UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
1
ZADANIA - Seria 6, Macierze. Wykorzystanie metody operacji elementarnych.
( Iloczyn macierzy, macierz odwrotna, struktura przestrzeni liniowej, układ równań )
1. Rozwiązać równania macierzowe:
a)
1
1
1
1
2
1
3
1
X
b)
4
3
1
2
4
3
1
1
X
2. Wyznaczyć macierz odwrotną do poniższych macierzy:
a)
5
3
0
2
1
0
0
0
6
b)
2
0
1
0
3
1
1
1
0
0
3
2
0
0
2
1
c)
0
0
3
0
0
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
0
3. Korzystając z własności macierzy elementarnych obliczyć iloczyny macierzy:
a)
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
b)
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
c)
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
d)
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
4. Niech macierze A,B,C,D będą kwadratowymi macierzami nieosobliwymi. Wykazać, że
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
B
CA
D
D
AC
B
A
DB
C
C
BD
A
D
C
B
A
5.
Znaleźć przecięcie dwóch podprzestrzeni liniowych
5
2
1
,
R
V
V
1
2
3
1
2
1
5
5
0
3
1
Ker
V
,
1
0
3
1
1
1
1
3
0
3
2
Ker
V
6. Rozwiązać układ równań liniowych niejednorodnych:
a)
1
3
2
2
2
3
1
4
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b)
1
3
2
2
2
3
1
4
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
2
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań.
1. a) Aby rozwiązać równanie macierzowe postaci:
B
AX
(6.1)
metodą operacji elementarnych, należy skorzystać z następującego faktu:
Niech
F
oznacza
m
x
m
macierz elementarną, odpowiadającą operacji elementarnej na
wektorach wierszowych, przeprowadzającej
n
x
m
macierz
A
w
n
x
m
macierz
A
. Wtedy
FA
A
(6.2)
Pomnożenie obu stron równania (6.1) lewostronnie przez nieosobliwą macierz
F
sprowadza się
więc do wykonania tej samej operacji elementarnej na wierszach obu macierzy
B
i
A
.
Wykonujemy ciąg operacji elementarnych na wierszach obu macierzy
B
i
A
tak , aby
zredukować macierz
A
do możliwie najprostszej postaci:
A
II
w
II
I
w
I
II
w
A
1
0
0
1
1
0
0
1
3
1
0
3
1
2
1
3
1
B
II
w
III
I
w
I
II
w
B
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
sprowadzając równanie
B
AX
do równoważnej mu postaci
B
X
A
0
0
1
1
1
0
0
1
X
skąd
0
0
1
1
X
Uwaga. Równanie macierzowe
B
AX
stanowi sprytny zapis kilku równań liniowych
niejednorodnych, o takiej samej części jednorodnej ( macierz
A
), w których rolę
niewiadomych pełnią kolumny macierzy
X
a rolę wyrazów wolnych (
b
) kolumny
macierzy
B
:
i
i
B
AX
,
.
,
.
.
b) Aby rozwiązać równanie macierzowe postaci:
B
XA
(6.3)
metodą operacji elementarnych, należy skorzystać z następującego faktu:
Niech
F
oznacza
m
x
m
macierz elementarną, odpowiadającą operacji elementarnej na
wektorach kolumnowych, przeprowadzającej
m
x
n
macierz
A
w
m
x
n
macierz
A
. Wtedy
AF
A
(6.4)
Uwaga. Równania (6.3) i (6.4) stanowią transponowaną wersję równań (6.1) i (6.2) – zamiana
roli wierszy i kolumn dla odpowiednich macierzy.
Pomnożenie obu stron równania (6.1) prawostronnie przez nieosobliwą macierz
F
sprowadza
się więc do wykonania tej samej operacji elementarnej na kolumnach obu macierzy
B
i
A
.
