowych rzędu drugiego 

 

Definicje: 

•

 

Równaniem róŜniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci   

0

)

''

,

'

,

,

(

=

y

y

y

x

F

 lub 

)

'

,

,

(

''

y

y

x

f

y

=

. 

•

 

Rozwiązaniem albo całką równania róŜniczkowego zwyczajnego rzędu drugiego 

nazywamy kaŜdą funkcję  y = y(x), dwukrotnie róŜniczkowalną i przeprowadzającą to 

równanie w toŜsamość. 

•

 

Rozwiązaniem ogólnym lub inaczej całką ogólną równania róŜniczkowego 

zwyczajnego rzędu drugiego nazywamy takie jego rozwiązanie, które zaleŜy od 

dwóch dowolnych stałych 

2

1

c

,

c

 od siebie niezaleŜnych. JeŜeli stałym tym nadamy 

konkretne wartości liczbowe, to otrzymane wówczas z całki ogólnej rozwiązanie 

nazywamy całką szczególną. 

•

 

Zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy’ego) dla równania róŜniczkowego 

zwyczajnego rzędu drugiego to zadania polegające na poszukiwaniu takiej całki 

)

x

(

y

ϕ

=

, która spełnia warunki 

0

0

y

)

x

(

=

ϕ

 i 

1

0

y

)

x

(

'

=

ϕ

. Z geometrycznego punktu 

widzenia oznacza to wyznaczenie krzywej przechodzącej  przez punkt 

)

y

,

x

(

0

0

 i 

posiadającej w tym punkcie styczną o współczynniku kierunkowym  

1

0

y

)

x

(

'

=

ϕ

. 

 

Przykład 1. 

Sprawdź, Ŝe rodzina dwuparametrowa funkcji 

x

2

2

x

1

e

c

e

c

y

−

+

=

, gdzie 

2

1

c

,

c

∈

R jest całką 

ogólną  równania 

'

y

y

2

''

y

−

=

.  

               Obliczamy pochodne: 

x

2

2

x

1

e

c

2

e

c

)

x

(

'

y

−

−

=

,  

                                                    

x

2

2

x

1

e

c

4

e

c

)

x

(

''

y

−

+

=

, 

                 Podstawiamy wyznaczone funkcje do rozwaŜanego równania i otrzymujemy:     

                             

x

2

2

x

1

x

2

2

x

1

x

2

2

x

1

e

c

2

e

c

e

c

2

e

c

2

e

c

4

e

c

−

−

−

+

−

+

=

+

,  

                              czyli toŜsamość 0 = 0. 

                Zatem 

x

2

2

x

1

e

c

e

c

)

x

(

y

−

+

=

 jest całką ogólną równania 

'

y

y

2

''

y

−

=

. 

 

 

 

Przykład 2. 

RozwiąŜ zagadnienie początkowe dla równania 

'

y

y

2

''

y

−

=

 przyjmując, Ŝe 

0

)

0

(

y

=

,    

3

)

0

(

'

y

−

=

. 

            Podstawiając w całce ogólnej równania  

x

2

2

x

1

e

c

e

c

)

x

(

y

−

+

=

 w miejsce  x zero  i y 

zero otrzymujemy równanie 

0

c

c

2

1

=

+

, 

Podstawiając do wzoru pochodnej  '

y  funkcji 

x

2

2

x

1

e

c

e

c

)

x

(

y

−

+

=

 zamiast x zero oraz 

zamiast y’ liczbę - 3 otrzymujemy równanie 

2

1

c

2

c

3

−

=

−

.  

Rozwiązujemy układ równań  







−

=

−

=

+

3

2

0

2

1

2

1

c

c

c

c

 ; otrzymujemy 

1

c

1

−

=

 i 

1

c

2

=

. 

Zatem funkcja 

x

2

x

e

2

e

y

−

+

−

=

 jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego dla równania 

'

y

y

2

''

y

−

=

.  

Wykres funkcji 

x

2

x

e

2

e

y

−

+

−

=

przechodzi przez punkt A = (0, 0) oraz styczna 

poprowadzona do tej krzywej w punkcie A jest nachylona do osi x pod kątem, którego 

tangens jest równy -3 ( kąta w przybliŜeniu mającego 108

o

25’). 

