Równania różniczkowe rzędu drugiego
Są to równania postaci:
F ( x, y, y0, y00) = 0 ,
gdzie
F
jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze
∆ ⊂
4
R , zaś
y = y( x) jest szukaną (niewiadomą) funkcją.
Przykłady równań różniczkowych rz. 2:
y00 + 3 y0 + 2 y = 4 cos x
y00 = ey
Definicja
Całką szczególną rr rzędu drugiego na przedziale
I
nazywamy każdą funkcję
y = y( x) o ciągłej drugiej pochodnej w
I , która spełnia to równanie, tj.
∀x∈I
F ( x, y( x) , y0( x) , y00( x)) = 0 .
Całką ogólną rr rzędu drugiego nazywamy rodzinę funkcji
y = y( x; C 1 , C 2) ,
x ∈ I,
C 1 , C 2 ∈ R ,
taką że dla dowolnych wartości stałych C 1 , C 2 funkcja y( x; C 1 , C 2) jest całką szczególną rr.
Definicja
Zagadnieniem początkowym Cauchy’ego dla rr rzędu
drugiego nazywamy zadanie wyznaczenie tej całki szczególnej rr, która spełnia warunki początkowe
y( x
0) = y 0
y0( x
0) = y 1
Równania rzędu 2 sprowadzalne do
równań rzędu 1
• Równanie typu
F ( x, y0, y00) = 0
Podstawienie: y0 = u( x) .
Przykład
Rozwiązać równanie:
x y00 = y0
• Równanie typu
F ( y, y0, y00) = 0
Podstawienie: y0 = u( y) .
Przykład
Rozwiązać zagadnienie początkowe:
y00 = e 2 y,
y(0) = 0 ,
y0(0) = − 1
Równania różniczkowe rzędu n
Są to równania postaci:
F ( x, y, y0, . . . , y( n)) = 0
Całkę ogólną tego równania tworzy zbiór funkcji o ciągłej pochodnej rzędu n zalezny od n stałych:
y = y( x; C 1 , C 2 , . . . , Cn) , x ∈ I,
C 1 , C 2 , . . . , Cn ∈ R .
W zagadnieniu początkowym dla rr rzędu
n
występuje
n
warunków poczatkowych postaci:
y( x 0) = y 0 , y0( x 0) = y 1 , . . . y( n− 1)( x 0) = yn− 1 .
Równania różniczkowe liniowe rzędu n
Jest to równanie postaci:
y( n) + pn− 1( x) y( n− 1) + . . . + p 1( x) y0 + p 0( x) y = f ( x) gdzie funkcje
p 0( x) , p 1( x) , . . . , pn− 1( x) , f ( x) są ciągłe na pewnym przedziale I .
• Jeżeli f ( x) ≡ 0 , to równanie powyższe nazywamy równaniem liniowym jednorodnym.
• Jeżeli funkcje p 0( x) , p 1( x) , . . . , pn− 1( x) są stałe na przedziale I , to równanie powyższe nazywamy równaniem liniowym o stałych współczynnikach.
Przykłady równań liniowych:
y000 + 2 xy00 + 3 y = x 3
y00 + 2 y0 + 3 y = 0
Definicja
Funkcje
y 1( x) , y 2( x) , . . . , yn( x) nazywamy liniowo zależnymi na przedziale
I , jeżeli istnieją stałe α 1 , α 2 , . . . , αn
nie wszystkie równe zero takie, że dla każdego x ∈ I spełniona jest równość:
α 1 y 1( x) + α 2 y 2( x) + . . . + αn yn( x) = 0 .
Funkcje y 1( x) , y 2( x) , . . . , yn( x) nazywamy liniowo niezależnymi na przedziale I , jeżeli nie są one liniowo zależne, co oznacza, że
∀x∈I
[ α 1 y 1( x) + α 2 y 2( x) + . . . + αn yn( x) = 0 ]
⇐⇒
⇐⇒
[ α 1 = α 2 = . . . = αn = 0 ] .
Fakt
Jeżeli y 1( x) , y 2( x) , . . . , yn( x) są dowolnymi, ale liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania liniowego jednorodnego rzędu
n , to rozwiązanie ogólne tego równania ma postać
y = C 1 y 1( x) + C 2 y 2( x) + . . . + Cn yn( x) .
Zbiór rozwiązań
y 1( x) , y 2( x) , . . . , yn( x) nazywamy układem fundamentalnym rozwiązań równania liniowego jednorodnego rzędu n .
Twierdzenie
Rozwiązania
y 1( x) , y 2( x) , . . . , yn( x) równania jednorodnego są liniowo niezależne na przedziale
I wtedy i tylko
wtedy, gdy wyznacznik funkcyjny
y
1( x)
y 2( x)
. . .
yn( x)
y0
1( x)
y0 2( x)
. . .
y0n( x)
W [ y
1 , . . . , yn] =
6
= 0
. . .
. . .
. . .
. . .
( n− 1)
( n− 1)
( n− 1)
y
n
( x)
1
( x)
y 2
( x)
. . .
y
przynajmniej w jednym punkcie x 0 ∈ I .