Wykonujemy ciąg operacji elementarnych na kolumnach obu macierzy
B
i
A
tak , aby
zredukować macierz
A
do możliwie najprostszej postaci:
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
3
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
A
I
K
II
K
II
I
K
I
II
K
A
1
0
0
1
)
1
(
1
0
0
1
)
1
(
1
0
0
1
3
1
3
0
1
4
3
1
1
B
I
K
II
K
II
I
K
I
II
K
B
7
24
3
11
)
1
(
7
24
3
11
)
1
(
7
24
3
11
3
7
3
3
2
4
3
1
2
sprowadzając równanie
B
XA
do równoważnej mu postaci
B
A
X
7
24
3
11
1
0
0
1
X
skąd
7
24
3
11
X
2. Aby wyznaczyć macierz odwrotną
1
A
do macierzy
A
( metodą operacji elementarnych ) należy
skorzystać z następującego faktu:
Jeśli wykonamy równocześnie ciąg operacji elementarnych na kolumnach ( wierszach )
n
x
n
macierzy
A
i
n
x
n
macierzy jednostkowej
I
, o macierzach elementarnych
k
F
F
F
,...,
,
2
1
,
taki że
I
A
A
, to wtedy
1
A
I
I
, przy czym
k
F
F
F
A
...
2
1
1
- dla operacji kolumnowych,
1
2
1
...
F
F
F
A
k
- dla operacji wierszowych.
a)
1
0
0
0
1
0
0
0
1
6
/
1
0
0
0
1
0
0
0
6
)
1
(
1
0
0
0
1
0
0
0
6
3
1
3
0
0
1
0
0
0
6
2
5
3
0
2
1
0
0
0
6
I
K
III
K
III
II
K
II
III
K
A
1
1
3
0
2
5
0
0
0
6
/
1
6
/
1
3
0
2
5
0
0
0
1
)
1
(
1
3
0
2
5
0
0
0
1
1
0
0
2
1
0
0
0
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A
I
K
III
K
III
II
K
II
III
K
b) Wystarczy wykonać ( na przykład ) następujący ciąg kolumnowych operacji elementarnych:
III
II
III
I
,
III
IV
3
,
I
II
2
,
2
/
, IV
,
IV
II
),
1
(
II
II
I
b) Wystarczy wykonać ( na przykład ) następujący ciąg kolumnowych operacji elementarnych:
,
IV
I
,
IV
II
,
III
II
),
1
(
I
,
2
/
II
3
/
IV
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
4
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
a)
2
/
1
0
2
/
1
1
2
/
3
1
2
/
9
8
0
0
1
2
0
0
2
3
1
A
b)
0
0
0
1
0
0
2
/
1
0
3
/
1
0
0
0
0
1
0
0
1
A
3. a) i d) Należy skorzystać z następującego faktu:
Niech
F
oznacza
m
x
m
macierz elementarną, odpowiadającą operacji elementarnej na
wektorach kolumnowych, przeprowadzającej
m
x
n
macierz
A
w
m
x
n
macierz
A
.
Wtedy
AF
A
.
Wystarczy zauważyć, że
k
IV
k
III
k
II
F
F
F
)
2
(
)
3
(
)
2
(
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
oraz
k
IV
I
k
III
I
k
II
I
F
F
F
3
2
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
Stąd ( operacje na kolumnach )
a)
2
3
2
1
16
12
4
1
14
15
6
1
8
9
4
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
)
2
(
)
3
(
)
2
(
k
IV
k
III
k
II
F
F
F
d)
1
1
1
1
8
4
2
13
7
5
3
7
4
3
2
3
1
1
1
4
8
4
2
11
7
5
3
14
4
3
2
9
1
1
1
2
8
4
2
3
7
5
3
4
4
3
2
3
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
3
3
3
3
2
k
IV
I
k
IV
I
k
II
I
k
IV
I
k
III
I
k
II
I
F
F
F
F
F
F
b) i c) Należy skorzystać z następującego faktu:
Niech
F
oznacza
m
x
m
macierz elementarną, odpowiadającą operacji elementarnej na
wektorach wierszowych, przeprowadzającej
n
x
m
macierz
A
w
n
x
m
macierz
A
.