 

Równanie róŜniczkowe postaci 

)

x

(

f

''

y

=

 

 

 Konstrukcja rozwiązania równania 

)

x

(

f

''

y

=

.  

         Równanie 

)

x

(

f

''

y

=

 całkujemy dwukrotnie: 

                  

∫

∈

+

=

=

R

c

c

x

dx

x

f

x

y

1

1

1

,

)

(

)

(

)

(

'

ϕ

  

                   y(x) =

∫ ∫

∫

∫

+

+

=

+

=

=

2

1

2

1

1

'

)

(

]

)

(

[

]

)

(

[

)

(

c

x

c

x

dx

c

dx

x

dx

dx

x

f

dx

x

y

ϕ

ϕ

, gdzie c

1

 , c

2

  

∈

R.  

         Ostatecznie y(x) = 

∫ ∫

dx

dx

x

f

]

)

(

[

 jest całką ogólną równania 

)

x

(

f

''

y

=

. 

 

Przykład 3.  

      RozwiąŜ równanie: 

x

2

e

x

2

x

''

y

+

+

=

. 

             Po pierwszym całkowaniu mamy: 

                           

1

x

2

3

c

e

x

x

3

1

'

y

+

+

+

=

, gdzie 

R

c

1

∈

 

             Po drugim całkowaniu otrzymujemy: 

                       

2

1

x

3

4

c

x

c

e

x

3

1

x

12

1

y

+

+

+

+

=

,   

2

1

c

,

c

∈

R. 

            Ostatecznie całką ogólną równania 

x

2

e

x

2

x

''

y

+

+

=

 jest funkcja 

                                 

2

1

3

4

3

1

12

1

)

(

c

x

c

e

x

x

x

y

x

+

+

+

+

=

, 

2

1

c

,

c

∈

R. 

 

 

Równanie róŜniczkowe postaci 

)

'

y

,

x

(

f

''

y

=

 

 

Przez podstawienie y’= u(x) moŜna sprowadzić równanie 

)

'

y

,

x

(

f

''

y

=

do równania 

rzędu pierwszego. 

 

Przykład 4.  

   RozwiąŜ równanie 

2

)

'

y

(

''

y

=

. 

         

         Podstawiamy 

)

x

(

u

)

x

(

'

y

=

, zatem 

)

x

(

'

u

)

x

(

''

y

=

.  

         Wyjściowe równanie przybiera postać 

2

u

)

x

(

'

u

=

, czyli 

2

u

dx

du

=

. 

        Rozdzielamy zmienne 

dx

u

du

2

=

 dla u

≠

0 oraz całkujemy kaŜdą ze stron równania.      

         Otrzymujemy   

1

c

x

u

1

+

=

−

,   czyli  

1

1

)

(

c

x

x

u

+

−

=

. 

                Wracamy do funkcji y , pamiętając, Ŝe u(x) = y’(x):  

                 

1

c

x

1

dx

dy

+

−

=

, skąd szukane rozwiązanie 

2

1

ln

)

(

c

c

x

x

y

+

+

−

=

. 

               Całką ogólną równania 

2

)

'

y

(

''

y

=

 jest 

2

1

ln

)

(

c

c

x

x

y

+

+

−

=

, c

1, 

c

2

 

∈

  R. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zadania do samodzielnego rozwiązania 

Zadanie 1.  

   RozwiąŜ równania: 

a)

 

x

cos

x

sin

''

y

=

,     b)  

x

sin

x

''

y

+

=

,  c)  

x

e

'

y

''

y

+

=

 , d)   

'

y

'

'

y

)

x

1

(

=

+

,  

e)    

2

)

'

y

(

1

''

y

−

=

.  

 

Odpowiedzi 

a) 

2

1

c

x

c

x

2

sin

8

1

y

+

+

−

=

;         b) 

2

1

3

c

x

c

x

sin

x

6

1

y

+

+

−

=

;  

c)  

1

,

2

1

+

=

+

+

=

x

x

x

xe

y

c

e

c

xe

y

 ;   d)   

2

1

2

1

c

x

c

x

c

2

1

y

+

+

=

; e)  

x

2

x

1

e

c

e

c

ln

y

+

=

−

.