Wyznacznik
powyższy
nazywamy
wrońskianem
(wyznacznikiem Wrońskiego).
Fakt
Jeżeli y = y 0( x; C 1 , C 2 , . . . , Cn) jest całką ogólną równania liniowego jednorodnego rzędu
n oraz y = yS( x) jest dowolną całką szczególną równania niejednorodnego, to całka ogólna równania liniowego niejednorodnego rzędu n ma postać:
y = y 0( x; C 1 , C 2 , . . . , Cn) + yS( x) , x ∈ I, C 1 , C 2 , . . . , Cn ∈ R .
Równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach
an y( n) + an− 1 y( n− 1) + . . . + a 1 y0 + a 0 y = 0
Zakładamy, że funkcja postaci
y( x) = erx , gdzie r jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną, jest rozwiazaniem powyższego równania.
Wówczas
an rn + an− 1 rn− 1 + . . . + a 1 r + a 0 = 0 .
Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym równania
liniowego jednorodnego a jego pierwiastki nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi tego równania.
• Jeżeli
ri, rj
są dwoma różnymi pierwiastkami rzeczywistymi
równania charakterystycznego, to funkcje yi( x) = erix i yj( x) =
erjx są dwoma liniowo niezależnymi rozwiązaniami rrlj.
• Jeżeli
r jest rzeczywistym pierwiastkiem k-krotnym równania
charakterystycznego, to funkcje
y( x) = erx ,
y( x) = xerx ,
. . . , y( x) = xk− 1 erx są liniowo niezależnymi rozwiązaniami rrlj.
• Jeżeli
r = α + βi
jest pierwiastkiem zespolonym równania
charakterystycznego (tym samym ¯
r = α − βi jest pierwiastkiem
tego równania), to funkcje
y 1( x) = eαx sin βx
i
y 2( x) =
eαx cos βx są dwoma liniowo niezależnymi rozwiązaniami rrlj.
• Jeżeli
r = α + βi
jest k-krotnym pierwiastkiem zespolonym
równania charakterystycznego (tym samym
¯
r = α − βi jest k-
krotnym
pierwiastkiem
tego
równania),
to
funkcje
y( x) = eαx sin βx, y( x) = xeαx sin βx, . . . , y( x) = xk− 1 eαx sin βx i y( x) = eαx cos βx, y( x) = xeαx cos βx, . . . , y( x) = xk− 1 eαx cos βx są liniowo niezależnymi rozwiązaniami rrlj.
Przykład
Rózwiązać równania:
a)
y00 + y0 − 2 y = 0
b)
y00 + 6 y0 + 9 y = 0
c)
y00 + 2 y0 + 10 y = 0
d)
y000 − y00 = 0
e)
y(5) + 8 y000 + 16 y0 = 0
Wyznaczanie całki szczególnej równania niejednorodnego
metodą uzmienniania stałych
Rozważmy równanie
y00 + a 1 y0 + a 0 y = f ( x) Wiadomo przy tym, że całka ogólna odpowiedniego równania jednorodnego ma postać:
y 0 = C 1 y 1( x) + C 2 y 2( x) , gdzie C 1 , C 2 są dowolnymi stałymi, a y 1( x) , y 2( x) stanowią układ fundamentalny rozwiązań równania jednorodnego.
Fakt
Istnieje rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego
postaci:
yS = C 1( x) y 1( x) + C 2( x) y 2( x) , gdzie funkcje C 1( x) , C 2( x) spełniają układ równań:
C0
1( x) y 1( x) + C0 2( x) y 2( x) = 0
C0
1( x) y0 1( x) + C0 2( x) y0 2( x) = f ( x)
Przykład
Rózwiązać równania:
a)
y00 − 2 y0 + y = ex
x
b)
y00 − 3 y0 + 2 y = cos e−x
c)
y00 + y = tg x ,
y(0) = 1 ,
y0(0) = 3
Wyznaczanie całki szczególnej równania niejednorodnego
metodą przewidywań
• Jeżeli f ( x) = Wn( x) eαx , to yS = Qn( x) eαx · xk,
gdzie Qn( x) jest dowolnym wielomianem stopnia n , a czynnik xk
pojawia się wtedy i tylko wtedy, gdy
α
jest k-krotnym
pierwiastkiem równania charakterystycznego.
• Jeżeli f ( x) = eαx ( Wn( x) sin βx + Pn( x) cos βx ) , to yS = eαx ( Qn( x) sin βx + Zn( x) cos βx ) · xk, gdzie Qn( x) , Zn( x) są dowolnymi wielomianami stopnia n , a czynnik xk pojawia się wtedy i tylko wtedy, gdy α + βi jest k-krotnym pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego.
• Jeżeli
f ( x)
jest sumą kilku funkcji opisanych w poprzednich
punktach, to dla każdej z tych funkcji oddzielnie przewidujemy i obliczamy całkę szczególną, a następnie wszystkie otrzymane całki szczególne sumujemy.
Przykład
Rózwiązać równania:
a)
y00 + 2 y0 = x 2 − 1
b)
y00 + 6 y0 + 9 y = 10 sin x
x
c)
2 y00 + y0 − y = e 2 − x