UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
1
ZADANIA - Seria 6, Macierze. Wykorzystanie metody operacji elementarnych.
( Iloczyn macierzy, macierz odwrotna, struktura przestrzeni liniowej, układ równań )
1. Rozwiązać równania macierzowe:
a)
1
1
1
1
2
1
3
1
X
b)
4
3
1
2
4
3
1
1
X
2. Wyznaczyć macierz odwrotną do poniższych macierzy:
a)
5
3
0
2
1
0
0
0
6
b)
2
0
1
0
3
1
1
1
0
0
3
2
0
0
2
1
c)
0
0
3
0
0
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
0
3. Korzystając z własności macierzy elementarnych obliczyć iloczyny macierzy:
a)
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
b)
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
c)
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
d)
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
4. Niech macierze A,B,C,D będą kwadratowymi macierzami nieosobliwymi. Wykazać, że
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
B
CA
D
D
AC
B
A
DB
C
C
BD
A
D
C
B
A
5.
Znaleźć przecięcie dwóch podprzestrzeni liniowych
5
2
1
,
R
V
V
1
2
3
1
2
1
5
5
0
3
1
Ker
V
,
1
0
3
1
1
1
1
3
0
3
2
Ker
V
6. Rozwiązać układ równań liniowych niejednorodnych:
a)
1
3
2
2
2
3
1
4
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b)
1
3
2
2
2
3
1
4
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
2
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań.
1. a) Aby rozwiązać równanie macierzowe postaci:
B
AX
(6.1)
metodą operacji elementarnych, należy skorzystać z następującego faktu:
Niech
F
oznacza
m
x
m
macierz elementarną, odpowiadającą operacji elementarnej na
wektorach wierszowych, przeprowadzającej
n
x
m
macierz
A
w
n
x
m
macierz
A
. Wtedy
FA
A
(6.2)
Pomnożenie obu stron równania (6.1) lewostronnie przez nieosobliwą macierz
F
sprowadza się
więc do wykonania tej samej operacji elementarnej na wierszach obu macierzy
B
i
A
.
Wykonujemy ciąg operacji elementarnych na wierszach obu macierzy
B
i
A
tak , aby
zredukować macierz
A
do możliwie najprostszej postaci:
A
II
w
II
I
w
I
II
w
A
1
0
0
1
1
0
0
1
3
1
0
3
1
2
1
3
1
B
II
w
III
I
w
I
II
w
B
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
sprowadzając równanie
B
AX
do równoważnej mu postaci
B
X
A
0
0
1
1
1
0
0
1
X
skąd
0
0
1
1
X
Uwaga. Równanie macierzowe
B
AX
stanowi sprytny zapis kilku równań liniowych
niejednorodnych, o takiej samej części jednorodnej ( macierz
A
), w których rolę
niewiadomych pełnią kolumny macierzy
X
a rolę wyrazów wolnych (
b
) kolumny
macierzy
B
:
i
i
B
AX
,
.
,
.
.
b) Aby rozwiązać równanie macierzowe postaci:
B
XA
(6.3)
metodą operacji elementarnych, należy skorzystać z następującego faktu:
Niech
F
oznacza
m
x
m
macierz elementarną, odpowiadającą operacji elementarnej na
wektorach kolumnowych, przeprowadzającej
m
x
n
macierz
A
w
m
x
n
macierz
A
. Wtedy
AF
A
(6.4)
Uwaga. Równania (6.3) i (6.4) stanowią transponowaną wersję równań (6.1) i (6.2) – zamiana
roli wierszy i kolumn dla odpowiednich macierzy.
Pomnożenie obu stron równania (6.1) prawostronnie przez nieosobliwą macierz
F
sprowadza
się więc do wykonania tej samej operacji elementarnej na kolumnach obu macierzy
B
i
A
.