Wtedy
FA
A
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
5
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
Wystarczy zauważyć, że
w
IV
w
III
w
II
F
F
F
)
2
(
)
3
(
)
2
(
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
oraz
w
I
IV
w
I
III
w
I
II
F
F
F
3
2
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
Stąd ( operacje na wierszach )
b)
2
2
2
2
24
12
6
3
14
10
6
2
4
3
2
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
)
2
(
)
3
(
)
2
(
w
IV
w
III
w
II
F
F
F
c)
11
8
5
2
16
10
6
3
11
8
5
2
4
3
2
1
11
8
5
2
16
10
6
3
7
5
3
1
4
3
2
1
11
8
5
2
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
1
1
1
8
4
2
1
7
5
3
1
4
3
2
1
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
1
0
0
0
1
2
3
2
w
I
II
w
I
III
w
I
II
w
I
IV
w
I
III
w
I
II
F
F
F
F
F
F
4.
Jeśli macierz kwadratowa
M
jest nieosobliwa to posiada ona jedyną macierz odwrotną
1
M
taką, że
I
M
M
MM
1
1
.
Wystarczy więc wykazać, że
I
I
D
C
B
A
B
CA
D
D
AC
B
A
DB
C
C
BD
A
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
Mnożąc macierze blokowo otrzymuje się układ czterech równości macierzowych
(1)
I
C
A
DB
C
A
C
BD
A
1
1
1
1
)
(
)
(
(2)
0
)
(
)
(
1
1
1
1
D
A
DB
C
B
C
BD
A
(3)
0
)
(
)
(
1
1
1
1
C
B
CA
D
A
D
AC
B
(4)
I
D
B
CA
D
B
D
AC
B
1
1
1
1
)
(
)
(
Dowód równości (2): ( tak samo dla równości (3) )
Mnożąc lewą stronę równości (2) prawostronnie przez macierz
)
(
1
1
A
DB
C
D
X
oraz lewostronnie przez macierz
)
(
1
C
BD
A
Y
otrzymujemy
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
6
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
0
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
BD
A
A
DB
BD
C
BD
C
BD
A
A
DB
C
BD
A
DB
C
DD
A
DB
C
C
BD
A
A
DB
C
BD
C
BD
A
C
BD
A
XLY
Ale macierze X i
Y
są nieosobliwe więc
0
L
.
Dowód równości (1): (analogicznie dla równości (4 ) )
Z równości (2) wynika, że
1
1
1
1
1
)
(
)
(
DB
A
DB
C
C
BD
A
. Wstawiając to do
lewej strony równości (1) otrzymujemy
I
C
A
DB
A
DB
C
C
A
DB
C
A
DB
A
DB
C
L
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
5.
Przecięcie podprzestrzeni liniowych
2
1
,V
V
Uwaga. Podprzestrzeń liniową
n
R
V
można opisać na dwa zasadniczo różne sposoby.
Sposób 1. Jako jądro pewnego przekształcenia liniowego o macierzy
A
:
KerA
V
.
Wówczas współrzędne wektorów
V
x
spełniają jednorodny układ
równań liniowych
0
Ax
(6.5)
Z geometrycznego punktu widzenia podana jest bezpośrednia informacja o
wektorach normalnych do płaszczyzny V ( są nimi wektory wierszowe
macierzy
A
).
Sposób 2. Jako obraz pewnego przekształcenia liniowego o macierzy
B
:
B
V
Im
.
Wówczas wektory
V
x
są kombinacjami liniowymi wektorów
kolumnowych macierzy
B
( równanie parametryczne płaszczyzny ):
B
B
B
x
k
k
,
1
,
1
...
(6.6)
Z geometrycznego punktu widzenia podana jest bezpośrednia informacja o
wektorach stycznych do płaszczyzny V ( są nimi wektory kolumnowe
macierzy
B
).
