4.4. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu 

 

Pochodne cząstkowe z’

x

  = 

'

x

f

(x, y) = 

x

y

x

f

∂

∂

)

,

(

,  z’

y

 = 

'

y

f

 (x, y) = 

y

y

x

f

∂

∂

)

,

(

 funkcji  z = f(x, y) 

obliczone w punkcie (x, y) są równieŜ funkcjami dwóch zmiennych x, y.  

Dla kaŜdej z tych funkcji pochodnych moŜemy wyznaczyć pochodne cząstkowe 

względem x (pochodne po x ) oraz względem y (pochodne po y)  – jeŜeli tylko te pochodne 

istnieją . Otrzymamy wówczas cztery nowe funkcje:  

 

[

'

x

f

(x, y)]’

x

  = 

x

x

y

x

f

∂

∂

∂

∂

)

)

,

(

(

; funkcję tę oznaczamy krótko  

'

2

x

f

 bądź 

2

2

x

f

∂

∂

,  

 

[

'

x

f

(x, y)]’

y

  = 

y

x

y

x

f

∂

∂

∂

∂

)

)

,

(

(

; funkcję tę oznaczamy krótko  

'

xy

f

 bądź 

y

x

f

∂

∂

∂

2

,  

 

[

'

y

f

(x, y)]’

x

  = 

x

y

y

x

f

∂

∂

∂

∂

)

)

,

(

(

; funkcję tę oznaczamy krótko  

'

yx

f

 bądź 

x

y

f

∂

∂

∂

2

,  

 

[

'

y

f

(x, y)]’

y

  = 

y

y

y

x

f

∂

∂

∂

∂

)

)

,

(

(

; funkcję tę oznaczamy krótko  

'

2

y

f

 bądź 

2

2

y

f

∂

∂

.  

 

Otrzymane funkcje nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji z = f(x,y). 

 

Pochodne  

'

yx

f

 , 

'

yx

f

 róŜnią się tylko kolejnością liczenia (po x, po y). Nazywamy je 

pochodnymi mieszanymi rzędu drugiego.   

 

Twierdzenie 

JeŜeli dla funkcji z = f(x, y) pochodne 

'

yx

f

 , 

'

yx

f

 istnieją i są funkcjami ciągłymi w obszarze 

D, to w kaŜdym punkcie tego obszaru są sobie równe. 

 

 

Przykład  

Dana jest funkcja z = y

3

 + 2x

2

y – x

4

 + 5 określona w R

2

. Wyznacz pochodne cząstkowe 

pierwszego i drugiego tej funkcji w dowolnym punkcie P(x, y) oraz w punkcie A(2, -3). 

Mamy: 

        

x

z

∂

∂

 = 4xy – 4x

3

 ,     

y

z

∂

∂

 = 3y

2

 + 2x

2

 ; są to funkcje zmiennych x, y określone w R

2

.               

                  

x

A

z

∂

∂

)

(

 = 4

⋅

2(–3)  – 4

⋅

2

3

 = –56 ; 

y

A

z

∂

∂

)

(

 = 35. 

 

       

2

2

x

z

∂

∂

 = 4y – 12x

2

 ,    

2

2

y

z

∂

∂

 = 6y ,      

y

x

z

∂

∂

∂

2

 = 4x ,    

x

y

z

∂

∂

∂

2

 = 4x.  

 

                 

2

2

)

(

x

A

z

∂

∂

 = – 50 ;   

2

2

)

(

y

A

z

∂

∂

 = – 18 ;      

y

x

A

z

∂

∂

∂

)

(

2

 = 

x

y

A

z

∂

∂

∂

)

(

2

 = 8. 

 
 
Zadania  
 
1. Wyznacz pochodne rzędu drugiego funkcji: 

     a)  z = x –  1,    b)  z = x

2 

ln(y – 3) ,      c)  z = x

y

 ,          d) z = arc tg 

y

x

 ,  

     e)  z = 

v

u

 –  

u

v

 + 

3

,    f)  z = x

2 

ln(

xy

 – 3) ,      g)  z = x cos y – tg x ,  h) z = arc sin 

y

x

 .  

 
2. Oblicz pochodne  

xx

z

''

,   

xy

z

''

 ,  

yy

z

''

 funkcji: 

      a)  z = e

x

 (cosy + xsiny) ,      b) z = 

2

2

3x

y

y

−

. 

3.  Uzasadnij, Ŝe funkcja f(x, y) = 

2

2

3x

y

y

−

 spełnia równanie 

2

2

x

f

∂

∂

 = 9

2

2

y

f

∂

∂

.  

4. Uzasadnij, Ŝe funkcja z  = 

y

x

−

 + sin(x – y) spełnia równanie 

2

2

x

z

∂

∂

 = 

2

2

y

z

∂

∂

.