Wykonujemy ciąg operacji elementarnych na kolumnach obu macierzy
B
i
A
tak , aby
zredukować macierz
A
do możliwie najprostszej postaci:
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
3
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
A
I
K
II
K
II
I
K
I
II
K
A
1
0
0
1
)
1
(
1
0
0
1
)
1
(
1
0
0
1
3
1
3
0
1
4
3
1
1
B
I
K
II
K
II
I
K
I
II
K
B
7
24
3
11
)
1
(
7
24
3
11
)
1
(
7
24
3
11
3
7
3
3
2
4
3
1
2
sprowadzając równanie
B
XA
do równoważnej mu postaci
B
A
X
7
24
3
11
1
0
0
1
X
skąd
7
24
3
11
X
2. Aby wyznaczyć macierz odwrotną
1
A
do macierzy
A
( metodą operacji elementarnych ) należy
skorzystać z następującego faktu:
Jeśli wykonamy równocześnie ciąg operacji elementarnych na kolumnach ( wierszach )
n
x
n
macierzy
A
i
n
x
n
macierzy jednostkowej
I
, o macierzach elementarnych
k
F
F
F
,...,
,
2
1
,
taki że
I
A
A
, to wtedy
1
A
I
I
, przy czym
k
F
F
F
A
...
2
1
1
- dla operacji kolumnowych,
1
2
1
...
F
F
F
A
k
- dla operacji wierszowych.
a)
1
0
0
0
1
0
0
0
1
6
/
1
0
0
0
1
0
0
0
6
)
1
(
1
0
0
0
1
0
0
0
6
3
1
3
0
0
1
0
0
0
6
2
5
3
0
2
1
0
0
0
6
I
K
III
K
III
II
K
II
III
K
A
1
1
3
0
2
5
0
0
0
6
/
1
6
/
1
3
0
2
5
0
0
0
1
)
1
(
1
3
0
2
5
0
0
0
1
1
0
0
2
1
0
0
0
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A
I
K
III
K
III
II
K
II
III
K
b) Wystarczy wykonać ( na przykład ) następujący ciąg kolumnowych operacji elementarnych:
III
II
III
I
,
III
IV
3
,
I
II
2
,
2
/
, IV
,
IV
II
),
1
(
II
II
I
b) Wystarczy wykonać ( na przykład ) następujący ciąg kolumnowych operacji elementarnych:
,
IV
I
,
IV
II
,
III
II
),
1
(
I
,
2
/
II
3
/
IV
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
4
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
a)
2
/
1
0
2
/
1
1
2
/
3
1
2
/
9
8
0
0
1
2
0
0
2
3
1
A
b)
0
0
0
1
0
0
2
/
1
0
3
/
1
0
0
0
0
1
0
0
1
A
3. a) i d) Należy skorzystać z następującego faktu:
Niech
F
oznacza
m
x
m
macierz elementarną, odpowiadającą operacji elementarnej na
wektorach kolumnowych, przeprowadzającej
m
x
n
macierz
A
w
m
x
n
macierz
A
.
Wtedy
AF
A
.
Wystarczy zauważyć, że
k
IV
k
III
k
II
F
F
F
)
2
(
)
3
(
)
2
(
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
oraz
k
IV
I
k
III
I
k
II
I
F
F
F
3
2
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
Stąd ( operacje na kolumnach )
a)
2
3
2
1
16
12
4
1
14
15
6
1
8
9
4
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
)
2
(
)
3
(
)
2
(
k
IV
k
III
k
II
F
F
F
d)
1
1
1
1
8
4
2
13
7
5
3
7
4
3
2
3
1
1
1
4
8
4
2
11
7
5
3
14
4
3
2
9
1
1
1
2
8
4
2
3
7
5
3
4
4
3
2
3
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
3
3
3
3
2
k
IV
I
k
IV
I
k
II
I
k
IV
I
k
III
I
k
II
I
F
F
F
F
F
F
b) i c) Należy skorzystać z następującego faktu:
Niech
F
oznacza
m
x
m
macierz elementarną, odpowiadającą operacji elementarnej na
wektorach wierszowych, przeprowadzającej
n
x
m
macierz
A
w
n
x
m
macierz
A
.