Obie podprzestrzenie przedstawione są jako jądra przekształceń liniowych:
1
1
KerA
V
,
2
2
KerA
V
. Wówczas współrzędne wektorów
2
1
V
V
x
spełniają
jednocześnie oba układy równań liniowych
0
1
x
A
i
0
2
x
A
. Należy rozwiązać te
równania i wynik przedstawić w postaci (6.6).
W tym przypadku współrzędne wektorów
2
1
V
V
x
spełniają układ równań:
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
7
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
0
0
0
0
0
1
0
3
1
1
1
1
3
0
3
1
2
3
1
2
1
5
5
0
3
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
Dokonując redukcji wierszowej ( kolejne operacje elementarne: ( na przykład )
,
)
2
/(
,
3
,
,
2
,
2
,
)
1
(
,
3
,
3
,
,
,
,
IV
III
IV
IV
III
II
IV
II
III
II
I
IV
I
III
I
II
IV
II
II
I
IV
II
otrzymuje się równoważny układ równań:
0
0
0
0
0
4
5
0
0
0
3
3
1
0
0
1
2
3
3
0
0
2
0
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
czyli
0
4
5
0
3
3
0
2
3
3
0
2
2
5
4
5
4
3
5
4
3
2
4
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Zbiór rozwiązań stanowi jednowymiarową podprzestrzeń liniową ( 4 liniowo niezależne
równania, 5 niewiadomych ). Kładąc
4
4
x
rozwiązujemy układ równań (od dołu do
góry):
5
5
x
,
4
x
,
3
3
x
,
4
2
x
,
0
1
x
Stąd:
5
4
3
4
0
x
,
5
4
3
4
0
2
1
V
V
,
1
dim
2
1
V
V
6. Aby rozwiązać układ równań liniowych niejednorodnych
b
Ax
należy dokonać redukcji
wierszowej macierzy rozszerzonej układu
]
[ b
A
, wyzerowując wszystkie elementy
ij
a
dla
j
i
.
a)
1
2
1
3
2
1
1
2
3
4
3
1
3
2
1
x
x
x
Przeprowadzając kolejne operacje elementarne ( na przykład ):
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
8
ZADANIA - Seria 6 - Uwagi, szkice rozwiązań - c.d.
1
0
1
4
0
0
1
1
0
4
3
1
7
1
0
1
11
7
0
1
1
0
4
3
1
0
1
1
1
1
0
11
7
0
4
3
1
3
0
2
1
1
1
0
1
2
3
4
3
1
1
2
1
3
2
1
1
2
3
4
3
1
II
III
W
III
II
W
I
II
W
I
III
W
otrzymuje się równoważny układ równań:
1
4
0
1
4
3
3
3
2
3
2
1
x
x
x
x
x
x
Stąd
4
/
1
3
x
,
4
/
1
2
x
,
4
/
3
1
x
czyli
3
1
1
4
1
x
Uwaga: Macierz
A
jest nieosobliwa – układ jednorodny posiada jedynie zerowe rozwiązania.
b)
1
2
1
3
1
2
1
2
3
4
3
1
3
2
1
x
x
x
Przeprowadzając kolejne operacje elementarne ( na przykład ):
2
1
1
0
0
0
11
7
0
4
3
1
2
3
1
1
11
7
0
11
7
0
4
3
1
3
3
2
1
11
7
0
1
2
3
4
3
1
1
2
1
3
1
2
1
2
3
4
3
1
I
III
W
I
II
W
I
III
W
otrzymuje się równoważny układ równań:
1
0
1
11
7
1
4
3
3
2
3
2
1
x
x
x
x
x
Jest to układ sprzeczny - brak rozwiązań.
Uwaga: Rząd macierzy
A
jest równy 2, natomiast rząd macierzy rozszerzonej
]
[ b
A
wynosi 3.