Wtedy
FA
A
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
5
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
Wystarczy zauważyć, że
w
IV
w
III
w
II
F
F
F
)
2
(
)
3
(
)
2
(
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
oraz
w
I
IV
w
I
III
w
I
II
F
F
F
3
2
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
Stąd ( operacje na wierszach )
b)
2
2
2
2
24
12
6
3
14
10
6
2
4
3
2
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
)
2
(
)
3
(
)
2
(
w
IV
w
III
w
II
F
F
F
c)
11
8
5
2
16
10
6
3
11
8
5
2
4
3
2
1
11
8
5
2
16
10
6
3
7
5
3
1
4
3
2
1
11
8
5
2
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
2
3
2
w
I
II
w
I
III
w
I
II
w
I
IV
w
I
III
w
I
II
F
F
F
F
F
F
4.
Jeśli macierz kwadratowa
M
jest nieosobliwa to posiada ona jedyną macierz odwrotną
1
M
taką, że
I
M
M
MM
1
1
.
Wystarczy więc wykazać, że
I
I
D
C
B
A
B
CA
D
D
AC
B
A
DB
C
C
BD
A
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
Mnożąc macierze blokowo otrzymuje się układ czterech równości macierzowych
(1)
I
C
A
DB
C
A
C
BD
A
1
1
1
1
)
(
)
(
(2)
0
)
(
)
(
1
1
1
1
D
A
DB
C
B
C
BD
A
(3)
0
)
(
)
(
1
1
1
1
C
B
CA
D
A
D
AC
B
(4)
I
D
B
CA
D
B
D
AC
B
1
1
1
1
)
(
)
(
Dowód równości (2): ( tak samo dla równości (3) )
Mnożąc lewą stronę równości (2) prawostronnie przez macierz
)
(
1
1
A
DB
C
D
X
oraz lewostronnie przez macierz
)
(
1
C
BD
A
Y
otrzymujemy
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
6
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
0
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
BD
A
A
DB
BD
C
BD
C
BD
A
A
DB
C
BD
A
DB
C
DD
A
DB
C
C
BD
A
A
DB
C
BD
C
BD
A
C
BD
A
XLY
Ale macierze X i
Y
są nieosobliwe więc
0
L
.
Dowód równości (1): (analogicznie dla równości (4 ) )
Z równości (2) wynika, że
1
1
1
1
1
)
(
)
(
DB
A
DB
C
C
BD
A
. Wstawiając to do
lewej strony równości (1) otrzymujemy
I
C
A
DB
A
DB
C
C
A
DB
C
A
DB
A
DB
C
L
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
5.
Przecięcie podprzestrzeni liniowych
2
1
,V
V
Uwaga. Podprzestrzeń liniową
n
R
V
można opisać na dwa zasadniczo różne sposoby.
Sposób 1. Jako jądro pewnego przekształcenia liniowego o macierzy
A
:
KerA
V
.
Wówczas współrzędne wektorów
V
x
spełniają jednorodny układ
równań liniowych
0
Ax
(6.5)
Z geometrycznego punktu widzenia podana jest bezpośrednia informacja o
wektorach normalnych do płaszczyzny V ( są nimi wektory wierszowe
macierzy
A
).
Sposób 2. Jako obraz pewnego przekształcenia liniowego o macierzy
B
:
B
V
Im
.
Wówczas wektory
V
x
są kombinacjami liniowymi wektorów
kolumnowych macierzy
B
( równanie parametryczne płaszczyzny ):
B
B
B
x
k
k
,
1
,
1
...
(6.6)
Z geometrycznego punktu widzenia podana jest bezpośrednia informacja o
wektorach stycznych do płaszczyzny V ( są nimi wektory kolumnowe
macierzy
B
).
Obie podprzestrzenie przedstawione są jako jądra przekształceń liniowych:
1
1
KerA
V
,
2
2
KerA
V
. Wówczas współrzędne wektorów
2
1
V
V
x
spełniają
jednocześnie oba układy równań liniowych
0
1
x
A
i
0
2
x
A
. Należy rozwiązać te
równania i wynik przedstawić w postaci (6.6).
W tym przypadku współrzędne wektorów
2
1
V
V
x
spełniają układ równań:
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
7
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
0
0
0
0
0
1
0
3
1
1
1
1
3
0
3
1
2
3
1
2
1
5
5
0
3
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
Dokonując redukcji wierszowej ( kolejne operacje elementarne: ( na przykład )
,
)
2
/(
,
3
,
,
2
,
2
,
)
1
(
,
3
,
3
,
,
,
,
IV
III
IV
IV
III
II
IV
II
III
II
I
IV
I
III
I
II
IV
II
II
I
IV
II
otrzymuje się równoważny układ równań:
0
0
0
0
0
4
5
0
0
0
3
3
1
0
0
1
2
3
3
0
0
2
0
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
czyli
0
4
5
0
3
3
0
2
3
3
0
2
2
5
4
5
4
3
5
4
3
2
4
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Zbiór rozwiązań stanowi jednowymiarową podprzestrzeń liniową ( 4 liniowo niezależne
równania, 5 niewiadomych ). Kładąc
4
4
x
rozwiązujemy układ równań (od dołu do
góry):
5
5
x
,
4
x
,
3
3
x
,
4
2
x
,
0
1
x
Stąd:
5
4
3
4
0
x
,
5
4
3
4
0
2
1
V
V
,
1
dim
2
1
V
V
6. Aby rozwiązać układ równań liniowych niejednorodnych
b
Ax
należy dokonać redukcji
wierszowej macierzy rozszerzonej układu
]
[ b
A
, wyzerowując wszystkie elementy
ij
a
dla
j
i
.
a)
1
2
1
3
2
1
1
2
3
4
3
1
3
2
1
x
x
x
Przeprowadzając kolejne operacje elementarne ( na przykład ):
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
8
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
1
0
1
4
0
0
1
1
0
4
3
1
7
1
0
1
11
7
0
1
1
0
4
3
1
0
1
1
1
1
0
11
7
0
4
3
1
3
0
2
1
1
1
0
1
2
3
4
3
1
1
2
1
3
2
1
1
2
3
4
3
1
II
III
W
III
II
W
I
II
W
I
III
W
otrzymuje się równoważny układ równań:
1
4
0
1
4
3
3
3
2
3
2
1
x
x
x
x
x
x
Stąd
4
/
1
3
x
,
4
/
1
2
x
,
4
/
3
1
x
czyli
3
1
1
4
1
x
Uwaga: Macierz
A
jest nieosobliwa – układ jednorodny posiada jedynie zerowe rozwiązania.
b)
1
2
1
3
1
2
1
2
3
4
3
1
3
2
1
x
x
x
Przeprowadzając kolejne operacje elementarne ( na przykład ):
2
1
1
0
0
0
11
7
0
4
3
1
2
3
1
1
11
7
0
11
7
0
4
3
1
3
3
2
1
11
7
0
1
2
3
4
3
1
1
2
1
3
1
2
1
2
3
4
3
1
I
III
W
I
II
W
I
III
W
otrzymuje się równoważny układ równań:
1
0
1
11
7
1
4
3
3
2
3
2
1
x
x
x
x
x
Jest to układ sprzeczny - brak rozwiązań.
Uwaga: Rząd macierzy
A
jest równy 2, natomiast rząd macierzy rozszerzonej
]
[ b
A
wynosi 3.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
al lin zad3 rozw
al lin zad5 rozw
al lin zad2 rozw
al lin zad1 rozw
al lin zad4 rozw
al lin zad7 rozw
al lin zad3 rozw
al lin zad5 rozw
al lin zad dom1
al lin zad dom4
al lin zad dom3
al lin zad dom2
regresja lin 2 wzor rozw(2)
regresja lin 2 wzor rozw
regresja lin 2 wzor rozw
regresja lin 2 wzor rozw(1)
30 Struktury zaleznosci miedzy wskaznikami zrow rozw K Chmura
więcej podobnych podstron